专题02 平面直角坐标系中点坐标的规律问题 （高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题02 平面直角坐标系中点坐标的规律问题 题型一：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 题型二：沿斜线或曲线运动的点的规律探究 题型三：平面直角坐标系中图形的变换规律探究 题型四：平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 题型一：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．甲、乙两名运动员沿长方形篮球场的边做环绕跑步运动，如图，根据长方形篮球场建立平面直角坐标系，甲从点出发，按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，乙从点出发，按顺时针方向以4个单位/秒匀速运动，两名运动员同时出发，则他们运动后的第2025次相遇地点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点的坐标，是规律型题目，理解题意找准规律是解题的关键．利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为8和4，物体甲是物体乙的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：由题意知：长方形的边长为8和4， ①第一次相遇两名运动员运动的时间为 (秒)， ∴第一次相遇地点的坐标是； ②第二次相遇物体甲与物体乙运动的时间为 (秒)， ∴第二次相遇地点的坐标是 ③第三次相遇地点的坐标是； ④第四次相遇地点的坐标是； … 则每相遇三次，为一个循环， ∵2025÷3=675， 故两个物体运动后的第2025次相遇地点的坐标为：， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知，．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个单位长度；点从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个单位长度．记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，……，则的坐标为是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换．根据点坐标计算长方形的周长为，设经过秒、第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过秒第一次相遇，求出相遇各点坐标，进一步求出相遇点坐标，直到找出五次相遇一循环，再用的余数即可求出第次相遇点的坐标． 【详解】解：长方形的周长为， 设经过秒、第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为， 根据题意得， 解得：， ∴当时，、第一次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第二次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第三次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第四次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第五次相遇，此时相遇点坐标为， 当时，、第六次相遇，此时相遇点坐标为， ∴五次相遇一循环， ∵， ∴的坐标为． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用、点的坐标规律探究，利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为和，、的速度和是，求得每一次相遇的地点的坐标，找出规律即可解答． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴矩形的周长为， 由题意，经过2秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是20的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒， ∴第二次相遇点是的中点， 第三次相遇点是点， 第四次相遇点是点， 第五次相遇点是点， 第六次相遇点是点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第次相遇点的坐标与第四次相遇点的坐标重合，即， 故选：A． 4．如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是平面直角坐标系中点的规律性问题，求出一些点的坐标并发现规律是解决此类问题的关键. 首先根据分析可求出点和点每秒相遇一次，再求出每次相遇点的坐标，可发现次一循环，从而可求出的坐标. 【详解】解：由题意可知即长方形的周长为, 分析可知，每一次相遇后出发到再相遇点和点所运动的路程和为， 设点与点每次相遇所需时间为秒， 则解得： 即每秒相遇一次， 则根据运动方式可求出 ……… 可以发现相遇点的坐标次一循环， 则的坐标与坐标一样， 即 故选:A. 5．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标规律探究，先求出长方形的周长，求出两物体每次相遇所需的时间，进而得到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，长方形的周长为， ∴每次相遇需要的时间为：秒， ∵物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动， ∴每次相遇，甲走的路程为个单位长度， ∴第3次相遇时，两个物体回到起点，即每经过3次相遇，两个物体回到起点， ∵， ∴两个物体运动后的第2022次相遇回到起点； 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点P从点A出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点P运动的路程为2024个单位长度时，则点P所在位置的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】由点的坐标得出四边形的周长即可求解．本题考查了轨迹与点的坐标规律型，正确得出四边形的周长是解题的关键． 【详解】解：，，，， ，， ， 点从点出发，并按的规律在四边形的边上运动， 当点运动的路程为2024时， 经历次循环，且走4个单位长度 点所在位置的点的坐标为 故答案为：． 题型二：沿斜线或曲线运动的点的规律探究 1．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……．按这样的运动规律，则第2025次运动到点（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题关键是发现点的横坐标、纵坐标的规律． 观察可知点的横坐标即为运动的次数，纵坐标每次一轮，分别为，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知点第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为： …， 可以得出规律：点的横坐标即为运动的次数，纵坐标每次一轮，分别为， ， 点的横坐标是运动次数即，纵坐标与第一次运动到达的点的纵坐标相同即， 第次运动后的坐标为：． 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示的方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到，第3秒运动到，第4秒运动到点，…则第2023秒点P所在位置的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．分析点P的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解． 【详解】解：由题意分析可得， 动点P第秒运动到 动点P第秒运动到 动点P第秒运动到 以此类推，动点P第秒运动到 ∴动点P第秒运动到 ∴第2023秒时点所在位置的坐标是 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2025个点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了找规律，由图得第1个点的坐标是，第9个点的坐标是，第25个点的坐标是，，得第个点为奇数）的坐标是，由，得第2025个点的坐标是． 【详解】解：由图得第1个点的坐标是， 第9个点的坐标是， 第25个点的坐标是， ……, 以此类推，可知第个点为奇数）的坐标是， ∵， ∴第2025个点的坐标是， 故选：C． 4．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，根据第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点，得出第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，然后根据，求出结果即可． 【详解】解：由题意，可知第1次从原点运动到点， 第2次接着运动到点， 第3次接着运动到点， 第4次接着运动到点， 第5次接着运动到点， 第6次接着运动到点， ……． ∴第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点． ∵， ∴经过第2023次运动后，动点P的坐标是． 故选：C 5．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，根据点，，，，，的运动规律，可知横坐标的变化规律是依次、、、，从到共增加了次，的横坐标需要加个，个，根据变化规律计算出的横坐标． 【详解】解：根据点，，，，，的运动规律， 可知横坐标的变化规律是依次、、、， 从到共增加了次， ， 共增加了个循环，第次循环的第一次， 的横坐标需要加个，个， 的横坐标为：． 故选：C． 6．如图，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，每6次反弹为一个循环组依次循环，用5除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【详解】解：经过6次反弹后动点回到出发点． ， 当点第次碰到长方形的边时为第个循环的第3次反弹， 点的坐标为． 故选D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴的正半轴上，，，，，分别以，，，为斜边，在轴上方作等腰直角三角形，，，，点，，，，均落在第一象限，现有一动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，则经70秒后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是点的坐标的运动规律，关键在于找到点从点运动到的总路程为，从而得到70秒后点的位置． 根据题意得，这个等腰直角三角形的直角边的长度依次为：1，2，3，，，则点从点运动到的总路程为：；70秒后点运动的路程为70，从而可得点的位置，在上，且，计算其坐标即可． 【详解】解：根据题意得，这个等腰直角三角形的直角边的长度依次为：1，2，3，，， 则点从点运动到的总路程为：； 经70秒后点运动的路程为70， 点运动到的路程为：， 此时点位于上，且，如图所示，做轴，则； ， ； 则点的坐标是． 故选：B． 8.如图．四边形是正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律的探究．由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第二象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，，，，，，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第二象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 9.如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查点的坐标规律问题，解题的关键是得出点的坐标规律即可；由题意易知半圆的周长为个单位长度，然后可得点P运动一周所需4秒，进而问题可求解． 【详解】解：由题意，半圆的周长为个单位长度， ∴点在一个半圆上运动时间为2秒， ∴ ∴的横坐标为，纵坐标以为一个循环节进行循环， ∵， ∴第2025秒时，点的坐标是； 故选C． 10．如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，旨在考查学生的抽象概括能力，由题意可得在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为，结合即可． 【详解】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形， ，，，，，，… ∴在横轴的正方向，且坐标为，在横轴的正方向，且坐标为， ∵， ∴点的坐标为． 故选：A． 11．如图，动点A从坐标原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断运动，每次运动一个单位长度，其路线如图所示，得到点 第n次运动到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规律，解题的关键是理解题意找出点的坐标变换规律． 根据题意可得，，，，，，⋯，由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环，可求出点的纵坐标，然后根据的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，⋯，可得的横坐标为，即可求解． 【详解】解：由题意得：，，，，，，⋯， 由此得出纵坐标规律：以1，1，0，0的顺序，每4个为一个循环， ∵， ∴点的纵坐标为， ∵的横坐标为1，的横坐标为2，的横坐标为3，⋯， 由此得：的横坐标为， ∴． 故答案为：． 题型三：平面直角坐标系中图形的变换规律探究 1．如图，长方形的顶点的坐标分别为．若长方形第1次沿轴翻折，第2次沿轴翻折，第3次沿轴翻折，第4次沿轴翻折，第5次沿轴翻折，…，则第2024次翻折后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的变换规律，理解点坐标的旋转规律是解题的关键． 根据平面直角坐标系与长方形的特点得到，再根据翻折的性质找到规律即可求解． 【详解】解：长方形的顶点的坐标分别为， ∴， ∴， ∵长方形第1次沿轴翻折，第2次沿轴翻折，第3次沿轴翻折，第4次沿轴翻折，第5次沿轴翻折， ∴当第4次时，长方形回到出发点的位置， ∴每4次一循环， ∴， ∴第2024次翻折后点的对应点的坐标， 故选：D ． 2．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点，，，…，，则点的坐标是（　 　）    A． B．() C． D． 【答案】B 【分析】边长为2的等边三角形的高线是，根据题意可得，点的横坐标为：为正整数），纵坐标为，进而可求出点的坐标．本题考查了坐标与图形的变化折叠、规律型点的坐标，解决本题的关键是找到点的坐标变的化规律是解决问题的关键． 【详解】解：边长为2的等边三角形的高线是， 根据题意可知： 点； ； ； ， 发现规律： 点的横坐标为：为正整数），纵坐标为； ， 则点的坐标是． 故选：B． 3．如图，已知正方形 ，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿 轴翻折，再向右平移 1 个单位长度”为一次变换，连续经过 2022 次变换后，正方形的顶点的坐标为（       ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出前3次变换后点的对应点的坐标，找到横坐标的变化规律：与变换次数相等，纵坐标的变化规律：奇次变换为，偶次变换为，即可求解，本题考查了点坐标探索规律，解题的关键是：找到坐标变化的规律． 【详解】∵正方形，顶点，，的坐标分别为，，， ∴根据题意得：第1次变换后的点的对应点的坐标为， 第2次变换后的点的对应点的坐标为， 第3次变换后的点的对应点的坐标为， ∴把正方形经过连续2022次变换后的点的对应点的坐标为， 故选：． 4．如图，已知正方形，顶点，，，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵正方形，顶点，，， ∴正方形的对角线交点M的坐标为， ∵把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换， ∴第一次变换后点M的坐标为，第二次变换后点M的坐标为，第三次变换后点M的坐标为，第四次变换后点M的坐标为 可以发现点n次后，当n为偶数，点M的坐标为， 当n是奇数，点M的坐标为， ∴连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标系上点翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 5．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是(   )    A．（11，1） B．（-11，1） C．（11，﹣1） D．（-11，-1） 【答案】C 【分析】根据平移和对称变换，点坐标的变化规律可得答案． 【详解】解：∵B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）， ∴BC中点的坐标为（2，1）， ∵把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位得到△A1B1C1， ∴经过1次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（2+3，-1），即（5，-1）， 经过2次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（5+3，1），即（8，1） 经过3次翻移变换，BC中点的对应点的坐标是（8+3，-1），即（11，-1） 故选：C． 【点睛】此题考查点的坐标变化，解答本题的关键是读懂题意，知道翻移变换的定义，利用对称和平移的特点，找出规律解决问题． 6．如图所示，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；…依次类推，经过第2025次翻滚，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查探究点的坐标的规律问题，关键是找到点的变化规律．观察图形即可得到经过4次翻滚后点对应点一次循环，先求出的商和余数，从而解答本题． 【详解】解：如图所示： 观察图形可得经过4次翻滚后点对应点一循环， ， 点，长方形的周长为：， 经过506次翻滚后点对应点的坐标为，即． 故选C． 题型四：平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 1．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单位长度．“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”按上述规则连续平移10次后，到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律问题，熟练找到点的坐标规律是解题的关键．根据题意找出点的坐标规律即可得出答案．根据“和点”平移规律求出点的坐标即可；根据“和点”的移动规律可知，若“和点”横、纵坐标之和除以4所得的余数为1时，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论即可求出点R的坐标． 【详解】解： 根据“和点”的移动规律可知，若“和点”横、纵坐标之和除以4所得的余数为1时，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”R按上述规则连续平移10次后，到达点，则按照“和点”反向运动10次求点R坐标，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以4所得的余数为2，应该是向左平移1个单位得到，那么点先向右平移，再向下平移，当平移到第9次时，共计向右平移了5次，向下平移了4次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以4所得的余数为0，则应该向上平移1个单位得到，故矛盾，不成立； 综上，点的坐标为或， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点Р的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律；根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用除以4，根据商和余数的情况确定点的坐标即可． 【详解】解：的坐标为，且对于点，我们把点叫作点P的伴随点． ，，，， ， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ， 点的坐标与的坐标相同，为． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 【答案】 4025 【分析】本题考查了点的坐标的规律探索，掌握点的坐标的规律探索的方法是解题的关键．根据点的坐标的规律探索方法，分别求出点，，，，，的坐标，即可按此规律求得第一空答案；然后总结点的规律，，即可求得答案． 【详解】解：青蛙在点处， ，，，，，， ， ，， 令，则，， 即． 故答案为：；4025． 4．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，……，这样依次得到点，，，…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标变化问题，正确理解题意是解题关键． 根据伴随点的定义求出点，，，，的坐标，即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 故答案为：． 5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则点经过2024次运算后得到点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可． 【详解】解：点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ……， 发现规律：点经过3次运算后还是， ∵， ∴点经过2024次运算后得到点， 故选：B． 6．冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，点坐标的规律，理解新定义的运算法则，找出点坐标的规律是解题的关键．根据新定义的运算，找出点坐标的规律即可求解． 【详解】解：点， 第次，，得， 第次，，得， 第次，，得， 第次，，得， ， ∴每次一循环， ∴， ∴点经过次运算后，得到的点坐标是， 故答案为： ． 7．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的好点，已知点的好点为，的好点为，的好点为，以此类推得、、，当的坐标为时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，理解新定义并求出每个点为一个循环是解题的关键 根据好点的定义依次求出，，，，的坐标，可得每个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为，，，，据此规律求解即可． 【详解】解：由题意得，的坐标为，即， 同理可得， ， ， ， …… 以此类推，可知每个点为一个循环，每个循环内的点的坐标分别为，，，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义，点的坐标，理解并掌握“友好点”的定义是解题的关键．根据“友好点”的定义，分两种情况进行讨论，求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当时，由题意得：， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当时，由题意得：， 解得：， ∵， ∴符合题意； 综上所述：点P的坐标为或． 故答案为：或． 9．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系中点坐标的规律问题 题型一：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 题型二：沿斜线或曲线运动的点的规律探究 题型三：平面直角坐标系中图形的变换规律探究 题型四：平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 题型一：沿平行于坐标轴方向运动的点的规律探究 1．甲、乙两名运动员沿长方形篮球场的边做环绕跑步运动，如图，根据长方形篮球场建立平面直角坐标系，甲从点出发，按逆时针方向以2个单位/秒匀速运动，乙从点出发，按顺时针方向以4个单位/秒匀速运动，两名运动员同时出发，则他们运动后的第2025次相遇地点的坐标是(   ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，长方形的四条边与两条坐标轴平行，已知，．点从点出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒个单位长度；点从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒个单位长度．记，在长方形边上第次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，……，则的坐标为是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，点，，，点P从点O出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒3个长度单位，点Q从点O出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒1个长度单位，记点P与点Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为…，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，长方形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇地点的坐标是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，，，，．点P从点A出发，并按的规律在四边形的边上运动，当点P运动的路程为2024个单位长度时，则点P所在位置的点的坐标是 ． 题型二：沿斜线或曲线运动的点的规律探究 1．如图，动点P按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……．按这样的运动规律，则第2025次运动到点（ ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，动点P从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示的方向运动，第1秒运动到点，第2秒运动到，第3秒运动到，第4秒运动到点，…则第2023秒点P所在位置的坐标是（  ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，一动点从点出发，其顺序按图中“”方向排列，如：，，，，，，……按照这样的运动规律，第2025个点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 4．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点……按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点P的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点出发，依次运动到点，，，，，…像这样的运动规律，点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 6．如图，动点从出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在轴的正半轴上，，，，，分别以，，，为斜边，在轴上方作等腰直角三角形，，，，点，，，，均落在第一象限，现有一动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，则经70秒后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8.如图．四边形是正方形，曲线…叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，，，循环．当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9.如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线．点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2025秒时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，各坐标分别为，，，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．如图，动点A从坐标原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断运动，每次运动一个单位长度，其路线如图所示，得到点 第n次运动到点，则点的坐标是 ． 题型三：平面直角坐标系中图形的变换规律探究 1．如图，长方形的顶点的坐标分别为．若长方形第1次沿轴翻折，第2次沿轴翻折，第3次沿轴翻折，第4次沿轴翻折，第5次沿轴翻折，…，则第2024次翻折后点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2019次，依次得到点，，，…，，则点的坐标是（　 　）    A． B．() C． D． 3．如图，已知正方形 ，顶点，，的坐标分别为，，，规定“把正方形先沿 轴翻折，再向右平移 1 个单位长度”为一次变换，连续经过 2022 次变换后，正方形的顶点的坐标为（       ）    A． B． C． D． 4．如图，已知正方形，顶点，，，规定“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2019次变换后，正方形的对角线交点M的坐标变为（　 　） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，把△ABC先沿x轴翻折，再向右平移3个单位，得到△A1B1C1，把这两步操作规定为翻移变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，1），（3，1）．把△ABC经过连续3次翻移变换得到△A3B3C3，则边BC中点的对应点的坐标是(   )    A．（11，1） B．（-11，1） C．（11，﹣1） D．（-11，-1） 6．如图所示，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点的对应点记为；经过第二次翻滚，点的对应点记为；…依次类推，经过第2025次翻滚，点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：平面直角坐标系中坐标的变换规律探究 1．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以4所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移；余数为3时，向下平移），每次平移1个单位长度．“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：．若“和点”按上述规则连续平移10次后，到达点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点Р的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，有一只电子青蛙在点处．第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点；第二次，它从点先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点；第三次，它从点先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点；第四次，它从点先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点；…依此规律进行，点的坐标为 ；若点的坐标为，则 ． 4．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，……，这样依次得到点，，，…，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推，则点经过2024次运算后得到点（   ） A． B． C． D． 6．冰雹猜想描述了一个数学运算序列，任意取一个正整数，如果它是奇数，则将其乘以3再加1；如果它是偶数，则将其除以2，重复这个过程，经过有限次运算后最终会进入一个循环：，在平面直 角坐标系中，将点中的 和分别按照冰雹猜想同步进行运算，得到新的点的横、纵坐标，其中 和 均为正整数，例如点经过次运算得到点，经过次运算得到点，以此类 推，则点经过次运算后，得到的点坐标是 ． 7．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的好点，已知点的好点为，的好点为，的好点为，以此类推得、、，当的坐标为时，点的坐标为 ． 8．在平面直角坐标系中，对于点，如果点，，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点的友好点Q坐标为，则点P的坐标为 ． 9．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 1 / 17 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