精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

遵义航天高级中学2025-2026学年高一上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】由题意得， 则. 故选：A. 2. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式，可得出的可能取值，结合题中定义可得出的取值范围. 【详解】由可得， 由题中定义可知的可能取值有、， 当时，；当时，. 综上所述，使不等式成立的的范围是. 故选：C. 3. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数且在上递减 B. 是奇函数且在上递增 C. 是偶函数且在上递减 D. 是偶函数且在上递增 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据函数奇偶性、单调性的定义判断即可. 【详解】∵， ∴，定义域为， ，∴是偶函数， 当时，，在上是单调增函数. 故选：D. 4. 已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把用函数值表示后变形可得． 【详解】由得，即， 所以， 故选：B． 5. 已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 本题首先可根据函数是减函数得出，然后通过与进行对比即可得出结果. 【详解】因为函数是减函数，， 所以， 因为，， 所以， 故选：C. 6. 定义在上的偶函数在时为增函数，若实数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 因为定义在上的偶函数，所以 即 又在时为增函数，则，解得 故选 点睛：本题考查了函数的奇偶性，单调性和运用，考查对数不等式的解法及运算能力，所求不等式中与由对数式运算法则可知互为相反数，与偶函数的性质结合可将不等式化简，借助函数在上是增函数可确定在为减函数，利用偶函数的对称性可得到自变量的范围，从而求得关于的不等式，结合对数函数单调性可得到的取值范围． 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：A 8. 若x，，则的一个充分不必要条件（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分与必要条件的推导关系逐个选项判断即可 【详解】根据充分与必要条件的关系可知，设：“”的一个充分不必要条件为，则能推出，但不能推出； 对A，“”不能推出“”，故A错误； 对B，“”能推出 “”，且“”不能推出“”，故B正确； 对C，“”不能推出“”，故C错误； 对D，“”不能推出“”，故D错误 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析，充分条件能推出必要条件，必要条件不能推出充分条件，属于基础题 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，举反例说明；对B，利用作差比较法和不等式性质求解判断；对C，根据不等式性质判断；对D，根据不等式性质判断. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，若，则，所以， 即，又，故，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 命题，则 D. 是的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】对A选项，使用作差法证明即可，对于B选项，举一个反例即可，对C选项，由命题的否定结论相反可以确定，对D选项由必要不充分条件的判定，即可确定. 【详解】对A选项，，， 则，所以， ，所以，所以时，成立，故A正确, 对B选项，当时，满足，但此时，故B不正确， 对C选项，命题的否定，结论也要否定，所以，故C错误， 对D选项，根据两不等式所表示的集合的关系得到推不出，而能推出，故是的必要不充分条件，所以D正确. 故选：AD. 11. 若存在两个不相等的实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A，的定义域为R，且， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，函数的定义域为R， 取 ，，则， 则，即，故B正确； 对于C，假设函数具有性质，则存在，， 使得，即， ，即， 若，则，即，即这与矛盾； 若，不妨设，则可得，即， 解得，则，故C正确； 对于D，因为函数的定义域为R， 又，所以函数为奇函数， 取，则，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解. 【详解】由已知得，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数和偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以有， 因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以， 因此由， 故答案为： 14. 平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据“正格点”的定义确定（为正整数）有正整数解，由值域内的正整数只有1和2，分别讨论即可求解. 【详解】因为，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点， 所以（为正整数）有正整数解， 因为值域内的正整数只有1和2， 当时，由，解得， 则为方程的正整数解， 所以，即，因为，所以， 则，； 当时，由，解得不是正整数，故舍去， 综上，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题） 15. 求值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用对数的运算性质化简求值即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式. 16. 已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”． （1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）； （2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围； （3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）． 【答案】（1）③；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意可依次算出①②③三个函数所对应的的关系式，然后判断是否为负，即满足“凸函数”的定义. （2）根据函数定义域为R，对于任意的且，可知，解不等式，可求出的范围. （3）根据定义域，结合幂函数的性质，可确定一个复合函数满足“凸函数”的定义，如. 【详解】（1）③ （2）函数定义域为R，对于任意的且， 根据题意 ，因为，所以. （3）（注：答案不唯一） 【点睛】对于新定义的题型，重点在理解定义，确定知识点. 本题的思路为：要计算出的关系式，然后根据“凸函数”的定义，可知. 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，用定义法判断在的单调性. 【答案】（1）奇函数 （2）单调递减 【解析】 【分析】(1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. 【小问1详解】 由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. 【小问2详解】 在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 18. 已知函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若不等式对恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立方程即可求解， （2）根据函数的单调性和奇偶性，将问题转化为对恒成立，进而分离参数，利用不等式求最即可. 【小问1详解】 ，解得：． 【小问2详解】 ，和均为单调递减函数，故为在上单调递减的函数， 又函数的定义域为，则，所以为奇函数， 即对恒成立， 整理得：对恒成立， 当时，不等式等价于对恒成立，， 当时，， 令，， 由于 所以，当时取等，∴， 综上：． 19. 设定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（k为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中k叫作这两个函数的恒定比数值． （1）若函数，判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，）与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围； （3）若函数，且与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围． 【答案】（1）与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，理由： 由，得． 由，得，则． 因为不是的子集， 所以与不是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义，问题化为判断值域是否是值域的子集即可判断； （2）求得，，问题化为求参数范围； （3）先求得、，再讨论、确定值域的包含关系求参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， 由，得， 因为，所以， 因为与是恒定比数值为的k异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得，故k的取值范围为． 【小问3详解】 由，且已知单调递增，得． 由，得，则， 当时，， 因为与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得， 当时，， 因为与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，所以， 所以，解得， 综上，k的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：根据题干函数的新定义，结合各问条件将问题化为两个函数值域间的包含关系为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025-2026学年高一上学期10月检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，.那么使不等式成立的的范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数且在上递减 B. 是奇函数且在上递增 C. 是偶函数且在上递减 D. 是偶函数且在上递增 4. 已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A､B､C､D四点，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义在上的偶函数在时为增函数，若实数满足，则的取值范围是 A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 若x，，则的一个充分不必要条件（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题） 9. 下列选项为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 命题，则 D. 是的必要不充分条件 11. 若存在两个不相等的实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题） 12. 函数的定义域是__________. 13. 已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______. 14. 平面直角坐标系中，将函数的图象上满足，的点，称为的“正格点”．若，，的图象与函数，的图象存在“正格点”交点，则______． 四、解答题（本大题共5小题） 15. 求值： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”． （1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）； （2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围； （3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）． 17. 已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，用定义法判断在的单调性. 18. 已知函数满足． （1）求函数的解析式； （2）若不等式对恒成立，求实数t的取值范围． 19. 设定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（k为非零常数）恒成立，则称与为异自变量定值函数组合，其中k叫作这两个函数的恒定比数值． （1）若函数，判断与是否是恒定比数值为3的异自变量定值函数组合，并说明理由； （2）若函数，）与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围； （3）若函数，且与是恒定比数值为k的异自变量定值函数组合，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $