1.5 等腰三角形-【课时提优计划作业本】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练习课时作业（苏科版2024）

课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)))) 1.5等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 课堂演练 1.(教材练习变式)(1)顶角为80°的等腰三角形的底角为 (2)等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 2.若一个等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°，则∠A的度数是() A.45 B.70° C.659 D.50° D (第3题) (第4题) (第5题) (第6题) 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=24°，延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D 的度数为 A.39° B.40° C.49° D.51 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别是E、F.下列结论错误的是 () A.∠ADC=90° B.DE=DF C.AD=BC D.BD=CD 6.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB交AB于点D,交BC于点E,∠B=30°，∠ACE=50°， 则∠EAC的度数为 7.如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC.求证：△ABC是等腰三角形. 26》 第章三角形 课后拓展 8.如果等腰三角形的各边长是整数，周长为9，这样的等腰三角形有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB=AD=DC,过点D作DE⊥AD,交AC于 点E.设∠BAD=a,∠CAD=B,∠CDE=Y,则 () A.2a+33=180° B.3a+23=180° C.3+2y=909 D.2,3+Y=90° 10.等腰三角形两腰上的高所在直线所夹的锐角是70°，则它的顶角的度数是 11.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角的度数是 12.如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且AB=AC,AP=AQ.求证：BP=CQ. 13.如图，在△ABC中，AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O. (1)求证：AD=AE (2)连接OA,判断直线OA、BC的位置关系，并说明理由. 《27 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)>)>)>》 第2课时等腰三角形的判定 课堂演练 1.(教材练习变式)如图，把长方形纸片沿着线段AB折叠，重叠部分的△ABC是 三角形. D D (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在△ABC中，∠B=∠C=70°，D为BC的中点，连接AD,则∠BAD的度数为() A.55° B.20° C.25 D.40 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是AC上一点，连接BD,∠DBC=60°，BD=4, 则AD的长为 () A.4 B.5 C.6 D.8 4.如图，已知OC平分∠AOB,CD∥OB,若OD=3cm,则CD的长为 cm. 5.(1)在△ABC中，∠A=100°，当∠B的度数为 时，△ABC是等腰三角形 (2)在△ABC中，∠A=70°，当∠B的度数为 时，△ABC为等腰三角形. 6.如图，已知AC和BD相交于点O,且AB∥DC,OA=OB.求证：OC=OD. 课后拓展 7.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠C=45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD 于点F,交AC于点E,则图中等腰三角形的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 28 第章三角形 8.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交 AB于点D,交AC于点E,给出下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE= BD+CE;③BC=BD+CE;④△ADE的周长=AB+AC;⑤BF=CF.其中结论正确的有 A.①②③ B.①②④ C.①②④⑤ D.②④⑤ (第8题) (第9题) 9.如图，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD,垂足为D,∠DAC=20°，∠C=38°，则∠BAD的 度数为 10.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=45°. (1)如图，点D在边AB上，点E在边AC上，BD=CE,BE与CD交于点F.求证： BF=CF. (2)若D是边AB上的一个动点，E是边AC上的一个动点，且BD=CE,BE与CD交于 点F.当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数. 11.如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC,BF=AE. (1)求证：△ABC是等腰三角形. (2)求证：AF=CE. 12.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB,交AB于点E,EG∥BC,交AC于点G. (1)求证：EG=CG. (2)延长EG交CF于点H,若G是EH的中点，求证：CF平分∠ACD. 29 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版)))》》) 第3课时等边三角形 课堂演练 1.如图，以点O为圆心、任意长为半径画弧，与射线OA交于点B,再以点B为圆心、BO的长 为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为 () A.30° B.45° C.60° D.75 B D (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，D是边AC上一点，连接BD.若∠DBC=60°， BC=4,则AD的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 3.已知直线a∥b,将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上.若∠2=132°，则∠1 的度数为 () A.10° B.12° C.18° D.30° 4.如图，在一个池塘旁有一条笔直公路MN,池塘对面有一个建筑A,小明在公路一侧点B处 测得∠ABN=60°.为了得到他与建筑物A之间的距离，小明沿公路MN继续向东走到点C 处，测得∠ACB=60°，并测得他走了48m,则AB的长为 m. 池塘 MB公路 (第4题) (第5题) 5.如图，将边长为4cm的等边三角形ABC沿边BC向右平移2cm,得到等边三角形DEF,则 四边形ABFD的周长为 cm. 6.如图，在等边三角形ABC中，BD是边AC上的高，E是BC延长线上一点，且BD=DE.求 ∠E的度数， 30》 第章三角形 课后拓展 7.如图，△ABC是等边三角形，D为边BC的中点，以点A为圆心、AD为半径画弧，与边AC 交于点E,则∠ADE的度数为 () A.60° B.105° C.75° D.15° E D (第7题) (第9题) 8.若三角形三边长满足(a一b)2+|a一c=0,则△ABC的形状是 9.如图，在等边三角形ABC中，AC=9,点O在AC上，且AO=3,P是AB上的一动点，连接 OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的 长为 10.如图，C为线段AE上一点（不与，点A、E重合），在AE同侧作等边三角形ABC和等边三 角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ, (1)求证：AD=BE. (2)求证：△APC≌△BQC. (3)求证：△PCQ是等边三角形. 11.如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E. (1)求证：△ADE是等边三角形 (2)求证：AE=2AB. 《31 课时提优计划作业本数学八年级上册(SK版))))》 第4课时直角三角形斜边中线的性质 课堂演练 1.(教材练习变式)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠ECD=3∠BCD, E是AB的中点，则∠ECD的度数是 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，M为梯子AB的中点.当梯子底端向左水平滑动到CD 位置时，滑动过程中OM的变化规律是 () A.变小 B.不变 C.变大 D.先变小再变大 3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，且AD=CD.下列结论错误的是 A.∠BCD=∠B B.BC=BD C.AD=BD D.∠ACD=2∠BDC 4.如图，直线m∥n,在Rt△ABC中，∠B=60°，直线m经过斜边AB的中点D和直角顶点C, 则∠CEF的度数是 5.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30,求证：BC= 2AB. 小娟采用“截长法”：如图1，在AB上截取BD=BC,连接CD… 小丽采用“补短法”：如图2，延长BC到点D,使得BC=CD,连接AD… 小辉采用“中线法”：如图3，取AB的中点D,连接CD… 请你任选一位同学的方法完成证明. 图1 图2 图3 32》 第章三角形 课后拓展 6.如图，在△MNP中，∠P=60°，MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG= NQ.若△MNP的周长为12，MQ=a,则△MGQ的周长是 ( A.8+2a B.8+a C.6+a D.6+2a (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在△ABC中，∠BAC为钝角，AF、CE都是这个三角形的高，P为AC的中点.若 ∠B=40°，则∠EPF的度数为 () A.90° B.95° C.100° D.1059 8.如图，在△ABC中，AD为中线，AD⊥AC,∠BAD=30°，AB=3,则AC的长为 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是AC的中点，点E、F分别在AB、BC上，且 AE=BF. (1)求证：DE=DF (2)连接EF,求∠DEF的度数. 10.如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是边AB、AC上的高，M、N分别是线段DE、 BC的中点， (1)求证：MN⊥DE. (2)连接DN、EN,猜想∠A与∠DNE之间的关系，并说明理由. 《333.D解析：如图，油库的可选位置有4处。 2PE·BC+2PF·AC=8(AB+BC+AC)=号× 20=50. 9.2.5解析：过点D作DF⊥BC于点F.BD是∠ABC的 4.110°解析：：点O到△ABC三边的距离相等，BO、C0 平分线，DE⊥AB,.DE=DF.'S△ABC=S△ABD十S△DBC, 分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∠OBC=2∠ABC, 7AB·DE+合BC·DF=12.5AB=6,BC=4, .6DE+4DE=25,∴.DE=2.5.10.证明：AD垂直平分 ∠0CB=2∠ACB,∴∠B0C=180°-（∠OBC+∠0CB)= EF,.DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,.AD是∠BAC 180°-号（∠ABC+∠ACB)=180°-2X(180-∠A)= 的平分线，即AD是△ABC的角平分线.11.如图.①连接 180-2×(180°-40)=10.5.如图，点P即为所求. MN,分别以点M和点N为圆心、大于号MN的长为半径画 弧，两弧相交于点D、E,过D、E两点作直线，则直线DE即 为线段MN的垂直平分线：②以点O为圆心、任意长为半径 画弧，分别交OA、OB于点G、H,再分别以点G和点H为圆 心大于2GH的长为半径画弧，两弧相交于点P,作射线 6.A解析：：点P到AE、AD的距离相等，点P在OF,则射线OF即为∠AOB的平分线；③直线DE与射线 ∠BAC的平分线上，故①正确；：点P到AE、BC的距离相OF相交于点P,则点P即为所求. 等，∴点P在∠CBE的平分线上，故②正确；：点P到AD、 A D G BC的距离相等，点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点 0 H E G P在∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点上，故④正确. 综上所述，正确的是①②③④.7.50°解析：如图，过点E *E 分别作EN⊥BD于点N,EM⊥AC于点M,EF⊥AB交BA B D (第11题) (第12题) 的延长线于点F.:BE平分∠ABC,EN⊥BD,EF⊥AB, .EF=EN.同理，EN=EM,∴.EF=EM,∴.点E在∠FAC 12.(1)证明：如图，过点E分别作ED⊥BC于点D,EF⊥AB 于点F,EG⊥AC于点G.:∠ACB的平分线与∠CBA的平 的平分线上，∠CAE=号∠CAF.:∠BAC=80, 分线相交于点E,.ED=EF=EG,.点E在∠BAC的平分 ∠CAF=180°-∠BAC=180°-80°=100°，∠CAE=线上.(2)18解析：如图，连接AE.由题意，得ED=4.又由 2X100°=50. (1),得EF=EG=ED=4.:'S△ABC=S△ABE十S△BBC十 SAAe=36,∴号ABEF+2BC·ED+2AC·EG=36, 2X4×(AB+BC+AC)=36,“AB+BC+AC=18,即 △ABC的周长为18. 1.5等腰三角形 B 第1课时等腰三角形的性质 8.50解析：如图，过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥AC 于点F.P是△ABC三条角平分线的交点，∴.PE=PF= 课堂演练 1.(1)50°(2)50°或80°解析：等腰三角形的一个内角为 PD=5,∴SAc=SA十SaE十Sae=专PD·AB十50，有两种情况.0顶角为50，②底角为50，此时顶角的度数 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·8· 为180°一50°-50°=80°.综上所述，这个等腰三角形的顶角为C0一Q0,即BP=CQ. 50°或80.2.D3.D解析：在△BDF和△CED中， (BF=CD, ∠B=∠C,△BDF≌△CED(SAS),.∠BFD=∠CDE. BD=CE, :∠FDE+∠CDE=∠B十∠BFD,∴∠B=∠FDE=65°，13.(I)证明：：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠ADC=∠AEB= ∴.∠C=∠B=65°，.∠A=180°-∠B-∠C=180°-65° [∠ADC=∠AEB, 65°=50°.4.A解析：：AB=AC,∠BAC=24°，.∠B=90°.在△ADC和△AEB中，{∠DAC=∠EAB,△ADC≌ ∠ACB=专(180-∠BAC)=号×(180-20=78g AC=AB, △AEB(AAS),.AD=AE.（2)OA⊥BC.理由如下：如图， CD=AC,∠ACB=78°，∠ACB=∠D+∠CAD,∴∠D= 延长AO交BC于点F.在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∠CAD=2∠ACB=号×78=39：5.C6,707.证 (AD-AE, .Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),.∠DAO= 明：：AE∥BC,∴.∠DAE=∠B,∠EAC=∠C.又：AE是 AO=AO, △ABC外角的平分线，∴∠DAE=∠EAC,,∠B=∠C, ∠EAO.又.AB=AC,∴.AO⊥BC ∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形. 课后拓展 8.B解析：设等腰三角形的腰长为x,则底边长为9一2x,由 题意可得，/十x>9-2x, 解得2.25<x<4.5,:x为整数， (x-x<9-2z, ∴x=3或x=4.当x=3时，9一2x=3,此时等腰三角形的三 第2课时等腰三角形的判定 边长分别为3、3、3；当x=4时，9一2x=1,此时等腰三角形的 课堂演练 三边长分别为4、4、1.综上所述，这样的等腰三角形有2个. 1.等腰2.B解析：∠B=∠C=70°，∴.AB=AC.,D为 9.D解析：，AD=DC,∴∠C=∠CAD=B.,DE⊥AD, BC的中点，∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°- ∠ADE=90,∠AED+∠CAD=902.∠CDE=Y,70°=20.3.A4.35.(1)40°(2)5°或70°或40°解 ∠AED=∠C+∠CDE,∴.∠AED=3+Y,.28+Y=90°. 10.10或70解析：分两种情况.0如图1，当顶角∠BAC析：若∠A为顶角，且∠A=70,则∠B=∠C=名(180°- 是钝角时，由题意，得∠EHD=70°，∠AEH=∠ADH=90°， ∴∠EAD=360°-∠AEH-∠ADH-∠EHD=360°- ∠A)=2×(180-70)=5:若∠A为底角，且∠B为底 90°-90°-70°-110°，∴∠BAC=∠EAD=110°；②如图2，当角，则∠B=∠A=70°；若∠A为底角，且∠B为顶角，则 顶角∠A是锐角时，由题意，得∠DHB=∠EHC=70°，∠A=∠C=70°，∠B=180°-∠A-∠C=180°-70°-70°= ∠CDA=∠BEA=90°，.∠DHE=110°，.∠A=360°- 40°.6.证明：：AB∥DC,.∠A=∠C,∠B=∠D.又 ∠CDA-∠BEA-∠DHE=360°-90°-90°-110°=70.综OA=OB,∴∠A=∠B,∠C=∠D,OC=OD. 上所述，该等腰三角形的顶角的度数是110°或70° 课后拓展 7.B解析：题图中△ADC、△ABF和△ABE为等腰三角形， 共3个.8.B解析：DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC, E、4XD ∠EFC=∠FCB.BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的 平分线，.∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB,∴∠DBF= ∠DFB,∠EFC=∠ECF,.△DFB、△FEC都是等腰三角 图1 图2 形，∴.DF=DB,FE=EC,∴DE=DF十FE=DB+EC, 11.80°或20°解析：①若100°是顶角的外角，则顶角为.△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC= 180°-100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角为180°-AB+AC.综上所述，正确的结论有①②④.9.58解析：如 100°=80°，那么顶角为180°-2×80°=20°.12.证明：如图，图，延长AD交BC于点E.∠DAC=20°，∠C=38°， 过点A作AO⊥BC于点O.:AB=AC,AO⊥BC,∴.BO=.∠AEB=∠DAC+∠C=20°+38°=58.BD⊥AD, CO.又AP=AQ,AO⊥BC,∴.PO=QO,∴BO-PO=∠BDA=90°.BD是∠ABC的平分线，.∠ABD= 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·9· ∠DBE,.∠BAD=∠BEA=58° 180°一132°=48°.△ABC是等边三角形，.∠ABC=60°， .∠1=∠ABC-∠4=60°-48°=12°. 10.(1)证明：.AB=AC,.∠ABC=∠ACB.在△BCD和 4.48解析：：∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角 BC=CB, 形，∴.BC=AB=48m.5.16解析：由题意，得AB=BC= △CBE中，∠DBC=∠ECB,.△BCD≌△CBE(SAS), AC=4cm.,△ABC沿边BC向右平移2cm得到△DEF, BD=CE, .DF=AC=4cm,AD=CF=2cm,.C四边形ABFD=AB+ .∴.∠FCB=∠FBC,.BF=CF.(2)AB=AC,∠BAC= BC+CF+DF+AD=4+4+2+4+2=16(cm). 45,∠ABC=∠ACB=3180-∠BAC)=2×180- 6.:△ABC是等边三角形，∴.BA=BC,∠ABC=60°. 45)=67.5,由I)∠FBC=∠PCB,i∠FBD=∠BCF.:BDLAC,∠DBC=号∠ABC=×60=30:BD 设∠FBD=∠ECF=x,则∠FBC=∠FCB=(67.5°-x), DE,∴·∠E=∠DBC=30°. ∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°，∠DFB=2∠FBC= 2(67.5°-x)=135°-2x.:△BFD是等腰三角形，故分三种 课后拓展 情况讨论：①当BD=BF时，此时∠BDF-∠DFB,一十7.C解析：△ABC是等边三角形，D为边BC上的中点， :∠DAC=30.在△ADE中，AD=AE,.∠AED= 45°=135°-2x,解得x=30°，即∠FBD=30°：②当BD=DF 时，此时∠FBD=∠DFB,.x=135°-2x,解得x=45°，即 ∠ADE=2(180°-∠DAC)=2×(180-30)=75 ∠FBD=45;③当BF=DF时，此时∠FBD=∠FDB,8.等边三角形解析：(a-b)2+a-c=0,a-b=0, 江=x十45，不符合题意，合去综上所述，∠FBD的度数为a一C=0,a=b=c,∴△ABC为等边三角形.9.6解析： 30°或45.1.证明：(1)：AE∥BC,·∠DAE=∠B,:AC=9,A0=3,0C=AC-A0=9-3=6.:△ABC为 ∠EAC=∠ACB.:E为△ABC的外角平分线上的一点， 等边三角形，.∠A=∠C=60°.线段OP绕点O逆时针旋 ∴∠DAE=∠EAC,∴.∠B=∠ACB,∴AB=AC,.△ABC 转60得到线段OD,.OD=OP,∠POD=60°.又.∠AOP+ 是等腰三角形.(2)由(1)知，∠B=∠DAE=∠CAE.在 ∠OPA+∠A=∠AOP+∠DOC+∠POD=180°，∴.∠OPA= 「AB=CA, 「∠A=∠C, △ABF和△CAE中 ∠B=∠CAE,∴.△ABF≌△CAE ∠DOC.在△AOP和△CDO中，{∠OPA=∠DOC,'.△AOP≌ BF=AE, OP=DO, (SAS),.AF=CE.12.证明：(1)CE平分∠ACB, △CDO(AAS),∴.AP=C0=6.10.证明：(1)△ABC和 ∴∠ACE=∠ECB.:EG∥BC,∴.∠GEC=∠ECB, △CDE是等边三角形，∴.AC=BC,CD=CE,∠ACB= ∴∠GEC=∠ACE,.EG=CG.(2)由(1)知，EG=CG, ∠DCE=60°，∴，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即 ∠GEC=∠GCE.,G是EH的中点，∴.EG=GH,∴CG= (AC=BC, GH,∴.∠GCH=∠GHC,∴.∠GCE+∠GCH=90°， ∠ACD=∠BCE.在△ADC和△BEC中， ∠ACD=∠BCE, ∴∠ECB+∠HCD=90.N∠ACE=∠ECB,∴.∠ACH= CD=CE, ∠HCD,.CF平分∠ACD. .△ADC≌△BEC(SAS),.AD=BE.(2)由(1)，得 第3课时等边三角形 △ADC≌△BEC,∠CAD=∠CBE,即∠CAP=∠CBQ. 课堂演练 :∠ACB=∠DCE=60°，.∠BCD=180°-∠ACB- 1.C2.C解析：，∠C=90°，∠DBC=60°，.∠BDC= ∠DCE=180°-60°-60°=60°，.∠ACB=∠BCD,即 180°-∠C-∠DBC=180°-90°-60°=30°.又：∠A=15° ∠ACP=∠BCQ, .∠ABD=∠BDC-∠A=30°-15°=15°，∴.∠ABD=∠A,∠ACP=∠BCQ.在△APC和△BQC中，{AC=BC, ∴.AD=BD.在Rt△DCB中，BC=4,∠BDC=30°，.BD ∠CAP=∠CBQ, 2BC=2X4=8=AD.3.B解析：如图，∠2=132°，a∥∴.△APC≌△BQC(ASA).(3)由(2)得，△APC≌△BQC, b,∠3=∠2=132°，∠3+∠4=180°，∠4=180°-∠3=.CP=CQ.又∠PCQ=60°，△PCQ是等边三角形. 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·10· 山，证明：I):△ABC为等边三角形，∠A=∠ABC=30=60,△BCD是等边三角形，BC=BD=2AB. ∠C=60°.DE∥BC,.∠AED=∠ABC=60°，∠ADE= ∠C=60°，△ADE是等边三角形.(2)：△ABC为等边三课后拓展 6.D解析：.∠P=60°，MN=NP,.△MNP是等边三角 角形，5AB=BC=AC.:BD平分∠ABC,dAD=号AC= 形，.∠PMN=∠PNM=60°，PM=MN=NP.,△MNP AB.由(I),得△ADE是等边三角形，∴AE=AD.AE= 1 的周长为12，即PM+MN+NP=12,∴.PM=MN=NP= 子AB. 4:MQLPN,i∠QMN=号∠PMN=30,NQ=2NP= 第4课时直角三角形斜边中线的性质 2.:NG=NQ,:∠G=∠NaG=号∠PNM=30= ∠QMN,∴.GQ=MQ=a,.△MGQ的周长为MQ+GQ+ 课堂演练 1.54°解析：∠ECD=3∠BCD,∴∠BCE=4∠BCD.E MN+NG=a+a+4+2=6+2a.7.C解析：CE⊥BA, ∠B=40°，∴∠BCE=90°-∠B=90°-40°=50°.，AF⊥ 是AB的中点，∠ACB=90°，.CE=BE,∠B=∠BCE= 4∠BCD.:CD⊥AB,∠BDC=90°，∠B+∠BCD=90,BC,CE⊥BA,P为AC的中点，.PF=2AC=PC,PE= ∴.4∠BCD+∠BCD=90°，∠BCD=18°，∴.∠ECD=3X 18°=54,2.B解析：”∠AOB=90,M为AB的中点，2AC=PC,∠PFC=∠PCF,∠PEC=∠PCE, ∴OM=AB.同理可得，OM=2CD.:AB=CD.OM的 ∴∠EPF=∠APF+∠APE=2∠PCF+2∠PCE= 2(∠PCF+∠PCE)=2∠BCE=100°.8.1.5解析：如图， 长度不变.3.B解析：∠ACB=90°，∴∠A十∠B=90,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,则∠E=90 ∠ACD+∠BCD=90°.：AD=CD,.∠A=∠ACD,:AD⊥AC,∠CAD=90,∠E=CAD.在△ABC中， :∠B=∠BCD,故A选项不符合题意；BC与BD不一定相AD为中线，BD=DC.又：∠BDE=∠CDA,△DEB≌ 等，故B选项符合题意；∠B=∠BCD,∴.BD=CD.又 △DAC(AAS),.EB=AC.又：在Rt△AEB中，AB=3, AD=CD,.AD=BD,故C选项不符合题意；∠A= 1 1 ∠ACD,∴∠BDC=∠A+∠ACD=2∠ACD,∴.∠ACD= ∠BAE=30°，EB=2AB=2X3=1.5,AC=EB=1.5 2∠BDC,故D选项不符合题意。4.150°解析：：D是斜 边AB的中点，CD=BD=AD=号AB.又：∠B=60, ∴△BCD是等边三角形，.∠BCD=60°，·∠ACD= ∠ACB-∠BCD=90°-60°=30°.m∥n,∴.∠CEF= E 180°-∠ACD=180°-30°=150°.5.选小娟的方法，证明如9.(1)证明：连接BD.:∠ABC=90°，AB=BC,D为AC的 下：如题图1，在AB上截取BD=BC,连接CD.:∠ACB= 中点，∠A=∠C=45°，BD= 号AC=AD,∠DBF= 90°，∠BAC=30°，.∠B=60°，∴△BCD是等边三角形， 1 ∴.∠BCD=60°，BD=BC=DC,,.∠ACD=30°=∠BAC, ∠ABC=45,∠A=∠DBF,在△ADE和△BDF中， ·DA=DC,AD=BD=BC,BC=2AB.选小丽的方 「AE=BF, ∠A=∠DBF,.△ADE≌△BDF(SAS),.DE=DF. 法，证明如下：如题图2，延长BC到D使CD=BC,连接AD, AD=BD, 则BC=号BD.又：∠ACB=90,:AC垂直平分BD,(②：AB=BC,D为AC的中点，.BDLAC,即∠ADB= AB=AD.又：∠BAC=30°，∴∠B=90°-∠BAC=90°-90°，∠ADE+∠BDE=90°.由(1)，得△ADE≌△BDF, 30°=60°，.△ABD是等边三角形，BD=AB,BC= DE=DF,∴.∠ADE=∠BDF,∴.∠BDF+∠BDE=90°，即 ∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，.∠DEF=45°. 2AB.选小辉的方法，证明如下：如题图3，取AB的中点 10.(1)证明：如图，连接DN、EN.CD、BE分别是边AB、 D,连接CD,则BD=号AB.:∠ACB=90,∴CD=2AB, AC上的高，N是线段BC的中点，.DN=BN=CN= CD=BD.:∠BAC=30°，∠B=90°-∠BAC=90°-2BC=EN,DN=EN.又：M为DE的中点，MN⊥ 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·11· DE.(2)∠DNE=180°一2∠A.理由如下：由(1)，得DN=2.任务一：C任务二：如图所示.任务三：60项目反思：对 EN=BN=CN,则∠DBN=∠BDN,∠NCE=∠NEC.应点的连线被对称轴垂直平分（答案不唯一）. :∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴.∠BND+∠CNE= (180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2（∠ABC+ ∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A.又∠BND+ ∠CNE+∠DNE=180°，∴.∠DNE=180°-（∠BND+ ∠CNE)=180°-2∠A. 综合与实践 1.(1)等腰解析：如图1，将纸片沿AB折叠，.∠ABC= 专题3全等三角形与等腰三角形 ∠2.AC∥BD,∠1=∠2，.∠1=∠ABC,.AC=BC, L.I∠EAF=∠BAD(2)∠EAF= 1 -∠BAD仍然成 ∴.△ABC是等腰三角形.(2)如题图2，在△AMG和 立.证明如下：如图1，延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. △AMH中，AM=AM,∠AMG=∠AMH=90°，MG=MH, ∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，.∠B= .△AMG2△AMH(SAS),∴.AG=AH..∠DAG+ (BE=DG, ∠GAM+∠MAH=∠DAB=90°，∴.∠DAG=∠GAM= ∠ADG.在△ABE和△ADG中，{∠B=∠ADG,.△ABE≌ ∠MAH=30°，.∠GAH=∠GAM+∠MAH=60°， AB=AD, .△AHG是一个等边三角形.(3)由折叠的性质，得BH= △ADG(SAS).∴.AE=AG,∠BAE=∠DAG.又.EF= AB=BC,EF为BC的垂直平分线，.HC=BH,.BH= BE+FD,DG=BE,∴.EF=DG十FD=GF.在△AEF和 HC=BC,△HBC是等边三角形.(4)思路：如图2，把AC (AE=AG, 沿∠A的平分线AD翻折，，AB>AC,.点C落在AB上的 △AGF中， AF=AF,.△AEF≌△AGF(SSS), 点C'处，即AC'=AC,依据以上操作，可得△AC'D≌ EF=GF, △ACD,∴∠AC'D=∠C,又：∠AC'D=∠B+∠BDC, ∴∠EAF=∠GAF,又∠GAF=∠DAG+∠DAF, .∠ACD>∠B,..∠C>∠B. ∴.∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.而 ∠EAP+∠BAE+∠DAF=∠BAD,∠EAF=2∠BAD, (3)如图2，连接EF,延长AE、BF相交于点C.,1.5h后， 图1 图2 舰艇甲行驶了90 n mile,舰艇乙行驶了120 n mile,即AE= 2.(1)重合部分△BDF是等腰三角形.理由如下：，△BED 90 n mile,BF=120 n mile..而EF=210 n mile,∴.在四边形 由△BCD沿BD折叠得到，'.△BED≌△BCD,.∠EBD= AOBC中，有EF=AE+BF,又，OA=OB,且∠OAC+ ∠CBD.AD∥BC,∴.∠ADB=∠CBD,.∠EBD= ∠0BC=(90°-30)+(70°+50)=180°，.符合【探索延伸】 ∠ADB,.FB=FD,.重合部分△BDF是等腰三角形. 中的条件，∴∠EOF= F2∠AOB.又：∠AOB=30°+90°+C (2)证明：连接AN,由折叠可知NB=AB,EF垂直平分AB, .NA=NB,∴.NA=NB=AB,.△ABN是等边三角形， (90°-70)=140，.∠E0F= 2∠AOB= 2×140°=70. ∴.∠ABN=60°.∠ABC=90°，∴.∠NBC=∠ABC- ∠ABN=90°-60°=30°.(3)如图，折 北 D 叠过程如下：①对折正方形纸张ABCD, 使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸 E 张展平；②折叠纸张，使点B落在EF 东 上，并使折痕经过点A,得到折痕AH, B M H 得到线段AG,把纸张展平，折出了30°角；③折叠纸张，使AD E B 图1 图2 与AG重合，折痕交CD于点N,得到折痕AN,把纸张展平； 课时提优计划作业本·数学·八年级上册(SK版) ·12.