专题03 圆周角有关的七大题型（专项训练）数学沪科版九年级下册

专题03 圆周角有关的七大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆心角的概念 1 题型二、弧、弦圆心角的关系求解与证明 2 题型三、求圆弧的度数 8 题型四、圆周角的概念 9 题型五、圆周角定理 10 题型六、与圆周角有关的计算 12 题型七、圆内角四边形有关计算 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆心角的概念 1．下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．(24-25九上·河北沧州献县·期中)如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（   ） A．是圆心角 B．是圆周角 C． D．是圆周角 4．(23-24九上·福建泉州第五中学·期中)下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   5．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．  B．  C．   D．   题型二、弧、弦圆心角的关系求解与证明 6．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 7．(25-26九上·西藏拉萨墨竹工卡县中学·期中)如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 8．如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．(25-26九上·江苏南京秦淮区·月考)如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（   ） A． B． C． D． 11．(24-25九上·福建泉州鲤城区泉州第五中学·月考)如图，是的直径，，点C是的中点，则（   ） A． B． C． D． 12．如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为 ． 13．如图，是的直径，，，则 ． 14．如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 15．(2025·陕西省商洛市·二模)如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 16．(24-25九下·江苏盐城东台第五教育联盟期中·期中)如图，在中，，，，则的长为 ． 17．(24-25九上·湖北武汉武昌区张家湾中学（武昌区二中）·月考)如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．(24-25九下·江西九江柴桑区五校联考·期中)如图，内接于，，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中画出的角平分线．（保留画图痕迹） (1)如图1，点是弧的中点； (2)如图2，点是弦的中点． 19．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，内接于，为的直径，平分，交于点，连接．已知，，求的长． 20．(22-23九下·浙江温州泰顺县·期中)如图，在中，弦． (1)证明：． (2)连结，若，的度数是a，求的度数（用含a的代数式表示）． 21．如图，已知A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，连接． (1)求证：平分； (2)求证： (3)若，，求的长． 22．如图，在中，弦、交于点，且，求证：． 23．如图，，是的两条弦，．求证：． 24．如图， 中， ．求证： ． 25．在中，弦弦．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接并延长交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，交于点，连接，，，，，求线段的长度． 26．如图，的一边是的直径，另外两边分别与交于D、E两点，连接，交于点F． (1)当平分时，证明点E是的中点； (2)在（1）的条件下，，求的直径； 题型三、求圆弧的度数 27．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．(24-25九上·浙江金华义乌宾王学校教育集团·期中)如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 29．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 30．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 31．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 题型四、圆周角的概念 32．如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 33．(24-25九上·福建厦门第六中学·期中)如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 34．(23-24九上·河北霸州部分学校·期中)如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 35．(22-23九上·广西河池凤山县·期末)下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 36．(22-23九上·云南昭通巧家县·期中)下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 题型五、圆周角定理 37．(23-24九上·河南濮阳范县·期中)如图，点A，B，P是上的三点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 38．如图．已知A、B、C三点在上，点C在劣弧上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 39．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．(25-26九上·广西南宁广西大学附属中学·月考)如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 41．(25-26九上·江苏宿迁沭阳县沭阳县沭河初级中学·月考)如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 42．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 43．(23-24九上·江西赣州大余县南安中学，左拔学校·期中)如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ． 44．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长为 ． 45．如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点，则 ． 题型六、与圆周角有关的计算 46．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 47．(25-26九上·广东深圳多校联考·期中)如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 48．如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 49．(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 50.如图，是半圆的直径，弦，的度数是（    ） A． B． C． D． 51．(24-25九下·广东中山德恒中学·期中)如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 52．如图，是的直径，点C是圆上一点，连结和，过点C作于点D，且，则的周长是 ． 53．(24-25九上·安徽蚌埠蚌山区·月考)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 54．(2025·广东省深圳市·二模)如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 55．(24-25九上·江苏南通通州区·期中)如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 56．(24-25九上·浙江绍兴柯桥区·期中)如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 57．(25-26九上·浙江温州新星学校·月考)如图，在中，，D 为 中点，以为直径作，分别交 ， 于点 E，F． 若，，则的长为 ． 58．如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 59．(25-26九上·江苏南京鼓楼区·月考)如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 60．(24-25九上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·期中)如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为 ． 题型七、圆内角四边形有关计算 61．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 62．(24-25九下·湖南娄底双峰县·模拟)如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 63．(24-25九上·河北任丘第四中学·期末)如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 64．(24-25九上·浙江杭州十三中集团·期中)如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 65．(25-26九上·江苏宿迁沭阳县南湖初级中学·月考)如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ． 66．(24-25九上·吉林桦甸第七中学·期中)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 67．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 . 68．(24-25九上·吉林桦甸第七中学·期中)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 69．(24-25九上·浙江杭州西湖区弘益中学·期中)如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 70．(25-26九上·浙江杭州临平区临平第一中学·月考)如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 71．(24-25九上·河南洛阳·期末)我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 1．(23-24九上·江苏镇江润州区·期中)如图，是的两条弦，且，点分别在和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．(2025九下·陕西省西安市·期中)如图，为的直径，点为的中点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．(2024·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 4．如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·安徽六安舒城县仁峰实验学校·月考)如图，正方形的边长为4，是射线上一个动点，点在上，且满足，则线段的最小值为（    ）      A． B．2 C． D． 6．(24-25九上·浙江杭州西湖区弘益中学·期中)若内接于，则圆周角 ． 7．如图，点、、、在上，，则为 8．(24-25九上·贵州贵阳云岩区第二十八中学·期中)如图，在中，弦与交于点M，，则的度数是 ． 9．如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 10．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 11．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆周角有关的七大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、圆心角的概念 1 题型二、弧、弦圆心角的关系求解与证明 3 题型三、求圆弧的度数 25 题型四、圆周角的概念 30 题型五、圆周角定理 33 题型六、与圆周角有关的计算 38 题型七、圆内角四边形有关计算 49 B综合攻坚・能力跃升 题型一、圆心角的概念 1．下列说法： ①三点确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等； ④长度相等的弧称为等弧． 正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查确定圆的条件，圆的认识，圆心角，弧，弦的关系，根据确定圆的条件，圆心角，弧，弦之间的关系，等弧的定义一一判断即可． 【详解】解：①三点确定一个圆；错误，条件是三个点不在同一直线上； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，条件是在同圆或等圆中； ③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；正确； ④长度相等的弧称为等弧，错误，长度相等的弧不一定是等弧． 故选：A． 2．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 3．(24-25九上·河北沧州献县·期中)如图，在中，A、B、D、F在上，点C在外．下面对角的叙述错误的是（   ） A．是圆心角 B．是圆周角 C． D．是圆周角 【答案】D 【分析】本题考查圆心角，圆周角，等腰三角形，熟练掌握圆心角、圆周角的定义，等腰三角形的性质是解题的关键． 根据顶点在圆心，两边与圆相交的角叫圆心角判定A；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定B；根据，由等腰三角形的性质等边对等角判定C；根据顶点在圆上，两边是圆的弦的角叫圆周角判定D． 【详解】解：A、是圆心角，正确，故此选项不符合题意； B、是圆周角，正确，故此选项不符合题意； C、∵，∴，正确，故此选项不符合题意； D、不是圆周角，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D． 4．(23-24九上·福建泉州第五中学·期中)下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 5．下列图形中的角是圆心角的是（      ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 题型二、弧、弦圆心角的关系求解与证明 6．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键． 取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，取弧的中点D，连接，， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即, 故选D． 7．(25-26九上·西藏拉萨墨竹工卡县中学·期中)如图，为的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ） A．32 B．60 C．80 D．120 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，圆心角的关系．根据C、D是弧的三等分点易得度数为度数的． 【详解】解：∵， ， ∵点、是的三等分点， ∴ ， ， 故选：C． 8．如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 9．(25-26九上·江苏南京秦淮区·月考)如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 10．如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角的性质及圆心角与弧的关系，熟练掌握圆周角的性质及圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故选B． 11．(24-25九上·福建泉州鲤城区泉州第五中学·月考)如图，是的直径，，点C是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【详解】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 12．如图，圆O通过五边形的四个顶点．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键． 连接，，由半径相等得到三角形，三角形，三角形都为等腰三角形，根据，，求出与的度数，根据的度数确定出度数，进而求出的度数，即可确定出的度数． 【详解】解：连接、， ， 、、皆为等腰三角形， ，， ，， 的度数为， ， ， 则的度数为． 13．如图，是的直径，，，则 ． 【答案】/42度 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算，先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 故答案为： 14．如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ． 【答案】/160度 【分析】本题考查圆周角定理、弧度数与圆心角的关系，先根据圆周角定理得到，，再根据弧度数与圆心角关系得到，进而根据周角定义求得即可求解． 【详解】解：连接，，，则，， ∵为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(2025·陕西省商洛市·二模)如图，在四边形中，于点于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接所对的弦是直径，弧、弦与圆周角的关系，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；根据题意得出在以为直径的圆上，进而根据得出则，然后根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 故答案为：． 16．(24-25九下·江苏盐城东台第五教育联盟期中·期中)如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，设交于E，根据垂径定理求出，，根据圆周角定理求出，解直角三角形求解即可． 【详解】解：设交于E，如图： ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：6 17．(24-25九上·湖北武汉武昌区张家湾中学（武昌区二中）·月考)如图，是的直径，是弦，于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，过点作于，则，由圆周角定理和等腰三角形的性质可得，即得，得到，进而可证，得到，即可求证； （）连接，由得，即得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程求出即可求解． 【详解】（1）证明：连接，过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧弦圆心角的关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 18．(24-25九下·江西九江柴桑区五校联考·期中)如图，内接于，，请仅用无刻度直尺，分别在下列图中画出的角平分线．（保留画图痕迹） (1)如图1，点是弧的中点； (2)如图2，点是弦的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）如图1中，作射线即可； （2）如图2中，连接交射线于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接延长交于点，作射线即可． 【详解】（1）解：如图1中，射线即为所求； ∵点是弧的中点 ∴ ∴射线是的角平分线． （2）如图2中，射线即为所求． ∵ ∴是的中线，是交点，即是的重心 ∴是的中线， ∴是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴射线是的角平分线． 19．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，内接于，为的直径，平分，交于点，连接．已知，，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆的性质，勾股定理，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义得到角平分线的定义，则可得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】．解：为的直径， ． 平分， ． ． ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 20．(22-23九下·浙江温州泰顺县·期中)如图，在中，弦． (1)证明：． (2)连结，若，的度数是a，求的度数（用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟记圆周角定理是解题的关键． （1）过点O作，交于点M，交于点H，根据平行线的性质得到，，根据垂径定理求解即可； （2）连接，，，根据圆周角定理得，由的度数是a，得的度数是a，即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作，交于点M，交于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即 （2）解：连接，，， ∵， ∴， ∴的度数是， ∵的度数是a，， ∴的度数是， ∴的度数是． 21．如图，已知A、B、C、D是上的四个点，，交于点E，连接． (1)求证：平分； (2)求证： (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角与弧之间的关系： （1）根据弧与圆心角的关系求证； （2）由圆周角定理得，而，故，再结合公共角即可求证； （3）根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴弧弧 ∴ ∴平分； （2）证明：∵弧弧， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍负）． 22．如图，在中，弦、交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、弧、弦、圆心角的关系，根据可证，从而可证，根据圆周角定理可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ． 23．如图，，是的两条弦，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，平行线的性质；连接，根据平行线的性质得出，进而根据弧与圆周角的关系，即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴． ∴． 24．如图， 中， ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 由，推出，推出可得结论； 【详解】证明：∵， ， ， 25．在中，弦弦．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接并延长交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，交于点，连接，，，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)11 【分析】（1）连接，通过平行，可知，结合，推出，从而推出结论； （2）连接，，设交于，结合（1）的结论，先证明，得到，再证明，从而推出，从而得证； （3）设交于点，不妨设，那么，连接，先证明，得到，，连接，先算得，过点作，过点作的角平分线于点，交于点，那么，然后利用，求得和，然后依次利用勾股定理求得，最后过点作， ，然后利用和勾股定理求得，从而由得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，，设交于，如图所示 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设交于点，不妨设，那么，连接， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 连接，如图所示： ，， ， ， ， 过点作，过点作的角平分线于点，交于点，如图所示：   ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 不妨设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 不妨设，那么， ， ， ， 同理可求得， ， 过点作，如图所示： ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等弧或同弧所对的圆周角相等，圆的内接四边形，平行的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 26．如图，的一边是的直径，另外两边分别与交于D、E两点，连接，交于点F． (1)当平分时，证明点E是的中点； (2)在（1）的条件下，，求的直径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据圆周角定理，结合等角对等弧，即可得证； （2）圆周角定理，得到，进而得到，证明，得到，，等弧对等弦，得到，进而得到，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，则：， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点E是的中点； （2）∵为直径， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴，即： ∴，即圆的直径为10． 题型三、求圆弧的度数 27．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 28．(24-25九上·浙江金华义乌宾王学校教育集团·期中)如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 29．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 30．如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接先求解 再利用圆心角与弧之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为： 故选B． 【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键． 31．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 题型四、圆周角的概念 32．如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 33．(24-25九上·福建厦门第六中学·期中)如图，点在上，点在外，与交于点，，于点．下列角中，弧所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键 ．直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧所对的圆周角是：或， 故选：B． 34．(23-24九上·河北霸州部分学校·期中)如图，在图中标出的这5个角中，所对的圆周角是（    ） A． B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答．本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 【详解】解：是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 是所对的圆周角， 不是圆周角， 故选：C． 35．(22-23九上·广西河池凤山县·期末)下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角， 选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角． 故选C． 【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角． 36．(22-23九上·云南昭通巧家县·期中)下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 【答案】B 【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故此选项不符合题意； B、直径是圆中最长的弦，故此选项符合题意； C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故此选项不符合题意； D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握经过圆心的弦叫直径，连接圆上任意两点的线段叫弦，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，顶点在圆上，两边分别与圆相交的角是圆周角是解题的关键． 题型五、圆周角定理 37．(23-24九上·河南濮阳范县·期中)如图，点A，B，P是上的三点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 38．如图．已知A、B、C三点在上，点C在劣弧上，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．在优弧上取一点D，连接、，根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接、， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 39．如图在中，弦、相交于点P．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角，三角形外角的性质．根据题意可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 40．(25-26九上·广西南宁广西大学附属中学·月考)如图，，分别为的半径，点A在圆上，连接，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 根据圆周角定理，即同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，由此求解即可． 【详解】解：∵， 根据圆周角定理，可得． 故选：C ． 41．(25-26九上·江苏宿迁沭阳县沭阳县沭河初级中学·月考)如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心．连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、，则， ， ， ，即， 解得：（负值已舍去）， 故答案为：． 42．如图，已知为的直径，过点的弦，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行线的性质求出，根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：， ， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 43．(23-24九上·江西赣州大余县南安中学，左拔学校·期中)如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角定理，关键在于熟练掌握圆周角定理．根据，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 44．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，作出适当的辅助线是解决问题的关键． 连接，推出直径是弦的垂直平分线，进一步得到是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ∵的直径垂直于弦， ，即直径是弦的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 45．如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质．先根据圆内接四边形性质得出，解直角三角形得出，然后求出结果即可． 【详解】解：四边形为圆内接四边形，， 根据圆内接四边形对角互补，可得， ，， ， ， ，， 故． 答案：． 题型六、与圆周角有关的计算 46．(24-25九上·广东肇庆端州区·期末)如图，中，弦、相交于点P，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，同弧所对的圆周角相等，先由三角形外角的性质求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 47．(25-26九上·广东深圳多校联考·期中)如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 48．如图，是的直径，C、D是上的点，若，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理等知识点，掌握直径所对的圆周角是直角、同弧所对圆周角相等是解题的关键． 如图，连接，根据直径所对圆周角是直角得到，再根据三角形内角和得到的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴（同弧所对圆周角相等）． 故选：B． 49．(2025·浙江省杭州市·模拟)如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 50.如图，是半圆的直径，弦，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，解题的关键是掌握直径所对的圆周角等于． 先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 51．(24-25九下·广东中山德恒中学·期中)如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 52．如图，是的直径，点C是圆上一点，连结和，过点C作于点D，且，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质定理，勾股定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．先证明，根据勾股定理求出的长，利用相似三角形的性质可得的长，利用周长公式可得结果． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为 故答案为： 53．(24-25九上·安徽蚌埠蚌山区·月考)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵点为的中点， ∴点坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含度的直角三角形三边的关系，的圆周角所对的弦是直径，坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直角三角形三边的关系是解题的关键． 54．(2025·广东省深圳市·二模)如图，，，三角形面积始终为2，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识，难度大，通过作辅助线，构造相似三角形，确定点的位置是解题关键．过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接，先利用勾股定理可得，再求出，则，证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得点在以点为圆心、长为半径的圆上，则，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的垂线，在垂线上取一点，使得，连接，取的中点，连接， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形面积始终为2，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴如图，点在以点为圆心、长为半径的圆上（定弦定角）， ∴， 又∵（当且仅当等号成立）， ∴的最大值为， 故选：D． 55．(24-25九上·江苏南通通州区·期中)如图，的直径为8，P是上一动点，半径垂直于，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆上动点恒直角问题，勾股定理，圆周长公式，根据得到，即可得到点H是以为直径的圆上运动，根据勾股定理求出，最后利用周长公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴点H是以为直径的圆上运动， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 56．(24-25九上·浙江绍兴柯桥区·期中)如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，三角形中位线的性质；根据题意，可得在为直径的圆上运动，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接；勾股定理求得，根据，求得的最大值，即可求解． 【详解】如图所示，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接； ∵点为坐标平面内一点，， ∴ ∴在为直径的圆上运动， 当点C与点F重合时，最长，即为 ∵点，的坐标分别为，，是的中点，是的中点 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ∴， ∴ ∴     即点与点重合时，最大，最大值为 故选：D． 57．(25-26九上·浙江温州新星学校·月考)如图，在中，，D 为 中点，以为直径作，分别交 ， 于点 E，F． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．连接，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴， ∵为直径， ∴，即， ∵，即， ∴， ∵，D为中点， ∴， ∴． 故答案为：． 58．如图，是的直径，，是上一点，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键熟练地运用中位线定理、垂径定理、圆周角定理、勾股定理的性质求解．根据垂径定理求出，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵于点，， ， 是直径， ， 在中，，，由勾股定理得： ， 故答案为：． 59．(25-26九上·江苏南京鼓楼区·月考)如图，以的边为直径的分别交于点、，连结、，若，则 【答案】 【分析】连接由圆周角定理和三角形内角和定理求得，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题． 本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 为的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 60．(24-25九上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·期中)如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 题型七、圆内角四边形有关计算 61．如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 62．(24-25九下·湖南娄底双峰县·模拟)如图，在的内接四边形中，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 63．(24-25九上·河北任丘第四中学·期末)如图，四边形内接于，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先根据圆内接四边形的对角互补求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的对角互补以及同弧所对的圆心角是圆周角的两倍是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形内接于 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 64．(24-25九上·浙江杭州十三中集团·期中)如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，从而得到，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 65．(25-26九上·江苏宿迁沭阳县南湖初级中学·月考)如图，A、B、C 是上三点，，则＝ ． 【答案】/度 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，掌握相关知识是解决问题的关键．在优弧上取点D，连结，设，则，利用四边形内角和为列方程计算即可． 【详解】解：在优弧上取点D，连结，设， 则， ∵，且四边形内角和为 解得：， ． 故答案为：． 66．(24-25九上·吉林桦甸第七中学·期中)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质． 由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 67．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为 . 【答案】 【分析】　本题考查了圆内接四边形“对角互补”的性质，理解圆的有关性质是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补，可先求出；再依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），计算出的大小。 【详解】解：在中，， ， 是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角， ， 故答案为：． 68．(24-25九上·吉林桦甸第七中学·期中)如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是 ． 【答案】/116度 【分析】此题考查直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，由是的直径，得，求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴． 故答案为：． 69．(24-25九上·浙江杭州西湖区弘益中学·期中)如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ． 【答案】4 【分析】连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答， 【详解】解：连接，如图， ∵平分， ∴， ∵四边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴在中，； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键． 70．(25-26九上·浙江杭州临平区临平第一中学·月考)如图所示，在中，以为直径的分别交于点，交于点，连接，若． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角的性质、勾股定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴设，则有， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 71．(24-25九上·河南洛阳·期末)我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，“等对角四边形”内接于，，则 ， ； (2)如图2，“等对角四边形”内接于，且，，点E在的延长线上，连接，，，，请证明：四边形是“等对角四边形”； (3)如图3，“等对角四边形”内接于，且其一个内角为，，，若，求的长． 【答案】(1)90，120 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，并结合“等对角四边形”的定义计算即可得解； （2）由“等对角四边形”的定义可得，，，再由等腰三角形的性质并结合圆周角定理得出，即可得证； （3）连接，分四种情况：当时，则；当时；当时；当时；分别结合“等对角四边形”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵“等对角四边形”内接于，， ∴，，， ∴， 故答案为：90，120； （2）证明：∵“等对角四边形”内接于， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图1，连接，当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”，是直径， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，当时，此时，， ∴， ∴， ∴四边形是“等对角四边形”， 作，交于E， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 当时，则， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形不是“等对角四边形”， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、“等对角四边形”的定义， 掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1．(23-24九上·江苏镇江润州区·期中)如图，是的两条弦，且，点分别在和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半． 根据圆内接四边形对角互补求得的度数，即可求得的度数，进而求得的度数，的度数，则的度数即可求解． 【详解】解：在圆内接四边形中，， 则的度数是， 又∵， ∴的度数=的度数， ∴的度数是， ∴． 故选：A． 2．(2025九下·陕西省西安市·期中)如图，为的直径，点为的中点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，连接，，根据圆周角定理，等边对等角，弧，弦，角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：连接，， 则：，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 3．(2024·江苏省无锡市江阴市·一模)如图，圆是的外接圆，是直径，若，则的度数是（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的性质，首先连接，因为是的直径，所以，根据同弧所对的圆周角相等得，根据直角三角形两个锐角互余，可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 和所对的弧为， ， 在中，， ． 故选：B． 4．如图，动点在边长为的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段 的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，由轴对称的性质及的圆周角所对的弦是直径，可知线段的最小值为的值减去以为直径的圆的半径，根据正方形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：作点关于的对称点，设的中点为点，连接，交于点，连接，如图： 动点在边长为的正方形内，且， 点在以为直径的圆上，， 正方形的边长为， ，， 是的中点， ， 点与点关于对称， ，， ， 在中，， 当共线时，最小 线段的最小值为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 5．(23-24九上·安徽六安舒城县仁峰实验学校·月考)如图，正方形的边长为4，是射线上一个动点，点在上，且满足，则线段的最小值为（    ）      A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质等知识点的应用，根据已知证明，再证出说明点Q的运动轨迹是在以为直径的圆上，再根据点圆关系求出最值即可． 【详解】如图，连接，    ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动轨迹是在以为直径的圆上， 如图，取中点O，连接交于Q，则此时最小，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 6．(24-25九上·浙江杭州西湖区弘益中学·期中)若内接于，则圆周角 ． 【答案】50或130 【分析】本题考查了圆周角定理，以及圆内接四边形性质，根据内接于，分两种情况讨论，①当点C在优弧上时，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接，根据以上两种情况画出图形进行分析求解，即可解题． 【详解】解：如图，①当点C在优弧上时， 则； 如图，②当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接， 则可得， 根据圆的内接四边形的性质可得， ∴， ∴， ∴的度数是或． 故答案为：50或130． 7．如图，点、、、在上，，则为 【答案】/度 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，根据同圆中同弧所对的圆周角相等进行求解即可，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：∵点、、、在上，， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·贵州贵阳云岩区第二十八中学·期中)如图，在中，弦与交于点M，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，由，得到，根据三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 9．如图，在中，弦弦于E，弦弦 于F点，与相交于M点． (1)求证：； (2)如果，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）连结，结合垂直定义，以及同角的余角相等推出，再结合圆周角定理求解，即可解题； （2）连接，作于H，于K，利用垂径定理得到，结合圆周角定理推出，证明，得到，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】（1）证明：连结，如图1所示， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； （2）解：连接，作于H，于K，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 即的半径为． 10．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 11．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：（1）如图1，点A，B，C在上，的平分线交于点D，连接． 求证：四边形是等补四边形． 探究：（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 运用：（3）如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点E，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）平分，见解析；（3） 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得，再由弧，弦，圆心角的关系，可得，即可解答； （2）过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则，结合等补四边形的定义可证明，可得到，即可解答； （3）连接，证明，即可解答． 【详解】解：（1）证明：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等补四边形； （2）平分，理由如下： 如图：过点B分别作于点E，垂直的延长线于点F，则， ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线，即平分； （3）连接，如图： ∵四边形是等补四边形， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， 由（2）知，平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $