专题06 概率初步十二大题型归类（专项训练）数学沪科版九年级下册

专题06 概率初步十二大题型归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、时间的分类 1 题型二、概率的理解 3 题型三、判断事件概率的大小 7 题型四、根据概率公式求概率 9 题型五、根据概率求数量 14 题型六、几何概率 17 题型七、列举法求概率 27 题型八、列举法或树状图法求概率 33 题型九、用频率估计概率 38 题型十、游戏公平性 43 题型十一、概率在转盘中的应用 46 题型十二、概率在比赛中的应用 50 B综合攻坚・能力跃升 题型一、时间的分类 1．下列事件是必然事件的是（   ） A．校园篮球比赛，九年一班获得冠军 B．五边形外角和是 C．掷一枚硬币时，反面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况 【答案】B 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、校园篮球比赛，九年一班获得冠军，是随机事件，故此选项不符合题意； B、五边形外角和是，是必然事件，故此选项符合题意； C、掷一枚硬币时，反面朝上，是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．水加热到时会沸腾 B．在阳光的照射下，种子发芽 C．氢气在氧气中燃烧生成水 D．太阳绕着地球转 【答案】D 【分析】本题考查事件的分类，根据事件的分类逐项判断即可．熟知必然事件、不可能事件、随机事件的概念：必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键． 【详解】解：A、水加热到时会沸腾：若未说明在标准大气压下，水的沸点可能受气压影响而变化，因此该事件可能发生也有可能不发生，属于随机事件．但初中常默认标准大气压，此时为必然事件，故此选项不符合题意； B、在阳光照射下，种子发芽：种子发芽需要水分、温度等多种条件，仅有阳光不一定发芽，属于随机事件，故此选项不符合题意； C、氢气在氧气中燃烧生成水，该反应必然发生，属于必然事件，故此选项不符合题意； D、太阳绕着地球转：根据科学常识，地球绕太阳公转，因此该事件不可能发生，属于不可能事件，故此选项符合题意； 故选：D． 3．(2025·湖南省怀化市·模拟)“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列事件属于必然事件的是（      ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水滴石穿 D．缘木求鱼 【答案】C 【分析】本题考查的是随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 【详解】解：A. “水中捞月”是不可能事件，故该选项不符合题意； B. “守株待兔”是随机事件，故该选项不符合题意； C. “水滴石穿”是必然事件，故该选项符合题意； D. “缘木求鱼”是不可能事件，故该选项不符合题意． 故选：C． 4．下列说法正确的是（   ） A．旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 【答案】C 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查、事件的分类、折线统计图、方差的性质等知识点，根据全面调查与抽样调查的选取原则、事件的分类、折线统计图、方差的性质进行解题即可，熟练掌握它们的概念和性质是解决此题的关键． 【详解】A．旅客上高铁列车前的检查应选择全面调查，原说法错误； B．“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，原说法错误； C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，原说法正确； D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩较稳定，原说法错误． 故选C． 题型二、概率的理解 5．下列说法中，正确的是（    ） A．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 D．如果某彩票的中奖率是，那么一次购买100张彩票一定会中奖 【答案】A 【分析】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义．根据普查和抽样调查、事件的分类、方差的意义分别进行判断即可 【详解】解：A、三角形内角和定理表明，任意三角形的内角和都是，所以原说法正确，本选项符合题意； B、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，原说法错误，本选项不符合题意； C、甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比乙组数据稳定，原说法错误，本选项不符合题意； D、彩票的中奖率是，那么一次购买100张彩票，只是中奖的可能性增大，但不是一定会中奖，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：A． 6．(24-25九下·江苏泰州中学附属初级中学·三模)有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了概率的计算．根据这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，可得掷出1和6的概率之和，即可求解． 【详解】解：∵这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是， ∴这个骰子掷出1和6的概率之和为， ∵掷出6的概率是掷出1的概率的两倍， ∴他掷出6的概率是． 故选：D 7．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，判断全面调查与抽样调查，概率的意义理解，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是随机事件，本选项说法不正确，不符合题意； B、“明天降雨的概率为”，表示明天有一半的可能性降雨，本选项说法不正确，不符合题意； C、“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，本选项说法正确，符合题意； D、了解某型号电视机的使用寿命，适合用抽样调查的方式，本选项说法不正确，不符合题意． 故选：C． 8．下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，根据概率的意义，即可解决，关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量，概率小的有可能发生，概率大的有可能不发生． 【详解】解：A、每个点数出现的机会是相同的， 故错误； B、可能性很小的事件，只是出现的机会比较小，也可能发生，故错误； C、天气预报说明天下雨的概率是，是指降雨这件事发生的可能性是，并不表示下雨的时间占总时间的一半，故错误； D、由于图钉的结构不对称，钉尖触地和钉尖朝上不是等可能事件，所以它们的概率不相等，故正确． 故选：D． 9．下列说法正确的是（   ） A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投十次可投中6次 C．一组数据3，6，6，8，8，9的中位数是7 D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【答案】C 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，概率的意义，求中位数，根据方差判断稳定性． 根据抽样调查和全面调查，概率的意义，求中位数，根据方差判断稳定性逐一判断即可． 【详解】A． 飞行员群体人数较少且视力要求严格，需采用全面调查，原说法错误； B． 概率为0.6表示理论上的可能性，实际投中次数可能偏离6次，原说法错误； C． 一组数据3，6，6，8，8，9的中位数是，原说法正确； D． 甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的射击成绩较稳定，原说法错误； 故选：C 10．(2024九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·二模)下列说法正确的是（   ） A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有一半的时间会下雨 C．甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D．了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式 【答案】C 【分析】本题考查必然事件与随机事件、方差、抽样调查与普查等知识，掌握相关知识是解题关键．根据必然事件的概念、可能性的意义、方差的定义、抽样调查与普查的意义逐一解答． 【详解】解：A中，“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故A错误，不符合题意； B中，天气预报“明天降水概率”，是指明天下雨的可能性是，故B错误，不符合题意； C中，甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定，故C正确，符合题意； D中，了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式，故D错误，不符合题意， 故选：C． 11．(2025·湖南省长沙市·三模)下列关于统计与概率的知识说法正确的是（   ） A．赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上获得冠军是必然事件 B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式 C．若一个游戏的中奖率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，，则甲组数据比乙组数据更稳定 【答案】D 【分析】本题考查统计与概率，根据事件的分类判断A选项；根据全面普查与抽样调查的区别判断B选项；根据概率的意义判断C选项；根据方差的意义判断D选项． 【详解】解：赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上不一定获得冠军，因此不是必然事件，故A选项说法错误，不符合题意； 了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用抽样调查的方式，故B选项说法错误，不符合题意； 若一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏不一定会中奖，故C选项说法错误，不符合题意； 由可得甲组数据比乙组数据更稳定，故D选项说法正确，符合题意； 故选：D． 12．下列说法正确的是（     ） A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用全面调查 B．某彩票设“中奖概率为”，购买100张彩票就一定会中奖一次 C．一组数据2，2，2，3，4的中位数是3 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组稳定 【答案】D 【分析】本题主要考查了不易采集到的数据调查应采用抽样调查，概率的意义，求中位数，一组数据的方差越小稳定性越好等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．根据用全面调查和抽样调查的条件、概率的意义，中位数的定义、方差的意义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A. 为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用抽样调查，故该选项不正确，不符合题意； B. 某彩票设“中奖概率为”，购买100张彩票不一定会中奖一次，故该选项不正确，不符合题意； C. 一组数据2，2，2，3，4的中位数是2，故该选项不正确，不符合题意； D. 若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组稳定，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型三、判断事件概率的大小 13．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 14．(2023·江苏省常州市·一模)在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 【答案】D 【分析】根据概率的计算方法，比较概率的大小即可求解． 【详解】解：选项，个红球，个白球，摸到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； 选项，个红球，个白球，到红球的概率为； ∵， ∴摸到红球可能性最大的是“个红球，个白球”， 故选：． 【点睛】本题主要考查概率的计算，掌握概率的计算方法，比较概率大小的方法是解题的关键． 15．(21-22八下·江苏苏州苏州工业园区星海实验中学·期末)下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（    ） A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7 C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2 【答案】C 【分析】抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，点数1~6朝上的概率相等，都是，据此计算各个选项所代表事件的概率． 【详解】解：A、朝上点数为2的可能性为； B、朝上点数为7的可能性为0； C、朝上点数为2的倍数的可能性为； D、朝上点数不大于2的可能性为． 故选C． 【点睛】本题主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件发生的概率公式是解题的关键． 16．(23-24九上·浙江杭州下城区杭州观成实验学校·期中)一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 17．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 【答案】A 【分析】摸到红球的可能性最大，则红球数最多，故m的值小于8，注意判断即可． 【详解】解：∵袋子里有8个红球，m个黑球， ∴摸到红球的可能性为； 摸到黑球的可能性为， ∵摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查的是概率问题，重点考查求概率的公式，根据求概率的公式判断，或者根据概率定义判断都可． 题型四、根据概率公式求概率 18．(25-26九上·浙江义乌义乌赤岸镇赤岸初级中学·期中)一个不透明的口袋中装有3个红球和1个白球，小球除颜色不同外其它都相同，摇匀后摸出一个小球，记下颜色后放入口袋摇匀后继续摸出小球，前五次摸出的小球都是红球，则第六次摸出红球的概率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】此题考查概率公式求概率，可以直接应用求概率的公式计算即可． 【详解】解：因为每次只摸出一个小球，不透明的口袋中共有小球个，其中红球个， 所以第六次摸出红球的概率为， 故选：C． 19．(24-25九下·广东中山德恒中学·期中)从实数，0，，，中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式以及无理数，概率=所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：从，0，，，这五个数中随机抽取一个数， 抽到的无理数有，，共2种可能， ∴抽到的无理数的概率是． 故选：C． 20．(2025·湖北省武汉市·调研)下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查概率公式的运用，先找出从四种化学试剂中选两种的所有组合情况，再确定能生成沉淀的组合情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：从4种化学试剂、、、中选2种的组合，有和、和、和、和、和、和共6种； 根据化学知识知： 和反应，化学方程式为，会生成沉淀； 和反应，化学方程式为，会生成沉淀， 其他组合反应不会生成沉淀， 所以能生成沉淀的组合有2种； 所以，生成沉淀的概率为， 故选：A． 21．(25-26九·期中冲刺卷·期中)从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查概率，求出总得可能结果数和满足条件的结果数，然后利用概率计算方法计算即可． 【详解】一共有100种可能，号码是3的倍数的有3，6，9，…，99，共33种， ∴号码是3的倍数的概率是． 故选：A． 22．某学校新开设了很多社团，如果小明和小周两名同学每人在模联、合唱、手工制作三个社团中随机选择参加其中一个社团，那么小明和小周选到同一社团的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是概率的计算，具体来说是通过画树状图来计算事件发生的概率．先确定小明和小周选择社团的所有可能组合数，再找出两人选到同一社团的组合数，最后用同一社团的组合数除以总组合数得到概率，并分析各选项的正误． 【详解】解：画树状图得： ∵共有种等可能的结果，小明和小周选到同一社区参加实践活动的有种情况， ∴小明和小周选到同一社区参加实践活动的概率为： 故选：C． 23．(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)杭州第届亚运会的吉祥物包括三个机器人造型，分别是“琮琮”“莲莲”和“宸宸”．现有三张完全相同的卡片，在其正面分别是写上“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，将这三张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用概率公式求概率，解题关键是掌握利用概率公式求概率． 直接利用概率公式求解． 【详解】解：∵现有三张完全相同的卡片，在其正面分别是写上“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，将这三张卡片背面朝上放置， ∴打乱后随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率是， 故选：C． 24．(24-25七下·福建三明宁化县·)掷一枚质地均匀的硬币，前3次都是正面朝上，掷第4次时正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．利用概率的意义直接得出答案． 【详解】每次掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率均为，由于各次掷硬币的结果相互独立，前3次的结果不会影响第4次的概率， 因此，第4次正面朝上的概率仍为； 故选：A． 25．(24-25七下·福建漳州漳浦县中学·期末)2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键． 分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：， 故答案为：． 26．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查求解概率，常用方法有：树状图法、列表法和列举法，本题即为列举法．掌握求解概率的方法是解本题的关键． 列出所有的三位渐升数，然后找出能被9整除的数，从而得出概率． 【详解】解：所有的渐升数为123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个， 其中126，135，234能被9整除， 故所求概率为． 故答案为：． 27．(24-25八下·江苏苏州园区青剑湖实验中学·期中)口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ． 【答案】3 【分析】根据简单的概率公式列出分式方程解答即可； 本题考查了简单的概率公式，解分式方程，正确选择方法是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 解得， 经检验，是这个分式方程的解， 的值为3． 故答案为：3． 28．(24-25九下·福建泉州德化县·期中)现有5张卡片，正面分别写着“强”“国”“复”“兴”“梦”这5个字，这些卡片除正面的字外其余均相同，将5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好写着“强”字的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． 由在“强”“国”“复”“兴”“梦”这5个字的卡片中只有1张写有“强”字，利用概率公式计算可得． 【详解】解：这张卡片上面恰好写着“强”字的概率是：， 故答案为： 29．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)九（1）班有50名学生，其中有20人报了美术班，从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是等可能事件的概率．根据等可能事件求概率的公式计算：如果一个事件中有种等可能结果，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率是． 【详解】解：名学生中有人报了美术班， 从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是． 故答案为：． 题型五、根据概率求数量 30．在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了已知概率求数量，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，口袋中球的总个数为， 故选：D． 31．(24-25九下·贵州贵阳中央民族大学附属中学贵阳学校·期中)在一个不透明的箱子中有3张红卡和若干张绿卡，它们除了颜色外其他完全相同，通过多次重复抽卡试验后发现，抽到绿卡的频率稳定在附近，则箱中卡的总张数可能是（   ） A．5张 B．4张 C．9张 D．12张 【答案】D 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，设箱中卡的总张数为x张，则绿卡有张，根据抽到绿卡的频率稳定在附近，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设绿卡个数为：x个， ∵摸到绿卡的频率稳定在左右， ∴箱子中得到绿卡的概率为， ∴， 解得：， ∴卡的总张数为， 故卡的个数为12个． 故选：D． 32．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率． 用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可． 【详解】解：由题意可得： 盒子中白球的个数可能是：， 故选：B． 33．(24-25七下·江西九江柴桑区五校联考·期中)在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球7个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白球的个数为（    ） A．4 B．9 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式的应用，首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得，解此分式方程即可求得答案． 【详解】解：设袋中白球的个数为x个， 根据题意得：， 解得：． 经检验：是原分式方程的解． ∴袋中白球的个数为9个． 故选：B． 34．(24-25七下·陕西咸阳礼泉县·期中)一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 【答案】A 【分析】本题考查了概率公式的应用，理解求概率的公式是解题的关键． 根据概率公式列式计算即可． 【详解】解：袋子中写有“泉”字的卡片有：（张）． 故选： A． 35．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，分式方程的应用． 根据概率公式列方程计算即可． 【详解】∵在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：． 36．(22-23八下·江苏连云港新海初级中学·期中)只有颜色不同的红球和白球共20个装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到的白球的频率稳定在0.8附近，则袋中白球的数量最有可能是 个． 【答案】16 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据摸到的白球的频率稳定在0.8附近，可以估计摸到的白球的概率为0.8，然后根据概率公式即可求出白球的数量． 【详解】解：设袋子中白球的个数为x， 根据题意，得：， 解得：， 所以袋中白球的数量最有可能是16个． 故答案为：16． 37．在不透明的袋子中有8个红球和若干个绿球，这些球除颜色外无其他差别，每次摇匀后随机取出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现取到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，直接利用绿球个数÷总数，进而得出答案． 【详解】解：设绿球的个数为x， 根据题意，得：， 解得， 经检验是原分式方程的解， 即袋中有绿球2个， 故答案为：2． 38．(24-25七下·陕西汉中勉县·期中)在一个箱子里放有白球和红球共7个，它们除颜色外其余都相同．若从中任意摸出一个球，要使摸到红球的可能性大，则红球至少有 个． 【答案】 【分析】本题考查了概率，理解掌握概率的概念是解题的关键． 根据球的总数量判断即可． 【详解】解：要红球的可能性大，则红球的数量要比白球的多， ∵， ∴红球至少为个， 故答案为：． 题型六、几何概率 39．(24-25七下·甘肃张掖临泽县第二中学·期中)如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了几何概率．分别求出转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率即可得到答案． 【详解】解：A.阴影部分的面积占圆的面积的； B.阴影部分的面积占圆的面积的； C.阴影部分的面积占圆的面积的； D.阴影部分的面积占圆的面积的， ∵， ∴转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是A选项中的转盘， 故选：A. 40．(24-25七下·山东东营河口区实验中学·期中)如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 故选：A． 41．(24-25七下·江西九江修水县·期中)如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 42．(24-25七下·山东泰安新泰·期中)如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何概率，用奇数区域的面积除以转盘总面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，一共把转盘平均分成为8份（1所在区域可以看出2份），其中奇数区域占5份，则转动转盘指针指向奇数的概率是， 故选：D． 43．(24-25七下·重庆第一中学校·期中)如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 先求出大正方形的面积以及阴影部分的面积，再利用概率公式解答即可． 【详解】解：由图可知，大正方形的面积， ， 小球在地板上最终停留在黑色区域的概率， 故选：B． 44．(24-25七下·陕西西咸新区·期中)转动转盘，指针停在甲区域和乙区域的概率分别为P（甲）和P（乙），则下列关系正确的是（   ） A．P（甲）P（乙） B．P（甲）P（乙） C．P（甲）P（乙） D．无法比较P（甲）和P（乙）的大小 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，灵活运用所学的知识是解题的关键．先分别求出甲区域和乙区域各占圆面积的占比，转换成概率即可得出答案． 【详解】解：由图可知，甲区域占该圆总面积的，则甲区域占该圆总面积的， 因此指针停在甲区域和乙区域的概率分别为和， 所以P（甲）P（乙）， 故选：B． 45．(24-25七下·山东济南历下区·期中)一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率的应用，会求几何图形的概率是解题的关键； 先求出阴影部分的面积和整个图形的面积，再求概率． 【详解】由图得，阴影部分的面积为：，整个图形的面积为， 昆虫停在阴影部分的概率为． 故答案为：． 46．(24-25七下·宁夏银川唐徕中学南校区·期中)如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为， 故答案为：． 47．(24-25七下·陕西西安高新区第三初级中学·期中)二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”如图，指针落在谷雨区域的概率是为 ． 【答案】 【分析】此题考查了几何概率，首先由图可得此转盘被平分成了24等份，其中谷雨区域有1份，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵如图，此转盘被平分成了24等份，其中谷雨有1份， ∴指针落在谷雨区域的概率是：． 故答案为：． 48．(24-25七下·陕西西安高新第三中学·月考)某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． (1)转动转盘1次，获奖1元的概率为________． (2)转动转盘1次，获奖的可能性________付费的可能性（填“>”或“<”或“=”）． (3)计算转动参与者转盘1次的平均收益． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了几何概率， （1）转动转盘1次，获奖1元，即指针指向字母“C”，即可求解； （2）转动转盘1次，获奖的可能性有4种，付费的可能性有4种，即可得出结论； （3）结合加权平均数即可得出答案． 【详解】（1）解：转动转盘1次，获奖1元，即指针指向字母“C”， 概率为， 故答案为：． （2）指针指向字母“A”，则收费， 收费的概率为； 指针指向字母“B”，指针指向字母“C”，则获奖， 获奖的概率为； 获奖的可能性付费的可能性， 故答案为：． （3）， 转动参与者转盘1次的平均收益为元． 49．(24-25七下·陕西汉中汉台区部分学校·期中)某鸡排店利用周末搞促销活动：凡在本店购买一份鸡排，可参加摇奖一次，就有机会获得听装可乐，摇奖牌是如图所示的转盘，转动转盘，停止转动后指针指向即为中奖情况． (1)中奖获得3听可乐的概率是多少？ (2)中奖的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式，解题关键是用对应扇形圆心角占周角 的比例求概率．   （1）找到获得听可乐对应扇形的圆心角为 ，用除以，化简即为答案． （2）先确定不同中奖情况各自对应扇形的圆心角，计算中奖情况对应圆心角的和，然后用中奖对应圆心角和除以周角，化简即为中奖的概率． 【详解】（1）解：∵获得听可乐对应扇形圆心角为， ∴中奖获得3听可乐的概率是； （2）解：有图可知： 获得1听可乐对应扇形圆心角为，获得2听可乐对应扇形圆心角为，获得3听可乐对应扇形圆心角为， ∴中奖对应圆心角和为， ∴中奖的概率是概率 ． 50．(24-25七下·山东淄博张店区·期中)某商场今年五一劳动节期间为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准区域“D”则顾客未中奖；指针对准“A””B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得2元、5元、10元的购物券一张（转到公共线位置时重转）． (1)若某顾客转动1次转盘，求其未中奖的概率． (2)小华购物98元，他获得购物券的概率是多少？ (3)小丽购物120元，那么： ①她获得购物券的概率是多少？ ②她获得5元以上（包括5元）购物券的概率是多少？ 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】本题考查了概率的应用； （1）由图算出的圆心角为，即可求解； （2）由得小华不能获得转动转盘的机会，即可求解； （3）由得能获得一次转动转盘的机会，小丽能获得一次转动转盘的机会，①获得购物券三个区域圆心角之和为，即可求解；②5元以上（包括5元）购物券区域圆心角之和为，即可求解； 掌握概率是求解方法是解题的关键． 【详解】（1）解：的圆心角为：， 其未中奖的概率为； 故某顾客转动1次转盘，求其未中奖的概率为； （2）解：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会， ， 小华不能获得转动转盘的机会， 即获得购物券的概率是． （3）解：， 能获得一次转动转盘的机会， ①获得购物券三个区域圆心角之和为， ， 故她获得购物券的概率； ②5元以上（包括5元）购物券区域圆心角之和为： ， ， 故她获得5元以上（包括5元）购物券的概率是． 51．(24-25七下·河南郑州郑州高新技术产业开发区名校协作体·期中)丹尼斯大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：凡一次性购物满元者即可获得一次转转盘的机会，转盘被等分成份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，获得奖项如下： 一等奖：空气炸锅一个 二等奖：双肩背包一个 三等奖：洗衣液一桶 根据以上信息，解答下列问题： (1)转一次转盘，会有_____种不同的结果；其中获得双肩背包的概率为_____； (2)若一次性购物满元，则转一次转盘，获奖的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将_____个空白扇形涂上颜色． 【答案】(1)4； (2)（获奖） (3)3 【分析】本题考查了概率公式，解题关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式进行计算； （2）根据概率公式进行计算； （3）根据顾客获得购物券的概率是和概率公式设计游戏规则即可． 【详解】（1）解：∵指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，二等奖获得双肩背包，黄色扇形有2个， ∴转一次转盘，会有4种不同的结果，其中获得双肩背包的概率为， 故答案为：4，； （2）∵红、黄、蓝色区域共7个扇形，共有16个扇形， ∴若一次性购物满500元，则转一次转盘，获奖的概率是； （3）， ∴需要再将3个空白扇形涂上颜色． 故答案为：3． 52．(24-25七下·山西晋中榆次区·期中)小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 【答案】(1)两位同学的想法是错误的，原因见解析 (2)不公平，涂色见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算并判断即可得解； （2）根据概率公式计算即可得出． 【详解】（1）解：我认为以上两位同学的想法是错误的． 理由：转盘被等分为12个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有12种，这些结果是等可能的．其中红色扇形有2个，黄色扇形有3个，空白扇形有7个，所以指针停留在这三个区域的结果不是等可能的，指针落在红色区域的概率是．因此小杰的想法是错误的． 转盘是均匀的．无论前面转动结果如何，再转一次，结果都不会受到前面的影响，指针落在黄色区域的概率．因此，小颖的想法是错误的． （2）解：不公平． 由（1）可得小杰获胜的概率是，小颖获胜的概率是， ∵， ∴游戏不公平， 只要把一个空白区域的扇形标注成红色即可． 题型七、列举法求概率 53．(2025·山东省淄博市·)粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】(1)20，10，90 (2)统计图见解析 (3) 【分析】本题考查了统计图表的识别、概率的计算： （1）结合扇形统计图和统计表格即可先求出总数，再求b和a，最后再求第4组的圆心角； （2）根据（1）中求出数据即可作图； （3）将2名男生和3名女生编号，列举出所有可能的结果，按概率计算方法计算即可． 【详解】（1）解：由图可知抽取的学生的总数量为， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为， 故答案为：20，10，90； （2）解：如图： （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3，则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为． 54．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； (2)从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是________； (3)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）根据概率公式计算即可得解； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：2，3，4，5共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为； 故答案为：； （2）解：2，3，4，5共有4张牌，从中随机抽出两张牌，结果有：和，和，和，和，和，和，共种情况，其中两张牌面数字的和是5的情况有种为和， 故从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是； 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有16种可能结果：22，23，24，25，32，33，34，35，42，43，44，45，52，53，54，55，其中恰好是4的倍数的共有4种，即24，32，44，52， 所以两位数恰好是4的倍数的概率是． 55．垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了概率公式． （1）直接利用概率公式求解； （2）直接利用概率公式求解； （3）分别计算出小明和小亮到社区服务的概率，然后比较两概率的大小可判断此游戏是否公平． 【详解】（1）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到印有6的卡片的有种， ∴抽到印有6的卡片的概率为； （2）解：抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字为偶数的有种， ∴抽到所印数字为偶数的概率为； （3）解：游戏公平，理由为： 抽取卡片的等可能性结果有种，抽到所印数字比6大的有种，抽到所印数字比6小的有种， ∴抽到所印数字比6大的概率为；抽到所印数字比6小的概率为； 故小明和小亮到社区服务的可能性相同，游戏公平． 56．(24-25九下·陕西西安滨河学校·期中)爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）一共有“石头”、“剪刀”、“布”三种手势，根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵小明每次做手势有“石头”、“剪刀”、“布”三种结果， ∴小明出“剪刀”手势的概率为， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有9种可能出现的结果，其中小明胜出的有2种结果和 ， ∴小明获胜的概率为． 57．(24-25九上·江苏苏州振华中学校·期中)十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看． (1)小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等可能情形下的概率计算，对于结果数较少的采用列举法，而对于两次抽取问题采用列表或树状图； （1）对结果进行列举，根据利用概率计算公式进行计算即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能画树状图法或列表法进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》共有中结果， 他选中《志愿军》的概率为， 故答案：； （2）解：表示如下：：《志愿军》、：《毒液》、：《浴火之路》 列表如下： 共有种等可能结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的结果有种， ， 答：小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率为． 题型八、列举法或树状图法求概率 58．(2025·广东省揭阳市·二模)电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为． 故答案为：； （2）解：如图： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为． 59．(24-25九上·广东清远清新区第三中学·期中)某校组织学生参加“亲子共劳”的主题实践活动，为了解学生参与本次活动的情况，随机抽取本校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，“洗衣服”对应扇形的圆心角度数为______； (3)现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁名学生中，随机抽取名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率． 【答案】(1)名，补图见解析 (2) (3) 【分析】（）用做饭的人数除以其百分比可求出共调查的学生人数，进而求出扫地的学生人数，再补全条形统计图即可； （）用乘以“洗衣服”的人数占比即可求解； （）根据题意画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴本次共调查了名学生， ∴扫地的学生有， ∴补全条形统计图如下： （2）解：∵， ∴“洗衣服”对应扇形的圆心角度数为； 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有种， ∴甲、乙两人同时被抽中的概率为． 60．(25-26九上·浙江温州南浦实验中学·期中)概率与应用： 【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）． 【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则： 将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片． 【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签． 【任务】 (1)求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率． (2)用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率． 【答案】(1)小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为 (2)小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据题意列出表格，然后可求解概率． 【详解】（1）解：由题意可知： 小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为； （2）解：由题意可列表如下： 小温/小州 A C A C 由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为． 61．(24-25九上·广东清远清新区第二中学·期中)居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用B层次人数除以其所占百分比，即可解题； （2）结合条形统计图，利用乘以层次的人数所占比，即可解题； （3）记甲、乙、丙、丁四位居民分别为，根据题意画出树状图，进而得到总的情况数，以及恰好选中甲和乙的情况数，再结合概率公式求解，即可解题。 【详解】（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：结合条形统计图可知层次的扇形统计图要比层次的扇形统计图小， 所以， 故答案为：； （3）解：记甲、乙、丙、丁四位居民分别为， 根据题意画树状图如下： 由图可知，总共有种情况数，其中恰好选中甲和乙的情况有种， 恰好选中甲和乙的概率为． 6．(24-25下·江苏无锡外国语学校·期中)2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了随机事件的概率计算，包括一步随机事件的概率和两步随机事件的概率．解题的关键是明确概率的计算公式（概率所求情况数与总情况数之比），并通过列表或树状图清晰呈现两步随机事件的所有可能结果． （1）确定总情况数为4，选中“青神竹编”的情况数为1，根据概率公式计算即可； （2）通过列表或树状图列出所有可能的选择结果，找出两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数，再结合概率公式求解． 【详解】（1）解：总共有4幅图，随机选择一幅，选中“C．青神竹编”的情况只有1种．根据概率公式，所求概率为． 故答案为：． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果数为2． 所以两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 题型九、用频率估计概率 63．(24-25九上·广东清远清新区第二中学·期中)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的2个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋中的绿球数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了利用频率求概率，以及利用概率求对应数量，掌握相关知识是解题关键． 根据题意得到抽到红球的概率为0.4，利用概率求出袋中总的球数，进而求出袋中的绿球数，即可解题． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在0.4，即抽到红球的概率为0.4， 袋中总的球数为：（个）， 袋中的绿球数为（个）， 故选：A． 64．(25-26九上·陕西渭南实验初级中学·期中)一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率的稳定值即概率，关键是得到关于黑球概率的等量关系． 先由频率＝频数数据总数，计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 【详解】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 由于大量反复试验下频率的稳定值即概率，故摸出黑球的概率为， 设口袋中有个白球，则黑球的概率为， 解得， 故白球的个数为15个． 故选：B． 65．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率．根据折线统计图可知，随着试验次数的增加频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下， A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，本选项不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是的概率是，本选项符合题意； C、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，本选项不符合题意； D、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，本选项不符合题意； 故选：B． 66．(25-26九上·广东深圳宝安区·期中)在一个不透明的袋子里有红球、黄球共个，这些球除颜色外其余都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比． 根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有个， 根据题意，可得， 解得：， 则红球的个数为个． 故选：B． 67．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到白球的频率稳定在左右，得到摸到白球的概率为0.6，再利用概率求数量即可． 【详解】解：由题意可知，多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右， 摸到白球的概率为， 袋子里白球的个数估计是个， 故选：C． 68．(22-23七下·陕西汉中勉县·期末)从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 【答案】(1)30， (2) (3)这个游戏对双方不公平，理由见详解 【分析】本题主要考查了概率与游戏的公平，理解题意是正确解答此题的关键． （1）根据表格中的数据计算即可； （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率； （3）分别求得概率再比较可得结论不公平． 【详解】（1）解：，， 故答案为：30，； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为， 故答案为：； （3）解：不公平， 理由：∵在方块1到方块13共13张牌中，奇数有7个，偶数有6个， ∴甲方赢的概率为，乙方赢的概率为， 由于， 所以这个游戏对双方不公平． 69．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 【答案】(1)0.11；50 (2)0.1 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：0.11，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为0.1． 70．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； (2)试估算盒子里白球有_____________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 【答案】(1) (2)5 (3)①④ 【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）根据题意得：个)， 故答案为：5； （3）①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； ②掷一个质地均匀的正六面体骰子(面的点数标记分别为1到6)，落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意； ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意； ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目相应频率． 题型十、游戏公平性 71．(24-25九上·宁夏银川灵武五校·期中)如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 【答案】不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则不公平． 设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜． 这样的规则是公平的，理由如下： 由题意，画出树状图如下： 由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种， 则甲胜的概率是，乙胜的概率是， 因为， 所以这样的规则公平． 72．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 73．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 题型十一、概率在转盘中的应用 74．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】(1)、 (2)， (3) 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：、； （2）解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； （3）解：，，， ． 75．五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2)转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为 (3)得不到购物券的概率大 【分析】本题考查了不可能事件、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据题意可得转动一次转盘不可能获得100元的购物券，由此即可得； （2）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得； （3）先求出转动一次转盘的所有等可能的结果，再分别找出转动一次转盘得到购物券的结果、转动一次转盘得不到购物券的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券， ∴转动一次转盘获得100元的购物券是不可能事件， 故答案为：不可能事件． （2）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘获得50元购物券的结果只有1种，转动一次转盘获得30元购物券的结果有2种，转动一次转盘获得20元购物券的结果有4种， ∴转动一次转盘获得50元购物券的概率为， 转动一次转盘获得30元购物券的概率为， 转动一次转盘获得20元购物券的概率为， 答：转动一次转盘获得50元购物券的概率为，转动一次转盘获得30元购物券的概率为，转动一次转盘获得20元购物券的概率为． （3）解：∵转动一次转盘共有16种等可能的结果，其中，转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， ∴转动一次转盘得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为， ∵， ∴得不到购物券的概率大． 76．(22-23七下·贵州贵阳·期末)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用概率公式求概率，掌握概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）把其中3个扇形标A即可． 【详解】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同， ∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是； （2）∵每个展馆都有被选中的机会， ∴先将每个展馆都填在一个区域内， 又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大， ∴剩下的两个区域都填上即可， 如图所示： 指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 题型十二、概率在比赛中的应用 77．(24-25七下·山西运城多校·期中)某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 【答案】盈利了，理由见解析 【分析】本题考查概率的应用，根据几何概率的定义，面积比即概率．图中A，B，C所占的面积与总面积之比即为A，B，C各自的概率，算出相应的可能性，乘以钱数，比较即可． 【详解】解：盈利了． 理由如下： 游乐场收入：（元）． 游乐场支出：（元）． 因为，所以盈利了． 78．(24-25七下·陕西咸阳永寿县·期中)小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 【答案】(1) (2)小丽获胜的概率大 【分析】本题考查简单的概率计算，掌握概率的计算公式是解答本题的关键． （1）先确定中3的倍数的个数，再依据概率公式计算即可． （2）确定小丽抽到6后剩余卡片情况，共9张，数字为、、、、、、、、； 分别找出小亮获胜（抽到、、、 ）和小丽获胜（抽到、、、、 ）对应的数字个数； 依据概率公式分别计算小亮和小丽获胜的概率，比较大小得出谁获胜概率大． 【详解】（1）解：在1到10这10个数字中，3的倍数有3、6、9，共3个． 所以抽出卡片上的数字是3的倍数的概率， 故答案为：； （2）在数字1到10中，比6小的数字有1，2，3，4，5， 所以小丽获胜的概率是．           比6大的数字有7，8，9，10， 所以小亮获胜的概率是．           因为， 所以小丽获胜的概率大． 79．(23-24九上·福建泉州鲤城区福建泉州外国语学校·期末)贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查了概率的计算，逐局分析胜负计算概率即可解题． （2）本题考查了用列举法求概率，考虑前4局中乙恰好当1次裁判出现的局数，逐一计算概率，即可解题． 【详解】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输， 第1局甲当裁判， 第2局甲为选手， 每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判， 第2局甲获胜， 第4局甲当裁判的概率； （2）解：第1局甲当裁判， 乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局， 当在第2局时的概率， 当在第3局时的概率， 当在第4局时的概率， 乙恰好当1次裁判的概率． 1．(2025九·湖北省武汉市·模拟)年，“杂交水稻之父”袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（  ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：事件“没有水分，水稻正常生长”是不可能事件， 故选：． 2．(2025·山东省枣庄市·模拟)小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意先画出树状图得出所有情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有种情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是； 故选：D． 3．(2025九·湖北省武汉市·模拟)的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是正确列举所有可能的情况． 首先画出图形，然后列举出所有等可能的情况数和剩余部分组成的图形是轴对称图形的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意得，所有等可能的情况有： 取走的两块分别为1，2；1，3；1，4；1，5；1，6；1，7；1，8；1，9； 2，3；2，4；2，5；2，6；2，7；2，8；2，9； 3，4；3，5；3，6；3，7；3，8；3，9； 4，5；4，6；4，7；4，8；4，9； 5，6；5，7；5，8；5，9； 6，7；6，8；6，9； 7，8；7，9； 8，9； ∴共有种等可能的情况， 剩余部分组成的图形是轴对称图形的情况有： 取走的两块分别为：1，3；1，5；1，7；1，9；2，4；2，5；2，6；2，8；3，5；3，7；3，9；4，5；4，6；4，8；5，6；5，7；5，8；5，9；6，8；7，9； ∴共有20种情况， ∴从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是． 故选：D． 4．一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式的运用，准确计算是解题的关键． 用白球的个数除以总个数即可得解． 【详解】共有9个球在盒子中，其中4个白球， 从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是； 故答案是． 5．如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，分别求出大圆面积和小圆面积，再相减得出圆环面积，运用圆环面积除以大圆面积，即可得出咖啡豆落在阴影部分的概率． 【详解】解：依题意，大圆面积，小圆面积， 则圆环面积， ∵， ∴， ∴大圆面积，圆环面积， ∴咖啡豆落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 6．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 【答案】(1) (2)选择方案二更划算 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、平均数、概率公式，解决本题的关键是掌握树状图法求概率． （1）①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人，进而可以补充表格数据； ②用手机支付的女性人数除以调查的女性总人数即可； （2）若选方案一：则需付款：元；若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元，根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、，画出树状图分别求出摸到个红球，摸到个红球，未摸到红球的概率，求出实际付款的平均金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：①因为随机抽取了名（女性人），所以男性人， ∵，， ∴，， 补充表格如下： 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 ②由①可得，女性用户中随机抽取位，这位女性用户是“手机支付族”的概率是． （2）解：若选方案一：则需付款：元； 若选方案二：设实际付款元，则取值为：元，元，元， 根据从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），设两个红球为、，白球为、， 画出树状图为： 根据树状图可知：所有可能的结果共种，摸到个红球的有种，摸到个红球的有种，未摸到红球的有种， 所以摸到个红球的概率为：，则打折， 摸到个红球的概率为：，则打折， 未摸到红球的概率为：，按原价付款． 所以实际付款的平均金额为： （元）． 因为元元， 所以选择方案二更划算． 7．商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 8．为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析 (2)九年级的获奖率高，计算过程见解析 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键． （1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可； （2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分； 八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故； 故答案为：8；8；； ②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖； （2）解：八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， ， 九年级的获奖率高． 9．(2023·河北省唐山市·二模)有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 【答案】(1) (2)张亮的想法是错的，见解析 (3) 【分析】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案； （3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可． 【详解】（1）由题得，列表为： 第1个第2个 1 3 3 1 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1 2 4 所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，； （2）由（1）得：，，，，， ∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：， ∵，所以张亮的想法是错的． （3）∵， ∴（答案不唯一） 【点睛】本题考查列表法或树状图法，众数、平均数，列举出所有等可能出现的结果是计算概率的前提，掌握众数、平均数的计算方法是解决问题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率初步十二大题型归类 目录 A题型建模・专项突破 题型一、时间的分类 1 题型二、概率的理解 3 题型三、判断事件概率的大小 7 题型四、根据概率公式求概率 9 题型五、根据概率求数量 14 题型六、几何概率 17 题型七、列举法求概率 27 题型八、列举法或树状图法求概率 33 题型九、用频率估计概率 38 题型十、游戏公平性 43 题型十一、概率在转盘中的应用 46 题型十二、概率在比赛中的应用 50 B综合攻坚・能力跃升 题型一、时间的分类 1．下列事件是必然事件的是（   ） A．校园篮球比赛，九年一班获得冠军 B．五边形外角和是 C．掷一枚硬币时，反面朝上 D．打开电视，正在播放神舟十七号载人飞船发射实况 2．下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．水加热到时会沸腾 B．在阳光的照射下，种子发芽 C．氢气在氧气中燃烧生成水 D．太阳绕着地球转 3．(2025·湖南省怀化市·模拟)“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列事件属于必然事件的是（      ） A．水中捞月 B．守株待兔 C．水滴石穿 D．缘木求鱼 4．下列说法正确的是（   ） A．旅客上高铁列车前的安检应选择抽样调查 B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件 C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图 D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定 题型二、概率的理解 5．下列说法中，正确的是（    ） A．“任意画一个三角形，其内角和是”是必然事件 B．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 C．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 D．如果某彩票的中奖率是，那么一次购买100张彩票一定会中奖 6．(24-25九下·江苏泰州中学附属初级中学·三模)有一个经过特殊处理的骰子，这个骰子掷出2，3，4，5的概率仍然是，但掷出6的概率是掷出1的概率的两倍，则他掷出6的概率是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，朝上一面的点数是是必然事件 B．“明天降雨的概率为”，表示明天有半天都在降雨 C．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件 D．了解某型号电视机的使用寿命，适合用全面调查的方式 8．下列说法正确的是（   ） A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点 B．可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生 C．天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨 D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 9．下列说法正确的是（   ） A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查 B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为，则他投十次可投中6次 C．一组数据3，6，6，8，8，9的中位数是7 D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩的平均数相同，方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 10．(2024九·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市·二模)下列说法正确的是（   ） A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．天气预报“明天降水概率”，是指明天有一半的时间会下雨 C．甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D．了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式 11．(2025·湖南省长沙市·三模)下列关于统计与概率的知识说法正确的是（   ） A．赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上获得冠军是必然事件 B．了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式 C．若一个游戏的中奖率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 D．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，，则甲组数据比乙组数据更稳定 12．下列说法正确的是（     ） A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用全面调查 B．某彩票设“中奖概率为”，购买100张彩票就一定会中奖一次 C．一组数据2，2，2，3，4的中位数是3 D．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组稳定 题型三、判断事件概率的大小 13．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 14．(2023·江苏省常州市·一模)在个相同的袋子中，装有除颜色外完全相同的个球，任意摸出个球，摸到红球可能性最大的是（    ） A．个红球，个白球 B．个红球，个白球 C．个红球，个白球 D．个红球，个白球 15．(21-22八下·江苏苏州苏州工业园区星海实验中学·期末)下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是（    ） A．朝上的点数为2 B．朝上的点数为7 C．朝上的点数为2的倍数 D．朝上的点数不大于2 16．(23-24九上·浙江杭州下城区杭州观成实验学校·期中)一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 17．袋子里有8个红球，m个黑球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性比摸到黑球的可能性大，则m的值不可能是（　　） A．10 B．5 C．3 D．1 题型四、根据概率公式求概率 18．(25-26九上·浙江义乌义乌赤岸镇赤岸初级中学·期中)一个不透明的口袋中装有3个红球和1个白球，小球除颜色不同外其它都相同，摇匀后摸出一个小球，记下颜色后放入口袋摇匀后继续摸出小球，前五次摸出的小球都是红球，则第六次摸出红球的概率为（    ） A． B． C． D．1 19．(24-25九下·广东中山德恒中学·期中)从实数，0，，，中随机抽取一数，抽到无理数的概率是（   ） A． B． C． D． 20．(2025·湖北省武汉市·调研)下面是常用的化学试剂，下面两种化学试剂一混合后能生成（碳酸钙）沉淀的概率是（    ） A． B． C． D． 21．(25-26九·期中冲刺卷·期中)从标有号码1到100的100张卡片中，随意地抽出一张，其号码是3的倍数的概率是（    ） A． B． C． D．不确定 22．某学校新开设了很多社团，如果小明和小周两名同学每人在模联、合唱、手工制作三个社团中随机选择参加其中一个社团，那么小明和小周选到同一社团的概率为（   ） A． B． C． D． ∵共有种等可能的结果，小明和小周选到同一社区参加实践活动的有种情况， ∴小明和小周选到同一社区参加实践活动的概率为： 故选：C． 23．(24-25八下·黑龙江大庆庆新中学·期中)杭州第届亚运会的吉祥物包括三个机器人造型，分别是“琮琮”“莲莲”和“宸宸”．现有三张完全相同的卡片，在其正面分别是写上“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，将这三张卡片背面朝上放置，打乱后随机抽取一张，恰好抽到“莲莲”的概率是（   ） A．1 B． C． D． 24．(24-25七下·福建三明宁化县·)掷一枚质地均匀的硬币，前3次都是正面朝上，掷第4次时正面朝上的概率是（　　） A． B． C． D． 25．(24-25七下·福建漳州漳浦县中学·期末)2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ． 26．从由1，2，3，4，5，6组成的三位渐升数（如123，145）中任取一个数，则这个三位渐升数能被9整除的概率为 ． 27．(24-25八下·江苏苏州园区青剑湖实验中学·期中)口袋中有5个黄球和个红球，从中任意摸一个，若摸到红球的可能性是，则 ． 28．(24-25九下·福建泉州德化县·期中)现有5张卡片，正面分别写着“强”“国”“复”“兴”“梦”这5个字，这些卡片除正面的字外其余均相同，将5张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好写着“强”字的概率是 ． 29．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)九（1）班有50名学生，其中有20人报了美术班，从该班随机选一名学生，这名学生报美术班的概率是 ． 题型五、根据概率求数量 30．在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 31．(24-25九下·贵州贵阳中央民族大学附属中学贵阳学校·期中)在一个不透明的箱子中有3张红卡和若干张绿卡，它们除了颜色外其他完全相同，通过多次重复抽卡试验后发现，抽到绿卡的频率稳定在附近，则箱中卡的总张数可能是（   ） A．5张 B．4张 C．9张 D．12张 32．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共20个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀．通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在左右，则盒子中白球的个数可能是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 33．(24-25七下·江西九江柴桑区五校联考·期中)在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球7个，其余为白球从装中随机摸出一个球，摸出黄球的概率为，则袋中白球的个数为（    ） A．4 B．9 C．15 D．21 34．(24-25七下·陕西咸阳礼泉县·期中)一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼”字卡片的概率为，则袋子中写有“泉”字的卡片有（　　） A．3张 B．6张 C．9张 D．2张 35．在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为，则 ． 36．(22-23八下·江苏连云港新海初级中学·期中)只有颜色不同的红球和白球共20个装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到的白球的频率稳定在0.8附近，则袋中白球的数量最有可能是 个． 37．在不透明的袋子中有8个红球和若干个绿球，这些球除颜色外无其他差别，每次摇匀后随机取出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现取到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球 个． 38．(24-25七下·陕西汉中勉县·期中)在一个箱子里放有白球和红球共7个，它们除颜色外其余都相同．若从中任意摸出一个球，要使摸到红球的可能性大，则红球至少有 个． 题型六、几何概率 39．(24-25七下·甘肃张掖临泽县第二中学·期中)如图四个转盘中，若转盘自由转一次停止后指针落在阴影域内的概率最大的盘是（   ） A．B．C． D． 40．(24-25七下·山东东营河口区实验中学·期中)如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 41．(24-25七下·江西九江修水县·期中)如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 42．(24-25七下·山东泰安新泰·期中)如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘指针指向奇数的概率是（   ） A． B． C． D． 43．(24-25七下·重庆第一中学校·期中)如图，有一只小球在一水平地板上自由滚动，地板上每个格子都是边长为1的正方形，则小球在地板上最终停留在黑色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 44．(24-25七下·陕西西咸新区·期中)转动转盘，指针停在甲区域和乙区域的概率分别为P（甲）和P（乙），则下列关系正确的是（   ） A．P（甲）P（乙） B．P（甲）P（乙） C．P（甲）P（乙） D．无法比较P（甲）和P（乙）的大小 45．(24-25七下·山东济南历下区·期中)一只昆虫自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全一样），昆虫停在阴影部分的概率为 ． 46．(24-25七下·宁夏银川唐徕中学南校区·期中)如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为 ． 47．(24-25七下·陕西西安高新区第三初级中学·期中)二十四节气列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．太阳运行的轨道是一个圆形，古人将之称作“黄道”，并把黄道分为24份，每15度就是一个节气，统称“二十四节气”．这一时间认知体系被誉为“中国的第五大发明”如图，指针落在谷雨区域的概率是为 ． 48．(24-25七下·陕西西安高新第三中学·月考)某商场制成了一个如图所示的转盘（八等份）游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向字母“A”，则收费2元，若指针指向字母“B”，则奖3元；若指针指向字母“C”，则奖1元；若指针指向边线则重转一次． (1)转动转盘1次，获奖1元的概率为________． (2)转动转盘1次，获奖的可能性________付费的可能性（填“>”或“<”或“=”）． (3)计算转动参与者转盘1次的平均收益． 49．(24-25七下·陕西汉中汉台区部分学校·期中)某鸡排店利用周末搞促销活动：凡在本店购买一份鸡排，可参加摇奖一次，就有机会获得听装可乐，摇奖牌是如图所示的转盘，转动转盘，停止转动后指针指向即为中奖情况． (1)中奖获得3听可乐的概率是多少？ (2)中奖的概率是多少？ 50．(24-25七下·山东淄博张店区·期中)某商场今年五一劳动节期间为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：每购买100元商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针上对准区域“D”则顾客未中奖；指针对准“A””B”“C”三个区域，顾客就可以分别获得2元、5元、10元的购物券一张（转到公共线位置时重转）． (1)若某顾客转动1次转盘，求其未中奖的概率． (2)小华购物98元，他获得购物券的概率是多少？ (3)小丽购物120元，那么： ①她获得购物券的概率是多少？ ②她获得5元以上（包括5元）购物券的概率是多少？ 51．(24-25七下·河南郑州郑州高新技术产业开发区名校协作体·期中)丹尼斯大卖场为回馈新老顾客，进行有奖促销活动．活动规定：凡一次性购物满元者即可获得一次转转盘的机会，转盘被等分成份，指针分别指向红、黄、蓝色区域，分别获一、二、三等奖，获得奖项如下： 一等奖：空气炸锅一个 二等奖：双肩背包一个 三等奖：洗衣液一桶 根据以上信息，解答下列问题： (1)转一次转盘，会有_____种不同的结果；其中获得双肩背包的概率为_____； (2)若一次性购物满元，则转一次转盘，获奖的概率是多少？ (3)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将_____个空白扇形涂上颜色． 52．(24-25七下·山西晋中榆次区·期中)小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 题型七、列举法求概率 53．(2025·山东省淄博市·)粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． 54．将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； (2)从中随机抽出两张牌，两张牌面数字的和是5的概率是________； (3)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 55．垃圾分类是建设生态文明的重要措施，为提高大家对垃圾分类的意识，某校学生会组织学生到社区服务，因名额有限，小明和小亮只能去一人，学生会会长提出一个办法．将正面印有3，5，6，6，8，9的六张卡片（卡片除正面所印数字不同外，其他均相同）洗匀后，背面朝上放在桌面上，从中任意抽取一张，若抽到所印数字比6大，则小明去；若抽到所印数字比6小，则小亮去． (1)求抽到印有6的卡片的概率； (2)求抽到所印数字为偶数的概率； (3)你认为这个办法对双方公平吗？为什么？ 56．(24-25九下·陕西西安滨河学校·期中)爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”． (1)小明出“剪刀”手势的概率为_____； (2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表示）． 57．(24-25九上·江苏苏州振华中学校·期中)十月有多部影片上映．小亮和小丽准备分别从《志愿军》、《毒液》、《浴火之路》三部电影中随机选择一部观看． (1)小亮从这三部电影中，随机选择一部观看，则他选中《志愿军》的概率为 ； (2)请用列表或画树状图的方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 题型八、列举法或树状图法求概率 58．(2025·广东省揭阳市·二模)电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； (2)用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 59．(24-25九上·广东清远清新区第三中学·期中)某校组织学生参加“亲子共劳”的主题实践活动，为了解学生参与本次活动的情况，随机抽取本校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，“洗衣服”对应扇形的圆心角度数为______； (3)现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁名学生中，随机抽取名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率． 60．(25-26九上·浙江温州南浦实验中学·期中)概率与应用： 【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）． 【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则： 将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片． 【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签． 【任务】 (1)求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率． (2)用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率． 小温/小州 A C A C 61．(24-25九上·广东清远清新区第二中学·期中)居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 6．(24-25下·江苏无锡外国语学校·期中)2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．潍坊风筝     B．东明粮画 C．青神竹编      D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是___________． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅；请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 题型九、用频率估计概率 63．(24-25九上·广东清远清新区第二中学·期中)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的2个红球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到红球的频率稳定在0.4，则袋中的绿球数为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 64．(25-26九上·陕西渭南实验初级中学·期中)一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 65．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的点数是6 C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头” D．袋子中有1个白球和2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球 66．(25-26九上·广东深圳宝安区·期中)在一个不透明的袋子里有红球、黄球共个，这些球除颜色外其余都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数可能是（ ） A．30 B．35 C．40 D．45 67．在一个不透明的袋子里有红球、白球共20个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次试验发现，摸到白球的频率稳定在左右，则袋子里白球的个数估计是（     ） A．16 B．14 C．12 D．8 68．(22-23七下·陕西汉中勉县·期末)从一副52张（没有大小王）的扑克中，每次抽出1张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现方块的次数 11 18 40 49 63 68 80 91 100 出现方块的频率 (1)填空：______，______； (2)从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是______； (3)将这副扑克中的所有方块（即从方块1到方块13，共13张，其中A表示1，表示11，表示12，表示13）取出，将这13张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 69．(24-25七下·陕西咸阳永寿县蒿店中学·期中)某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼，在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次试验得到数据如下表所示： 每次打捞鱼数 50 100 200 300 500 每次打捞鱼中带标记的鱼数 4 11 19 31 打捞到带标记的鱼的频率 0.080 0.095 0.103 0.100 根据表中数据，回答下列问题： (1)表中_____，_____； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，估计打捞到带标记的鱼的概率．（结果精确到0.1） 70．在一个不透明的盒子里装有红、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．实践小组的同学做摸球试验，搅匀后，从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据： 摸球的次数 10 20 50 100 200 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 4 7 10 28 50 127 196 252 744 摸到白球的频率 0．400 0．350 0．200 0．280 0．250 0．254 0．245 0．252 0．248 (1)请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近_____________（精确到0．01）； (2)试估算盒子里白球有_____________个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是___________（填写所有正确结论的序号）． ①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”． ③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲． 题型十、游戏公平性 71．(24-25九上·宁夏银川灵武五校·期中)如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下： （1）同时转动转盘A与B． （2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由． 72．小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． 73．某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 题型十一、概率在转盘中的应用 74．某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 (1)完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 (2)若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） (3)顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 75．五一期间，某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形．商场规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是________；（填必然事件、不可能事件或随机事件） (2)转动一次转盘获得50元、30元、20元购物券的概率分别是多少？ (3)如果某顾客获得一次转转盘的机会，则得到购物券的概率和得不到购物券的概率哪个大？ 76．(22-23七下·贵州贵阳·期末)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆． (1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ； (2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率． 题型十二、概率在比赛中的应用 77．(24-25七下·山西运城多校·期中)某公园游乐场为了增加趣味性，精心设计了一款独具创意的转盘（转盘被等分成8个扇形）游戏，命名为“开心大转盘”，游戏规则如下：参与者可随心转动转盘，指针指向“A”区，参与者需支付2元费用；指针指向“B”区，参与者可获得3元奖励；指针指向“C”区，参与者可获得1元奖励．某天，参与游戏的人共转动转盘80次，你认为这一天针对该转盘游戏游乐场盈利了还是亏损了？为什么？ 78．(24-25七下·陕西咸阳永寿县·期中)小丽和小亮用10张写有的卡片做游戏，这10张卡片除数字外完全相同，将它们背面朝上混合均匀后，从中任意抽出一张． (1)抽出卡片上的数字是3的倍数的概率是________； (2)小丽和小亮规定：小丽从中任意抽出一张卡片，小亮从剩余的卡片中任意抽出一张，谁抽到卡片上的数字大谁就获胜，现在小丽抽到数字6的卡片，然后小亮抽出卡片，那么谁获胜的概率大？ 79．(23-24九上·福建泉州鲤城区福建泉州外国语学校·期末)贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率； (2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率． 1．(2025九·湖北省武汉市·模拟)年，“杂交水稻之父”袁隆平培育出世界上第一株籼型杂交水稻，不仅解决了我国人多粮食少的问题，也给世界粮食产业带来了一次绿色变革．事件“没有水分，水稻正常生长”是（  ） A．随机事件 B．确定性事件 C．不可能事件 D．必然事件 2．(2025·山东省枣庄市·模拟)小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 3．(2025九·湖北省武汉市·模拟)的大正方形图案由9个全等的小正方形拼图组成，从中随机取出两块，剩余部分组成的图形是轴对称图形的概率是（  ） A． B． C． D． 4．一个不透明的盒子中装有5个红球和4个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的概率是 ． 5．如图，某奶茶店铺前地面上有以点O为圆心的两个同心圆投影图案，大圆的半径为R，小圆的半径为r，，随机往地面上撒一粒咖啡豆，咖啡豆落在阴影部分的概率是 6．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，男性、女性日常生活中几乎全部领域都支持手机支付．出门不带现金的人数正在迅速增加．中国人民大学和法国调查公司益普素合作，调查了腾讯服务的名用户（男性人，女性人），从中随机抽取了名（女性人），统计他们出门随身携带现金（单位：元），规定：随身携带的现金在元以下（不含元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 (1)①：根据已知条件，将下列横线表格部分补充完整（其中，）； ②：用样本估计总体，由①可得，若从腾讯服务的女性用户中随机抽取位，求这位女性用户是“手机支付族”的概率． (2)某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案、 方案一：手机支付消费每满元可直减元： 方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖一次，抽奖规则如下：从装有个小球（其中个红球个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出个小球（逐个放回后抽取），若摸到个红球则打折，若摸到个红球则打折，若未摸到红球按原价付款． 如果你打算用手机支付购买某样价值元的商品，请从实际付款的平均金额的角度分析，选择哪种优惠方案更划算． 手机支付 非手机支付 合计 男 女 合计 7．商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 8．为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示： 平均数 众数 中位数 方差 八年级 8 7 九年级 8 8 (1)请根据图表中的信息，回答下列问题． ①表中的______，______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ (2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？ 9．(2023·河北省唐山市·二模)有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 第1个第2个 1 3 3 1 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1 2 4 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $