专题05 内切圆、正多边形、弧长常考十一大题型归类（专项训练）数学沪科版九年级下册

专题05 内切圆、正多边形、弧长常考十一大题型归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直角三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 1 题型二、一般三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 4 题型三、三角形内心的有关应用 8 题型四、圆外切四边形 13 题型五、三角形内切圆与外接圆的综合 16 题型六、求正多边形的中心角 26 题型七、已知中心角求边数 32 题型八、正多边形与圆的综合 35 题型九、弧长、半径和圆心角的有关计算 44 题型十、扇形、弓形面积的有关计算 50 题型十一、圆锥的有关计算 63 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直角三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 1．如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】连接，，由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，， ，，， ， 与的切点分别为 D，E，F， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：B． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 2．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，已知是的内切圆，，与，，的切点分别为，，，若，，则的半径为（） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】A 【分析】由，，，求得，由与，，的切点分别为，，，得，，，由，求得，则，再证明四边形是正方形，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， 与，，的切点分别为，，， ，，，，， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 的半径长为2， 故选：A． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，求得，并且证明四边形是正方形是解题的关键． 3．(24-25九上·江苏南通崇川区·期中)如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 题型二、一般三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 4．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线以及切线长定理，解决本题的关键是充分利用圆的切线的性质，及圆切线长定理． 根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， 设与的三边的切点为，切于， ， ， ， 故选：B． 5．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（） A． B．3 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形内切圆的性质及勾股定理，关键在于作辅助线构建直角三角形．欲求三角形的边长，已知内切圆半径，可过内心向正三角形的一边作垂线，连接顶点与内切圆心，构造直角三角形求解． 【详解】解：过点作，则． 是的内心， ； 中，，， ， ， ． 故选：A． 6．(22-23九上·广西南宁西乡塘区相思湖学校·期中)如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 7．如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内切圆的特点作出圆心和三条半径，分别表示出的面积，利用面积相等即可解决问题． 【详解】解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，   ， ， ， 的长为， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形面积相等推出关系式是解题关键． 8．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 【答案】B 【分析】设AF=acm，根据切线长定理得出AF=AE，CE=CD，BF=BD，求出BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm，根据CD+BD=BC，代入求出a即可． 【详解】设AF=acm， ∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴AF=AE，CE=CD，BF=BD， ∵AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， ∴BD=BF=（9-a）cm，CD=CE=（13-a）cm， ∵BD+CD=BC=14cm， ∴（9-a）+（13-a）=14， 解得：a=4， 即AF=4cm． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出AF=AE，CE=CD，BF=BD，用了方程思想． 题型三、三角形内心的有关应用 9．如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 10．(24-25九下·河北邢台内丘县·期中)如图，等边中，，分别是的角平分线，与交于点G，连接，作，分别交于点R，T，则下列说法：①点G是的内心；②；③；④．其中，正确说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，相似三角形的性质，含的直角三角形的性质，根据内心的定义判断①；得到是等边三角形，，判断②；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断③；根据等边三角形的性质判断④解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，分别是的角平分线， ∴点是的内心；故①正确； ∴平分， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即，故②正确； ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴，， ∴， 又∵平分∠， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴， ∴，故③错误； 故选：C． 11．(24-25下·广东广州第二中学·期中)如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 12．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期中)如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，可得平分，，由平行的性质和等角对等边可得，同理，可得到图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， ∵点I为的内心， ∴平分， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为6， 故选择：B． 13．(22-23九上·陕西渭南大荔县·期末)如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数为（    ） A．42° B．66° C．76° D．82° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点O是的内心，，可得，再根据点O也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵点O是的内心，， ∴，是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵点O也是的外心， ∴， 则的度数为． 故选：B． 14．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内心的性质．根据圆周角定义，以及内心的定义，可以利用表示出和，即可得到两个角的关系可进一步得出结论． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点O是的外心， ∴， 故选：D． 题型四、圆外切四边形 15．(22-23九上·河北邯郸邯山区扬帆初中学校·期中)如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 16．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 17．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形内切圆的性质，正方形的性质、勾股定理切线长定理等知识，设与相切于点K，设正方形的边长为．因为是切线，可得，，设，在中，以为，则，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题； 【详解】解：如图所示，设与相切于点K，    由题意得，， 由切线长定理可知，   设正方形边长为，，则， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的半径为， 故选：D． 题型五、三角形内切圆与外接圆的综合 18．(24-25九上·山东聊城高唐县·期中)如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 19．(24-25九上·江苏无锡锡东片·期中)如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H，根据三角形内切圆和圆周角定理求出，根据证明，可得出，根据点I是的内心，可得出，即可求解． 【详解】解∶延长交外接圆于点D，连接，，，，过I作于F，于G，于H， 则与的内切圆相切于G，与的内切圆相切于F，与的内切圆相切于H， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵点I是的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，是半径， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外心与内心，切线长定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键． 20．(23-24九上·浙江台州温岭第四中学·期中)如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 21．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 22．(23-24九上·河北邢台南宫多校联考·期中)已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点又是的外心， ∴， 故选：． 23．(24-25九上·江苏常州天宁区正衡中学·期中)如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    【答案】130 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，再根据三角形内切圆圆心是其角平分线的交点得到，据此求出，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出的外接圆，的内切圆，进而利用三角形内心和外心的性质求解． 分别作出的外接圆，的内切圆，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：分别作出的外接圆，的内切圆， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点O是是外心， ∴， 故答案为：． 25．(22-23九上·江苏盐城建湖县·期中)如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 26．如图，在等边中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，，BE与AF交于点P，连接 （1）设，直接写出等边外接圆的半径长为______，内切圆的半径长为______． （2）求的度数． （3）若，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；    （2）；（3）的最小值 【分析】（1）点O为等边△ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，作OD⊥AB于点D，连接OA，由等边三角形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度； （2）根据SAS证得△ABE≌△CAF，由全等三角形的性质和外角的性质即可以得到答案； （3）过点A，点P，点B作⊙O，则点P在上运动，利用锐角三角函数可求CO，AO的长，即可求解． 【详解】解：（1）如图，点O为等边△ABC外接圆的圆心，也是内切圆的圆心，作OD⊥AB于点D，连接OA， ∵等边三角形的边长AB为a， ∴AD=， 又∵∠DAO=∠BAC=60°×=30°， ∴． ∵DO为内切圆半径， ∴． 故答案为：a，a． （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°， 又∵AE=CF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（SAS）； ∴AF=BE，∠ABE=∠CAF． 又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°． ∴∠APB=180°-∠APE=120°． （3）CP存在最小值． 如图，过点A，点P，点B作⊙O，连接CO，PO，则点P在上运动， ∵AO=OP=OB， ∴∠OAP=∠OPA，∠OPB=∠OBP，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OPA-∠OPB-∠OBP=120°， ∴∠OAB=30°， ∴∠CAO=90°， ∵AC=BC，OA=OB， ∴CO垂直平分AB， ∴∠ACO=30°， ∴cos∠ACO=，CO=2AO， ∴CO=4， ∴AO=2， 在△CPO中，CP≥CO-OP， ∴当点P在CO上时，CP有最小值， ∴CP的最小值=4-2=2， 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，线段垂直平分线的判定，确定点P的运动轨迹是解题的关键． 题型六、求正多边形的中心角 27．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 28．(2025·四川省南充市·)如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 29．(24-25九上·山东济宁邹城第四中学·期中)如图所示的图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转对称图形，掌握旋转变换的性是关键．先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可． 【详解】解：由题意可得：图案可看作是正六边形， ， 这个图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，角至少为60度； 故选：A． 30．(24-25九上·河南漯河第二实验中学·期中)已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当点在优弧上时（记为点）；②当点在劣弧上时（记为点）；分别利用圆周角定理和圆内接四边形的性质定理即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当点在优弧上时（记为点）， 如图，连接、， 四边形是的内接正方形， ， 根据圆周角定理，可得： ， ②当点在劣弧上时（记为点）， 如图， 则， 的度数是或， 故选：． 31．(23-24九上·江苏盐城东台实验中学·期中)如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 32．(24-25九上·河北秦皇岛·期中)如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以． 【详解】解：根据题意得， 正五边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 33．(2024·广东省东莞市·三模)如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 34．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 题型七、已知中心角求边数 35．(2023·广东省阳江市阳春市·二模)正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，根据中心角的度数等于除以边数，进行求解即可． 【详解】∵正多边形的中心角为， ∴这个多边形的边数是， ∴正多边形的边数是8． 故选：C． 36．(24-25九上·浙江绍兴柯桥区·期中)如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 37．(22-23九上·江苏泰州姜堰区·期中)如图，正n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 38．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正多边形和圆、全等三角形的判定和性质，掌握正多边形的中心角的求法、全等三角形的判定定理是解题的关键．连接、、，证明，根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：连接、、， 五边形是的内接正五边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ． 故选：． 题型八、正多边形与圆的综合 39．)如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，，根据中心角的定义求出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶连接，， ∵正六边形F内接于， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶C． 40．(23-24九上·天津南开区·期末)如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵正五边形内接于， ∴， ∵P为上一点， ∴， 故选：B． 41．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 【答案】1/ 【分析】本题考查了圆与正多边形，勾股定理，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确确定点的轨迹． 如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作，连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 42．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键． 连接，过点P作于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出的长度即可求得P点坐标． 【详解】解：如图所示，连接，过点P作于点G，则， ∵多边形为正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 又∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的坐标是， 故答案为： 43．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，由正方形的性质知点C是点A关于的对称点，过点C作，且使，连接交于点N，取，连接、，进而求解． 【详解】解析：如图，连接，以为边作，连接， ∵的面积为， ∴， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 当A，N，E三点共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值为 故答案为：4． 44．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 45．(24-25九上·江苏无锡新吴区·期中)【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 【答案】[给出问题]见解析；[深入思考] ； [拓展应用] 【分析】[给出问题] 证明，即可得到； [深入思考]过点作交于点，取圆心，连接，，证明，进而根据全等三角形的性质，勾股定理，即可求解． [拓展应用]以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上，根据圆周角定理可得在上，进而通过勾股定理求出的长度，从而得出矩形的面积． 【详解】[给出问题]证明：四边形是正方形， ， 是的中点， ； [深入思考] ，理由如下， 过点作交于点，取圆心，连接，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，即 [拓展应用] 解：以为边，作正方形，连接，，，，作正方形的外接圆，则圆心在上， ，， 点在上， ，， ，， ， ， 设，则，， 在中，， 在中，， 在中，， 解得：（负值舍去） ， 矩形的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，弧与弦的关系，圆周角定理，勾股定理，掌握圆的基本性质是解题的关键． 题型九、弧长、半径和圆心角的有关计算 46．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 47．(24-25九上·吉林桦甸第七中学·期中)如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得出，求得，再利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接，如图： ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， 故的长是． 故选：B． 48．(24-25九上·浙江衢州江山·期末)如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，弧长，综合运用相关知识是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由旋转得，从而证得是等边三角形，得到，即旋转角为，再根据勾股定理求出，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：∵点D是的斜边的中点， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴由旋转可得， ∵点D是的中点， ∴， ∴在中，， ∴． 故选：C 49．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中扇形面积计算，弧长的计算，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握圆中阴影面积的常见计算方法是解题的关键．连接，，，设半圆的半径为r，先证明和是等边三角形．得出，可得，则， 则，即可求出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，，，设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆上的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴和是等边三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长度为， 故选：C． 50．(23-24九上·新疆乌鲁木齐新区新疆师范大学附属中学·期中)已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 51．已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式求出半径，扇形的面积公式． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 52．(22-23九上·浙江杭州滨江区·期末)已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．22 C．12 D．6 【答案】A 【分析】扇形面积公式为，直接代值计算即可． 【详解】，即，解得． 故选：A 【点睛】此题考查扇形的面积公式，，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解． 53．若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求扇形圆心角度数，设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆心角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：D． 54．(2024·四川省绵阳市·)将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 55．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟记定理并灵活运用是解题的关键． 连接，根据弧长公式和，可求得，，根据平角的定义求出，再利用圆周角定理求出即可． 【详解】解：连接，如图：    设，则， 则的长为，的长为， ∵， 即， 整理得：， 解得：， 即，， ∵， ∴． 故选：D． 题型十、扇形、弓形面积的有关计算 56．如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，利用等边三角形和圆的性质判定出与为等边三角形，从而判定出为等边三角形，利用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再求出扇形的面积，即可求解． 【详解】如图，连接、，过点作交于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴与为等边三角形， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质，垂径定理，扇形的面积公式，勾股定理，合理做出辅助线是解题的关键． 57．(24-25九上·福建莆田哲理中学·)如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆与正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，灵活运用所学知识求解是解题的关键． 如图：连接，根据圆与正多边形的性质可知是等边三角形，则，，然后再运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意得圆的内接正六边形的半径为2， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 故选B． 58．(24-25九下·河南南阳新野县·期中)如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，求得半径，再由垂径定理，可得，可知与等底等高，进而把阴影部分面积转化为扇形的面积，即可得出答案． 【详解】解：和都对着，， ， ， ， ， ， 是的直径，弦于点， ，， 与等底等高，即，， ， ， 故选：D． 69．(24-25九上·河北秦皇岛·期中)如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质可得 ∴ ， 故选：C． 60．(23-24九上·福建福州仓山区·期中)在中，，，若将绕点O逆时针旋转，则线段AB扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，圆的面积，正确得出线段扫过的区域是解题的关键．由题意可知，线段扫过的面积为以线段为半径的圆面积以为半径的圆的面积． 【详解】解：如图，由题意可知，线段扫过的面积为以线段为半径的圆面积以为半径的圆的面积， ，， 线段扫过的面积， 故选：A． 61．如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出相等的角，证明，得出对应角相等，根据垂径定理得出直角，即可得出结论； （2）根据圆周角和圆心角的关系求出，利用锐角三角函数求出，利用三角形的面积和扇形的面积差即可求解． 【详解】（1）证明：连接，连接交于点M， ， ， ， ， ， ， ， 于点M， ， 于点C， 又∵点C在上， ∴直线CG是的切线； （2）解：， ， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等边对等角，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角和圆心角的关系，锐角三角函数，扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握以上性质． 62．(24-25九下·山东临沂蒙阴县·模拟)如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接，，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．如图，连接，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：是的直径，如图，连接，，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，扇形面积的计算，熟练掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 63．(24-25八下·广东佛山南海区南海实验中学·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，、均在格点上． (1)画出向左平移个单位后的图形； (2)画出绕顺时针旋转后的图形； (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了图形的平移和旋转，坐标与图形，勾股定理，扇形面积的计算，熟练掌握“旋转图形的方法是解题的关键． （1）分别确定的三个顶点、、向左平移5个单位后的对应点，，，再顺次连接，，即可； （2）分别确定，，绕顺时针旋转后的对应点，，，再顺次连接，，，即可； （3）线段扫过的面积是以为圆心，为半径的圆的面积的，计算可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：， 线段扫过的面积为：． 64．(24-25七下·浙江湖州长兴县·期中)如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将水平向右平移4个单位，得到． (1)请利用网格和直尺，在图中画出平移后的； (2)图中线段与的位置关系是___________，数量关系是___________； (3)平移过程中，线段扫过的面积是___________． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)28 【分析】本题考查了作图-平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质作出A，B，C的对应点即可； （2）根据平移变换的性质解决问题即可； （3）运用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：由平移的性质可得，，， 故答案为：，； （3）解：线段扫过的面积， 故答案为：28． 65．(24-25九上·湖北大冶·期末)如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 66．(24-25九下·广东中山德恒中学·期中)如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．    (1)若，求的度数； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接，根据切线，可知，然后求得，结合圆周角定理，求得； （2）设，在中，由勾股定理得：，求得半径，然后利用解直角三角形，求得，然后再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵是的切线，是⊙O的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 在中，由勾股定理得：，，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ， ， ， ， 阴影面积为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型十一、圆锥的有关计算 67．(24-25九下·江苏无锡锡山区·期中)已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积， 根据（r为圆锥底边圆的半径，l为母线）计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 68．(24-25九下·湖南长沙周南教育集团·期中)如果圆锥的母线长为，高为，那么这个圆锥的侧面积为（   ） A． B．10 C．20 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据题意求出底面半径进行计算即可． 【详解】解：， ， 故选D． 69．一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是， 则侧面积是：． 故选：B． 70．(24-25九上·江苏南通通州区·期中)某校九年级学生参加社团活动，学习编制圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为．底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．利用圆锥的侧面积圆锥母线圆锥底面圆的半径直接求出侧面积，然后求得底面积，二者的和即为全面积． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是， ∴底面圆的半径为， ∴圆锥的底面积为， 圆锥的侧面积， ∴圆锥的全面积为． 故选：B． 71．小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、圆锥的高等知识点，弄清圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满足勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为：， 圆锥的母线为4， 则高为， 故选：D． 72．(24-25上·云南保山龙陵县龙陵中学·期中)如图，等腰三角形的底边为 6，顶角，以顶点 A 为圆心，底边 上的中线为半径画弧，与腰，分别交于点E，F，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形及圆锥的计算，先根据等腰三角形的性质和正切的定义得到长，然后根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长解题即可． 【详解】解：∵顶角， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径是， 则， 解得， 故选：C． 73．(23-24九·期中质量评价·期中)点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，剪下扇形围成一个圆锥（和重合）．若，，则这个圆锥底面圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是能够了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长． 连接，根据，，可得，，再由，可得，然后设圆锥的底面半，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ， ， ， ， 设圆锥的底面半径为， ， 解得：， 即这个圆锥底面圆的半径是； 故选：B． 74．如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用扇形的弧长公式求得圆锥的底面周长，求得底面半径的长，然后利用勾股定理求得圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面周长是l，则l=m， 则圆锥的底面半径是：m， 则圆锥的高是：m． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 75．把一个弧长为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA＝13 cm，则圆锥的高h为(     )       A．12 cm B．10 cm C．6 cm D．5 cm 【答案】A 【分析】利用弧长求出底面圆的半径，然后运用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】设底面圆的半径为r，则：2πr＝10π，得：r＝5． 圆锥的高为：cm． 故选A． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，先根据弧长可以求出底面圆的半径，再用勾股定理求出圆锥的高． 76．(24-25八上·广西柳州柳城县东泉中学，太平中学，文昌中学等·期中)如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可．本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是， 根据题意得， 解得， 即圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是． 故选：D． 77．(24-25九上·四川广安友谊中学·期中)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键要抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键． 根据圆锥的侧面积是底面积的3倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥母线长为，弧长为，扇形面积为，底面积为，圆心角度数为， ， ， ， ，即， 又， ， 故选：B． 78．(23-24九下·湖北鄂州部分学校·月考)如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 79．(24-25九上·江苏徐州铜山区·期中)如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 80．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 81．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断； 【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴   AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 1．(2025·福建省龙岩市·)如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，固定纸片，再将纸片沿着方向向上适当平移，得到纸片和菱形，最后剪出菱形的内切圆纸片．设与、、、分别于点G、H、M、N，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何综合，涉及矩形、菱形、圆、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识点，解题关键是构造合适的辅助线． 解法一：连结，它们与交点，则，；延长交于点，设，则；在中，，可求出，进而可求出． 解法二：连结交点，连结，由菱形可得，由菱形的内切圆可得，由原矩形可得，则，，设，则，，解得． 【详解】解法一：连结，它们与交点，则，． 延长交于点， 设， ，， ． 矩形纸片， ． 在中，， ， 解得． ， ． ， 解得． 解法二：连结交点，连结， 四边形是菱形， 于点． 是菱形的内切圆， 于点． 原四边形是矩形， 于点． ，， ． ， ． 矩形纸片， ． 设，则． ，解得． ． 故选：B． 2．(24-25九下·四川成都高新区元音中学·)在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【详解】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 3．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，圆内接四边形，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．先求出正五边形的内角度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：正五边形内接于， ， 点是弧上的动点， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 4．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确正六边形的特点． 连接，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：连接，，如图所示： 六边形是正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：2． 5．(24-25九下·北京三帆中学·)如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了四边形的内切圆的性质、比例的应用等知识点，掌握圆的外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 利用圆的外切四边形的性质得到，设、、，则，即，接着利用四边形的周长为32列方程求解即可． 【详解】解：如图， ∵的外切四边形， ∴， ∴， ∵， ∴设、、，则，即， ∵四边形的周长为32， ∴，解得：， ∴． 故答案为：8． 6．(2025·山东省泰安市·模拟)如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 7．如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查平移作图，旋转作图，弧长公式，找出平移、旋转后对应点的位置是解题的关键． （1）将，，分别向右移2个单位，再上移2个单位，再顺次连接即可； （2）将，，分别绕O点顺时针旋转，再顺次连接即可； （3）利用弧长公式求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， 点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长： 8．如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．    (1)若，求的度数； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接，根据切线，可知，然后求得，结合圆周角定理，求得； （2）设，在中，由勾股定理得：，求得半径，然后利用解直角三角形，求得，然后再求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵是的切线，是⊙O的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 在中，由勾股定理得：，，， 即， 解得：， ∴，， ∴， ， ， ， ， 阴影面积为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，三角形内角和，圆周角定理，扇形的面积，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．(24-25九上·湖北十堰郧西县马安镇初级中学·模拟)如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、． (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，圆周角定理，得到, ,结合，证明即可； （2）根据已知，证明即可得证； （3）利用菱形的判定，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，结合解得即可． 本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线为的切线，为的半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵是的直径， ∴， ∴, ∵， ∴． （2）证明∵为的中点，延长交于点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线为的切线，为的半径， ∴， ∴． （3）解：根据（2）证明，得，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵为的中点，连接，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 内切圆、正多边形、弧长常考十一大题型归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、直角三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 1 题型二、一般三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 2 题型三、三角形内心的有关应用 3 题型四、圆外切四边形 5 题型五、三角形内切圆与外接圆的综合 6 题型六、求正多边形的中心角 9 题型七、已知中心角求边数 10 题型八、正多边形与圆的综合 11 题型九、弧长、半径和圆心角的有关计算 14 题型十、扇形、弓形面积的有关计算 15 题型十一、圆锥的有关计算 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、直角三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 1．如图，已知是的内切圆，，与的切点分别为 D，E，F，若，，则的半径为（   ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)如图，已知是的内切圆，，与，，的切点分别为，，，若，，则的半径为（） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．(24-25九上·江苏南通崇川区·期中)如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是（    ） A．24 B．28 C．32 D．36 题型二、一般三角形的周长、面积与内切圆的半径关系 4．如图为的内切圆，点D，E分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（　　） A．15 B．9 C．7.5 D．7 5．(24-25九上·广东肇庆肇庆中学·期中)如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（） A． B．3 C．1 D．2 6．(22-23九上·广西南宁西乡塘区相思湖学校·期中)如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 7．如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 8．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则的长为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．9cm 题型三、三角形内心的有关应用 9．如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25九下·河北邢台内丘县·期中)如图，等边中，，分别是的角平分线，与交于点G，连接，作，分别交于点R，T，则下列说法：①点G是的内心；②；③；④．其中，正确说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．(24-25下·广东广州第二中学·期中)如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25九上·辽宁盘锦双台子区·期中)如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 13．(22-23九上·陕西渭南大荔县·期末)如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数为（    ） A．42° B．66° C．76° D．82° 14．如图，点和分别是的内心和外心，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型四、圆外切四边形 15．(22-23九上·河北邯郸邯山区扬帆初中学校·期中)如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 16．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 17．如图，内切于正方形，边、分别与切于点、，点、分别在线段 、上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 题型五、三角形内切圆与外接圆的综合 18．(24-25九上·山东聊城高唐县·期中)如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 19．(24-25九上·江苏无锡锡东片·期中)如图，在中，，，的内心、外心分别为点、点，且有，则的长度为（    ） A．8 B．6 C． D． 20．(23-24九上·浙江台州温岭第四中学·期中)如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 21．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．(23-24九上·河北邢台南宫多校联考·期中)已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 23．(24-25九上·江苏常州天宁区正衡中学·期中)如图，是的内切圆，若，则的度数为 ．    24．如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为 ． 25．(22-23九上·江苏盐城建湖县·期中)如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 26．如图，在等边中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，，BE与AF交于点P，连接 （1）设，直接写出等边外接圆的半径长为______，内切圆的半径长为______． （2）求的度数． （3）若，在点E，F的运动过程中，CP是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，请说明理由． 题型六、求正多边形的中心角 27．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（    ） A． B． C． D． 28．(2025·四川省南充市·)如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 29．(24-25九上·山东济宁邹城第四中学·期中)如图所示的图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角至少为（     ） A． B． C． D． 30．(24-25九上·河南漯河第二实验中学·期中)已知：如图，四边形是的内接正方形，点P是上不同于点B、C的任意一点，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D． 31．(23-24九上·江苏盐城东台实验中学·期中)如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 32．(24-25九上·河北秦皇岛·期中)如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则 ． 33．(2024·广东省东莞市·三模)如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 34．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 题型七、已知中心角求边数 35．(2023·广东省阳江市阳春市·二模)正多边形的中心角为，则正多边形的边数是（    ） A．4 B．6 C．8 D． 36．(24-25九上·浙江绍兴柯桥区·期中)如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 37．(22-23九上·江苏泰州姜堰区·期中)如图，正n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 38．如图，P，Q分别是的内接正五边形的边，上的点，，则（    ） A． B． C． D． 题型八、正多边形与圆的综合 39．)如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．(23-24九上·天津南开区·期末)如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 41．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 42．如图，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，点、分别在轴、轴的正半轴上，则它的外接圆的圆心的坐标是 ． 43．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ． 44．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 45．(24-25九上·江苏无锡新吴区·期中)【给出问题】如图1，正方形内接于，是的中点，连接，．求证：； 【深入思考】如图2，正方形内接于，点为上任意一点，连接、、，请探究、、三者之间有何数量关系，并给予证明． 【拓展应用】如图3，若四边形是矩形，点为边上一点，，，，试求矩形的面积． 题型九、弧长、半径和圆心角的有关计算 46．如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 47．(24-25九上·吉林桦甸第七中学·期中)如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（    ） A． B． C． D．2 48．(24-25九上·浙江衢州江山·期末)如图，将以点为中心顺时针旋转得到，若点的对应点恰为边的中点，，则的长为（    ） A． B． C． D． 49．如图所示，是以为直径的半圆的三等分点，若阴影部分的面积为，则图中的长度为（　　） A． B． C． D． 50．(23-24九上·新疆乌鲁木齐新区新疆师范大学附属中学·期中)已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 51．已知一个扇形的面积是，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 52．(22-23九上·浙江杭州滨江区·期末)已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（    ） A．24 B．22 C．12 D．6 53．若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 54．(2024·四川省绵阳市·)将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 55．如图，是的直径，，则（    ） A． B． C． D． 题型十、扇形、弓形面积的有关计算 56．如图，等边三角形的边长为8，以边为直径作半圆，分别与，相交于点，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 57．(24-25九上·福建莆田哲理中学·)如图，已知圆的内接正六边形的半径为2，则扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 58．(24-25九下·河南南阳新野县·期中)如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 69．(24-25九上·河北秦皇岛·期中)如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 60．(23-24九上·福建福州仓山区·期中)在中，，，若将绕点O逆时针旋转，则线段AB扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 61．如图，已知的直径，内接于，且，延长至点G，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积． 62．(24-25九下·山东临沂蒙阴县·模拟)如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 63．(24-25八下·广东佛山南海区南海实验中学·期中)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点，、均在格点上． (1)画出向左平移个单位后的图形； (2)画出绕顺时针旋转后的图形； (3)在（2）的条件下，求线段扫过的面积． 64．(24-25七下·浙江湖州长兴县·期中)如图，在正方形的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．的三个顶点都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将水平向右平移4个单位，得到． (1)请利用网格和直尺，在图中画出平移后的； (2)图中线段与的位置关系是___________，数量关系是___________； (3)平移过程中，线段扫过的面积是___________． 65．(24-25九上·湖北大冶·期末)如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 66．(24-25九下·广东中山德恒中学·期中)如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．    (1)若，求的度数； (2)若，，求阴影部分的面积． 题型十一、圆锥的有关计算 67．(24-25九下·江苏无锡锡山区·期中)已知圆锥的底面圆半径为2，母线长为3，则圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 68．(24-25九下·湖南长沙周南教育集团·期中)如果圆锥的母线长为，高为，那么这个圆锥的侧面积为（   ） A． B．10 C．20 D． 69．一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 70．(24-25九上·江苏南通通州区·期中)某校九年级学生参加社团活动，学习编制圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为．底面圆的直径为，则该圆锥的全面积为（   ） A． B． C． D． 71．小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 72．(24-25上·云南保山龙陵县龙陵中学·期中)如图，等腰三角形的底边为 6，顶角，以顶点 A 为圆心，底边 上的中线为半径画弧，与腰，分别交于点E，F，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（    ） A． B． C． D．1 73．(23-24九·期中质量评价·期中)点在以为直径的内，且，以点为圆心，长为半径作弧，得到扇形，剪下扇形围成一个圆锥（和重合）．若，，则这个圆锥底面圆的半径是（    ） A． B． C． D． 74．如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ）． A． B． C． D． 75．把一个弧长为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA＝13 cm，则圆锥的高h为(     )       A．12 cm B．10 cm C．6 cm D．5 cm 76．(24-25八上·广西柳州柳城县东泉中学，太平中学，文昌中学等·期中)如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 77．(24-25九上·四川广安友谊中学·期中)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（） A． B． C． D． 78．(23-24九下·湖北鄂州部分学校·月考)如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 79．(24-25九上·江苏徐州铜山区·期中)如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 80．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 81．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 1．(2025·福建省龙岩市·)如图，矩形纸片，，，先沿对角线将矩形纸片剪开，固定纸片，再将纸片沿着方向向上适当平移，得到纸片和菱形，最后剪出菱形的内切圆纸片．设与、、、分别于点G、H、M、N，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九下·四川成都高新区元音中学·)在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 3．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 4．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若边心距 则这个正六边形的边长是 ． 5．(24-25九下·北京三帆中学·)如图，的外切四边形中相邻的三条边，周长为32，则 ． 6．(2025·山东省泰安市·模拟)如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 7．如图，，， (1)画出右移2个单位，再上移2个单位后得到的； (2)画出绕O点顺时针旋转后得到的； (3)求出点A绕O点顺时针旋转后到所经过的路径长． 8．如图，是的直径，点和点是上的两点，过点作的切线交延长线于点．    (1)若，求的度数； (2)若，，求阴影部分的面积． 9．(24-25九上·湖北十堰郧西县马安镇初级中学·模拟)如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、． (1)求证：； (2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：； (3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $