第21章 一元二次方程 的应用 专项训练-2025-2026学年人教版九年级数学上册

一元二次方程：增长率问题、销售问题、几何面积问题、握手与比赛问题专项训练 一元二次方程：增长率问题、销售问题、几何面积问题、握手与比赛问题专项训练 考点目录 增长率问题 销售问题 几何面积问题 握手与比赛问题 考点一 增长率问题 例1．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量年为架，年达到架． (1)求年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率； (2)该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到年底公司无人机拥有量不超过架，预计年年底报废的无人机数量是年无人机拥有量的，求年底至年该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为， 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为． （2）解：设年底至年该公司无人机数量的年增长率为， 根据题意得，， 解得， 答：年底至年该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过的范围才能达到要求． 例2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)降价5元 【详解】（1）解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 例3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元，现假定每年投入的资金年增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． (2)年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】(1)； (2)15个． 【详解】（1）解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得 ，不符合题意，舍去 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为； （2）解：设该市在2025年可以改造y个老旧小区， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为 答：该市在2025年最多可以改造15个老旧小区． 变式1．（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 【答案】(1)每件售价应定为50元； (2)该款小商品的日平均增长率为． 【详解】（1）解：设每件降价x元，则每件售价应为元，日销售量为件，每件盈利为元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，日销售量为件； 当时，日销售量为件， 因为商家想尽快销售完该款商品，所以应选择日销售量较大的方案，故取， ∴， 答：每件售价应定为50元； （2）解：设该款小商品的日平均增长率为m， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款小商品的日平均增长率为． 变式2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）在全面建设社会主义现代化国家新征程上，科技创新是我国实现高水平科技自立自强的关键．2023年，我国在高端芯片研发领域的专利申请量为1500件，科研工作者们勇攀科技高峰，攻克重重技术难关，到2025年，该领域专利申请量达到2160件．求我国高端芯片研发领域这两年专利申请量的年平均增长率． 【答案】 【详解】解：设我国高端芯片研发领域这两年专利申请量的年平均增长率为， 则， ， ， ， ，舍去， ∴我国高端芯片研发领域这两年专利申请量的年平均增长率为． 变式3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某公司今年6月份的生产成本是600万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是486万元． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)该公司9月份的生产成本是否会超过440万元？请说明理由． 【答案】(1)每个月生产成本下降的百分率为 (2)该公司9月份的生产成本不会超过440万元，理由见解析 【详解】（1）解：设每个月生产成本下降的百分率为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每个月生产成本下降的百分率为； （2）解：该公司9月份的生产成本不会超过440万元，理由如下： 由题意可得，该公司9月份的生产成本为（万元）， ∵， ∴该公司9月份的生产成本不会超过440万元． 考点二 销售问题 例1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为促进新旧动能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台，x是整数）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？ (3)获利最大时该设备的销售单价是多少，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)26万元/台 (3)获利最大时该设备的销售单价是万元/台或万元/台，最大利润是万元 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 依题意，得， 解得， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意，得， 解得：，， ∵此设备的销售单价不得高于28万元/台， ∴， ∴该设备的销售单价应是26万元/台． （3）解：设此设备的销售单价为x万元/台，利润为y万元，则每台设备的利润为万元，销售数量为台， 根据题意，得， 整理，得， ∴顶点坐标为， ∵， ∴二次函数图象开口向下， ∴当时，y有最大值， ∵销售单价x是整数， ∴当或时，利润最大， 当时，， 当时，， ∴获利最大时该设备的销售单价是万元/台或万元/台，最大利润是万元． 例2．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： (1)当销售价为108元/盒时，每天的销售量为________盒，每天盈利________元； (2)在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 【答案】(1)销售量44盒，每天盈利1232元 (2)每盒茶叶降价20元 【详解】（1）解：当销售单价为108元时，每天的销售量为： （盒）， 每天盈利：（元）， 故答案为：44；1232； （2）解：设每盒茶叶降价x元， 依题意得：． 解得：，． ∵需要让利于顾客， ∴取． ∴每盒茶叶降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 例3．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）近年来，电商直播带货成了一个火热的职业.某电商在抖音平台上对一款成本为元/件的服装进行直播销售，如果按每件元销售，那么每天可售出件，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，设每件服装降价元（降价后不得低于成本）. (1)平均每天销售量增加_________件，每件服装盈利__________元．（用含的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 【答案】(1)，； (2)每件服装降价元或元时商家平均每天能盈利元． 【详解】（1）解：平均每天销售量增加件，每件服装盈利元， 故答案为：，； （2）解：设当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：当每件服装降价元或元时商家平均每天能盈利元． 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）商场购进某种新商品每件进价为50元，在试销期间发现，当每件商品的售价为60元时，每天可销售30件．当每件商品的售价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． (1)当每件商品的售价为65元时，商场销售该商品每天可盈利多少元； (2)商场销售该商品每天盈利能否达到410元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)375元 (2)不能，见解析 【详解】（1）解：（元） 答：当每件商品的售价为65元时，商场每天可盈利375元； （2）解：商场每天盈利不能达到410元． 理由：设每件商品涨价元，根据题意得， 整理得， ∴， ∴方程没有实数根， ∴商场每天盈利不能达到410元． 变式2．（25-26九年级上·四川资阳·阶段练习）某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克．现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ (3)在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)每次降价的百分率为 (2)每千克应涨价元 (3)这6000元不是商家获得的最大利润，理由见解析 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 由题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴每次降价的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得或， ∵为了尽快减少库存， ∴， ∴每千克应涨价元； （3）解：这6000元不是商家获得的最大利润，理由如下： 设商场每天的盈利为元， 由（2）可得：， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴这6000元不是商家获得的最大利润． 变式3．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． (1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； (2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 【答案】(1)全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为 (2)每套降价56元 【详解】（1）解：设全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（舍去）， 答：全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为； （2）解：设每套降价个8元，则平均每日可卖出套，根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，， 由题意知：， 解得：， 所以取7， 此时，， 答：每套降价56元． 考点三 几何面积问题 例1．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）思源初级中学为了美化校园，在一个长为，宽为的长方形场地中修建小道（图中阴影部分），余下部分种植花草，其中（每段小道的边缘平行），要使种植花草的面积为，那么小道的宽应为多少？ 【答案】小道的宽度应为． 【详解】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即小道的宽度应为． 例2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？请说明理由； (3)设墙长为米若要确保能建面积为平方米的两种长宽不同的长方形鸡场，则的最小值是 （直接写出结果）． 【答案】(1)长为米，宽为米 (2)不能 (3)20 【详解】（1）解：设鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则鸡场的宽是，长为； （2）解：设鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成鸡场的面积不能达到； （3）解：由（1）的计算结果可知 当时，不能围成一个长方形鸡场； 当时，可以围成一个长方形鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形鸡场． 故的最小值是20. 例3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，某市近郊有一块长为，宽为的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽度为，则塑胶运动场地总面积_______．（用含x的代数式表示）； (2)若塑胶运动场地总面积为，请问通道的宽度为多少？ 【答案】(1)； (2)通道的宽度为米． 【详解】（1）解：设通道的宽度为米， 则， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：通道的宽度为米． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）有一张等腰直角三角形彩纸（如图①），已知，将斜边上的高五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条． (1)图①中______； (2)若通过裁剪图①中的4个长方形纸条为图②的长方形美术作品四周镶边（纸条不重叠且保持纸条宽度不变）（美术作品长、宽相差），若纸条恰好全部用完，则长方形美术作品的面积为多少？ (3)现有幅面积为的正方形美术作品，采用上述同样的方法给作品镶边（不覆盖作品），且长方形纸条恰好全部用完，则裁剪时要给几等分？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)五等分 【详解】（1）解：如图，设与交于点， ∵是等腰直角三角形，且，， ∴，， ∵将斜边上的高五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故答案为：． （2）解：由（1）可知，通过裁剪图①中的4个长方形纸条的宽度均为， ∴裁剪的4个长方形纸条的面积为， 设美术作品长为，则其宽为， 由题意得：， 解得， 则， 答：长方形美术作品的面积为． （3）解：设裁剪时给进行等分后，每一等分的宽度为， ∴裁剪的4个长方形纸条的面积为， ∵正方形美术作品的面积为， ∴正方形美术作品的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 答：裁剪时要给五等分． 变式2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为米． (1)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． (2)矩形这块菜地的最大面积是多少 【答案】(1)矩形这块菜地的面积不能为225平方米； (2)平方米 【详解】（1）解：矩形这块菜地的面积不能为225平方米．理由如下： 米， 米，依题意得， ， 解得，， 当时，， 墙长为40米， 不符合题意，舍去， 的值为15． （2）解：设矩形的面积为平方米，则， ， 当，时，的最大值为300平方米， 矩形的最大面积是300平方米． 考点四 握手与比赛问题 例1．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 【答案】(1)3；15 (2)10人 (3)不可能；理由见解析 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手（次）， 若参加聚会的人数为6，则共握手（次）． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （3）解：角的总数不可能是20；理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以角的总数不可能为20个． 例2．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 【答案】共有30支队伍参赛 【详解】解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 例3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 【答案】这条线路共有8个站点． 【详解】解：设这条线路有个站点，每个站点出售去往其他各站的一张车票，共有张票， 根据题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：这条线路共有8个站点． 变式1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【详解】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 变式2．（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 变式3．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：增长率问题、销售问题、几何面积问题、握手与比赛问题专项训练 一元二次方程：增长率问题、销售问题、几何面积问题、握手与比赛问题专项训练 考点目录 增长率问题 销售问题 几何面积问题 握手与比赛问题 考点一 增长率问题 例1．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量年为架，年达到架． (1)求年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率； (2)该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到年底公司无人机拥有量不超过架，预计年年底报废的无人机数量是年无人机拥有量的，求年底至年该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求． 例2．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 例3．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2022年投入资金1000万元，2024年投入资金1440万元，现假定每年投入的资金年增长率相同． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率． (2)年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2025年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加，如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2025年最多可以改造多少个老旧小区？ 变式1．（24-25九年级上·广东清远·期末）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在某平台上对一款成本价为30元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出30件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． (1)若日获利1000元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ (2)经统计，促销活动后第一日的销售量为64件，第三日的销售量为81件．如果第二日、第三日销售的增长率相同，求该款小商品的日平均增长率． 变式2．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）在全面建设社会主义现代化国家新征程上，科技创新是我国实现高水平科技自立自强的关键．2023年，我国在高端芯片研发领域的专利申请量为1500件，科研工作者们勇攀科技高峰，攻克重重技术难关，到2025年，该领域专利申请量达到2160件．求我国高端芯片研发领域这两年专利申请 量的年平均增长率． 变式3．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）某公司今年6月份的生产成本是600万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到8月份的生产成本是486万元． (1)求每个月生产成本下降的百分率； (2)该公司9月份的生产成本是否会超过440万元？请说明理由． 考点二 销售问题 例1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为促进新旧动能转换，提高经济效益，甘井科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元/台，x是整数）满足如图所示的一次函数关系． (1)求月销售量y与销售单价x之间的函数关系式（不用体现x的取值范围）； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于28万元/台，如果该公司想获得70万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少？ (3)获利最大时该设备的销售单价是多少，最大利润是多少？ 例2．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为80元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒.为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒.针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： (1)当销售价为108元/盒时，每天的销售量为________盒，每天盈利________元； (2)在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ 例3．（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）近年来，电商直播带货成了一个火热的职业.某电商在抖音平台上对一款成本为元/件的服装进行直播销售，如果按每件元销售，那么每天可售出件，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，设每件服装降价元（降价后不得低于成本）. (1)平均每天销售量增加_________件，每件服装盈利__________元．（用含的代数式表示） (2)当每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元？ 变式1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）商场购进某种新商品每件进价为50元，在试销期间发现，当每件商品的售价为60元时，每天可销售30件．当每件商品的售价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题． (1)当每件商品的售价为65元时，商场销售该商品每天可盈利多少元； (2)商场销售该商品每天盈利能否达到410元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·四川资阳·阶段练习）某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克．现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ (3)在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由． 变式3．（25-26九年级上·山西太原·阶段练习）2025 年 9 月 21 日早晨 7∶30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从 2023 年的 7500 人增加到 2025 年的 14700 人． (1)求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率； (2)某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套 224 元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出 30 套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低 8 元，每日可多卖出 5 套，每日最多可打包 70 套，已知平均每日收到货款为 10920 元，则每套降价多少元？ 考点三 几何面积问题 例1．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）思源初级中学为了美化校园，在一个长为，宽为的长方形场地中修建小道（图中阴影部分），余下部分种植花草，其中（每段小道的边缘平行），要使种植花草的面积为，那么小道的宽应为多少？ 例2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？请说明理由； (3)设墙长为米若要确保能建面积为平方米的两种长宽不同的长方形鸡场，则的最小值是 （直接写出结果）． 例3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，某市近郊有一块长为，宽为的矩形土地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的四个矩形（四个矩形的一边长均为）区域将铺设塑胶地面作为运动场地． (1)设通道的宽度为，则塑胶运动场地总面积_______．（用含x的代数式表示）； (2)若塑胶运动场地总面积为，请问通道的宽度为多少？ 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）有一张等腰直角三角形彩纸（如图①），已知，将斜边上的高五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条． (1)图①中______； (2)若通过裁剪图①中的4个长方形纸条为图②的长方形美术作品四周镶边（纸条不重叠且保持纸条宽度不变）（美术作品长、宽相差），若纸条恰好全部用完，则长方形美术作品的面积为多少？ (3)现有幅面积为的正方形美术作品，采用上述同样的方法给作品镶边（不覆盖作品），且长方形纸条恰好全部用完，则裁剪时要给几等分？请直接写出答案． 变式2．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设的长为米． (1)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． (2)矩形这块菜地的最大面积是多少 考点四 握手与比赛问题 例1．（25-26九年级上·湖北·阶段练习）在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握手 次； (2)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数； (3)若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数可能为20吗？为什么？ 例2．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 例3．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？ 变式1．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 变式2．（24-25八年级下·福建福州·期末）作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 变式3．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $