专题01 旋转常考的九大题型总结（专项训练）数学沪科版九年级下册

专题01 旋转常考的九大题型总结 目录 A题型建模・专项突破 题型一、找旋转中心、旋转角 1 题型二、利用旋转性质求解 6 题型三、画旋转图形 16 题型四、求旋转角度 22 题型五、旋转规律问题 28 题型六、点的中心对称的特征 37 题型七、关于原点对称求参数 45 题型八、旋转综合问题 49 题型九、最小值问题 55 B综合攻坚・能力跃升 题型一、找旋转中心、旋转角 1．如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 2．(23-24九上·北京朝阳区·期末)在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 3．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．由旋转的性质和直角三角形的性质可证是等边三角形，可得，从而得出旋转的度数． 【详解】解：三角板是两块大小且含有的角， ， 将绕点C按逆时针方向旋转，当点E的对应点恰好落在上， ， 是等边三角形， ， ； 故选：A． 4．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，找到旋转中心、旋转角和旋转方向是解题的关键．观察图形，找到旋转中心、旋转角和旋转方向即可解题． 【详解】解：观察图形可知，旋转角为， ∴将绕点逆时针旋转后得到， 故选：D． 5．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 6．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点 恰好落在上， 且的度数为， 则 的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可进行求解． 【详解】解：由是由绕点O顺时针旋转后得到的图形可知：， ∵， ∴； 故答案为． 7．如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，先根据旋转的性质得到点A的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了找旋转中心，坐标与图形；设旋转中心为点．根据旋转中心必然在一组对应点的中垂线上，根据网格找到的垂直平分线的交点，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：如图，旋转中心为点，． 故答案为：． 题型二、利用旋转性质求解 9．如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 10．如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（  ） A．60 B．90 C．100 D．120 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，设，由旋转的性质可知，，，，由与互补可得，从而查得结论． 【详解】解：设， 由旋转的性质可知，， ∴，． ∵与互补， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 11．(25-26九·阶段性检测期中模拟试卷·期中)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A． B． C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴是等边三角形，， ∴，A，C，E三点共线，故C、D选项正确，不符合题意； 根据题意，无法得到的度数，则无法得到与的位置关系，故B选项错误，符合题意． 故选：B 12．如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟记性质并求出的度数是解题的关键，根据旋转的性质可得,然后利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得,然后分点在的下方和点在的上方，两种情况讨论即可得解． 【详解】解：如图， 线段绕点逆时针旋转得到线段, , 四边形是正方形， , , , 在和中， , , , 为正方形的对角线， , 当点在的下方时，, 当点在的上方时，, 综上所述，的度数为或， 故选：C. 13．如图，的顶点的坐标为，点的坐标为，，将沿方向平移，使点与点重合，再将所得三角形绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求变换后点的坐标，涉及平移性质、旋转性质等知识，根据题意，准确作出平移变换与旋转变换后的图形，数形结合求出相关线段长度是解决问题的关键． 由题意作出图形，如图所示，结合平移性质与旋转性质得到，，则是等腰直角三角形，运用数形结合思想，即可确定点的坐标． 【详解】解：依题意，平移和旋转所得图形如图所示，连接交x轴于点M， 的顶点的坐标为，点的坐标为， ， 将沿方向平移，使点与点重合，则，， ，， 即的坐标为， 即， ∴， ∵将所得三角形绕点逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 观察图形，得出点在第三象限，即点的坐标是， 故选：C． 14．如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转可知旋转角为和，再根据角度之间的关系进行计算即可． 【详解】解：绕着点顺时针旋转，得到， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，先求出，再由旋转的性质证明，得到，然后由等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 矩形的边长，， ，， ， ， ， 在中，， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键． 16．(25-26九上·江苏连云港海州区·期中)如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，把绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．先根据坐标轴上点的坐标特征求出B点坐标为，A点坐标为，则，，再根据旋转的性质得，，，，然后根据点的坐标的确定方法即可得到点坐标． 【详解】解：当时，，则B点坐标为； 当时，，解得，则A点坐标为， 则， ∵绕点A顺时针旋转后得到， ∴， 即轴，轴， ∴点坐标为,即． 故答案为：． 17．如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，， 绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， 点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 18．如图，将等边绕点C顺时针旋转得到，的平分线交于点D，连接、． (1)求度数； (2)求证：； (3)和有什么位置关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解； （2）利用全等三角形判定即可证明； （3）由全等三角形的性质可得，再利用平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵等边绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵等边绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：，理由如下： ∵等边绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，，则有，然后问题可求证； （2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵由旋转得，，而， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）， ∴， ∴． 题型三、画旋转图形 20．如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了旋转的作图、坐标系中的图形的变换，正确作图是关键． （1）找到绕点逆时针旋转的对应点，画出旋转后的图形即可； （2）根据（1）中的图形写出答案即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由图可知，点、的坐标分别为． 21．在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； (2)把向上平移个单位长度得到，画出； (3)将以为旋转中心，逆时针旋转得到，画出； (4)已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析，，； (2)见解析； (3)见解析； (4)． 【分析】此题考查了中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （）根据中心对称的性质作出点的对应点，然后顺次连接即可； （）根据平移特点先作出点，平移后的对应点，然后顺次连接即可； （）根据旋转特点先作出点，旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ∴，， 故答案为：，； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：如图， ∵，， ∴对称中心的坐标为，即对称中心的坐标为， 故答案为：． 22．(25-26九上·云南昆明官渡区云大附中星耀学校·期中)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，A点坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)将向下平移4个单位，画出平移后的，并写出的坐标； (2)将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出点坐标． 【答案】(1)画图见解析， (2)画图见解析， 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）根据平移的性质确定A、B、C的对称点、、的位置，然后连线，再根据的位置可得坐标． （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、C的对应点、即可得到，再根据的位置可得坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ∴． （2）解：如图，即为所求． ∴． 23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 【答案】(1)图见解析，的坐标为 (2)图见解析，的坐标为 (3) 【分析】本题考查了中心对称、旋转作图、三角形的三边关系、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中心对称的定义作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）先根据三角形的三边关系推出当、、三点共线时，有最大值，然后利用一次函数的解析式求解即可． 【详解】（1）解：如图：的坐标为； （2）如图：的坐标为； （3）如图： 点为轴上一点，由三角形的三边关系可知， 当、、三点共线时，有， 即，当且仅当、、三点共线时，有最大值； 延长交轴于，此时即为所求； 设， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当最大时，点的坐标为． 题型四、求旋转角度 24．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转对称图形的定义，根据旋转对称图形的定义进行判断即可，熟练掌握“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角”是解题的关键． 【详解】解：由图可得，该图形被平分三部分， ∴每部分的度数为， ∴旋转角至少为，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合， 故选：． 25．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转对称图形的性质，等边三角形的性质等知识，连接，根据是等边三角形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：是等边三角形， ∴， ∵它们都是旋转角，而它们的和为， ∴图案绕其中心旋转后能与自身重合， 故选：D． 26．(23-24九上·北京海淀区·期中)陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转可以与自身重合，则x的值可以是（    ）    A．30 B．45 C．60 D．105 【答案】B 【分析】根据旋转的定义找出旋转角即可求解． 【详解】解：如图，旋转中心外有8个5边形，则相当于把一个圆平均分成8分， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键． 27．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转若干次形成，则旋转角的值不可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转后的图形可知，旋转后的图形内部是一个正五边形，所以旋转角应为正五边形外角的正整数倍，然后判断选项即可． 【详解】解：由图可知旋转后的图形内部是正五边形， ∴（且为正整数）， 当时，， 当时，， 当时，， ∴不可能是， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了旋转和正多边形外角，结合正多边形的外角是求旋转角的关键． 28．(22-23九上·北京十一学校·期中)小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则可以为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意依据每次旋转相同角度，旋转了五次，且旋转了五次刚好旋转了一周为进行分析即可得出答案． 【详解】解：因为每次旋转相同角度，旋转了五次， 且旋转了五次刚好旋转了一周为， 所以每次旋转相同角度 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数． 29．如图，格点的三个顶点分别是，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)若将向左平移2个单位得到，则点的坐标为__________； (2)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为__________； (3)画出绕原点逆时针旋转后的对应图形，并写出点的坐标为__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要是考查了在平面直角坐标系中的平移和旋转，能够熟记各自的规律是解题的关键． （1）根据在平面直角坐标系中点左右平移时，左减右加的原则解答； （2）根据在平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标互为相反数解答； （3）先根据旋转作图，再由图形得出点的坐标． 【详解】（1）， 将向左平移2个单位得到，则点的横坐标为， 则， 故答案为：． （2），与关于原点成中心对称， ， 故答案为：． （3）如图，， 故答案为：． 30．已知的顶点均在网格点上，如图所示． (1)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出； (2)作出关于原点O中心对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式找到的位置，描出并顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，． 31．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，若把向右平移5个单位长度得，与关于原点成中心对称． (1)写出的坐标（______，______），（______，______）； (2)画出； (3)求的面积． 【答案】(1)1，3；， (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移求出坐标，根据点关于原点中心对称的性质求的坐标； （2）根据平移求出的坐标，根据中心对称即可求出的坐标，连接这三个点即可得到； （3）的面积为边长是3的正方形的面积减去周围3个直角三角形的面积，据此即可列式求解． 本题考查了平移和关于原点中心对称，掌握平移和中心对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：向右平移5个单位得到，关于原点中心对称的点为， 故答案为：1，3；，； （2）解：向右平移5个单位得到， 三点关于原点中心对称的点为， 连接三点，即可得到： （3）解：的面积为边长是3的正方形的面积减去周围3个直角三角形的面积， ． 题型五、旋转规律问题 32．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第2023次旋转结束时，点C在第三象限，过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得点的坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵， ∴第2023次旋转结束时，点C在第三象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故第2023次旋转结束时，点C的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，找出旋转规律是解题关键． 33．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，得出规律是解此题的关键．首先确定点的坐标，得出每4次一个循环，计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：正六边形的边长为2，中心与原点重合，轴，交轴于点， ，，， ， 点的坐标为， 第1次旋转结束时，点旋转到第四象限，坐标为， 第2次旋转结束时，点旋转到第三象限，坐标为， 第3次旋转结束时，点旋转到第二象限，坐标为， 第4次旋转结束时，点的坐标为， 每4次一个循环， ， 第2023次旋转结束时，点的坐标为， 故选：C． 34．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中三角形旋转的规律问题，根据旋转的概率，即可得出每旋转次一个循环，进而得到第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，掌握旋转的规律是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时，点的坐标为； 将绕点顺时针旋转得，此时点的坐标为； ； ∴每旋转次一个循环， ∴第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标与点的坐标相同，为； 故选：． 35．如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作轴于点D，结合，，得到，，，确定，根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为，确定循环节为6，再由即可得到答案． 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转意义，得到第一秒后的位置为，第二秒后的位置为，第三秒后的位置为，第四秒后的位置为，第五秒后的位置为，第六秒后的位置为， ∵每旋转6次为一个循环 ∵， ∴第2025秒时，点的对应点的坐标为， 故选C． 36．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2025次属于循环中的第3次，最后即可得出答案． 【详解】解：第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示： 由的坐标为可知：，， 在中，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如下图所示： 此时点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点对应点与点成中心对称，故坐标为． 当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点成中心对称，故坐标为． 当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的点成中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与A点重合． 故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于，故第2025次旋转时，A点的对应点为． 故选：A． 37．(25-26九上·浙江金华金东区·期中)如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 先求出坐标，然后利用旋转的性质得出，的坐标，依此规律得到，的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此抛物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得，， ∴ ∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，…， ∴，， … ∴，， 即，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为： 38．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及坐标与图形的变化规律，根据题意得出、、…的横坐标，得出规律是解本题的关键． 根据图形的翻转，分别得出、、…的横坐标，再根据规律即可得出各个点的横坐标即可． 【详解】解：观察图形结合翻转的方法可以得出、的横坐标是，的横坐标是， 、的横坐标是，的横坐标是… ∴可以看作3个点一组循环，其中前两个点的横坐标相等，且等于每一组中第一个点下标，第三个点的横坐标为前两个点的横坐标加， ∵， ∴点，的横坐标为2011，， ∴点的横坐标为． 故答案为：． 39．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、，则的直角顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标变化规律，根据勾股定理列式求出的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用除以，则的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点，求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：， ∵， ∴的直角顶点是第个循环组的最后一个三角形的直角顶点， ∵， ∴的直角顶点的坐标为， 故答案为：． 40.如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为 ，第2025次旋转后钝角顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．过点B作轴于点T，于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得点B的坐标，再探究规律，利用规律求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点T，于点H． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意，，，，，，…， 发现每旋转3次循环，， ∴第2025次旋转后钝角顶点的横坐标为，纵坐标为0， ∴第2025次旋转后钝角顶点坐标为， 故答案为：，． 题型六、点的中心对称的特征 41．(25-26九上·西藏日喀则昂仁县·期中)已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点与关于原点对称，所以，． 则． 故选：C． 42．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故选B． 43．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数图象的交点，利用中心对称图形的性质即可解决． 【详解】解：∵直线与双曲线均是关于原点中心对称的图象， ∴它们的交点也关于原点对称， 由其中一个交点坐标是，可知另外一个交点为． 故选：C． 44．(24-25九上·贵州遵义第十二中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 45．点关于原点中心对称的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标特征，解题的关键是熟记“点关于原点中心对称的点的坐标为”这一规律． 先明确点关于原点中心对称的坐标变换规律：若点的坐标为，则其关于原点对称的点的坐标为；再将点的横、纵坐标分别取相反数，得到对称点的坐标，最后与选项对比确定答案． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，即．   故选：C． 46．(24-25九下·北京十一学校晋元学校·月考)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 47．(25-26九上·山东日照东港区新营中学·月考)已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 【详解】解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 48．(20-21九上·云南昭通巧家县·期中)点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 49．在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解． 【详解】解：点，关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为， 所以对称点是． 故答案为：． 50．已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，求关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据点A关于轴的对称点是B，求出，再根据点B关于原点的对称点是C，求得C点的坐标． 【详解】解：∵点，点A关于轴的对称点是B， ∴， ∵点B关于原点的对称点是C， ∴C点的坐标是， 故答案为：． 51．已知和中，，且．    (1)求证：； (2)如图1，当点C和点D在的同侧时，求的度数； (3)如图2，当点C和点D在的异侧时，绕点C顺时针旋转得，此时D、A、E三点共线．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）设与相交于点,，，又，利用余角的性质可得出结论． （2）在上截取，连接，根据三角形的内角和得到，根据全等三角形的性质得到，，由等腰直角三角形的性质即可求解． （3）由旋转的性质得 ，，则，，从而证明为等腰直角三角形，利用勾股定理求得，从而得出． 【详解】（1）证明：如图，    ∵， ∴， ∴， ， ． （2）解：如图1，在上截取，连接，    ，， ， ，     ， ，， ， 为等腰直角三角形  ，           ． （3）解：． 理由：如图2，∵由旋转的性质得 ，，    ，， 为等腰直角三角形， ∴ ， 即：， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，余角的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 52．问题提出：    (1)如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　． 问题探究： (2)如图2，在四边形中，，，．求的值； (3)如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）证明，得出，证明即可； （2）将绕点A逆时针旋转到，连接，证明，得出，，证明，得出在同一直线上，证明，求出即可得出答案； （3）在AB上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，说明最小时最小，根据垂线段最短，当点P与点E重合时，最小，即最小，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：； （2）将绕点A逆时针旋转到，连接，如图所示：   根据旋转可知，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）在上截取，连接，过点D作于点E，如图所示：    ∵，， ∴， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴最小时最小， ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最小， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为2． ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明三角形全等． 53．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边内部，有一点P，若，求证：． 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，___________． ， ___________，即．    （2）类比延伸：如图②在等腰中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可； （2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，论证，再根据勾股定理代换即可． 【详解】解：（1）证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，． ， ，即． （2）关系式为：；    证明如图②：将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则为等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查几何变换中的旋转变换，熟悉旋转变换的性质，并通过旋转构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 题型七、关于原点对称求参数 54．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与中心对称，根据点所在的象限求参数的范围，求不等式组的解集，根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，以及第二象限的点的符号特征，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为，且在第二象限， ∴，解得：； 故选B． 55．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标与轴对称，解一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标与轴对称变换规律是解题关键．先判断出点在第三象限，再根据第三象限的点的横坐标小于0、纵坐标小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点关于原点的对称点在第一象限， 点在第三象限， ， 解得：， 故选：C． 56．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 则的值为：． 故选：A． 57．(2024九·河南省郑州市·模拟)已知点与点关于原点对称，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称的点的性质； 根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， 故选：A． 58．已知点和关于原点对称，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了关于原点对称的点坐标的关系，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．根据这一条件就可以转化为方程问题解决，就可以得到关于，的方程，从而求得，的值． 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是”这一结论求得，的值，再进行计算． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，． 则． 故选：A． 59.如图，A点坐标(0，4)，B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（    ） A．4 B．4 C．2 D．2 【答案】C 【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据AAS证明△AOB≌△BDC，得出OB=CD，OA=BD=4，再根据勾股定理表示出OC求最值即可． 【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D ∴∠CDB=90° 又线段AB绕点B顺时针旋转90° ∴∠ABC=90°，AB=BC ∵∠ABO+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90° ∴∠ABO=∠BCD 由图可知，∠AOB=90° ∴∠AOB=∠CDB ∴△AOB≌△BDC（AAS） ∴OB=CD，OA=BD=4 令点B（x，0） ①当x>0时，如图1 在Rt△COD中 OC=== ∴当x=-2时，OC有最小值 又x>0 ∴x=-2不符合题意，舍去 ②当x<0时，如图2 在Rt△COD中 OC=== ∴当x=-2时，OC有最小值，且最小值为2 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角的判定和性质，旋转的性质，勾股定理以及二次函数的最值，构建全等三角形利用勾股定理求OC是解题的关键． 60．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM，若，，则线段PM的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接PC，先根据直角三角形的性质求出，再根据旋转的性质得出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得出，又根据线段中点的定义得出，最后根据三角形的三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接PC， 在中，，， ∴， ∵将绕顶点C逆时针旋转得到， ∴也是直角三角形，且， ∵P是的中点， ∴， ∵M是BC的中点， ∴， 则由三角形的三边关系定理得：， 即， 当点恰好在的延长线上时，， 当点恰好在的延长线上时，， 综上，， 则线段PM的最小值为1， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、三角形的三边关系定理等知识点，掌握旋转的性质是解题关键． 题型八、旋转综合问题 61．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 62．（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论； ②通过辅助线推出，然后根据证明结论； （2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解． 【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知： ， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 故答案为：；； ②如图，过点F作交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理①可证：（）， ∴， 故依然成立； （2）根据（1）可知，点P为中点， ， ∴、为的中位线， ， ∵， ∴四边形是边长为的菱形， 设四边形底边上的高为h． 由于，故当时，四边形面积取最大值， 此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图： ①当时，作，H为垂足， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ②当时，四边形为正方形，作，为垂足， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 故的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型九、最小值问题 63．(24-25九·广东广州中学·月考)如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在的上方作，且使，连接．设，则，根证明得出，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ， ， 设，则， ， ， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 64．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长过点C作于点G，先证明点A、C、E在同一直线上，根据，得出，根据垂线段最短，得出点F在点G处时，最小，根据直角三角形的性质求出结果即可． 【详解】解：延长过点C作于点G，如图所示： ∵，， ∴， 根据旋转可知：，，， ∴， ∴点A、C、E在同一直线上， ∵， ∴， ∴点F在直线上， ∵垂线段最短， ∴点F在点G处时，最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的性质和垂线段最短，旋转的性质，解题的关键是恰当作辅助线，确定点E的运动轨迹． 65．(24-25九上·浙江浣东教育共同体·期中)如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明当为中点，点在上运动，时，有最小值，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ 又∵，， ∴ ∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点， 根据旋转可得， ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴在线段上运动， ∴当时，最小， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键． 66．如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点， 和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， ． 故选：B 67．如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】过点作，根据正方形的性质，结合斜边上的中线，推出，进而推出，得到，得到为等腰直角三角形，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵正方形， ∴，，，， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴当，即点与点重合时，最小为1， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 68．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 69.如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识，由旋转的性质可得，由“”可证，可得，可得点E在过点C且垂直的直线上运动，则当时，的值最小，即的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， ∵将绕A点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E在过点C且垂直的直线上运动， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的值最小为， 故选：B． 70．如图，在中，，，点M是边上一动点，连接，将绕着点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，然后连接，则，即，然后根据垂线段最短可得当时，最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：在上截取，然后连接， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据垂线段最短可得当时，最小， 这时， 又∵， ∴， ∴，即， 故选C． 1．(25-26九上·广东中山·期中)已知在，，D、E是边上的点，将绕点A旋转，得到，连接． (1)如图1，当，，求证：； (2)如图2，，与有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由； (3)在（2）的结论下，当添加“，”条件时，判断形状，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)．理由见解析 (3)是等腰直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，然后求出，从而得到，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）根据旋转的性质可得，再利用“边边边”证明和全等，然后根据全等三角形对应角相等求出，然后求出，从而得解； （3）证明，然后根据，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵绕点A旋转得到， ∴，， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下， 在和中： ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下， 由旋转可得：，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了几何变换的综合题，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角函数的应用，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小找出三角形全等的条件是解题的关键． 2．(25-26九上·福建福福州仓山区云开学校·月考)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； (4)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查了作图-旋转变换，作图-平移变换，属于基础题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质． （1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； （2） 点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，根据平移的性质即可画出平移后对应的； （3）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的； （4）连接和，找出交点，根据旋转的性质即可得出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，根据旋转的性质画出的即为所求； （2）解：如图所示，根据平移的性质， 点A向左平移2个单位，向下平移4个单位得到点，画出即为所求作； （3）解：如图所示，即为所求作； （4）解：如图，连接和，交点为， ∴旋转中心为， 故答案为：． 3．如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出关于原点对称的，并写出点、、的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使得周长最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)作图见详解，，，的坐标分别为，， (2) 【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到关于原点O对称的图形，进而得出，，的坐标； （2）作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的最小值等于的长，利用待定系数法即可得的解析式，进而得出点P的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ，，的坐标分别为，，． （2）解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的最小值等于的长， 设的解析式为， 把和代入，可得，解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了利用中心对称变换作图以及一次函数的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 4旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1)3； (2) (3)见解析， (4) 【分析】本题考查了垂线段最短及其应用、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）由题意可得，，，根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，则，再根据角之间的关系即可求出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据含角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案； （3）将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得，再根据正方形面积即可求出答案； （4）将绕点A逆时针旋转得到，则，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，是等边三角形，则，作于点H交于点G，则，根据含角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为，则，即可求出答案； 【详解】（1）解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：3；； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，在中，由勾股定理可得， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即，解得：， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （4）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图： ∴，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， 作于点H交于点G， ∴， ∴，， ∵， ∴当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 5．(24-25九·吉林白城·模拟)一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，； (3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）由可得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）证明，即可得解． 【详解】（1）解：能得到． 证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当时，． 理由：∵， ∴， ∴， 又∵四边形和四边形均为菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6．(24-25九上·广西钦州浦北县·期末)综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 7．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 【答案】(1)8； (2)结论成立，理由见解析； (3)①作图见解析；②（）中的结论不成立，． 【分析】（1）先利用角平分线定理得出，再利用勾股定理求出，即可得出结论； （2）先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论； （3）①依题意即可补全图形； ②先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是的平分线上的点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 同理，， ∴， 故答案为； （2）解：上述结论成立．理由：如图，    过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①补全图形如图．    ②上述结论不成立，．理由： 过点作于，于， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 8．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 【答案】(1) (2)当在外部时，，当在内部时，，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）先根据平分得到，即可求出； （2）根据题意可得，作差即可求解； （3）先求出旋转前的夹角，然后再求出第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， 三角板旋转的角∶ ， 故答案为：． （2）当在外部时，，理由如下∶ ， ，， 当在内部时，，理由如下∶ ， ； （3）射线平分，射线平分， ， 旋转前， 旋转前与的夹角为：， 与第一次相遇的时间为：秒， 此时旋转的角度为： 此时OC与的夹角为： 与OD第二次相遇的时间为：(秒)， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为， ①， 解得∶， ②， 解得∶， ③， 解得∶， ， ④， 解得∶， ． 在OC与OD第二次相遇前，当时，旋转时间为或或或． 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念才能在求解角度时需要合理运用“等量代换”；求解角的旋转时会出现多种情况运用“分类讨论思想”．本题难点在于旋转后的多种情况的分析，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 旋转常考的九大题型总结 目录 A题型建模・专项突破 题型一、找旋转中心、旋转角 1 题型二、利用旋转性质求解 3 题型三、画旋转图形 6 题型四、求旋转角度 8 题型五、旋转规律问题 10 题型六、点的中心对称的特征 13 题型七、关于原点对称求参数 15 题型八、旋转综合问题 16 题型九、最小值问题 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、找旋转中心、旋转角 1．如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·北京朝阳区·期末)在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．两块大小相同，含有角的直角三角板如图水平放置，将绕点C按逆时针方向旋转，旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)如图，将绕点旋转后得到，则旋转方式是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 5．如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 6．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点 恰好落在上， 且的度数为， 则 的度数是 ． 7．如图，将绕点旋转得到，则点的坐标是 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，每个小方格都是边长为1的正方形．是由旋转得到的，则旋转中心的坐标为 ． 题型二、利用旋转性质求解 9．如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，绕点C逆时针旋转得到，若与互补，则n的值为（  ） A．60 B．90 C．100 D．120 11．(25-26九·阶段性检测期中模拟试卷·期中)如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．下列结论错误的是（　　） A． B． C．B，E两点之间的距离为8 D．A，C，E三点共线 12．如图，正方形中，点为对角线上一点，．且，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，使，则的度数为（） A． B． C．或 D．或 13．如图，的顶点的坐标为，点的坐标为，，将沿方向平移，使点与点重合，再将所得三角形绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 14．如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则 ． 15．如图，已知矩形的边长，，若将矩形绕点C旋转，使点B的对应点恰好落在上，连接，则的长为 ． 16．(25-26九上·江苏连云港海州区·期中)如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，把绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 17．如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值是 ． 18．如图，将等边绕点C顺时针旋转得到，的平分线交于点D，连接、． (1)求度数； (2)求证：； (3)和有什么位置关系？请说明理由． 19．如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，． (1)求证：； (2)求的度数． 题型三、画旋转图形 20．如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． (2)写出点、的坐标． 21．在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； (2)把向上平移个单位长度得到，画出； (3)将以为旋转中心，逆时针旋转得到，画出； (4)已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标 ． 22．(25-26九上·云南昆明官渡区云大附中星耀学校·期中)在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，A点坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)将向下平移4个单位，画出平移后的，并写出的坐标； (2)将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形，并写出点坐标． 23．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． (3)点P为x轴上一点，直接写出当最大时，点P的坐标． 题型四、求旋转角度 24．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，要使转子叶片图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，则至少要旋转（    ）    A． B． C． D． 25．(24-25九上·北京海淀区中国人民大学附属中学分校·期中)下图的图案绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，则该角度可以为（    ） A． B． C． D． 26．(23-24九上·北京海淀区·期中)陀螺是一款常见的玩具．图1为通过折纸制作的一种陀螺，图2为这种陀螺的示意图．若将图2中的图案绕点O旋转可以与自身重合，则x的值可以是（    ）    A．30 B．45 C．60 D．105 27．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图2中的图案可以由图1中的基本图案以点为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角，依次旋转若干次形成，则旋转角的值不可能是（    ）    A． B． C． D． 28．(22-23九上·北京十一学校·期中)小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正五边形的图案（如图），则可以为（    ）    A． B． C． D． 29．如图，格点的三个顶点分别是，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题： (1)若将向左平移2个单位得到，则点的坐标为__________； (2)若与关于原点成中心对称，则点的坐标为__________； (3)画出绕原点逆时针旋转后的对应图形，并写出点的坐标为__________． 30．已知的顶点均在网格点上，如图所示． (1)将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出； (2)作出关于原点O中心对称的图形，并写出点的坐标． 31．在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，若把向右平移5个单位长度得，与关于原点成中心对称． (1)写出的坐标（______，______），（______，______）； (2)画出； (3)求的面积． 题型五、旋转规律问题 32．如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 33．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 34．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得；再将绕点顺时针旋转得，，依此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 35．如图，将含有角的直角三角板按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，每秒旋转，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 36．将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 37．(25-26九上·浙江金华金东区·期中)如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是 38．如图，将边长为1的正三角形沿轴正方向连续翻转2013次，点依次落在点，，，，的位置，则点的横坐标为 ． 39．如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到、、、，则的直角顶点的坐标为 ． 40.如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点与坐标原点重合，点在轴正半轴上．将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，记为第一次旋转．再将绕点顺时针旋转一定的角度后得到，使得点对应点在轴上，以此规律旋转．则点的坐标为 ，第2025次旋转后钝角顶点坐标为 ． 题型六、点的中心对称的特征 41．(25-26九上·西藏日喀则昂仁县·期中)已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 42．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 43．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 44．(24-25九上·贵州遵义第十二中学·期中)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 45．点关于原点中心对称的点的坐标为(   ) A． B． C． D． 46．(24-25九下·北京十一学校晋元学校·月考)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 47．(25-26九上·山东日照东港区新营中学·月考)已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 48．(20-21九上·云南昭通巧家县·期中)点A的坐标是，则点A关于原点对称的点的坐标是 ． 49．在平面直角坐标系中，点 关于原点的对称点是 50．已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是 ． 51．已知和中，，且．    (1)求证：； (2)如图1，当点C和点D在的同侧时，求的度数； (3)如图2，当点C和点D在的异侧时，绕点C顺时针旋转得，此时D、A、E三点共线．请判断、与三条线段的数量关系，并说明理由． 52．问题提出：    (1)如图1，在中，点P是边上任意一点，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接．则线段、、三者之间的数量关系是　　． 问题探究： (2)如图2，在四边形中，，，．求的值； (3)如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点，连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段．连接，线段是否存在最小值？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．   根据旋转可知，，， 53．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边内部，有一点P，若，求证：． 证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形， ，，___________． ， ___________，即．    （2）类比延伸：如图②在等腰中，，内部有一点P，若，试判断线段、、之间的数量关系，并证明．    题型七、关于原点对称求参数 54．已知点关于原点的对称点在第二象限，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 55．已知关于原点的对称点在第一象限内，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D．不存在 56．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则的值为（　　） A． B． C．1 D．3 57．(2024九·河南省郑州市·模拟)已知点与点关于原点对称，则（　　） A．， B．， C．， D．， 58．已知点和关于原点对称，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 59.如图，A点坐标(0，4)，B为x轴上一动点，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到BC，连接OC，则B在运动过程中，线段OC的最小值是（    ） A．4 B．4 C．2 D．2 60．如图，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是的中点，连接PM，若，，则线段PM的最小值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型八、旋转综合问题 61．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 62．（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 题型九、最小值问题 63．(24-25九·广东广州中学·月考)如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A． B． C． D． 64．(24-25九上·江西南昌南昌县·期中)如图，在中，，，点D是边上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到，连接，若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 65．(24-25九上·浙江浣东教育共同体·期中)如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 66．如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 67．如图，边长为2的正方形的对角线交于点，，绕点旋转分别交边，于点，，则线段的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 68．如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 69.如图，中，，，点D为边上的动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 70．如图，在中，，，点M是边上一动点，连接，将绕着点C逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．(25-26九上·广东中山·期中)已知在，，D、E是边上的点，将绕点A旋转，得到，连接． (1)如图1，当，，求证：； (2)如图2，，与有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由； (3)在（2）的结论下，当添加“，”条件时，判断形状，并加以证明． 2．(25-26九上·福建福福州仓山区云开学校·月考)如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)将以点O为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的； (4)若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标为______． 3．如图，三个顶点的坐标分别是，，． (1)请画出关于原点对称的，并写出点、、的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使得周长最小，请直接写出点P的坐标． 4旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 5．(24-25九·吉林白城·模拟)一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，； (3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 6．(24-25九上·广西钦州浦北县·期末)综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 7．已知：如图，是的平分线，点在上，，且点到的距离为，过点作，，垂足分别为点和点． (1)_________； (2)把图中的绕点旋转，当与不垂直时（如图），（）中的结论是否成立？并说明理由； (3)把图中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时． ①请在图中画出旋转后的角（无需尺规作图）； ②（）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段，之间的数量关系． 8．如图1，点O为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，此时三角板旋转的角度为 度； (2)三角板在绕点O按逆时针方向旋转时，若在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线重合时，射线改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在第二次相遇前，当时，直接写出旋转时间t的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $