第21章 一元二次方程（23个高频易错考点训练 共46题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习培优专项训练

第21章 一元二次方程（易错题考点集训） 【23个高频易错考点 共46题】 易错考点01：由一元二次方程的解求参数 2 易错考点02：一元二次方程的解的估算 2 易错考点03：由一元二次方程的定义求参数 2 易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法 3 易错考点05：解一元二次方程-配方法 3 易错考点06：配方法的应用 3 易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况 4 易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数 4 易错考点09：公式法解一元二次方程 5 易错考点10：因式分解法解一元二次方程 5 易错考点11：换元法解一元二次方程 6 易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系 6 易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 7 易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 7 易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 8 易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 9 易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用） 10 易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 11 易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 12 易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 13 易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 14 易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 15 易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 16 易错考点01：由一元二次方程的解求参数 1．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 易错考点02：一元二次方程的解的估算 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 易错考点03：由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法 7．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 易错考点05：解一元二次方程-配方法 9． （25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试） （1） 计算： （2）解方程： 10．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习） 解一元二次方程：． 易错考点06：配方法的应用 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 12．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况 13．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）（1）用配方法解方程：； （2）证明：不论，，为任何实数，关于的方程都有实数根． 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数 15．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 16．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 易错考点09：公式法解一元二次方程 17．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； 18．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 易错考点10：因式分解法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 20．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）按要求解下列方程： (1)（公式法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） 易错考点11：换元法解一元二次方程 21．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系 23．（2024九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)若方程的两根、满足，求k值； (3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5． ①则k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 24．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 26． （21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？ 易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 27．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影票． 28．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 29．（2025·江苏泰州·三模）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 30．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 31．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用） 33．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 34．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． (1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ (2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 35．（25-26九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 36．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 37．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 38．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 39．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 40．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 41．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 42．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 43．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 44．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 45．（25-26九年级上·全国·课后作业）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程（易错题考点集训） 【23个高频易错考点 共46题】 易错考点01：由一元二次方程的解求参数 2 易错考点02：一元二次方程的解的估算 3 易错考点03：由一元二次方程的定义求参数 4 易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法 5 易错考点05：解一元二次方程-配方法 6 易错考点06：配方法的应用 7 易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况 8 易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数 10 易错考点09：公式法解一元二次方程 12 易错考点10：因式分解法解一元二次方程 13 易错考点11：换元法解一元二次方程 15 易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系 16 易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 18 易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 19 易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 21 易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 23 易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用） 24 易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 27 易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 29 易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 31 易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 33 易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 35 易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 38 易错考点01：由一元二次方程的解求参数 1．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）如果2是方程的一个根，那么c的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的根的定义．解题运用“代入求值”思想，将方程的根代入方程转化为关于c的一元一次方程求解．解题关键是准确代入根并正确运算，易错点为代入或后续计算时出错． 根据方程根的定义，把代入方程，得到，然后通过移项、计算，求出c的值． 【规范解答】解：由题意，将代入方程，得： 解得． 故选：A． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】，． 【思路引导】本题考查了分式化简求值，方程的解，先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于是方程的根，那么，可得整体代入化简后的式子，计算即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式 ． 易错考点02：一元二次方程的解的估算 3．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【规范解答】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）根据下表判断方程的一个解的取值范围是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解的估算，看0在相对应方程的哪两个值之间，那么近似解就在这两个对应的值对应的x的值之间，据此求解即可． 【规范解答】解：∵当时，， 当时，， ∴当时，一定有一个x对应的值，使得， ∴一元二次方程的一个解x的取值范围是， 故选：B． 易错考点03：由一元二次方程的定义求参数 5．（25-26九年级上·湖北襄阳·开学考试）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【规范解答】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， 即，， ∴ 故答案为：． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的一次项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可． 【规范解答】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 易错考点04：解一元二次方程-直接开平方法 7．（2025九年级上·全国·专题练习）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程； （1）两边开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可． 【规范解答】（1）解：， 开平方得，， ∴或， 解得：； （2）解：原方程整理得， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． 8．（24-25九年级上·全国·阶段练习）用直接开方法解方程得方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】考查一元二次方程的解法—直接开平方法，运用整体思想，把看作一个整体，利用直接开平方法求解即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 故选：D． 易错考点05：解一元二次方程-配方法 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）0；（2）， 【思路引导】本题主要考查了二次根式的混合运算、解一元二次方程等知识点，掌握相关运算法则和方法是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、绝对值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）直接用配方法求解即可． 【规范解答】解:（1） ． （2） ， ， ， ， ∴，． 10．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）（1）解一元二次方程：．   【答案】 【思路引导】本题考查解一元二次方程 配方法解方程即可； 【规范解答】解： ， ， ， ， ∴； 易错考点06：配方法的应用 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【思路引导】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 12．（23-24九年级上·河南周口·期末）先阅读内容，再解决问题： 若，求和的值． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． (1)已知，求的值； (2)若，请问以为三边的是什么形状？说明理由． 【答案】(1)，； (2)是等腰三角形，理由见解析． 【思路引导】本题考查了配方法的应用，等腰三角形定义，掌握完全平方公式、非负数的性质是解题的关键． （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出即可； （）仿照题例通过完全平方公式进行变形，根据非负数的性质分别求出，根据等腰三角形的概念解答即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； （2）解：是等腰三角形，理由， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰三角形． 易错考点07：根据判别式判断-元二次方程根的情况 13．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）（1）用配方法解方程：； （2）证明：不论，，为任何实数，关于的方程都有实数根． 【答案】（1）；（2）见解析． 【思路引导】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握配方法以及根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）一除，二移，三配方，进行求解即可； （2）求出判别式的符号即可得证． 【规范解答】解：（1）， ， ， ， ， ， ∴； （2）， ∴ ， ∴不论，，为任何实数，关于的方程都有实数根． 14．（24-25九年级上·北京海淀·期中）已知关于的方程． (1)求证：方程必有两个不等实数根； (2)当取的整数时，存在两个有理数根，求的值和这两个有理数根． 【答案】(1)方程必有两个不等实数根； (2)m的值为1，这两个有理数根为和． 【思路引导】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程． （1）由方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程必有两个不等实数根； （2）由m的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出，代入后可得出原方程为，且，再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根． 【规范解答】（1）证明： ． ∵， ∴， 即， ∴方程必有两个不等实数根； （2）解：∵当m取的整数时，存在两个有理数根，且， ∴， ∴原方程为，且， ∴此时原方程的解为， ∴m的值为1，这两个有理数根为和． 易错考点08：根据一元二次方程根的情况求参数 15．（23-24九年级上·福建泉州·自主招生） 已知关于的方程． (1)若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； (2)若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 【答案】(1) (2)等腰三角形的周长为或 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解； （2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵两根异号，且正根的绝对值较大， ∴， ∴整数的值为； （2）解：①当为底边长时，， ， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为； ②当为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为或． 16．（20-21九年级上·湖南永州·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【思路引导】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 易错考点09：公式法解一元二次方程 17．（25-26九年级上·江西新余·阶段练习）解下列方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查一元二次方程的解法，涉及直接开平方法、公式法．直接开平方法体现“降次”思想，需将方程化为形式；公式法是通用解法，关键是确定a、b、c并计算判别式．易错点为直接开平方法漏解正负情况，公式法易在b的取值或计算时出错． （1）对于，因左边是完全平方式，用直接开平方法．先移项得，再由平方根定义得，分别求解得，． （2）对于，用公式法．确定，，，计算，代入求根公式，得，即可求得，． 【规范解答】（1） 或 ， ，． （2） ，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． ， ，． 18．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，，先以顶点B为圆心，以边为半径作弧交对角线于点E，再以顶点D为圆心，以边为半径作弧交对角线于点 F，则方程 的一个正根是（     ）      A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【思路引导】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可． 【规范解答】解：∵四边形是矩形 ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴， 解方程得， ∴线段的长是方程的一个根． 故选：C． 易错考点10：因式分解法解一元二次方程 19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【思路引导】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，解决本题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【规范解答】（1）解： ， 或， 解得，； （2）解： 其中，，， ， 解得，． 20．（24-25九年级上·甘肃定西·阶段练习）按要求解下列方程： (1)（公式法） (2)（配方法） (3)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可解答； （2）利用配方法解一元二次方程即可解答； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【规范解答】（1）解：，，， ， ∴， ∴，； （2）解：配方，得， 即 开方，得 ∴，； （3）解：移项，得 则 ∴或 ∴，． 易错考点11：换元法解一元二次方程 21．（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的解是，，则另一个关于x的方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，；则或，据此求解即可． 【规范解答】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是，， ∴或， 解得，，， ∴方程的解是，，． 故选：B． 22．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）关于x的方程的解是，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．无实数解 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的结构相同，则解相同是解题的关键．通过换元法，将新方程转化为原方程的形式，从而利用已知解推导出新解． 【规范解答】解：∵原方程 的解为 ，， ∴令新方程 中的 ，则方程变为 ，与原方程形式相同， ∴新方程的 解与原方程的 解相同，即 或 ， ∴ 或， ∴此时新方程解得 或 ； 故选：B ． 易错考点12：—元二次方程的根与系数的关系 23．（2024九年级上·湖南衡阳·竞赛）已知关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况； (2)若方程的两根、满足，求k值； (3)若的两边、的长是方程的两根，第三边的长为5． ①则k为何值时，是以为斜边的直角三角形？ ②k为何值时，是等腰三角形，并求出的周长． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根 (2)或2 (3)①；②或4，的周长为14或16 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将化简为含，的式子代入计算即可； （3）①根据一元二次方程根与系数的关系及勾股定理列方程求解即可； ②分和或与相等两种情况讨论，根据方程的根的情况求解即可． 【规范解答】（1）解：， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由题意，得，， ， ， ， 解得，或； （3）解：①由题意，得，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， ， 解得，或， ， ， 且当时，方程为， 解得或4，符合题意， 当时，是以为斜边的直角三角形； ②若是等腰三角形，分两种情况： 当时，方程有两个相等的实数根，这与不符，不合题意，舍去； 当或与相等时，5是方程的根， ， 解得或4， 当时，，的周长为； 当时，，的周长为． 24．（25-26九年级上·浙江绍兴·开学考试）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程的两个实数根满足， 求k的值． 【答案】(1)或； (2) 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）把代入方程求出k的值即可； （2）根据方程有两个实数根得到，求解可得k的取值范围；根据根与系数的关系可得，再整理并将整体代入得到关于k的一元二次方程求解即可； 【规范解答】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）解：∵方程的两个实数根 ∴，解得：； ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）． ∴． 易错考点13：传播问题（一元二次方程的应用） 25．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 【答案】A 【思路引导】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得， ， ， ， ，（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染6人， 则三轮传染后得流感的人数为（人）． 故选：A． 26．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？ 【答案】会 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．可设每轮感染中平均一台会感染台电脑，则第一轮后共有台被感染，第二轮后共有即台被感染，利用方程即可求出的值，并且轮后共有台被感染，比较该数同的大小，即可作出判断． 【规范解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑， 根据题意得：， 整理得：， 两边同时开平方得：， 或， 解得：，(舍去)， ， 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑，轮感染后被感染的电脑会超过台． 易错考点14：增长率问题（一元二次方程的应用） 27．（25-26九年级上·广东珠海·开学考试）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影票． 【答案】(1) (2)2500000张 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房第1次累计票房（平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量总价单价，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x， 依题意得，， 即， 可得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：平均每次累计票房增长的百分率是； （2）解： （张）， 答：从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出2500000张电影票． 28．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可； ②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 易错考点15：与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 29．（2025·江苏泰州·三模）综合与实践 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，用x的代数式表示收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高． 【答案】任务一：的长为，的长为；任务二：该收纳盒的高为 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用， 任务一：根据图①分别列出代数式即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为， ，， 答：收纳盒的底面的边的长为，的长为； 任务二：设该收纳盒的高为，则，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去 答：该收纳盒的高为． 30．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． (1)图案中实心圆有______个，空心圆有______个； (2)此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【思路引导】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个； （2）根据（1）所得规律，依题意列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， …… ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， 故答案为： ， （2）存在，理由如下： 设图案中实心圆比空心圆多8个，根据题意，得： ， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 易错考点16：数字问题（一元二次方程的应用） 31．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【规范解答】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 32．（25-26九年级上·全国·课后作业）一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大，百位上的数字等于个位上的数字的平方．如果这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大，则这个三位数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解数字与每个位上的数字的关系是解题的关键． 设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是；再根据这个三位数比它个位上的数字与十位上的数字的积的倍大 列出方程求解即可． 【规范解答】解：设该三位数个位上的数字为，则十位上的数字是，百位上的数字是． 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， ∴十位上的数字为，百位上的数字为． 故答案为：． 易错考点17：营销问题(一元二次方程的应用） 33．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价进货价） 类别价格 款钥匙扣 款钥匙扣 进货价（元/件） 30 25 销售价（元/件） 45 37 (1)网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数； (2)第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ (3)冬奥会临近结束时，网店打算把款钥匙扣降价促销，如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，应将销售价格定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元？ 【答案】(1)购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件 (2)当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元 (3)30元 【思路引导】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数以及一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，根据网店第一次用850元购进、两款钥匙扣共30件，列出方程组进行求解即可； （2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，根据进货总价不高于2200元，列出不等式求出的范围，设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，根据总利润等于两款钥匙扣的利润之和，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可； （3）设每件款钥匙扣的售价定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件， 依题意得：， 解得：． 答：购进款钥匙扣20件，款钥匙扣10件． （2）设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值，此时． 答：当购进40件款钥匙扣，40件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是1080元． （3）设每件款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 为了尽快减少库存 售价应定为30元 答：将销售价定为每件30元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为90元． 34．（25-26九年级上·重庆·开学考试）列方程解下列问题： 卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2天完成卤制． (1)求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？ (2)卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？ 【答案】(1)甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制 (2)需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设甲生产商计划用天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设需将该批卤鹅储藏天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅，根据甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解：设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用天完成卤制， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制； （2）解：设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为元，剩余只卤鹅， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：需将该批卤鹅储藏3天或者0天后一次性售出． 易错考点18：动态几何问题（一元二次方程的应用） 35．（25-26九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，同时点Q从点C出发沿边向点B以的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动． (1)运动几秒时的面积为？ (2)的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由． 【答案】(1)P、Q同时出发，或后可使的面积为； (2)不存在使得的面积等于面积的一半的时刻，理由见解析 【思路引导】本题考查解一元二次方程，解本题的关键是审题后，列出相关的一元二次方程，应掌握一元二次方程根的判别式及求解． （1）设后，可使的面积为，分别表示出线段和线段的长，再利用三角形的面积公式列出方程求解； （2）先求，根据题意建立方程，由根的判别式可得结果． 【规范解答】（1）解：设后，可使的面积为． 由题意得，，，， ∴， 整理得：， 解得：，， 所以P、Q同时出发，或后可使的面积为． （2）解：由题意得：， ∴， 整理可得：， ，该方程无实数解， 所以，不存在使得的面积等于面积的一半的时刻． 36．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 易错考点19：工程问题（一元二次方程的应用） 37．（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【思路引导】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【考点剖析】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 38．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 易错考点20：行程问题（一元二次方程的应用） 39．（24-25八年级下·上海·期中）是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 40．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【思路引导】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【规范解答】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 易错考点21：图表信息题（一元二次方程的应用） 41．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【思路引导】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 42．（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【思路引导】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【规范解答】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 易错考点22：其他问题（一元二次方程的应用） 43．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有 x人，则根据题意，可列方程：________________． 拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条． （1）六边形的对角线有_______条，七边形的对角线有_________条； （2）多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】问题：；拓展：（1）9；14；（2）可以，9 【思路引导】本题考查根据实际问题列一元二次方程，解题关键在于理解握手问题的数量关系． 问题：设参加聚会的同学共有人，则每人应握手次，根据等量关系建立等式即可． 拓展：（1）根据六边形中每个顶点可以形成3条对角线，求解即可；根据七边形中每个顶点可以形成4条对角线，求解即可． （2）根据n边形的对角线数量为条，建立等式求解一元二次方程即可． 【规范解答】解：问题：设参加聚会的同学共有人， 对于其中任意一个人来说，他需要和除自己之外的个人握手， ∵总共有个人，总共握手的次数是次． ∴得． 故答案为：． 拓展：（1）∵每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成3条对角线， ∴六边形的对角线数量为条． ∵每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线． ∴每个顶点可以形成4条对角线， ∴七边形的对角线数量为条． 故答案为：9；14． （2）∵每个顶点可以与个顶点连接形成对角线， ∴每个顶点可以形成条对角线． 所以n边形的对角线数量为条． 设多边形的边数为n，对角线数量为， 可以得到方程，化简为． 解得或， 因为n为正整数，所以， 即多边形的边数为9． 44．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【规范解答】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 易错考点23：握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 45．（25-26九年级上·全国·课后作业）为贯彻落实党的二十大精神和中国工会十八大精神，凝聚职工队伍高质量建设海南自贸港力量，陵水县总工会决定举办2024年“工会杯”羽毛球比赛．在单打比赛中，规定参赛的选手每两人之间比赛一场，工会共安排了50场比赛，设参赛选手有人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛人数之间的关系列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛，据此列出一元二次方程即可． 【规范解答】解：设参赛选手有人，每个参赛选手都要赛场，但两人之间只有一场比赛， 则有：． 故选：C． 46．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2)小江说的有道理，理由见详解； (3)4 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）解：小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 学科网（北京）股份有限公司 $