第二十三章 图形的变换（复习讲义）数学北京版九年级下册

函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二十三章 图形的变换（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.理解基本概念 ①掌握平移、旋转、轴对称的定义和性质②能识别生活中的图形变换现象 2.掌握作图方法 ①能根据要求画出平移/旋转/轴对称后的图形②会用尺规作简单的对称图形 3.应用变换性质 ①利用变换解决简单的几何问题（如求角度、线段长度）②分析组合变换（如连续两次轴对称）的效果 4.联系实际 ①①欣赏图案设计中的变换应用②用变换解释简单机械运动（如车轮旋转） 知识图谱梳理，固基础 平移的概念 平移的性质 轴对称与轴对称图形 轴对称变换 平移变换 作图 图形的变换 位似图形的定义 旋转的概念 位似图形的性质 位似变换 旋转的性质 旋转变换 中心对称 教材要点精析·夯重点 知识点01平移变换 平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移.平移不 改变图形的形状和大小。 平移的三大要素：1)平移的起点，2)平移的方向，3)平移的距离. 平移的性质： 1/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1)平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等。 2)平移前后对应线段平行且相等、对应角相等 3)任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1)根据题意，确定平移的方向和平移的距离： 2)找出原图形的关键点： 3)按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形. 知识点02旋转变换 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转过一个角度，这样的图形运动叫旋转. 这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角。 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 性质： 1)对应点到旋转中心的距离相等； 2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3)旋转前后的图形全等. 作图步骤： 1)根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角： 2)找出原图形的关键点； 3)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点： 4)按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形， 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自 定义 身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形， 形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.。 这个点叫做它的对称中心 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 2/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形 联系 就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这 “两个图形”中心对称。 中心对称的性质：1)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分： 2) 中心对称的两个图形是全等图形 知识点03轴对称变换 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的 定义 够与另一个图形重合，那么就说这两个图形 部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称 关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴， 图形.这条直线就是它的对称轴 1)轴对称是指两个图形折叠重合 1)轴对称图形是指本身折叠重合 区别 2)轴对称对称点在两个图形上. 2)轴对称图形对称点在一个图形上. 3)轴对称只有一条对称轴 3)轴对称图形至少有一条对称轴. 1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合 联系 2)如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，如果把轴对称 图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称。 性质 1)关于某条直线对称的两个图形是全等形， 2)两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 判定 1)两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 2)两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等 知识点04位似变换 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点，对应线段相互平行，那么这样 3/28 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的两个图形叫做位似图形，位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 位似中心在两图形的一侧： 两图形分居位似中心两侧： 位似中心在两图形的内部 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图 形时，注意关于某点的位似图形有两个.) 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 位似图形的性质： 1)位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2)位似图形的对应边互相平行或者共线。 3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比， 4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等 于k或-k 考点题型突破·拓思组 题型一利用平移求面积 【例1】如图，将面积为5的三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移的距离是边BC长的两 倍，那么图中的四边形ACFD的面积是() E C A.15 B.20 C.25 D.30 【变式1-1】如图，面积为6的ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长度的2倍， 则四边形ACED的面积是() 4/28 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.30 B.24 C.18 D.12 【变式1-2】.将ABC向右平移4个单位长度得到DEF,D0=2,AB=6,则阴影四边形0CFD的面积 是( A D B E F A.10 B.20 C.30 D.40 【变式1-3】.如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A,满足AA'= ,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是() A.4 B.6 C.8 D.9 题型二利用平移求坐标 【例2】点P(2,-4)向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q,则点Q坐标为() A.(8,-1 B.(5,-10) C.(5,2) D.（-1,-10 【变式2-1】·点A(3,-5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B,则点B的坐标为() A.(1,-8 B.(1,-2) C.（-7,-1 D.(0,- 【变式2-2】.在平面直角坐标系中，将点P(-3,4)向右平移3个单位长度，得到点P,则点P的坐标是() A.（-3,4 B.(0,4) C.(3,4 D.（-3,0) 【变式2-3】·将点A3,-2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A,则点A的坐标 5/28 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是() A.（1,1 B.(5,-5) C.(5,1 D.(1,-5列 题型三求平移方式 【例3】要使直线y=-2x+4平移后过点(2,8)，则平移方式可以是(). A.向左平移4个单位长度 B.向右平移4个单位长度 C.向上平移4个单位长度 D.向下平移4个单位长度 【变式3-1】·要得到函数y=-(x-2)+3的图象，可以将函数y=-(x-)的图象() A.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【变式3-2】.在平面直角坐标系中，将直线y=-3x+2平移后得到直线y=-3x+8，,则下列平移方式正确 的是() A.向下平移6个单位 B.向右平移6个单位 C.向左平移2个单位 D.向右平移2个单位 【变式3-3】.将点A(-2,3)通过平移得到点A'(-5,7),以下方式正确的是() A.沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B.沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C.沿轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D.沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 题型四中心对称图形 【例4】.下列图形是中心对称图形的是() 6/28 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △☆ D 【变式4-1】.三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是() · 5 【变式4-2】.下列图形中，是中心对称图形的是( B 【变式4-3】.下列是我省某机构的微信公众号在形象标识(L0g0)征集活动中收集到的四个图案，其中是 中心对称图形的是() 今0筒 题型五利用旋转求角度 【例5】，如图，将ABC绕点C逆时针旋转至△EDC,点D落在边AB上，连接AE.若AE∥BC, CD平分∠ACB,则∠BAC的度数为() B A.30° B.32 C.36 D.37.5° 【变式5-1】.如图，将ABC纸片绕点C顺时针旋转40°得到aA'B'C',连接AA,若AC⊥A'B,则 7/28 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AA'B'的度数为() A.10° B.20° C.30° D.40° 【变式5-2】.如图，在ABC中，∠CAB=70°，将ABC绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，使得 CC'∥AB,则∠BAB的度数是() B A.70° B.35° C.40° D.50° 【变式5-3】.如图，在RtAABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB'C'(点B的 对应点是点B,点C的对应点是点C),连接CC'.若∠CCB'=32°，则∠BCA=() B BA A.13° B.28° C.32° D.45° 题型六利用旋转求坐标 【例6】.如图，正方形ABCD的顶点A1-V3,0,B(0,1),将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°后， 点C的对应点C的坐标为() 8/28 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.(2,2 B.(W5,5 C.(5,2) D.(N2,2) 【变式6-1】·平面直角坐标系x0y中，点A的坐标为(3，√3)，将线段OA绕点O逆时针旋转60°，则点A 的对应点的坐标为() A.(-1,25) B.(0,25) C.(-1,3) D.(0,3) 【变式6-2】.如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知∠AOB=90°，∠AB0=30°，点A 的坐标是(-1,0)，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转60°，则点B的对应点的坐标是() B 33 3V3 22 B (53 2’2 D. 35 2’2 【变式6-3】.如图，矩形ABCD的顶点A,B分别在x轴、y轴上，OA=OB=2,AD=4V2,将矩形 ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为() B A.(6,-4) B.（-6,-4 C.（4,-6) D.（-4,-6 题型七关于原点对称 【例7】·在平面直角坐标系中，点A(2,-3)关于原点的对称点位于哪个象限？() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式7-1】.已知点A(a,-3)与'(8，b)是关于原点的对称点，则a+b的值是() A.8 B.-8 C.-5 D.11 9/28 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-2】.若正比例函数y=x与圆心在原点的圆相交于A,B两点，己知点A的坐标是(2,1)，则点B 的坐标为() A.（-1,2 B.(1,2 C.（-2,1 D.（-2,-1) 【变式7-3】.在平面直角坐标系x0y中，点P(-a2-1,4关于原点对称的点所在的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型八轴对称图形 【例8】.下列图形中，不是轴对称图形的是() B D 【变式8-1】，现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列汉字是轴对称图 形的是() 笑 B. 口常开 【变式8-2】.下列图形中，不是轴对称图形的是() 【变式8-3】.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史.下面截取了某个棋局中的四 个局部图案，其中是轴对称图形的是( 神非排林 题型九利用对称求坐标 10/28 第二十三章 图形的变换（复习讲义） 1. 理解基本概念 ①掌握平移、旋转、轴对称的定义和性质②能识别生活中的图形变换现象 2.掌握作图方法 ①能根据要求画出平移/旋转/轴对称后的图形②会用尺规作简单的对称图形 3.应用变换性质 ①利用变换解决简单的几何问题（如求角度、线段长度）②分析组合变换（如连续两次轴对称）的效果 4.联系实际 ①欣赏图案设计中的变换应用②用变换解释简单机械运动（如车轮旋转） 知识点01 平移变换 平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点02 旋转变换 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2） 中心对称的两个图形是全等图形. 知识点03 轴对称变换 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 知识点04 位似变换 位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心. 常见的位似图形： 画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.） 判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心. 位似图形的性质： 1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点； 2）位似图形的对应边互相平行或者共线. 3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k. 题型一 利用平移求面积 【例1】如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，那么图中的四边形的面积是（    ）    A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【详解】解：如图连接，    由平移的性质可得三角形的面积等于三角形的面积， 由平移的定义可得平移距离，， ∴， 由可得、间的距离相等， ∴三角形、三角形和三角形等高， ∴三角形的面积等于三角形的面积，三角形的面积等于2倍三角形的面积， ∵四边形的面积=三角形的面积+三角形的面积+三角形的面积， ∴四边形的面积， 故选：B． 【变式1-1】如图，面积为6的沿方向平移至 的位置，平移的距离是边长度的2倍，则四边形的面积是（    ） A．30 B．24 C．18 D．12 【答案】C 【详解】解：平移的距离是边长度的两倍， ， 由平移知：四边形是平行四边形， 四边形的底边是底边的两倍，高与的高相等， 四边形面积是面积的4倍， 四边形面积是面积的3倍， ． 故选：C． 【变式1-2】．将向右平移个单位长度得到，，，则阴影四边形的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 将向右平移个单位长度得到， ，， ， ，， ， ， 阴影四边形的面积是． 故选：． 【变式1-3】．如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使A的对应点，满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意可得重叠部分是正方形， 设重叠部分正方形的边长为，则， 解得：（负值舍去）， ∴重叠部分的正方形的边长为， ∴重叠部分的面积是． 故选：A． 题型二 利用平移求坐标 【例2】点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规律：左减右加，上加下减，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度， ∴ 即点Q坐标为， 故选：C 【变式2-1】．点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据点向上平移4个单位，再向左平移3个单位，得到， 所以点． 故选：D． 【变式2-2】．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是． 故选：B． 【变式2-3】．将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点A1的坐标是，即， 故选：A． 题型三 求平移方式 【例3】要使直线平移后过点，则平移方式可以是（   ）． A．向左平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度 C．向上平移4个单位长度 D．向下平移4个单位长度 【答案】B 【详解】解：设平移后的直线解析式为 ∵平移后过点，将其代入得 解得 ∴平移后的解析式为， 比较原解析式，新解析式可写为，故直线向右平移了4个单位长度． 故选：B． 【变式3-1】．要得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，抛物线的顶点坐标是， 所以将顶点向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点， 即将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数的图象． 故选：A． 【变式3-2】．在平面直角坐标系中，将直线平移后得到直线，则下列平移方式正确的是（    ） A．向下平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，得出即可，正确把握变换规律是解题关键． 【详解】解：∵将直线平移后得到直线， ∴，或， 解得：或， 故将直线向右平移个单位得到直线或将直线向上平移个单位得到直线， 故选：． 【变式3-3】．将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 题型四 中心对称图形 【例4】．下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形． 根据中心对称图形的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】．三星堆遗址的发现让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形，将一个图形绕着某个点旋转180度后与原图形完全重合，那么这个图形就是中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是中心对称图形； B、它不是中心对称图形； C、它是中心对称图形； D、它不是中心对称图形． 故选：C． 【变式4-2】．下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180度能与原来的图形重合，据此即可求解． 【详解】解：由中心对称图形的定义可知，A为中心对称图形，B、C、D不是中心对称图形． 故选：A． 【变式4-3】．下列是我省某机构的微信公众号在形象标识（Logo）征集活动中收集到的四个图案，其中是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型五 利用旋转求角度 【例5】．如图，将绕点C逆时针旋转至， 点 D 落在边上，连接．若，平分，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， ， 即， ， 又平分， 所以， 则，设 ，，， ，， 则，解得， ， ， ， ， ． 故选：C． 【变式5-1】．如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 【变式5-2】．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-3】．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到， ，，， ， ，， °， ， ． 故选：A． 题型六 利用旋转求坐标 【例6】．如图，正方形的顶点，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作轴，过点作轴，则，连接，，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，再求得可得了，从而可得，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】过点C作轴，过点作轴，则，连接，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴点C的对应点的坐标为， 故选：D． 【变式6-1】．平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，过点作轴于点，可得，，则，可得．由旋转得，，可知点在轴正半轴上，进而可得点的坐标为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， ， ， ． 线段绕点逆时针旋转， ，， ， 点在轴正半轴上， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 【变式6-2】．如图，将一个直角三角板的直角顶点与坐标原点重合，已知，点A的坐标是，若把直角三角板绕坐标原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，设点B的对应点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为D， ∵点A的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故选：B． 【变式6-3】．如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点(的坐标为； 发现规律：旋转4次一个循环， 则第2022次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 题型七 关于原点对称 【例7】．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点位于哪个象限？（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：点关于原点的对称点为，在第二象限， 故选：B． 【变式7-1】．已知点与是关于原点的对称点，则的值是（    ） A．8 B． C． D．11 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：因为关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点与关于原点对称，所以，． 则． 故选：C． 【变式7-2】．若正比例函数与圆心在原点的圆相交于A，B两点，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数与圆的对称性，解题的关键是理解题意． 根据正比例函数图象关于原点对称，圆是中心对称图形，可知、两点关于原点对称，即可求出点坐标． 【详解】解：如图所示，正比例函数的图像关于原点对称，圆心在原点的圆是中心对称图形， 由此可知，两图象的交点、关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是， 故选：D． 【变式7-3】．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查点关于原点对称的坐标特点，根据点坐标的特点判定所在象限，理解并掌握点的对称性质是解题的关键． 根据点关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均变为相反数，再根据点的坐标的符号即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， ∵，， ∴在第四象限， ∴点关于原点对称的点在第四象限， 故选：D． 题型八 轴对称图形 【例8】．下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此求解即可．熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【变式8-1】．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【变式8-2】．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答的关键．根据轴对称图形的定义依次判定即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 选项B、C、D中图形是轴对称图形，不符合题意，选项A中图形不是轴对称图形，符合题意， 故选：A． 【变式8-3】．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史．下面截取了某个棋局中的四个局部图案，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：由轴对称的定义可知：C是轴对称图形，符合题意；选项A、B、D中图案不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 题型九 利用对称求坐标 【例9】．在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点 B 的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于y轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”这一核心规律． 已知点A坐标为，根据关于y轴对称的坐标特征，先保持点A的纵坐标1不变，再求横坐标的相反数为2，由此可确定点B的坐标为． 【详解】解：关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数．   已知点，其纵坐标为(保持不变)，横坐标的相反数为2，故点B的坐标为．   故选：C． 【变式9-1】．已知点和点关于轴对称，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确得出，的值是解题关键． 直接利用关于轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 则． 故选：B． 【变式9-2】．已知点A 的坐标为，则点 A 关于y轴对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 【详解】解：由题意，点 A 关于y轴对称的点的坐标为； 故选C． 【变式9-3】．已知点，点关于x轴对称，则a与b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特征的知识，解题的关键是理解关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数． 根据关于轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求出和的值； 【详解】解：若，关于轴对称，则它们的横坐标相等，纵坐标互为相反数， 横坐标关系：； 纵坐标关系：， 因此，，，对应选项C， 故选：C． 题型十 折叠问题 【例10】．如图，是一张纸片，，现将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴． 根据翻折可得：， 设， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 解得：． 在直角三角形中，由勾股定理可得： ． 故选A． 【变式10-1】．如图，将折叠使点落在处，折痕为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，折叠的性质，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 由折叠性质可知，，然后通过外角性质可得，，则，从而有，然后代入即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠性质可知，， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 【变式10-2】．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键． 根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：． ∴． 故选：A ． 【变式10-3】．如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则图形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴图形的面积是，(此时点重合) 故选：B． 题型十一 利用位似求坐标 【例11】．如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为 . 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【变式11-1】．如图，与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ． 【答案】（9，0） 【分析】根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解：连接和并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下： 点D的坐标为（9，0）， 即位似中心的坐标为（9，0）， 故答案为：（9，0）． 【变式11-2】．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是 ． 【答案】（﹣4，﹣3） 【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案． 【详解】解：△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形， 则连接和并延长相交，交点即为P点， 如图所示，P点的坐标为：， 故答案为：． 【变式11-3】．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是 . 【答案】或 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点. 【详解】∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为， ∴ （1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点. 设AG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 当时，，所以EC与AG的交点为 （2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点 设AE所在的直线的解析式为 解得 ∴AE所在的直线的解析式为 设CG所在的直线的解析式为 解得 ∴AG所在的直线的解析式为 联立解得 ∴AE与CG的交点为 综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或 故答案为或 【点睛】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键. 题型十二 利用位似求比值 【例12】．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形相似及相似比即可得出结果． 【详解】点的坐标为，点的坐标为， 与关于原点的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】．如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ． 【答案】 【详解】此题考查了位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案． 【分析】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，， ∴四边形和的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：. 【变式12-2】．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，若，则与的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之比为， 故答案为：． 【变式12-3】．如图，在平面直角坐标系中，把放大后得到．其中，B，D两点的坐标分别为，，则的值等于 ． 【答案】或1.5 【分析】本题考查位似变换、坐标与图形的性质．根据信息，找到与的比值，即求得相似比；然后根据求解即可． 【详解】解：∵B，D两点的坐标分别为，， ∴，， ∴， ∵把放大后得到， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十三 网格作图 【例13】．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到，请画出． (2)在上作一点D，使得点D到和的距离相等．（不要求写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点D即为所求． 【变式13-1】．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点是网格线的交点）和格点． (1)将三角形先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到的三角形，请画出． (2)将三角形绕点顺时针旋转后得到三角形，请画出三角形． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）解：如图，三角形即为所求. 【变式13-2】．在平面直角坐标系中，每个小网格是长度为1个单位的小正方形，点，点． 完成下列问题： (1)在图中画出； (2)在图中画出关于轴的对称图形； (3)在轴上存在一点，使得的值最小，请在图中画出点，写出的坐标（不必写过程，但要保留作图痕迹），并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点P的位置见解析，点P的坐标为 【详解】（1）解：画图如下： （2）解：画图如下： （3）解：连接交x轴于点P，连接，如图所示， 则， ∴， 即的最小值为线段的长， 设， ， 即， 解得：， ∵点P在x轴负半轴上， ∴点P的坐标为． 【变式13-3】．如图，在带有网格的平面直角坐标系中的位置． (1)以点为位似中心，在轴右侧作出的位似图形，使得放大后的与的位似比为． (2)若点在内部，且坐标为，写出按（）变化后的对应点的坐标________． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由位似图形的性质得，点的横纵坐标分别乘以得到对应点的坐标， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型十四 变换与几何证明综合 【例14】．如图1，矩形中，，将绕点A旋转到位置，设交直线于点M． (1)当点恰好落在边上时，求与矩形重叠部分的面积； (2)如图2，当点恰好在一直线上时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：作于H，如图： 由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴； ∴， ∵， ∴； 即：与矩形重叠部分的面积为； （2）解：作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 化简得：， 解得：（舍去）或， 故：的长度为； 【变式14-1】．如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证出，再证出，根据相似三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，即点共线，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，最后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作，交于点， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 由（1）已得：，， ∴， ∴点共线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 【变式14-2】．综合与实践 【特殊感知】（1）如图1，在平行四边形中，，相交于点O，，，求证：． 【变式探究】（2）如图2，在中，，，在的右侧作等边，取的中点P，连接． ①求证：是的垂直平分线； ②若，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，，D为上的任意一点，将绕点A逆时针旋转得到线段，旋转角为．取的中点P，连接，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1；（3）．理由见解析 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ； （2）①证明：延长至，使，连接，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ，， ， ， 垂直平分， ， 为的中点，， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线； ②解：由①知是的中位线， ， ， ； （3）解：． 理由：延长至，使，连接，， 同（2）可知是的中位线， ， 同（2）可知，， ， ， 将绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ． 【变式14-3】．在中，，，，点为线段上的一个动点，以为直角边向右作等腰，使，． (1)连结，求证：； (2)过点作的对称轴交直线于点，若，求的长．（在备用图上画符合题意的草图，并完成计算） 【答案】(1)见解析 (2)的长为或 【详解】（1）证明：依题意，， ∴ ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 分两种情况：当点在线段上， 连接，如图所示： ， 由（1）知：， ， ， ， 是的对称轴， 垂直平分， ， ， 即：， 解得：； 当点在的延长线上 连接，如图所示： ， 由（1）知：， ， ， ， ， 是的对称轴， 垂直平分， ， ， 即：， 解得：； 综上所述，的长为或． 题型十五 变换与函数综合 【例15】．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且，直线过点， (1)求直线解析式； (2)连接，将线段沿x轴正方向平移到线段 ①若，求满足条件的点C的坐标； ②在平移过程中，是否存在点C使得为等腰三角形，若存在，请画出图形并求出点P平移的距离，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②图见详解，点平移的距离为：2或或 【详解】（1）解：设直线解析式为， 则点坐标为， ∵， ∴点A坐标为， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线解析式为； （2）解：∵直线解析式为， ∴点A坐标为，坐标为， ∴， ∴， ①∵， ∴将线段沿x轴正方向平移到，， ∴C的纵坐标为3，， 设， 则， 解得或， ∴或， ∵，， ∴或； ②设点P平移的距离为， ∴， ∵点A坐标为，坐标为， ∴， ， ， 如图，当时， ， 解得； 如图，当时， ， 解得或（舍去）； 当时， ， 解得或（舍去）； 综上所述，点P平移的距离为2或或． 【变式15-1】．直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【变式15-2】．如图，函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)①直接写出点的坐标 ___； ②求直线的函数关系式； (2)如图，设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．连接，在点的运动过程中是否存在点，使，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在点，使，点的坐标为或 【详解】（1）解：（）①当时；当时， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴， 故答案为：； ②设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （2）存在点，使，理由如下： 如图，当点在轴的下方时， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴， 解得， ∴； 当点在轴的上方时， 由对称性同理可得； 综上，点的坐标为或． 【变式15-3】．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数关系式； (2)已知点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点E的坐标为，点E与点F关于抛物线的对称轴对称，连接，，，点P，Q是抛物线上两个动点，若与是以点D为位似中心的位似图形，求与的相似比． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为， ∴， ∵，F关于直线， ∴ 作直线，交抛物线与，，，，连接，， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴ 联立方程组， 解得，， ∴，， 同理，， ∴，，， ， ∴， 又， ∴， ∴与是以点D为位似中心的位似图形，相似比为， 同理与是以点D为位似中心的位似图形，相似比为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键． 【详解】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称图形．故符合题意； 故选：D． 2． 若点关于轴的对称点是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，得出，然后代入即可求解，熟练掌握关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴的对称点是， ∴点， ∴，， ∴， 故选：． 3．如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，根据位似图形的概念得到，根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 4．如图，中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在边上，，连接．则长为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质与勾股定理，熟练掌握旋转前后对应线段相等以及勾股定理是解题的关键．先根据旋转性质和勾股定理求出相关线段长度，再利用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得． 故选：． 5．如图，点P是正方形的对角线上的一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，点M是的中点．下列结论错误的是（  ） A．是等腰三角形 B． C．当点E在边上时， D．连接，最短时， 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，最短距离等知识，证明为等边三角形得，根据证明，得，得出，从而可判断A正确；根据题意得点的运动轨迹是线段,得是等腰直角三角形，得，再求出，根据三角形外角性质可得，从而得出，从而可判断B正确；先求出，得，由得，，得，从而可得，故可判断C错误；点的运动轨迹为的中位线，过点作于点Q，当点与点重合时，最短，由，，可得，从而可判断D正确． 【详解】解：由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项Ａ正确，不符合题意； 连接，如图， 将绕点B顺时针旋转得到，将绕点B顺时针旋转得到，则点的运动轨迹是线段， ∵， ∴， 又，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项Ｂ正确，不符合题意； 连接，如图， ∵点在上，且是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴，， ∵, ∴， 又， ∴是等腰三角形， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵点P是正方形的对角线上的动点， ∴点的运动轨迹为的中位线， 过点作于点Q，当点与点重合时，最短， ∵，， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．与点关于y轴对称，那么a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可． 【详解】解：与点关于y轴对称， ． 故答案为：． 7．如图，一次函数是常数）的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴，y 轴分别交于点A，B，将沿y轴向上平移得到，且点在反比例函数的图象上，则点的坐标为 【答案】/ 【分析】将点分别代入一次函数和反比例函数中，求出m和k的值，得出一次函数和反比例函数解析式，再求出点的坐标，即可得到平移的距离，再求出点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】解：将点分别代入一次函数和反比例函数中， 得：，， 解得：，， ∴一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 把代入得 解得， ∴， 把代入得：， ∴， ∴整体向上平移了个单位， 将代入得：， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，图象的平移，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质，以及平移的性质，是解题的关键． 8．如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，，取，的中点M，N，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质，矩形的性质和中位线定理解题的关键，由矩形的性质可得M，N，是，的中点，由中位线定理得，由旋转的性质得，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，，如图 ∵四边形，都是矩形，M，N是，的中点， ∴M，N是，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵将矩形绕点B顺时针旋转至的位置， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为、，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，线段扫过的面积为 ． 【答案】24 【分析】由题意可知，将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图，，代入函数关系式，可得，则，所以，线段扫过的面积为平行四边形的面积． 【详解】解：∵，，点A、B的坐标分别为、， ∴，， 将沿x轴向右平移，当点C落在直线上时，如图， 根据平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形， 把代入直线， 解得，即， ∴， ∴平行四边形的面积； 故答案为：24． 【点睛】此题考查了一次函数的性质、平移的性质、勾股定理以及平行四边形的判定，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 10．如图，在中，，，M是斜边上一点，连接．将绕点C逆时针旋转得到，连接交于点E，连结．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】由旋转的性质可得，，进而可得，由可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，则，，由此即可判断结论①；由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，即，由对顶角相等可得，由三角形的内角和定理可得，由此即可判断结论②；由，可证得，于是可得，即，由勾股定理可得，进而可得，由此即可判断结论③；由，可证得，于是可得，由可得，将代入，由此即可判断结论④；综上，即可得出所有正确结论的序号． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，故结论①正确； ，， ， ， 即：， ， ， ，故结论②正确； ，， ， ， ， ，， ， ，故结论③错误； ，， ， ， ， ， ，故结论④正确． 综上，所有正确结论的序号是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． 三、解答题 11．在方格纸中的位置如图所示，方格纸中的每个小正方形的边长为1个单位． (1)与关于轴对称，请你在图中画出； (2)将向下平移8个单位后得到，请你在图中画出． (3)请分别写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3),, 【分析】本题考查网格中图形的平移与旋转，熟练掌握网格中图形的平移的规律是解题的关键， （1）由于关于轴对称，则所有点的坐标不变，坐标相反即可得到图形； （2）根据题中所给图形的平移特点即可得到； （3）根据（2）中图形的位置可直接写出各点坐标． 【详解】（1）解：关于轴对称的，如下图所示： （2）解：向下平移8个单位后得到，如下图所示： （3）解：由（2）中图形的位置，可得：，，． 12．如图，把绕点A旋转，得到．点D在边上，，，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．，， ∴， ∴. 13．如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 【答案】(1)点B或点C或线段的中点 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转、平移的性质、平行四边形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据平移的性质和等边三角形的性质得到，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出答案． 【详解】（1）解：将绕点B逆时针旋转能与重合； 将绕点C顺时针旋转能与重合； 将绕线段的中点旋转能与重合； ∴满足题意的点为点B或点C或线段的中点； 故答案为：点B或点C或线段的中点； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵等边和有公共边， ∴，， ∴， 根据平移的性质得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 14．如图，在中,，将绕点A顺时针旋转得到，使点C的对应点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理： （1）先根据旋转的性质得到，，，则可计算出，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出，然后计算即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，所以，然后在中利用勾股定理可计算出的长 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∵绕点A顺时针旋转得到使点C的对应点E落在上， ∴，，， ∴， 在中，． 15．如图，直线与的图象交于点与轴交于点． (1)求m的值及直线的解析式； (2)若D是线段上一点，将线段绕点逆时针旋转 得到线段，点恰好落在函数的图象上，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了旋转的性质，反比例函数与一次函数的交点坐标，全等三角形的判定与性质，掌握待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式是正确解答的前提． （1）把点代入可得m的值，确定点A的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式； （2）根据旋转的性质可知，，利用全等三角形的判定和性质得出，设出点D的坐标，表示出点的坐标，再得出反比例函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入， ∴． ∴点， 设直线的关系式为， 将，代入得，． ∴． ∴直线的关系式为， 答：，． （2）解：如图，逆时针旋转后，点D的对应点为，点在反比例函数的图象上，过点D作轴，垂足为E，过点作轴，垂足为F， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由于点D在直线上，可设点， 即，， ∴点， 又∵点在的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，将绕点逆时针旋转得到．当点落在的延长线上时，恰好，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：旋转角度， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．如图，点的坐标为，与是位似图形，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形中位似中心的确定，“位似图形对应点的连线经过位似中心” ，据此即可求解． 【详解】解：如图，作直线交直线于点， ∴点的坐标为，与是位似图形， ∴位似中心的坐标为． 故选：C 3．若点关于轴的对称点为点，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴， 解得， ∴点P的坐标为， ∴点P的坐标为， 故选：B． 4．如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D．18 【答案】C 【详解】解：如图，连接，作于，于， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴点的对应点是点，， ，， 又∵点是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：， 当点与重合时，的值最大，最大值为：， ∴线段长度的最大值与最小值的差是：． 故选：C． 5．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③ 【答案】A 【详解】解：如图，连接， 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， F为的中点， ，故①正确； 矩形绕点D逆时针旋转得到矩形， ， ， ， ， F为的中点， ， ， ， ， 又， ， ，故②正确； ， ， ， 为等腰直角三角形， ，故③正确； 如图，延长交于点H， ， ， ， ，即， ， ， ，故④正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 二、填空题 6．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为 ． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为； 故答案为： 7．平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解： ∵将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点处．点B1在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…，则点的横坐标为 ． 【答案】1208 【详解】解：由题知， 因为点， 所以， 则， 由旋转可得， 所以， 则点横坐标为8， 同理可得，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为36，…， 由此可见，点的横坐标可表示为，且点的横坐标可表示为． 令， 解得， 则， 即点的横坐标为1208． 故答案为：1208． 10．如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，． （1）若点是中点， ； （2）若点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （）如图，连接， 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形. 设，则，，， 由勾股定理得： 当时，有最小值， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，将三角形向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到对应的三角形，在平面直角坐标系中画出三角形，并写出点，，的坐标． 【答案】图见解析，、、的坐标分别为，，． 【详解】解：三角形如图所示， ∴、、的坐标分别为：，，． 12．（2025年北京市大兴区九年级中考二模数学）如图，在中，，，为内一点，，其中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，作直线交于点． (1)求的度数； (2)用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：， ． 即， 又， ， ； （2）解：用等式表示线段，，的数量关系为：， 证明：过点作交于点， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ． 在中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 13．已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． (1)如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； (2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【详解】（1）解：①补全图形如下； ②如图，连接， 线段绕点A逆时针旋转， 且， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，连接，， 由（1）②知是等边三角形， ，， 线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 14．（2025年北京市丰台区九年级中考二模数学）在中，，，是内一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，当点在外部时，与交于点，取中点，连接、，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)的大小为，见解析 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：的大小为．证明如下： 如图，延长至点G，使得，连接、，． ∵是中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴， ∵，， ∴在四边形中，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 15．（2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学）在平面直角坐标系中，对于和外一点，给出如下定义：若的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦，则称点是的“-旋称点”，此时的是关于点的一条“-旋称弦”． (1)如图1，的半径为2． ①在点，，，中，的“-旋称点”可以是___________； ②弦的长为2，轴．若是关于点的“-旋称弦”，直接写出点的坐标； (2)如图2，，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”，直接写出点的坐标，和的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)， 【详解】（1）解：①对于外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示： 当为的切线时，，，， ， ， 那么当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； 在点，，，中， ，，，， ， 在点，，，中，的“-旋称点”可以是，； 故答案为：，； ②取与轴的交点为，连接，延长，使得，连接，如图所示： 弦的长为2，轴， ， ， ， ； 若是关于点的“-旋称弦”，那么点与点点重合时，满足条件； 延长，使得，同理可算得，满足条件； 综上，点坐标为：或； （2）解：对于半径为的外任一点，连接，将绕点顺时针旋转交于、，其中设弦的中点为，连接，将绕点逆时针旋转交于、，其中设弦的中点为，如图所示， 同（1）①，可求得当时，的一条弦绕点旋转得到的线段仍然是的一条弦； ，，．若点，，都是的“-旋称点”，且的边上存在关于点，，的“-旋称弦”， 在内部，、、三点都在外部； 将绕逆时针旋转，将绕顺时针旋转，将绕顺时针旋转、将绕点逆时针旋转，将绕逆时针旋转，将绕点顺时针旋转，如图所示，其交点有两个，分别为和， 由题意可知，当圆心在点时， ，点的横坐标在大于0，小于2， ， 在的垂直平分线上， 过点作于， ，， ，，， ，， ， ， ； 不妨设，那么，， ， ， ， 或， 点的横坐标大于0且小于2， ， ， ； 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： ， 边上不存在关于点，，的“-旋称弦”， 故不符合题意； 当圆心在点时， ， ， 点在的垂直平分线上， ，， 的纵坐标为， 过点作于， ， ，， ， ， ，， ，， ，， 分别以为圆心，以、为半径画圆，如图所示： 那么当，即，满足题意； 此时，满足； 综上，，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $