专题1.1旋转（高效培优讲义，7知识&8题型精讲+强化训练）数学沪科版九年级下册

本讲义聚焦“旋转”核心知识点，系统梳理旋转的概念（三要素、对应元素）、性质，旋转对称图形与中心对称（定义、性质、作图），以及中心对称图形的辨析和坐标变换规律，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料特色在于“即学即练”融入钟表、俄罗斯方块等生活实例培养数学眼光，通过对比表格和综合题型（如旋转性质证明、面积计算）发展空间观念与推理能力，中考真题链接助力数学语言表达。课中辅助分层教学，课后练习题覆盖基础到综合，帮助学生查漏补缺。

专题1.1旋转 教学目标 1.理解旋转及旋转对称图形的概念，会判断一个图形是否为旋转对称图形. 2.理解中心对称和中心对称图形的概念，会判断一个图形是否为中心对称图形. 3.探索并理解旋转的基本性质，能够运用这些基本性质解决旋转前后对应点的坐标变化问题. 教学重难点 教学重点：旋转三要素、性质及中心对称的核心概念与应用； 教学难点：性质的抽象理解、作图与综合解题，以及中心对称与中心对称图形的辨析。 知识点01 旋转及其相关概念 1. 旋转的定义 在平面内，一个图形绕着一个定点(如点O)，旋转一定的角度(如θ)，得到另一个图形的变换，叫做旋转. 定点O 叫做旋转中心，θ 叫做旋转角. 2. 旋转的“三要素” 旋转中心、旋转方向和旋转角. (1)在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点； (2)旋转方向有顺时针和逆时针两种； (3)在描述一个旋转过程时，需要指明旋转的“三要素”，即旋转中心、旋转方向和旋转角. 3. 对应元素 旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫做对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫做对应角. 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【即学即练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转 度，再向 （填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 知识点02 旋转的性质 1. 旋转的性质 (1)在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角； (3)旋转中心是唯一不动的点. 2. 旋转与平移、轴对称的对比 异同点 旋转 平移 轴对称 不 同 点 对应线段、对应角 旋转变换前、后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角 平移变换前、后两个图形的对应线段平行(或共线)，对应角的两边分别平行(或共线)，平移方向一致 如果成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上，成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分 作图、运动方式 作图所需要的条件不同，运动方式不同 相同点 (1)都是在平面内进行的图形变换； (2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等； (3)都是把一个已知图形变换后得到另一个图形 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图1，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 知识点03 旋转作图 1. 旋转对称图形 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°<θ<360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心. 2. 旋转作图的一般步骤 (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角. (2)找出图形的关键点. (3)作关键点旋转后的对应点，方法如下： ①连：连接图形的每个关键点与旋转中心； ②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)； ③截：在作出的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. (4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形. (5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段（其中点的对应点为），画出线段； (2)画出线段关于点对称的线段（其中点的对应点为）． 知识点04 中心对称及其性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心. 2. 中心对称的性质 (1)成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称. 利用这一性质可以识别中心 对称. (2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等. 3. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对应点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心. 方法二：连接任意两对对应点，这两条线段的交点就是对称中心. 【即学即练】如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 知识点05 中心对称的作图 1. 作图关键 确定对称中心，再作出原图形上关键点关于对称中心的对应点. 2. 作图步骤 (1)分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接； (2)将以上连线延长找对应点，使得对应点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等； (3)将对应点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到关于对称中心成中心对称的图形. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，已知△的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出△关于原点的中心对称图形△，并写出点坐标； (2)请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 知识点06 中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心. 2. 中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两点是对应点；中心对称图形上所有的点关于对称中心的对应点都在这个图形上. (2)过对称中心的任意一条直线把中心对称图形分成了全等的两部分. 3. 中心对称与中心对称图形的区别和联系 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的位置关系； (3)对应点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形； (3)对应点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 【即学即练】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 知识点07 关于原点对称的点的坐标(拓展点) 1. 关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y). 2. 图形绕原点旋转后点的坐标的变化情况 原图形上任一点的坐标 以原点O 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90° 旋转180° 旋转270° 旋转360° (x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y) 【即学即练】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）点关于原点成中心对称的点的坐标是（        ） A． B． C． D． B． 题型01 分析旋转现象 【例1】（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转某个角度后得到，其中点A，B，C的对应点是点，，，那么旋转中心是（　　） A．点Q B．点P C．点N D．点M 题型02 旋转性质的运用 【例2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为 ． 【例2-3】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，将绕着点C 按顺时针方向旋转，B点落在位置，A点落在位置，若，求的度数． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【变式2-3】（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2-4】（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 题型03 画旋转图形 【例3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图是的正方形网格，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)以点为顶点作出的一个余角； (2)将绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在的延长线上，作出点． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽六安·月考）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转得到，画出． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为． (1)以点A为中心，把线段顺时针旋转得到线段，画出线段； (2)在所给的网格图中描出边的中点E，并写出点E的坐标； (3)以点E为对称中心，画出与关于点E对称的，并判断四边形的形状（直接写出答案即可）． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）已知点，，的坐标分别为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形； (3)若连接，则线段的长度为________． 题型04 中心对称图形及中心对称的性质应用 【例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）已知点和点关于原点对称，则 ． 题型05 有关中心对称的作图题 【例5】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点分别在格点上，O为格点． (1)将线段向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段． (2)以点O为中心，在网格画出线段的中心对称线段，并直接写出的度数． 【变式5-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格图中画一四边形，使得四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，与都为格点． (2)在网格图中确定一点，使得． 【变式5-2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知网格点O，的顶点都在网格点上，按要求解决下列问题： (1)将向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； (2)已知与关于点 O 中心对称，画出； (3)连接，利用网格点和无刻度的直尺画出的垂直平分线． 题型06 利用旋转的性质巧添辅助线求解问题 【例6】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图，中，，，，D是上的动点，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是 ． 【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段 ． （2）点运动过程中，线段的最小值是 ． 题型07 利用旋转的性质求面积 【例7-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 ． 【例7-2】（2025·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，，    (1)以点为旋转中心，将旋转后得到，请在图中画出． (2)求的面积． (3)在轴上求一点，使得最小，在图中作出点，点的坐标为______． 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）在正方形中，是其内一点，是直角三角形，，且，把绕点逆时针旋转得到，直线和直线相交于点，，． （1）的面积 ； （2） ． 题型08 应用中心对称的性质解决面积问题 【例8】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，放入三个小正方形后形成一个中心对称图形，则放入的三个小正方形的面积之和为 ． 【变式8】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为．      (1)求反比例函数的解析式； (2)求矩形的面积． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到的位置．当时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接．若，，则线段的长为（    ） A．24 B．4.8 C．8 D．9.6 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．4 5．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在锐角中，，分别是边上的高，是垂足，连接并将绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点是的中点，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，为等边三角形，P为边上一动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转至线段，M是边的中点，连接，若，的长为整数． （1） ．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）的长有最小值，最小值为 ． 7．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，和分别是矩形和矩形的对角线． （1）和之间的位置关系是 ； （2）点和分别是和的中点．若，，则的长为 ． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若点是中点，则 ； （2）若点是边的中点，连接，则的最小值是 ． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧）． （） ； （）点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ．当点落在轴正半轴上时，点的坐标为 ． 三、解答题 10．（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 11.（2025·安徽六安·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． (3)与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 12．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均在格点上．（格点是网格线的交点） (1)以点O为位似中心，画出线段的位似图形线段，使得线段与线段的相似比为； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段； (3)四边形的周长为______． 13．（22-23九年级上·安徽黄山·期末）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ． 14．（2024·安徽合肥·一模）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转． (1)将旋转至如图的位置时，连接，求证：． (2)若将旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 16．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系． (3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1旋转 教学目标 1.理解旋转及旋转对称图形的概念，会判断一个图形是否为旋转对称图形. 2.理解中心对称和中心对称图形的概念，会判断一个图形是否为中心对称图形. 3.探索并理解旋转的基本性质，能够运用这些基本性质解决旋转前后对应点的坐标变化问题. 教学重难点 教学重点：旋转三要素、性质及中心对称的核心概念与应用； 教学难点：性质的抽象理解、作图与综合解题，以及中心对称与中心对称图形的辨析。 知识点01 旋转及其相关概念 1. 旋转的定义 在平面内，一个图形绕着一个定点(如点O)，旋转一定的角度(如θ)，得到另一个图形的变换，叫做旋转. 定点O 叫做旋转中心，θ 叫做旋转角. 2. 旋转的“三要素” 旋转中心、旋转方向和旋转角. (1)在旋转过程中，始终保持不动的点是旋转中心，旋转中心可以在图形的内部，也可以在图形的外部，还可以是图形上的某点； (2)旋转方向有顺时针和逆时针两种； (3)在描述一个旋转过程时，需要指明旋转的“三要素”，即旋转中心、旋转方向和旋转角. 3. 对应元素 旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫做对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫做对应角. 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 【即学即练2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图1，在俄罗斯方块游戏中，小方块可先逆时针旋转 度，再向 （填“左”或“右”）平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形（如图2），达到所有方格都消失的特效． 【答案】 90 左 【详解】解：小方块可先逆时针旋转90度，再向左平移至边格，然后往下移动，最终拼成一个完整的长方形，达到所有方格都消失的特效． 故答案为：90，左． 知识点02 旋转的性质 1. 旋转的性质 (1)在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角； (3)旋转中心是唯一不动的点. 2. 旋转与平移、轴对称的对比 异同点 旋转 平移 轴对称 不 同 点 对应线段、对应角 旋转变换前、后两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角 平移变换前、后两个图形的对应线段平行(或共线)，对应角的两边分别平行(或共线)，平移方向一致 如果成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上，成轴对称的两个图形的对应点的连线被对称轴垂直平分 作图、运动方式 作图所需要的条件不同，运动方式不同 相同点 (1)都是在平面内进行的图形变换； (2)都只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前、后图形的对应边相等，对应角相等； (3)都是把一个已知图形变换后得到另一个图形 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图1，P点在O点正北方．一只机器狗从P点按逆时针方向绕着O点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如图2所示．那么经过分钟，机器狗的位置会是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知，机器狗1分钟转动， 则机器狗转动一周所需时间为分钟， 所以经过分钟，机器狗走的周期数为， 所以机器狗的位置为， 从P点（O点正北方），逆时针转动，此时机器狗的位置与选项D中图形一致， 故选D． 知识点03 旋转作图 1. 旋转对称图形 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度θ(0°<θ<360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心. 2. 旋转作图的一般步骤 (1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角. (2)找出图形的关键点. (3)作关键点旋转后的对应点，方法如下： ①连：连接图形的每个关键点与旋转中心； ②转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度(作旋转角)； ③截：在作出的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. (4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形. (5)写出结论，说明作出的图形即为所求作的图形. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段绕点顺时针旋转，得到线段（其中点的对应点为），画出线段； (2)画出线段关于点对称的线段（其中点的对应点为）． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作； （2）解：如图所示，即为所求作． ． 知识点04 中心对称及其性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心. 2. 中心对称的性质 (1)成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称. 利用这一性质可以识别中心 对称. (2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等. 3. 确定对称中心的方法 方法一：连接任意一对对应点，取这条线段的中点，则该中点为对称中心. 方法二：连接任意两对对应点，这两条线段的交点就是对称中心. 【即学即练】如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 知识点05 中心对称的作图 1. 作图关键 确定对称中心，再作出原图形上关键点关于对称中心的对应点. 2. 作图步骤 (1)分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接； (2)将以上连线延长找对应点，使得对应点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等； (3)将对应点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到关于对称中心成中心对称的图形. 【即学即练】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）在平面直角坐标系中，已知△的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出△关于原点的中心对称图形△，并写出点坐标； (2)请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点坐标为． （2）解：如图，即为所求． 知识点06 中心对称图形 1. 中心对称图形 把一个图形绕某一个定点旋转180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个定点就是对称中心. 2. 中心对称图形的性质 (1)中心对称图形上对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两点是对应点；中心对称图形上所有的点关于对称中心的对应点都在这个图形上. (2)过对称中心的任意一条直线把中心对称图形分成了全等的两部分. 3. 中心对称与中心对称图形的区别和联系 中心对称 中心对称图形 区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的位置关系； (3)对应点在两个图形上 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形； (3)对应点在一个图形上 联系 若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；若把中心对称图形相互对称的两部分看作两个图形，则这两个图形成中心对称 【即学即练】（25-26九年级上·安徽淮南·月考）下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A、不是中心对称图形，不符合题意； 选项B、是中心对称图形，符合题意； 选项C、不是中心对称图形，不符合题意； 选项D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 知识点07 关于原点对称的点的坐标(拓展点) 1. 关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P(x，y)关于原点的对称点为P′(－x，－y). 2. 图形绕原点旋转后点的坐标的变化情况 原图形上任一点的坐标 以原点O 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90° 旋转180° 旋转270° 旋转360° (x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y) 【即学即练】（25-26九年级上·安徽亳州·期末）点关于原点成中心对称的点的坐标是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：D． 题型01 分析旋转现象 【例1】（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断由一个图形旋转而成的图案 【分析】本题考查了寻转的性质，根据旋转下判断即可． 【详解】 根据题意，旋转变化后的图片应是， 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·浙江·期中）下列四个圆形图案中，旋转能与原图形完全重合且旋转角度最少的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：A、最小旋转角度为； B、最小旋转角度为； C、最小旋转角度为； D、最小旋转角度为； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是B． 故选：B． 【变式1-2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长为1，将绕旋转中心旋转某个角度后得到，其中点A，B，C的对应点是点，，，那么旋转中心是（　　） A．点Q B．点P C．点N D．点M 【答案】C 【详解】解：方法一：点A的对应点是点，由图像可得，根据旋转的性质可知点M、P、Q都不是旋转中心，只有，且，所以点N是旋转中心． 方法二：如图，N点为旋转中心． 故选：C． 题型02 旋转性质的运用 【例2-1】（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【例2-2】（25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：由旋转性质可知，， 则为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【例2-3】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，，点在边上，将绕点顺时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求线段的长； (3)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴，． ∴． ∵， ， ∴． （2）由（1）得：， ∴，         ， ∴， ∴． （3）,理由如下： 由（2）得：，， ∴ 由（1）得：，， ∴， ∴． 【变式2-1】（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，将绕着点C 按顺时针方向旋转，B点落在位置，A点落在位置，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：由旋转可知：，， 又∵， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，． (1)求证：． (2)若，，，求的度数． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：由题意可得：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． （2）解：在和中， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中， 【变式2-4】（25-26九年级上·安徽安庆·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【详解】（1）证明：由旋转性质知，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由旋转性质知，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， ∴； （3）解：在中， ∴， ， ∵， ∴，， 由（）知，， ∴，， ∴， ∴， 由（）知，， ∴， ∴． 题型03 画旋转图形 【例3】（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）如图是的正方形网格，的顶点，，均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)以点为顶点作出的一个余角； (2)将绕点顺时针旋转，使得点的对应点落在的延长线上，作出点． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：由网格可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图，点即为所求， 理由，由网格可知，，， ∴点即为所求． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽六安·月考）在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转得到，画出． 【详解】（1）解：即为所求作； （2）解：即为所求作． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A的坐标为． (1)以点A为中心，把线段顺时针旋转得到线段，画出线段； (2)在所给的网格图中描出边的中点E，并写出点E的坐标； (3)以点E为对称中心，画出与关于点E对称的，并判断四边形的形状（直接写出答案即可）． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， （2）如图所示：点即为所求，， （3）如图所示：即为所求， 四边形为平行四边形，理由如下， 由对称可知，，又， ， ， （内错角相等，两直线平行）， 四边形为平行四边形． 【变式3-3】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）已知点，，的坐标分别为，，． (1)画出绕点逆时针旋转后得到的； (2)画出关于原点的对称图形； (3)若连接，则线段的长度为________． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， ∴． 故答案为：． 题型04 中心对称图形及中心对称的性质应用 【例4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项正确； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【变式4-1】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵两点关于原点对称时，横坐标和纵坐标都变为相反数， ∴点关于原点的对称点为 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽黄山·期中）已知点和点关于原点对称，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 有关中心对称的作图题 【例5】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点分别在格点上，O为格点． (1)将线段向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段． (2)以点O为中心，在网格画出线段的中心对称线段，并直接写出的度数． 【详解】（1）解：线段如图所示： （2）解：线段如图所示； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【变式5-1】（2025·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的端点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格图中画一四边形，使得四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，与都为格点． (2)在网格图中确定一点，使得． 【详解】（1）画图如下所示： 四边形即所求；（画法不唯一） （2）画图如下所示： 在中 ，，， ， 是直角三角形，， 在中，，， ， 如图，即所求．（画法不唯一） 【变式5-2】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知网格点O，的顶点都在网格点上，按要求解决下列问题： (1)将向右平移7个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，画出； (2)已知与关于点 O 中心对称，画出； (3)连接，利用网格点和无刻度的直尺画出的垂直平分线． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，直线即为所作； 题型06 利用旋转的性质巧添辅助线求解问题 【例6】（24-25九年级上·安徽芜湖·月考）如图，是等边内一点，，，．将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接， ∵，将线段以点为旋转中心按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【变式6-1】（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图，中，，，，D是上的动点，将线段绕点C逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点C作于点K，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，延长交的延长线于点J， ∵将线段绕点C逆时针旋转 ，得到线段， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴在和中 ∴， ∴， ∴，又， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴点E在直线上运动，当点E与点J重合时，的值最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴，则，， ∴， 所以， 即的最小值为， 故答案为：． 【变式6-2】（2025·安徽池州·二模）已知：如图1，中，，．点是边上一点且，点是边上的动点，线段绕点逆时针旋转至，连接，． （1）如图2，当点与点重合时，线段 ． （2）点运动过程中，线段的最小值是 ． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵线段绕点逆时针旋转至，点与点重合， ∴，， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作于，过点作，交于，连接， ∵，，， ∴，   ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在过点且垂直的直线上运动， ∴当时，有最小值，   ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴线段的最小值是， 故答案为：． 题型07 利用旋转的性质求面积 【例7-1】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，中，，，，，将绕点C逆时针旋转至，使得点恰好落在AB上，与BC交于点D，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ， ， ， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理，得，， ． 【例7-2】（2025·安徽阜阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，的坐标分别为，，，    (1)以点为旋转中心，将旋转后得到，请在图中画出． (2)求的面积． (3)在轴上求一点，使得最小，在图中作出点，点的坐标为______． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：由题意得， （3）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则点P即为所求；      ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P为的中点， ∵， ∴， ∵， ∴，即． 【变式7-1】（23-24九年级上·安徽淮南·月考）如图，点F为正方形对角线的中点，将以点F为直角顶点的直角绕点F旋转（的边始终在正方形外），则在旋转过程中．与正方形重叠部分（阴影部分）的面积是否发生变化，并说明理由． 【详解】解：重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵点F是的中点，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（ASA）， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为即是重叠部分（阴影部分）的面积不发生变化． 【变式7-2】（25-26九年级上·安徽黄山·月考）在正方形中，是其内一点，是直角三角形，，且，把绕点逆时针旋转得到，直线和直线相交于点，，． （1）的面积 ； （2） ． 【详解】解：（1）， ， 由旋转可知，， ， 四边形是正方形， ， ， 设，在中，， 即， 解得， ∴，则或，则， 又， ， 的面积； （2）由（1）可知，，， 如图，过点作交的延长线于点， ， ，在和中， ， ， ， ∴， ， ； 故答案为：①；②． 题型08 应用中心对称的性质解决面积问题 【例8】（22-23九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，放入三个小正方形后形成一个中心对称图形，则放入的三个小正方形的面积之和为 ． 【答案】1 【详解】解： 如图，设以A为顶点的正方形为正方形，延长交于点O，则， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 由题意可知， ， 设，则， 由中心对称可知，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ， ∴三个小正方形的面积之和为：， 故答案为：1 【变式8】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，已知矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴．垂足为E，已知点A的坐标为．      (1)求反比例函数的解析式； (2)求矩形的面积． 【详解】（1）解：把代入得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， 根据中心对称可得， ， 对角线垂直于轴， ∴， ∵， ， ， ， ， 矩形的面积为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，下列说法不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，则选项A和D正确； ∴，则结论C正确； 不能判定，则选项B不一定正确； 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转到的位置．当时，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，，旋转角为， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为，，的延长线与边相交于点D，连接．若，，则线段的长为（    ） A．24 B．4.8 C．8 D．9.6 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（　　） A．2 B．4 C． D．4 【答案】B 【详解】解：设与相交于点O，连接． 根据旋转的性质，得，则． 在和中， ， ∴． ∴． 设，则， 又∵，， ∴，解得：（已舍去负值）， ∴． ∴公共部分的面积． 故选：B． 5．（25-26九年级上·安徽亳州·月考）如图，在锐角中，，分别是边上的高，是垂足，连接并将绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点是的中点，连接，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵是的高， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确，不符合题意； 如图所示，连接， ∵点为的中点，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，为等边三角形，P为边上一动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转至线段，M是边的中点，连接，若，的长为整数． （1） ．（填“＞”“＜”或“＝”） （2）的长有最小值，最小值为 ． 【答案】 ＝ 3 【详解】解：（1）为等边三角形 ， 由旋转得：， ． 故答案为：＝   （2）如图，取的中点D，连接，由旋转得． ∵为等边三角形， ∴， ∵M是边的中点，D是边的中点， ∴， ， ∴， ∴． 过点D作于点G， 则的最小值为， ， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为3， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 7．（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，和分别是矩形和矩形的对角线． （1）和之间的位置关系是 ； （2）点和分别是和的中点．若，，则的长为 ． 【答案】 垂直 【详解】（1）如图，延长交于， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，和分别是矩形和矩形的对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：垂直； （2）解：连接，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由旋转得：，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）若点是中点，则 ； （2）若点是边的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ∴， ∴， ， ∵点是中点，是等边三角形， ∴； （2）由（1）可知点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， ∵点是边的中点， ∴， 在中，， ， ∴， 由勾股定理得：， 即的最小值是， 故答案为4，． 9．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧）． （） ； （）点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ．当点落在轴正半轴上时，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：（）∵抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧） 当时，得：， 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作轴于点、作轴于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，且点落在轴正半轴上， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 10．（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵A、B、C的坐标分别为、、，绕点O逆时针旋转得到， ∴点的坐标为、、， 首尾顺次连接， 如图所示，即为所求． （2）解：∵点B在线段的垂直平分线上， ∴点P也在线段的垂直平分线上， 如图所示，点P即为所求， 点P的坐标为． 11.（2025·安徽六安·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）． (1)将先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请画出． (2)画出关于点对称的（点，，的对称点分别为点，，）． (3)与是否成中心对称？若是，画出对称中心点的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：与成中心对称， 点的位置如图所示 12．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均在格点上．（格点是网格线的交点） (1)以点O为位似中心，画出线段的位似图形线段，使得线段与线段的相似比为； (2)将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出线段； (3)四边形的周长为______． 【详解】（1）解：如图：线段即为所作， （2）解：如图，线段即为所作， （3）解：由图可得：，，，， 故四边形的周长为． 13．（22-23九年级上·安徽黄山·期末）如图，点是等边内一点，．将绕点按顺时针方向旋转得，连接． (1)当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由； (2)探究：当为多少度时，是等腰三角形？（只填出探究结果即可）= ． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵将绕点按顺时针方向旋转得 ∴，          ∴ ∴是等边三角形     ∴     ∴ ∴是直角三角形        ∴ ∴． （2）解：①要使，需 ∵， ∴，解得：； ②要使，需 ∴ ∴， ∴； ③要使，需 ∴， ∴，解得 综上，当的度数为或或时，是等腰三角形． 14．（2024·安徽合肥·一模）在学习“旋转”这一重要的平面图形变换时，李老师设计如下的一个问题，让同学们进行探究．如图，，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转． (1)将旋转至如图的位置时，连接，求证：． (2)若将旋转至三点在同一条直线上时，求线段的长． 【详解】（1）证明： 将绕点顺时针旋转到图位置 （2） 由（1）知， 如图，当点在上时， 在中， 由勾股定理得， 如图，当点在的延长线上时， 在中， 由勾股定理得， 综上所述：线段的长为或． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图1，在正方形中，点分别在正方形的边上，，连接． (1)思路梳理：将绕点逆时针旋转至，如图1，使与重合，易证，可证，故，，之间的数量关系为______； (2)类比引申：如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到正方形的边的延长线上，，连接，猜想之间的数量关系并给出证明； (3)联想拓展：如图3，等腰，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中分别与线段交于点，若，，则的长为_______． 【详解】（1）如图1所示： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴，点F、D、G共线， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴，即． 故答案为：； （2）． 证明：如图2所示． ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∴，，． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴； （3）把旋转到的位置，连接，则． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，． ∴． ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·安徽芜湖·月考）某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系． (3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 【详解】（1）解：， 理由：由旋转可知， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作， 则， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （3）解：， 是等边三角形， ， ∴将绕点顺时针旋转得到，连接，如图， 由旋转的性质知，， 则为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $