专题04 图形与坐标 一次函数 9大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题04 图形与坐标 一次函数 9大高频考点概览 考点01 平面直角坐标系；坐标的运动 考点02 坐标的综合应用；解答作图题 考点03 函数的概念综合辨析 考点04 一次函数的图像与性质 考点05 一次函数的图像与性质含参数问题 考点06 一次函数的代数应用 考点07 一次函数与方程、不等式 考点08 一次函数的综合应用 考点09 一次函数解答题 地 城 考点01 平面直角坐标系；坐标的运动 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）下列条件中，能确定位置的是（    ） A．影院座位位于一楼二排 B．甲地在乙地东南方向 C．一只风筝飞到距A处20米处 D．某市位于北纬，东经 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）小华在教室的第4列第3行，用表示，小明在教室的第3列第2行应表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点与点关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点和点关于x轴对称，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）在直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，恰好与原点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 地 城 考点02 坐标的综合应用；解答作图题 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．    (1)点关于轴对称的点的坐标为______； (2)作出与关于轴对称的． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，． (1)在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． (2)连接，，请直接写出，的关系． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请在图1中作关于x轴成轴对称的． (2)在图2中将向右平移个单位，作出平移后的，则此三角形的面积为 ． (3)在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ）．地 城 考点03 函数的概念综合辨析 A．B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）下列函数中，是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 地 城 考点04 一次函数的图像与性质 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过 B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点05 一次函数的图像与性质含参数问题 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一次函数图象与x轴交于点，已知点，点均在此函数图象上．若，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点，，，都在一次函数（k，b为常数）的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 7．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图像上，且．则下列的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点06 一次函数的代数应用 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（18-19八年级上·广东深圳·期中）点，在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 3．（24-25八年级上·浙江·期末）正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为在直线上，在直线上．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 地 城 考点07 一次函数与方程、不等式 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数（都是常数，且）的图象如图所示，根据图象信息，可求得关于的方程的解为 ． 40．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一次函数与（a，b，c，d为常数，，）的图象如图所示，若，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 5．（23-24八年级下·河南郑州·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 地 城 考点08 一次函数的综合应用 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则 ． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在直线：上，，过点B作轴，若，则k的值是 ． 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点．地 城 考点09 一次函数解答题 (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上． (1)若，求的值． (2)若，求的取值范围． (3)设函数，若，当时，求的取值范围． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式． (2)求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 6．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 9．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 10．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接． (1)求点A的坐标； (2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形与坐标 一次函数 9大高频考点概览 考点01 平面直角坐标系；坐标的运动 考点02 坐标的综合应用；解答作图题 考点03 函数的概念综合辨析 考点04 一次函数的图像与性质 考点05 一次函数的图像与性质含参数问题 考点06 一次函数的代数应用 考点07 一次函数与方程、不等式 考点08 一次函数的综合应用 考点09 一次函数解答题 地 城 考点01 平面直角坐标系；坐标的运动 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）下列条件中，能确定位置的是（    ） A．影院座位位于一楼二排 B．甲地在乙地东南方向 C．一只风筝飞到距A处20米处 D．某市位于北纬，东经 【答案】D 【分析】本题主要考查了确定位置．在一个平面内，要有两个有序数据才能确定位置，由此求解即可． 【详解】解：A、影院座位位于一楼二排，没有几号，无法确定位置，不符合题意； B、甲地在乙地东南方向，没有距离，无法确定位置，不符合题意； C、一只风筝飞到距A处20米处，没有方向，无法确定位置，不符合题意； D、某市位于北纬，东经，可以确定位置，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）小华在教室的第4列第3行，用表示，小明在教室的第3列第2行应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，因为小华在教室的第4列第3行，用表示，得出小明在教室的第3列第2行应表示为，即可作答． 【详解】解：∵小华在教室的第4列第3行，用表示， ∴得出小明在教室的第3列第2行应表示为， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，熟练掌握各象限内点的坐标的符号是解决的关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：∵，， ∴点所在象限是第一象限． 故选：A． 4．（24-25八年级上·浙江台州·期末）点与点关于（   ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．直线x=5 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化－轴对称，根据两点纵坐标相等，横坐标相等，即可得出两点关于y轴对称． 【详解】解：点与点关于y轴对称， 故选B 5．（24-25八年级上·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点与点关于轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握对称的点的坐标规律是解题的关键：关于轴对称的点——横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点——纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点——横坐标、纵坐标分别互为相反数；口诀——关于谁谁不变，关于原点都改变． 根据“关于轴对称的点——纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可直接得出答案． 【详解】解：与点关于轴对称的点是， 故选：． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点和点关于x轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知平面直角坐标系上有一点位于第二象限，则m的值可能为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查象限点的坐标特征．根据第二象限的点：横坐标为负，纵坐标为正，可得到关于m的不等式组，即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 则m的值可能为． 故选：A． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）在直角坐标系中，把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，恰好与原点重合，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的平移，根据“左减右加，上加下减”，确定平移后点的坐标，进而解答即可求解，掌握点的平移的规律是解题的关键． 【详解】解：把点先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的点的坐标为， ∵平移后的点恰好与原点重合， ∴， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，四盏灯笼，，，的坐标分别是，，，，要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移 个单位． 【答案】7 【分析】本题主要考查关于y轴对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意得到灯A和灯C关于y轴对称，求出点A关于y轴对称的点的坐标为，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可得灯和灯关于y轴对称， ∴灯A和灯C关于y轴对称， ∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为 ∴ ∴要使四盏灯笼组成的图形关于轴对称，只需把灯笼向右平移7个单位长度． 故答案为：7． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．直接利用点的平移变化规律求解即可． 【详解】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了， 故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的， ∵点B的对应点的坐标为， ∴点的坐标为，即． 故选：A． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（   ）地 城 考点02 坐标的综合应用；解答作图题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件画图，通过分类讨论即可作答． 【详解】如图，过点作于，连接 当点在上时： 和关于对称 ，即 得： 当点在的延长线上时，同理可得 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，作点A关于y轴的对称点J，连接，过点C作于点H，过点J作于点K．求出，证明可得结论． 【详解】解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点J，连接，过点C作于点H，过点J作于点K． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点在线段上时的最小值为， ∵，， ∴， ∴，即：点的纵坐标为； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决问题． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．    (1)点关于轴对称的点的坐标为______； (2)作出与关于轴对称的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答； （2）根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”描点连线． 【详解】（1）解：∵， ∴点关于轴对称的点的坐标为 故答案为： （2）解：∵， ∴， 作出与关于轴对称的．    4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为，． (1)在此图中画出点A向左平移2个单位后得到的点C，再画出点B关于x轴的对称点D点，并写出点C，点D的坐标． (2)连接，，请直接写出，的关系． 【答案】(1)作图见解析，， (2)， 【分析】本题考查平移作图及性质，轴对称作图，平移与轴对称的点的坐标变化， （1）根据题意直接作出点C，点D，根据点的平移的坐标变化得到点C的坐标，根据关于y轴对称的点的坐标变化得到点D的坐标； （2）线段可以看作由线段平移得到，根据平移的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，点C，D为所求． ，． （2）解：线段，如图所示， ∵，，， ∴点B向右平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到点A，点C通过相同的平移得到点D， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴，． 5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)请在图1中作关于x轴成轴对称的． (2)在图2中将向右平移个单位，作出平移后的，则此三角形的面积为 ． (3)在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， (3) 【分析】（1）分别作出A、B、C三点关于x轴的对称点、、，再顺次连接、、即可得关于x轴成轴对称的； （2）分别作出A、B、C三点向右平移个单位的点、、，再顺次连接、、即可得向右平移个单位后的，利用割补法求出的面积即可． （3）连接，与x轴的交点即为P点，观察图形写出P点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图即为所求； ； （3）解：∵点与C点关于x轴对称， ∴连接，与x轴的交点即为P点． 观察图形可知P点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要作图−轴对称变换，和作图−平移变换，以及网格中求三角形的面积．解题的关键是确定出关键点的对称点位置． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到…则第2025次运动到的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了点的变化规律，通过观察可知右下标是（除外）：数字的倍数的点在第三象限，的倍数余的点在第四象限，的倍数余的点在第一象限，的倍数余的点在第二象限，得出点在第四象限，由此判断即可． 【详解】解：根据题意，第1次从原点到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，……， 个点一循环， ∵， ∴点在第四象限， ∴点的坐标是， 故选：A． 地 城 考点03 函数的概念综合辨析 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ）． A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定答案． 【详解】根据函数的概念，可知对于自变量的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应； D选项，当取值时，有不止一个值与之对应，故D不能表示是的函数． 故选：D． 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列各点在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将选项中的各点分别代入函数解析式，进行计算即可得到答案． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点都在函数图象上，是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，故点不满足， A选项错误． B、当时，，故点不满足， B选项错误． C、当时，，故点满足， C选项正确． D、当时，，故点不满足，D选项错误． 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）下列函数中，是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k，b为常数，）的函数叫做一次函数．根据定义判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，故符合题意； B．不是整式函数，不是一次函数，故不符合题意；     C．，自变量的次数不是1，不是一次函数，故不符合题意； D．不含自变量，不是一次函数，故不符合题意； 故选A． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能大致反映容器中水的深度（）与注水量（）关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知， 开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大； 接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐减小； 选项符合题意， 故选：． 地 城 考点04 一次函数的图像与性质 1．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．图象经过 B．y随x的增大而减小 C．图象经过一、三、四象限 D．不论x取何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，对所给选项依次判断即可． 【详解】解：将代入函数解析式得， ， 所以点不在一次函数的图象上，故A选项错误． 因为， 所以一次函数中y随x的增大而减小，故B选项正确． 因为一次函数与y轴交于点， 所以该一次函数的图象经过第一、二、四象限，故C选项错误． 当时， ，故D选项错误． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）对于一次函数，下列命题是假命题的是（   ） A．函数值随自变量的增大而减小 B．图象不经过第三象限 C．向左平移2个单位后经过原点 D．图象与y轴交于点 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，）当，y的值随x的值增大而增大；当，的值随x的值增大而减小．根据一次函数的性质，以及函数图象与坐标轴的交点的求法即可判断． 【详解】解：A、∵，∴函数值随自变量的增大而减小，故A结论正确，是真命题，不符合题意； B、∵，，∴函数经过一、二、四象限，不经过第三象限，故B结论正确，是真命题，不符合题意； C、函数的图象向左平移2个单位后得，不经过原点，故C结论不正确，是假命题，符合题意； D、当时，，则函数图象与y轴交于点，故D结论正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）点和都在直线上，且，则与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数值比较大小，理解并掌握一次函数图象与性质是解题关键．根据题意，确定一次函数图象的增减性，即可获得答案． 【详解】解：对于直线，∵， ∴该函数值随的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：A． 4．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次二次函数的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式．利用待定系数法即可求解． 【详解】解：由图象可知直线经过，两点， ∴根据题意得：， 解得：， 则这个函数的表达式是：， 故选：C． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）在同一平面直角坐标系内，直线：和：的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据交点坐标判断即可． 【详解】解：当：和：相交于一点时， 即：，则， 解得：， ∴直线和的交点在y轴的右侧， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象分布．根据“一次函数（）：当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限”即可判断． 【详解】解：对于直线， ∵， ∴直线经过第一、三象限，可以排除选项BD； 当时，， ∴直线经过第一、三象限，直线与轴的交点在原点下方，选项A符合题意； 当时，， ∴直线经过第二、四象限，直线与轴的交点在原点上方，选项C不符合题意； 故选：A． 地 城 考点05 一次函数的图像与性质含参数问题 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知一次函数，若随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的增减性．对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．根据增减性可得，再确定答案即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴可以是， 故选：A 2．（24-25八年级下·浙江台州·期末）一次函数图象与x轴交于点，已知点，点均在此函数图象上．若，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵一次函数图象与x轴交于点， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，点均在此函数图象上，且， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数，y随x的增大而增大，则该函数图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与的值有关是解题的关键．根据一次函数的性质：，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小，进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而增大， ∴， ∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象经过的象限， 分两种情况讨论得出结论，再判断答案即可． 【详解】解：当时，，所以直线经过第一，三，四象限； 当时，不能确定，所以直线经过第二，四象限． 所以不论何种情况一次函数的图象一定经过第四象限． 故选：D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）已知一次函数的图象经过点，则的大小关系是______________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握本一次函数性质是解题的关键．根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而增大可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随着x的增大而增大． ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江·期末）已知点，，，都在一次函数（k，b为常数）的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，解答关键是利用数形结合思想解答问题．先根据，得到一次函数y随x的增大而增大，即可判断． 【详解】解：∵， ∴一次函数y随x的增大而增大， ∵点，，，都在一次函数（k，b为常数）的图象上，且， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）若点，在一次函数的图像上，且．则下列的取值符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由点，在一次函数的图像上，且，可知：， ∴， 故选A． 地 城 考点06 一次函数的代数应用 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知，为直线上的两个点，且，则以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，掌握知识点的应用是解题的关键． 由直线的，则随的增大而增大，当时，，然后根据时，，即，所以，从而求解． 【详解】解：∵直线的， ∴随的增大而增大， ∵， ∴． ∵当时，，即， ∴，A选项正确，B选项错误； ∵当时，，即， ∴，C选项正确，D选项错误； 故选：． 2．（18-19八年级上·广东深圳·期中）点，在正比例函数的图象上，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据正比例函数的增减性，得出的符号，即可求解，本题考查了正比例函数的增减性，解题的关键是：通过已知条件得出的符号． 【详解】解：点，在正比例函数的图象上，若， 随的增大而减小， ， 解得：， 故选：． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）正比例函数的图象经过点，点和点，当时，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比例函数的性质，逐一判定各个选项即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过点，点和点， ，，， 当时， 若，则，同为正，或，同为负，， 故或，故选项A错误； 若，则，异号，故，， 当时，； 当时，；故选项B错误； 若，则，异号，故，，故，故选项C错误； 若，则，异号，故，，故，故选项D正确； 故选D． 4．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一次函数的图象上有，两点，下列正确的选项是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，先求解一次函数与轴的交点坐标为：，再结合图象求解即可． 【详解】解： 当，则， 解得：， ∴一次函数与轴的交点坐标为：；如图， ∴当时，，当时，， 一次函数的图象上有，两点， ∴当时，则， ∴，， ∴，故D不符合题意，C符合题意； 当时，则， ∴的符号不确定，， ∴A，B都不符合题意； 故选：C 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线的解析式为，直线的解析式为在直线上，在直线上．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的单调性，再结合点的横坐标比较函数值大小． 由两直线的解析式变形得到直线和直线交于点，结合图象即可判断． 【详解】解：∵， ∴直线和直线交于点， 若，则直线在直线的上方，如图1， 则．故A正确，C错误； 若时，如图2， 则，则，则．故B，D错误． 故选：A． 1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）一次函数（都是常数，且）的图象如图所示，根据图象信息，可求得关于的方程的解为 ．地 城 考点07 一次函数与方程、不等式 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，由一次函数过，，可得一次函数为，再进一步解答即可． 【详解】解：∵一次函数过，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为， 当时，． 故答案为： 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，正确理解题意、求出点的坐标是解题的关键．先求出点的坐标，再根据一次函数的交点坐标即为两个函数联立组成的方程组的解，即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴点的坐标为， ∴则方程组的解为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与直线交点的横坐标为，则的解为 ． 【答案】 【分析】不等式的解集，就是指直线在直线的下方的自变量的取值范围，据此求解即可． 本题考查一次函数与一元一次不等式，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：观察图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）一次函数与（a，b，c，d为常数，，）的图象如图所示，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据当时，，即可求得． 【详解】∵一次函数与的图象的交点的横坐标为 3 ， ， ， ， 故答案为． 5．（24-25八年级上·浙江·期末）已知直线与直线相交于点，则二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于掌握图像交点的意义．直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】解：∵直线和直线交于点， ∴关于，的二元一次方程组， 即， 解得， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·河南郑州·期中）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数图象交点和一元一次不等式的问题的应用，数形结合思想是关键．结合图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可得：两直线的交点横坐标为， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 地 城 考点08 一次函数的综合应用 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）甲、乙两地相距2千米，小明从甲地匀速跑步到乙地，小华同时出发沿同一条公路从乙地骑自行车匀速到达甲地后，立刻以原速度返回乙地．小明、小华离甲地的距离（千米）与出发的时间（分）的函数图象如图所示，则小明出发后 分两人第二次相遇． 【答案】 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据函数图象求出两人的速度，求出小华到达乙地时，小明的路程，根据第二次相遇为小华追上小明，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由图可知：小明的速度为：； 小华的速度为：， ∴当小华到达乙地时，小明的路程为：， 由题意，得：，解得：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】先求出交点B的坐标，即可得出点C，再求出直线与x轴的交点坐标D，接下来得出，进而证明是直角三角形，可得答案． 【详解】解：如图所示， 将两个关系式联立，得， 解得， ∴点． 当时，，， 解得，， ∴点． 过点B作轴，于点C， 则是直角三角形， ∴点． 则 ∴， ∴， 此时点与点D重合，点． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，直角三角形的性质和判定，等边对等角，求一次函数值，注意分情况讨论，不能丢解． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键．将，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时，将代入直线中，可得，解得； 故b的取值范围是．    故选：B． 4．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如果函数的图象与函数的图象恰好有一个交点，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】本题考查了函数图象的交点问题，画出函数和的图象，由图象可知，当把直线向下平移，使直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点，把代入函数解析式即可求解，画出函数图象利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：画函数和图象如下： 由图象可知，当直线经过点时，两函数图象恰好有一个交点， ∴， 解得， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在直线：上，，过点B作轴，若，则k的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理．作轴于点，设，求得，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴于点，设， ∵轴，， ∴四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵在直线上， ∴， 解得， 故答案为：3． 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数的图象过，两点．地 城 考点09 一次函数解答题 (1)求一次函数表达式； (2)求该函数图象与坐标轴交点的坐标． 【答案】(1) (2)与轴交点为，与轴交点为 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设一次函数的解析式为，把把，代入计算，即可作答． （2）根据一次函数与坐标轴交点，则分别把，代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：依题意，把代入， 解得， ∴与轴交点为． 把代入，得， 解得， ∴与轴交点为． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）已知一次函数过点 (1)求这个一次函数的表达式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求一次函数解析式和一次函数的性质. （1）设把点代入解析式即可求得； （2）求出当时，对应的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数过点， ， ， ， 一次函数的表达式为； （2）一次函数，当时，；当时，， 当时， 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，点在函数（且）的图象上． (1)若，求的值． (2)若，求的取值范围． (3)设函数，若，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的性质，数形结合是解题的关键． （1）代入点的坐标即可求得； （2）把点代入直线，求出，根据的取值范围，求出的取值范围； （3）证得两直线都经过点，结合一次函数的增减性即可判断． 【详解】（1）解：把点代入直线， 可得， 解得：． （2）解：把点代入直线， 可得，，即， 因为，所以， 所以． （3）解：因为， 所以直线图象过点， 因为当时，， 所以点也在图象上， 所以与图象的交点是， 因为，随的增大而减小，，随的增大而增大， 所以当时，． 4．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，函数（为常数，）的图象与函数的图象交于点． (1)求k，m的值； (2)将函数图象上的一点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后恰好落在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，点的平移． （1）将代入即可求出m的值，将A点坐标代入即可求出k的值； （2）设点坐标为，则点平移后得到的点坐标为，点代入计算求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）将代入， 得， 将代入， 得， 解得； （2）已知点在函数图象上，设点坐标为， 则点平移后得到的点坐标为， 将点代入， 得， 解得， 所以点坐标为． 5．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）转眼间春节马上就要到了，小王与丈夫决定开车前往外的老家过年，如图表示小王离家的距离y（千米）与离开家的时间x（小时）之间的函数关系，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求图中段y与x之间的函数关系式． (2)求小王与丈夫离开家多久后，离家的距离为170千米？ 【答案】(1)段y与x之间的函数关系式为； (2)小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）将代入段y与x之间的函数关系式，列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：设段y与x之间的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴段y与x之间的函数关系式为； （2）解：当时，得， 解得． 答：小王与丈夫离开家3小时后，离家的距离为170千米． 6．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）一次函数（k为常数，且）． (1)若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． (2)若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式． 【答案】(1)①；②P的最大值为5； (2)一次函数解析式为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，然后计算自变量为5所对应的函数值即可； （2）当时，，，则，当时，，，则，然后分别解方程求出k，从而得到对应的一次函数解析式． 【详解】（1）解：①把代入得， 解得； ②当时，， ∴， ∵y随x的增大而增大， ∴当时，时，P的值最大， 当时，， 即P的最大值为5； （2）解：当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，，， ∵， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B，交x轴于点C． (1)求b的值和，的长． (2)在延长线上取点D，使，过点D作轴交的延长线于点E，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数，平面直角坐标系和三角形全等的判定，掌握了以上知识是解题的关键； （1）把代入，可得长度，然后把把代入，求出点的坐标，进而求出，把代入，求出的长度； （2）需要先证明，然后分别求出和，求出，再求出和，求出，即可求解 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴点B为， 把点代入，得， ∴， 把代入，得， 即； （2）解：记交x轴于点F，如图： ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 9．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 【答案】（1） （2）元 （3）甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米，为元 【分析】（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为，把，代入，解方程组即可求出、的值，进而得出甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； （2）由乙种蔬菜种植面积为55平方米可得，甲种蔬菜种植面积为平方米，把代入，得元，然后求出乙种蔬菜种植总成本为元，两者相加，即可求出年甲乙两种蔬菜总种植成本； （3）甲种植面积为，则乙种植面积为，由题意得，解得，再结合，可得，可推出甲乙两种蔬菜总种植成本为，整理得，然后根据函数的增减性，并结合的取值范围，即可确定出的最小值． 【详解】解：（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得：， 甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为； （2）乙种蔬菜种植面积为55平方米， 甲种蔬菜种植面积为：（平方米）， 把代入，得： （元）， 乙种蔬菜种植总成本为：（元）， 年甲乙两种蔬菜总种植成本为：（元）， 答：年甲乙两种蔬菜总种植成本为元； （3）甲种植面积为，乙种植面积为， 由题意得：， 解得：， 又， ， 甲乙两种蔬菜总种植成本为：， 整理，得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得其最小值，元， 此时，乙种植面积为：（平方米）， 答：甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米时，最小，的最小值为元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用（分配方案问题），求一次函数的函数值，解二元一次方程组等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式、函数关系式或不等式是解题的关键． 10．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点坐标为，以线段为底边向右作等腰直角，点坐标为，点为的中点，连接． (1)求点A的坐标； (2)如图2，将四边形向右平移个单位，记平移后的四边形为，点恰好在直线上，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若点为直线上的动点，使，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为 【分析】（1）过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M，可证得，从而得出，，进一步得出结果； （2）可表示出平移后坐标为，坐标为，将点代入，求得m的值，进一步得出结果； （3）作轴于S，作，交于T，可推出，从而得出，进而得出T点坐标，从而求得的解析式，进一步得出结果；延长至，使，连接，可推出，从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 过点C作轴与N，过点B作，交的延长线于M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点B坐标为，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点C坐标为，向右平移m个单位，坐标为，坐标为， ∵过， ∴， ∴， ∴坐标为，坐标为， 设的解析式为， ∴可得，解得， ∴直线的解析式：； （3）解：如图， 作轴于S，作，交于T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理（1）得，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知：， 设直线的解析式为，则有： ，解得， ∴直线的解析式为， 由，可得， ∴， 延长至，使，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， 综上所述：点坐标为． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，函数图像的交点与方程组之间的关系，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是具备较强的计算能力． 11．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”． (1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ． (2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问题的能力． （1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：分点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是2的“等垂点”， 故答案为：是． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． （2）解：设 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即或， ∵点在上， ∴或， 解得或(舍)， ∴． 当时，如图，过作轴于点， 同理可得或， ∵点在上， ∴或， 解得(舍)或， ∴． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $