第1章 三角形 复习课-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)>>>> 复习课 知识梳理 1.三角形的概念 (1)三角形三边关系：三角形的任意两边之和 第三边；在同一个三角形中，较大的边 所对的角也 (2)三角形的中线、角平分线、高 2.全等三角形 (1)两个能完全 的三角形叫作全等三角形.“全等”用符号“ ”表示 (2)表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在 的位置上 (3)全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等. 3.全等三角形的判定 (1)两边及其 分别相等的两个三角形全等（简写成“ ”或“ ”). (2)两角及其 分别相等的两个三角形全等（简写成“ ”或“ ”) (3)两角分别相等且其中一组 相等的两个三角形全等（简写成“ ”或 ”) (4)三边分别 的两个三角形全等（简写成“ ”或“ ”) (5) 和 分别相等的两个直角三角形全等（简写成“ ”) 4.三角形的稳定性 5.线段垂直平分线与角平分线 (1)线段垂直平分线： 线段垂直平分线上的点到 的距离相等 到线段两端距离相等的点在线段的 上 (2)角平分线： 角平分线上的点到 的距离相等， 角的内部到角两边距离相等的点在 上 6.等腰三角形 (1)定义：有 的三角形叫作等腰三角形， (2)性质： 等腰三角形的两底角 (简称“等边对等角”) 等腰三角形 及 重合（简称“三线合一”）. (3)判定： 有两个角 的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”） 7.等边三角形 (1)定义： 的三角形叫作等边三角形， (2)性质：等边三角形的各角都等于 38 第章三角形 (3)判定： 三个角都 的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的 三角形是等边三角形 8.直角三角形 (1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 (2)直角三角形斜边上的中线等于 题组提优训练 目/考点一/利用三角形的三边关系 1.若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是 ( A.1≤c≤7 B.1<c<8 C.1<c<7 D.2<c<9 2.人字梯中间一般会设计一个“拉杆”，这样做的道理是 ( A.两，点之间，线段最短 B.垂线段最短 C.两直线平行，内错角相等 拉杆 D.三角形具有稳定性 3.已知△ABC的三条边的长均为整数，其中两条边的长分别是2和5，第三条边的长为奇数， 则这个三角形的周长为 4.已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足b-2+(c一3)2=0，且a为方程|a一5|=1的 解，则△ABC的周长为 5.已知a、b、c分别是△ABC的三边的长，化简|a一b十c|一|a-c一b|的结果为 目/考点二/理解三角形的高、中线、角平分线的概念 1.在下列各图的△ABC中，正确画出边AC上的高的图形是 A B C D 2.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是() A.BF=CF B.∠C+∠CAD=909 C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF (第2题) (第3题) 3.如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为16cm,AB比AC长3cm,则△ACD的 周长为 《39 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)>>>> 4.AD是△ABC的一条高，若∠BAD=65°，∠CAD=30°，则∠BAC的度数为 5.如图，在△ABC中，E是边AC上的一点，AE=4EC,D是边BC的中点， 且S△ABC=15,则S1-S2= 目/考点三/三角形全等条件的探索 1.如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB,添加下列条件，不能 判定△ABC≌△DCB的是 A.AB-CD B.BE=CE C.AC=DB D.∠A=∠D 2.给出下列四组条件：①AB=DE,BC=EF,AC=DF;②AB=DE,∠B=∠E.BC=EF; ③∠B=∠E,AC=DF,∠C=∠F;④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.其中，能使△ABC≌ △DEF的条件共有 () A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 目/考点四/利用三角形全等说明两线段相等、两角相等 1.在△ABC中，AC=6,中线AD=10,则边AB的长的取值范围是 A.16<AB<22 B.14<AB<26 C.16<AB<26 D.14<AB<22 2.如图，A、D、B、E四点共线，∠ADF=∠EBC,AD=EB,BC=DF.求证：AC=EF. 3.如图，△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于点 D.求证：FA平分∠EFC 4.如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D,点E在AD上，DE=DC,BE=AC,F为 BC的中点，连接EF并延长至点M,使FM=EF,连接CM. (1)求证：△BDE≌△ADC. (2)求证：AC⊥MC. 40》 第章三角形 目/考点五/线段的垂直平分线的性质与判定 1.如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC,该市政府打算修建一个大型体育中心P, 使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在 () A.三个角的角平分线的交点处 B.三角形三条高的交点处 C.三条边的垂直平分线的交，点处 D.三角形三条中线的交，点处 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l交BC于点D,BC=7,AC=4,则△ACD的周长为 () A.10 B.11 C.15 D.16 3.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，点E、F在BC上， 则∠FAE的度数为 4.如图，△ABE和△ADC分别是△ABC关于边AB、AC所在直线对称的图形，∠a=108°，则 ∠1的度数为 5.如图，在△ABC中，E是边BC上的一点，连接AE,BD垂直平分AE,垂足为F,交AC于点 D,连接DE. (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长. (2)若∠ABC=30°，∠C=45°，求∠EAC的度数. 目/考点六/角平分线的性质与判定 1.如图，已知△ABC的周长是36cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D. 若OD=3cm,则△ABC的面积是 () A.48 cm2 B.54 cm2 C.60 cm2 D.66 cm2 M (第1题) (第2题) 2.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N,且M、N分别在 PA、PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°，则∠APC的度数为 () A.120° B.125° C.130° D.135° 《41 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版))》 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,求证： AD平分∠BAC. 目/考点七/等腰三角形的性质与判定 1.若等腰三角形中有一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80° 2.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点，若C也是图中的格 点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 M (第2题) (第4题) 3.在等腰三角形ABC中，AB=AC,一边上的中线BD将这个三角形的周长分为12和18两 个部分，则这个等腰三角形的底边长为 () A.6或14 B.12或14 C.8或14 D.6或8 4.如图，在△ABC中，AB=10,AC=8,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,MN过点O,且 MN∥BC,分别交AB、AC于点M、N,则△AMN的周长为 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为 6.如图，在△ABC和△AED中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD,且点E、A、B在同一 直线上，点C、D在EB同侧，连接BD、CE交于点M. (1)求证：△ABD≌△ACE (2)若∠CAD=110°，求∠DME的度数 42》 第章三角形 7.如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB,过点E作EF⊥ DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数. (2)若CD=2,求DF的长. 8.已知在△ABC中，AB=AC,D是边AB上的一点，∠BCD=∠A. (1)如图1，求证：CD=CB, (2)如图2，过点B作BE⊥AC,垂足为E,BE与CD相交于点F. ①求证：∠BCD=2∠CBE; ②若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数， 图1 图2 目/考点八/直角三角形的斜边中线性质 1.如图，在△ABC中，AB=AC,D是边AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED 和CA,交于点F (1)求证：△ADF是等腰三角形 (2)若∠F=30°，BD=4,EC=6,求AC的长. 《43 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)>>>> 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于点D,BF平分∠ABC,交AD 于点E,交AC于点F. (1)求证：△AEF是等边三角形. (2)若BC=4,则BD的长为 3.如图，在△ABC中，∠A=∠BCA=15°，AB=5,求△ABC的面积. 4.如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB,BE⊥AC. (1)求证：MN⊥EF. (2)已知BC=8,当∠A=60°时，求EF的长. 目/考点九/尺规作角平分线、垂线 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)求作∠BAC的平分线，与BC交于点D.（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若CD=4,AB=16,求△ABD的面积. 44》 第章三角形 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边AB上一点，且AC=AD. (1)作∠BAC的平分线，交BC于点E.(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接DE,求证：DE⊥AB. 目/考点十/等腰三角形的分割 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这 条线段叫作这个三角形的“双等腰线”.如果2条线段将一个三角形分成3 30 30 E 个等腰三角形，我们把这2条线段叫作这个三角形的“三等腰线”如图1， 30 BE是△ABD的“双等腰线”，AD、BE是△ABC的“三等腰线” B160°60 30° D (1)请在图2三个图中，分别画出△ABC的“双等腰线”，并做必要的 图1 标注或说明. ①∠C=90° ②∠B=70°，∠A=35 ③∠ABC=81°，∠A=27° B 图2 (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是 (3)如图3，△ABC中，∠C=号∠B,∠B<45.画出△ABC所有可能的“三等腰线”，使得对 ∠B取值范围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明.（每种可能用一个图单独表示，如 果图不够用可以自己补充) 图3 《45 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)》)>》>》) 直击中考前沿 1.(2024·兰州)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130°，DA⊥AC,则∠ADB的度数为 A.100° B.115° C.130° D.145° D (第1题) (第2题) 2.(2024·福建)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中 △OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线L对称，E、F分别是底边AB、CD的中 点，OE⊥OF.下列推断错误的是 () A.OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB C.OE=OF D.∠BOC+∠AOD=180° 3.(2024·深圳)在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是 () ② A.①② B.①③ C.②③ D.只有① 4.(2024·遂宁)如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,∠C≠ ∠C1,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中，AB=AC,点D、E 在线段BC上，且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形” () B D 图1 图2 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 5.(2024·湖南)一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 6.(2024·镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 46》 第章三角形 7.(2024·重庆)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若 BC=2,则AD的长度为 G (第7题) (第8题) (第9题) 8.(2024·四川)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心、 适当长为半径画孤，分别交BA、BC于点D,E;②分别以点D和点E为圆心，大于DE的 长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F,作射线BF交AC于点G,则∠ABG的度 数为 9.(2024·镇江)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD= 5,则BD= 10.(2024·镇江)如图，∠C=∠D=90°，∠CBA=∠DAB. (1)求证：△ABC≌△BAD. (2)若∠DAB=70°，则∠CAB的度数为 11.(2024·常州)如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G,AB=DF,AC= DE,BC=EF. (1)求证：△GEC是等腰三角形. (2)连接AD,则AD与l的位置关系是 《47④折叠纸张，使AB与AH重合，折痕交BC于点M,得到折5.4,5解析：AE=4BC,AE+EC=AC,EC= 5AC, 痕AM,把纸张展平，折出15°角；⑤过点M、N折叠，得到折 ÷Sae=号5a4x=吉X15=3,即S:+SAam=30:D 1 痕MN..△AMN就是要折叠的等边三角形. 复习课 1 1 是边BC的中点，.SaMm=2SaMc=2X15=7.5,即S,十 知识梳理 1.(1)大于比较大2.(1)重合2(2)对应(3)对应边 S△BDF=7.5②.②-①，得S1-S2=7.5-3=4.5. 对应角3.(1)夹角边角边SAS(2)夹边角边角 考点三：1.C2.C解析：①AB=DE,BC=EF,AC=DF, 可根据“SSS”判定△ABC≌△DEF;②AB=DE,∠B=∠E ASA(3)等角的对边角角边AAS(4)相等边边边 BC=EF,可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF;③∠B=∠E, SSS(5)斜边一条直角边：HL5.(1)线段两端垂直平 AC=DF,∠C=∠F,可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF; 分线(2)角两边角的平分线6.(1)两条边相等(2)相 ④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E,不能判定△ABC≌ 等底边上的中线高线顶角平分线(3)相等7.(1)三 △DEF.综上所述，能使△ABC≌△DEF的条件有①②③，共 边都相等(2)60°(3)相等等腰8.(1)一半(2)斜边 3组. 的一半 考点四：1.B解析：如图，延长AD至点E,使DE=AD 题组提优训练 ,AD是△ABC的中线，∴.BD=CD.在△ABD和△ECD 考点一：1.C解析：根据三角形的三边关系，得4一3<c< BD=CD, 4十3，解得1<c<7.2.D3.12解析：根据三角形的三边中，∠ADB=∠EDC,∴△ABD≌△ECD(SAS),.AB= 关系，得5一2<第三边的长<5十2，即3<第三边的长<7， AD=ED, 第三条边的长为奇数，第三边的长为5，三角形的周长 EC.,AD=10,∴.AE=AD十DE=10+10=20.根据三角形 为2+5+5=12.4.9解析：.|b-2+(c-3)2=0,.b一 的三边关系，得AE一AC<EC<AE+AC,即20一6<EC< 2=0且c一3=0，.b=2,c=3..a为方程|a一5|=1的解，20+6，∴.14<EC<26,.14<AB<26. ∴a=6或a=4.又2十3<6，不能构成三角形，.a=4, ∴△ABC的周长为2+3+4=9.5.2a-2b解析：a、b、c 是△ABC的三边的长，.a一b十c>0,a一c一b<0,.原式= a-b+c-(-a+b+c)=a-b+c+a-b-c=2a-26. 考点二：1.B2.C解析：，AF是△ABC的中线，.BF= CF,故A选项不符合题意；：AD是高，，∠ADC=90°， ∴.∠C十∠CAD=90°，故B选项不符合题意；·AE是角平分 2.证明：AD=EB,.AD+BD=EB+BD,即AB=ED 线，.∠BAE=∠CAE,而∠BAF与∠CAF不一定相等，故 .·∠ADF=∠EBC,.∠180°一∠ADF=180°-∠EBC,即 C选项符合题意；：BF=CF,∴.S△ABC=2 SAABF,故D选项不 (AB-ED, 符合题意.3.13cm解析：AD是△ABC的中线， ∠EDF=∠ABC.在△ABC和△EDF中，{∠ABC=∠EDF, ∴.BD=DC..△ABD的周长为16cm,.AB+AD+BD= BC=DF, 16cm,.AB+AD+DC=16cm.,'AB比AC长3cm, ∴.△ABC≌△EDF(SAS),∴.AC=EF.3.证明：在△ABC和 ..AB=AC+3 cm,.AC+3 cm+AD DC=16 cm, (AB=AE, '.AC+AD+DC=13cm,即△ACD的周长为13cm. △AEF中，} ∠B=∠E,.△ABC≌△AEF(SAS), 4.95°或35°解析：如图1，当高AD在三角形的内部时， BC=EF, ∠BAC=∠BAD+∠CAD=65°+30°=95°：如图2，当高AD ∴.∠AFE=∠C,AF=AC,.∠AFC=∠C,.∠AFE= 在三角形的外部时，∠BAC=∠BAD一∠CAD=65°一30°= ∠AFC,.FA平分∠EFC.4.证明：(1)：AD⊥BC, 35°.综上所述，∠BAC的度数为95°或35° .∠BDE=∠ADC=90°.在Rt△BDE和Rt△ADC中， BE=AC,:R△BDE≌R△ADC(HL).(2):F为BC DE=DC, 的中点，∴BF=CF.在△BFE和△CFM中， (BF=CF, ∠BFE=∠CFM,.'.△BFE≌△CFM(SAS),.∠CBE= 图2 EF=MF, 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·13 ∠BCM,BE=MC..Rt△BDE≌Rt△ADC,.∠CBE=为180°一50°×2=80°；②顶角为50°.综上所述，这个等腰三角 ∠CAD,.∠CAD=∠BCM.,∠CAD+∠ACD=90°，形的顶角的度数为50°或80°.2.C解析：分情况讨论：①当 .∴.∠BCM+∠ACD=90°，即∠ACM=90°，∴.AC⊥MC. 线段AB为等腰三角形ABC的底边时，符合条件的点C有 考点五：1.C2.B解析：：AB的垂直平分线l交BC于点4个（如图中C1、C2、C3、C4);②当线段AB为等腰三角形 D,.DA=DB,∴.△ACD的周长=AC+CD+AD=AC十ABC其中的一条腰时，符合条件的点C有4个（如图中C、 CD+DB=AC+BC=4+7=11.3.20°解析：∠BAC= C6、C,、C8).综上所述，符合条件的点C有8个. 80°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-80°=100° DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，.EA=EB,FA= FC,∴.∠EAB=∠ABC,∠FAC=∠ACB,∠FAE= C2 B ∠EAB+∠FAC-∠BAC=100°-80°=20°.4.126 C3.-4C 解析：由题意可知，∠ABE=∠ABC,∠ACB=∠ACD. ∠a=∠EBC+∠DCB=2∠ABC+2∠ACB,∴.∠ABC+ ∠ACB=2∠a=合X108=54,∴∠1=180-（∠ABC+ 3.A解析：①当18是腰长与腰长一半时，AB+ 2AB=18, ∠ACB)=180°-54°=126°.5.(1)BD垂直平分AE, AB=BE,AD=DE.:△ABC的周长为19，△DEC的周解得AB=12,∴底边长为12-号×12=6，三角形的三条 长为7，.AB+BE+CE+CD十AD=19,CD+CE+DE=边的长分别为12、12、6，符合三边关系；②当12是腰长与腰长 CD+CE+AD=7,.AB+BE=19-7=12,.AB=BE=6. 一半时，AC+2AC=12,解得AC=8,底边长为18-号× 1 (2)∠ABC=30°，∠C=45°，.∠BAC=180°-∠ABC- ∠C=180°-30°-45°=105°.：AB=BE,.∠BAE=8=14,∴三角形的三条边的长分别为8、8、14，符合三边关系. ∠BEA=号(180-∠ABC)=号×(180-30)=75， 综上所述，这个等腰三角形的底边长为14或6.4.18 解析：，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O, ∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=105°-75=30°. ∴.∠ABO=∠OBC.又.MN∥BC,∴.∠MOB=∠OBC, 考点六：1.B解析：如图，过点O作OE⊥AC于点E,OF⊥ ∴.∠ABO=∠MOB,.BM=OM.同理CN=ON,∴.△AMN AB于点F,连接OA.:OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB, 的周长=AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+ OD⊥BC,.OD=OE=OF=3cm,.S△ABC=S△AoB+ BM+CN+AN=AB+AC=10+8=18.5.45°或135 SAx+SAx=号AB·OF+7BC.OD+号AC·0E= 解析：①如图1，当∠ACD=45°时，由互余的定义，得∠A= 45°，即顶角为45°：②如图2，当∠ACD=45°时，由互余的定 y 20D,Caaa=2×3×36=54(cm2). 义，得∠CAD=45°，.∠BAC=180°-∠CAD=180°-45°= 135°.综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为45°或135°. B C 2.C解析：，∠ABC=80°，.∠BMN+∠BNM=180° ∠ABC=180°-80°=100°.：M、N分别在PA、PC的垂直平 分线上，∴.MA=MP,NC=NP,.∠MPA=∠MAP, 图1 图2 6.(1)证明：，∠BAC=∠EAD,∴.∠BAC+∠DAC= ∠NPC=∠NCP,&∠MPA+∠NPC=子（∠BMN+ ∠EAD+∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE (AD-AE, YBNM0=2X100°=50°，.∠APC=180°-（∠MPA+ 中，{∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS). ∠NPC)=180°-50°=130°.3.证明：，D是BC的中点， AB=AC, (BD=CD, ∴.BD=CD.在Rt△BDE≌Rt△CDF中， (2).·∠BAC=∠EAD,∠CAD=110°，.∠BAC=∠EAD= ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),.DE=DF,∴.点D在 {BE=CF,180°-∠CAD_180-110°=35.：∠BAC是△EAC的s外 2 2 ∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC. 角，∴.∠BAC=∠AEC+∠ACE=35°.△ABD≌△ACE, 考点七：l.D解析：分情况讨论：①当底角是50°时，则顶角∴.∠ABD=∠ACE.:∠DME是△BME的外角， 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·14. ∠DME=∠AEC+∠ABD=∠AEC+∠ACE=∠BAC=∠DBC=∠A+∠BCA=15+15=30,CD=号BC= 35°.7.(1)：△ABC是等边三角形，.∠A=∠B= ∠ACB=60.DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°，∠CED= 5 1 1 ,5_25 8Sac=ABCD=7X5X8- ∠A=60°，∴∠DCE=60°.EF⊥ED,∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.(2)∠F+ C ∠FEC=∠DCE=60°，∴.∠FEC=∠DCE-∠F=60° 30°=30°，∴.∠FEC=∠F,.CE=CF..'∠EDC=∠DCE= B D ∠CED=60°，CE=CD=2,.CF=2,∴.DF=CD+CF= 4.（1)证明：如图，连接FM、EM.,CF⊥AB,BE⊥AC, 2+2=4.8.(1)证明：：AB=AC,.∠ABC=∠ACB. ∴.∠CEB=∠CFB=90°..M是BC的中点，.FM=BM= :∠BDC是△ADC的一个外角，.∠BDC=∠A十∠ACD. :∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,∠BDC=CM=号BC=EM.又：N是EF的中点，MN⊥ER. ∠ACB,.∠ABC=∠BDC,.CD=CB.(2)①证明：(2)，∠A=60°，∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°- :BELAC,∠BEC=90,∠CBE+∠ACB=90,设60=120.由(1)，得BM=FM=CM=EM=号BC=4, ∠CBE=a,则∠ACB=90°-a,∴.∠BDC=∠ABC= ∠ACB=90°-a,.∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC= ∴∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM,∴.∠BFM+ 180°-(90°-a)-(90°-a)=2a,.∠BCD=2∠CBE. ∠CEM=120°，∴.∠FMB+∠EMC=360°-（∠ABC+ ②：∠BFD是△CBF的-个外角，∠BFD=∠CBE+∠ACB+∠BFM+∠CEM)=360°-(120°+120)=120， ∠BCD=a+2a=3a.分三种情况：(1)当BD-BF时，∠EMF-180°-（∠FMB+∠EMC)=180°-120°=60 ∠BFD=∠BDC=3a,又'∠BDC=∠ABC=∠ACB= :FM=EM=4,.△EMF为等边三角形，∴.EF=FM=4. 90°-a,.90°-a=3a,.a=22.5°，.∠A=∠BCD=2a= 45°；(i)当DB=DF时，∠DBE=∠BFD=3a,又 :∠DBE=∠ABC-∠CBE=90°-a-a=90°-2a,.90° 2a=3a,a=18°，∴∠A=∠BCD=2a=36°；(im)当FB= FD时，∠DBE=∠BDF,又：∠BDF=∠ABC>∠DBF, ∴不存在FB=FD.综上所述，若△BDF是等腰三角形，则 ∠A的度数为45°或36°. 考点九：1.(1)如图，AD即为所求.(2)如图，过点D作 考点八：1.(1)证明：AB=AC,∠B=∠C.:FE⊥BC,DE⊥AB于点E.:AD平分∠BAC,∠C=90°，.DE= ∠F+∠C=90,∠B+∠BDE=90,∠F=∠BDE.又DC=4Sam=2AB·DE=号X16X4=32 ∠BDE=∠FDA,∴∠F=∠FDA,∴AF=AD,∴.△ADF 是等腰三角形.(2)：DE⊥BC,∴∠DEB=90°.∠F= 30,∴∠BDE=30°，∠B=60,BD=4,BE=2BD=2. D ,AB=AC,.△ABC是等边三角形，.AC=BC=BE十 EC=2+6=8.2.(1)证明：：∠BAC=90°，∠C=30°，2.(1)如图，AE即为所求.(2)证明：：AE平分∠BAC, ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-90°-30°=60. (AC=AD, :BF平分∠ABC,∠ABF=∠CBF=号∠ABC=号X 1 ∴·∠CAE=∠DAE.在△ACE和△ADE中，{∠CAE=∠DAE, AE=AE, 60°=30°.：AD⊥BC,.∠ADB=90°，.∠AEF=∠BED= ∴.△ACE≌△ADE(SAS),∴.∠ADE=∠C=90°，∴.DE⊥AB 90°-∠CBF=90°-30°=60°.又：∠AFB=90°-∠ABF= 90°-30°=60°，.∠AFE=∠AEF=60°，.△AEF是等边三 角形.(2)1解析：在Rt△ABC中，：∠BAC=90°，∠C= 30°，BC=4,AB=2BC=2.由(1)，得∠ABC=60, B ∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-60°=30°， 考点十：(1)如图1，取AB的中点D,则AD=CD=BD, .△ADC和△BCD是等腰三角形；如图2，取CD=BC,则 BD=号AB=1.3.如图，过点C作CDLAB交AB的延 ∠CDB=∠B=70°，.∠A=35°，.∠ACD=70°-35°=35°， 长线于点D.:∠A=∠BCA=15°，AB=5,.BC=AB=5,∴.∠ACD=∠A,∴.AD=CD=BC,△ADC和△BCD是 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·15· 等腰三角形；如图3，作AB的垂直平分线DE,交AC于点D, 7 交AB于点E,连接BD,.AD=BD,∠A=∠ABD=27, ,.∠CDB=54°，.∠ABC=81°，∴.∠CBD=∠ABC 2y8 D D ∠ABD=81°-27°=54°=∠BDC,.CD=BC,.△ADB和 图6 图7 △BCD是等腰三角形. (3),要画出使得对∠B取值范围内的任意值都成立的“三等 C 腰线”，∴不能使∠B等于具体的数值，∴数值需要使分割后 359 的三个等腰三角形的底角成比例即可.第一种画法：如图8， 35o 670°x70 D B :∠C=号∠B,设∠B=2,∠C=3,当AD,DE将 图2 △ABC分成BD=DE,DE=AE,AD=AC的三个等腰三角 形时，则有∠BED=∠B=2x°，∠ADC=∠C=3x D J549 54 :∠EDC=∠B+∠BED=4x°，∴.∠EDA=∠EDC- 27° 27 ∠ADC=x°，∠EAD=x°，“三等腰线”使得三个等腰三 B 图3 角形的底角比为∠B:∠C:∠EDA=2:3:1,即可使得对 8)2或36或5或（号9） ∠B取值范围内的任意值都成立；第二种画法：如图9， 解析：①设△ABC是以AB AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰线”，如图4，当AD= :∠C=号∠B,设∠B=2x,∠C=3,当AD、DE将 BD,BD=BC时，设∠A=x°，则∠ABD=x°，∠BDC= △ABC分成BE=DE,AD=AE,AD=CD的三个等腰三角 ∠C=2x°，∴∠ABC=∠C=2x°.：∠A+∠ABC+∠C= 形时，则∠EDB=∠B=2x°，∠DAC=∠C=3x° 180°，.x°+2x°+2x°=180°，x=36,2x=72,∴∠C=72°； :∠AED=∠B+∠BDE=4x°，∴∠EDA=4x°，因此，“三 ②设△ABC是以AB、AC为腰的锐角三角形，BD为“双等腰 等腰线”使得三个等腰三角形的底角比为∠B·∠C 线”，当AD=BD,CD=BC时，如图5，设∠A=x°，则 ∠AED=2:3：4,即可使得对∠B取值范围内的任意值都 ∠ABD=x°，∠BDC=∠CBD=2.x,∴∠C=∠ABC=3x°. 成立，综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对∠B ∠A+∠ABC+∠C=180°，，x°+3x°+3x°=180°，.x= 取值范围内的任意值都成立 9=9∠C-(9）:⑧设△Ac是以ABAC 为腰的钝角三角形，AD为“双等腰线”，如图6，当AB=BD, AD=CD时，设∠B=y°，则∠C=y°，：AD=CD 3x ∴∠DAC=∠C=y,∴∠ADB=2y°.AB=BD, 图8 ∴∠BAD=∠ADB=2y°.∠B+∠BAD+∠ADB=180°， ∴y°+2y°+2y°=180°，y=36°，.∠B=∠C=36;④设 E 3x △ABC是以AB、AC为腰的直角三角形，AD为“双等腰线”， 如图7，当AD=BD,AD=CD时，AD为BC的垂直平分线， 4x° 2r 3x9 设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，∠B十∠BAD=90, D 图9 ∴.x°十之°=90°，∴，x=45,∴∠B=∠C=45°.综上所述，如果 直击中考前沿 一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是72°或 365（ 1B解析：AB=AC,∠BAC=130,∠C=号(180 BAC)=X(180°-130)=25.DA⊥AC,∴∠CAD目 A 90°，∴.∠ADB=∠C+∠CAD=115°.2.B解析：.OE⊥ OF,∴.∠BOE+∠BOF=90°，由轴对称的性质，得∠AOB= D ∠DOC,,E、F分别是底边AB、CD的中点，△OAB与 D 2ro 28 △ODC都是等腰三角形，∴∠BOE=∠AOB,∠DOF= 2x8 2r°3x C 图4 图5 2∠D0C,∠BOF+∠D0F=90,∴OB⊥OD,故A选项 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·16- 不符合题意；∠BOC不一定等于∠AOB,故B选项符合题意；∠DEF,即∠GCE=∠GEC,∴.GE=GC,∴.△GEC为等腰三 由轴对称的性质，得△OAB2△ODC,·E、F分别是底边角形.(2)AD∥1 AB、CD的中点，.OE=OF,故C选项不符合题意；如图，过 第2章 实数的初步认识 点O作GM⊥OH,∴.∠GOD+∠DOH=90°，∠BOH+ 2.1平方根 ∠DOH=90°，∴.∠GOD=∠BOH,由轴对称的性质，得 ∠BOH=∠COH,∴.∠GOD=∠COH,同理可证∠AOM= 第1课时 算术平方根 ∠BOH,.∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOM+∠DOG= 课堂演练 180°，故D选项不符合题意. 1.(1)√/0.0025=0.05. 71 G 8)=子w)=-引=2.D D 3.C4.C解析：√一5没有意义，故A选项错误； 一√0.36=一0.6，故B选项错误；√36=6，故C选项正确； B H 士√36=土6，故D选项错误.5.C6.(1)3(2)√2(3)5 3.B4.D解析：AB=AC,∴.∠B=∠C.在△ABD和 7.10-1解析：√a-I=3,.a-1=9,.a=10; △ABE中，∠B=∠B,AB=AB,AD=AE,.△ABD和：√6+I=0,b+1=0,.b=-1.8.(1)-√144=-12. △ABE是“伪全等三角形”：在△ACE和△ACD中，∠C= 15. /648 ∠C,AC=AC,AE=AD,.△ACE和△ACD是“伪全等三 (2)√(-10)2=√100=10. (3)√149=√49=7 角形”；在△ABD和△ACD中，∠B=∠C,AB=AC,AD= AD,.△ABD和△ACD是“伪全等三角形”；在△ACE和 △ABE中，∠B=∠C,AE=AE,AC=AB,.△ACE和课后拓展 △ABE是“伪全等三角形”.综上所述，共有4对“伪全等三角9.D解析：由16<18<25，得√16<√18<√25，即4< 形”.5.100°6.67.2解析：：AB=AC,∠A=36°，√8<5.10.√2解析：4的算术平方根为2，是有理数，继 ∴∠C=∠ABC-2(180°-∠A)=号×(10°-36)=72.续取算术平方根：2的算术平方根为5，是无理数：故输出的y :BD平分∠ABC,i∠ABD=∠CBD=号∠ABC=号X 的值为√2.11.√a2+1解析：若一个自然数的算术平方根 是a,则这个自然数是a2,∴.它的下一个自然数是a2十1，其算 72°=36，：∠A=∠ABD,∠BDC=∠A+∠ABD=72=术平方根为Va+i.12.3解析：√a+b-3+a2b2+ ∠C,∴AD=BD,BD=BC,∴AD=BC=2.8.35°解析：1=2ab,√a+b-3+(a2b-2ab+1)=a+b-3+ :AB=AC,∠A=40,∠ABC=∠ACB=2(180-(a6-1)=0,a+6-3=0,a6-1=0ia+6=3,b=1, .a2b+ab2=ab(a+b)=1×3=3.13.(1)11或13解析： ∠A)=2×(180°-40)=70°，根据尺规作图过程可知，BG .(a-3)2+√b-5=0,∴.a-3=0,b-5=0,.a=3,b=5. 为∠ABC的平分线，÷∠ABG=∠GBC号∠ABC=35, 设三角形的第三边为c,当c=a=3时，三角形的周长为a十 b十c=3+5十3=11；当c=b=5时，三角形的周长为3十5+ 9.3解析：AC=8,CD=5,.∴.AD=AC-CD=8-5=3. 5=13.综上所述，等腰三角形的周长为11或13.(2)9解 D在AB的垂直平分线上，，BD=AD=3.10.(1)证明： 「∠C=∠D=90°， 折：Va干3+V26=0,6十3=0解得03d 2-b=0, b=2, 在△ABC和△BAD中，{∠CBA=∠DAB,∴.△ABC≌ （一3)=9.3)由题意，得2-1=5， 10=3, AB=BA, 解得 3∴.a十 △BAD(AAS).(2)20°解析：.∠DAB=70°，∠D=90°， 13a+2b-3=9, 6=2, ..∠DBA=90°-70°=20°.由(1)知，△ABC≌△BAD, 3 ∴.∠CAB=∠DBA=20°.11.(1)证明：在△ABC和△DFE 26=3+2×2=6,.a+2b的算术平方根为6.14.能裁出 (AB=DF, 符合要求的纸片.理由如下：设长方形纸片的长为6xcm,则宽 中，{AC=DE,.△ABC≌△DFE(SSS),∴.∠ACB= 为5xcm.由题意，得6.x·5x=300,x2=10.x>0,∴.x= BC=FE, √10，.长方形纸片的长为6√10cm.由正方形纸的面积为 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·17.