专题27.1 圆（举一反三讲义）数学沪教版九年级下册

专题27.1 圆（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 圆的认识】 2 【题型2 判断点与圆的位置关系】 3 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 3 【题型4 与圆有关的概念】 4 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 5 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 6 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 7 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 8 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 圆的认识】 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-1】到点的距离等于2厘米的点的轨迹是 ． 【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【题型2 判断点与圆的位置关系】 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆外 B．点在圆外、点在圆内 C．点在圆内、点在圆外 D．点、均在圆内 【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边中，点A在以边为直径的圆 ．（填“上”“内”或“外”） 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 【例3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 与圆有关的概念】 【例4】下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【变式4-1】如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【变式4-2】小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（    ） A．4 B．5 C．10 D．11 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 【例6】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 【变式6-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式6-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【变式6-3】如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（  ）． A． B． C． D． 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 【例7】（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【变式7-1】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【变式7-2】（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 【例8】（24-25九年级上·海南·期中）如图，矩形中，，，动点分别从点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿向终点运动，过点作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．3 【变式8-1】（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【变式8-2】（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【变式8-3】（2025·海南·一模）如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.1 圆（举一反三讲义） 【沪教版】 【题型1 圆的认识】 2 【题型2 判断点与圆的位置关系】 4 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 6 【题型4 与圆有关的概念】 9 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 11 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 14 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 18 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 22 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 圆的认识】 【例1】（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 【变式1-1】到点的距离等于2厘米的点的轨迹是 ． 【答案】以点为圆心，2厘米长为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，主要是对圆的轨迹定义的考查，比较简单．根据圆的定义解答． 【详解】解：到点的距离等于2厘米的点的轨迹是：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 故答案为：以点为圆心，2厘米长为半径的圆． 【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．经过已知点 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径．确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】A、只确定圆的圆心，不可以确定圆； B、只确定圆的半径，不可以确定圆； C、既确定圆的圆心，又确定了圆的半径，可以确定圆； D、既没有确定圆的圆心，又没有确定圆的半径，不可以确定圆； 故选：C． 【变式1-3】如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上． 【详解】证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD， ∵∠B=∠D=90°， ∴OB=AC，OD=AC．即OB=OA=OC=OD， ∴ A、B、C、D四点在同一圆上． 【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形. 【题型2 判断点与圆的位置关系】 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）矩形中，，，点在边上，且，如果圆是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断正确的是（   ） A．点、均在圆外 B．点在圆外、点在圆内 C．点在圆内、点在圆外 D．点、均在圆内 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置，由，得到，，再根据勾股定理，计算出，，则，，然后根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：如图，连接，， ∵四边形为矩形， ∴， ，点在边上，且， ，， ， ， ， 点在圆内、点在圆外 故选：C． 【变式2-1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）若的半径为，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点在 （填“圆内”“圆上”或“圆外”）． 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据两点间的距离公式求出的长，再与相比较即可．熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵圆心的坐标是，点的坐标是，的半径为， ∴， ∴点在圆内． 故答案为：圆内． 【变式2-2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径是方程的根，且点A到圆心的距离为6，则点A在（   ） A．上 B．内 C．外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、点与圆的位置关系等知识点，掌握判定点与圆的位置关系的判定方法是解题的关键． 先根据题意求得方程的根，从而得到圆的半径，再根据半径r与d的值的大小关系即可解答． 【详解】解：解方程得：（舍去） ∴圆O的半径是8， ∵点A到圆心O的距离为6，， ∴点A在圆O内． 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在等边中，点A在以边为直径的圆 ．（填“上”“内”或“外”） 【答案】外 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系、等边三角形的性质，勾股定理等知识点，比较半径和A到圆心的距离之间的大小关系即可得解，熟练掌握点和圆的位置关系、等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，为等边三角形，    过A作于点，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即此时， ∴点A在以为直径的圆外， 故答案为：外． 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 【例3】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作圆，若使点C在内且点B在外，则的半径可以是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理；分别求得的最小值，进而确定的半径范围，即可求解． 【详解】解：设的半径为，即，则， ∵点C在内 ∴，即，解得：， 连接， 在中， 当时， 解得： ∵点P是边上的一个动点，，点B在外 ∴ ∴，结合选项可得的半径可以是 故选：C． 【变式3-1】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【变式3-2】已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 【变式3-3】在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A. 【题型4 与圆有关的概念】 【例4】下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．优弧一定大于劣弧 C．不同的圆中不可能有相等的弦 D．直径是一个圆中最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查了等弧、等弦的概念，优弧、劣弧大小的比较，弦与直径的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据等弧的定义，弦的定义即可解答． 【详解】解：A、能够互相重合的弧是等弧，长度相等的两条弧不一定是等弧，故A选项错误； B、两弧若不在同圆或等圆中，则结论不一定成立，故B选项错误； C、在等圆中，存在长度相等的弦，例如等圆中的直径都相等，故C选项错误； D、直径是一个圆中最长的弦，正确，故D选项正确； 故选：D． 【变式4-1】如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）半径有，； （2）直径有； （3）弦有，，； （4）劣弧 对应的优弧是； 故答案为：，；；，，； 【变式4-2】小明在半径为5的圆中测量弦的长度，下列测量结果中一定是错误的是（    ） A．4 B．5 C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据直径是圆中最长的弦即可求解． 【详解】解：∵半径为5的圆，直径为10， ∴在半径为5的圆中测量弦AB的长度，AB的取值范围是：0<AB≤10， ∴弦AB的长度可以是4，5，10，不可能为11． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，掌握弦与直径的定义是解题的关键．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径． 【变式4-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）下列命题中，正确的是（   ） ①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③半径是弦；④在同圆或等圆中，直径是最长的弦；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据半圆和弧的定义对①进行判断，根据弦的定义对②③进行判断；根据直径的定义对④进行判断；根据圆的定义对⑤进行判断．解题的关键是掌握是：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：半圆是弧，故命题①正确； 弦是连接圆上任意两点之间的线段，故命题②错误； 半径不是弦，故命题③错误； 直径是圆中最长的弦，故命题④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，故命题⑤正确； ∴正确的是①④⑤． 故选：C． 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点是解题关键．先证明，推出，再根据等边对等角的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，垂线定义，由，得出，根据，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级上·天津·期中）如图，在中，，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【变式5-3】（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接，结合半径相等以及菱形的性质得，故都是等边三角形，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， ∵四边形是菱形， ∴， 即， ∴都是等边三角形， ∴， 即， 故选：B 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 【例6】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 【变式6-1】（24-25九年级上·广东惠州·期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，在中利用勾股定理求出的长，再结合是的直径即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， 是的直径， ． 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在中，于点，交于点，，以点为圆心长为半径作弧，交于点，连结交于点．若，则长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，灵活运用等腰、等边三角形性质求解是解题的关键． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，结合题意证是等边三角形，根据等边三角形“三线合一”可得，在中三角形内角和定理求出，得出． 【详解】解：连接，如图． ， ， 由题意可知， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式6-3】如图，已知为的外接圆，，直径交于点E，若，则（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，圆的基本性质，先证明垂直平分，再利用勾股定理用分别表示出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的外接圆， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：A． 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 【例7】（2025·宁夏银川·模拟预测）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查确定点的坐标，由点的坐标为得，连接，过点B作轴于点，则，再求出，可得，从而得点B的坐标． 【详解】解：连接，过点B作轴于点，如图， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点Ｂ是第四象限内的点， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，直线l与相交于点A，B，点A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，据此解答即可． 【详解】解：由图可以发现：点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 【变式7-2】（2025·辽宁大连·一模）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    【变式7-3】（2025·山东淄博·一模）对于点P和线段，给出如下定义：若将线段绕点P旋转可以得到的弦（，分别是A，B的对应点），则称线段是的以点P为中心的“和谐线段”．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点的，连接，已知线段是的以点P为中心的“和谐线段”，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，圆的基本特点，根据题意可得都在上，由，可得点B只能在C、D这两个位置，同理点A只能在，这两个位置，进而确定或，再确定对应情形下旋转的角度即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的半径为1， ∴都在上， 如图， ∵， ∴劣弧（不包括端点）上的任意一点到点P的距离都小于1，优弧（不包括端点）上任意一点到点P的距离大于1， ∴点B只能在C、D这两个位置， 同理可得点A只能在，这两个位置， ∴或， 当时，此时旋转角度为180度，符合题意， 当，此时点A旋转到其对应点时的旋转角度大于90度，点B旋转到其对应点时的旋转角为90度，不符合题意， ∴， 故选：B． 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 【例8】（24-25九年级上·海南·期中）如图，矩形中，，，动点分别从点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿向终点运动，过点作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．连接交于点，取中点为，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】连接交于点，取中点为，连接，如图所示， 四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， 三点共线， ，是的中点， 在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧， 的最大值为的长，即． 【变式8-1】（24-25九年级下·河北邢台·期末）如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 为的中点，的中点为， ，， ， ， 根据三角形边长关系可得， 的最大值为， 故选：A． 【变式8-2】（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，已知，，是边上一动点（点不与点，重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为（   ） A． B． C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根据题意得出动点轨迹是解题的关键． 根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中利用勾股定理求出线段的最小值即可． 【详解】解：如图：连接， ∵点B和M关于对称， ∴， ∴M在以A圆心，5为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，最短， ∵在矩形中，，， ∴． 故选：D． 【变式8-3】（2025·海南·一模）如图，是矩形的边上一动点，是的中点，连接，将沿所在直线折叠，点的对应点是点，连接．已知，当线段的最小值为1时，边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，，，通过折叠性质可知：，，则有点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，由 ，从而可知当点三点共线时，有最小值，然后设，则，，最后通过勾股定理，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠性质可知：，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，连接，如图， ∵， ∴当点三点共线时，有最小值，即此时，如图， ∵是的中点， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解一元二次方程，圆的性质的综合运用，掌握知识点的应用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $