专题27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（高效培优讲义）数学沪教版五四制九年级下册

专题27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 教学目标 1. 了解圆心角、弦心距等概念； 2. 根据教材证明圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及推论； 3. 应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 教学重难点 1.重点 （1）圆心角、弧、弦、弦心距的概念及辨析； （2）圆心角、弧、弦、弦心距，“知一求三”； （3）圆心角、弧、弦、弦心距的几何应用。 2.难点 （1）根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行有关几何证明； （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的综合应用。 知识点1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. (2)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C,则垂线段OC的长是弦AB的弦心距. 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理： ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ②推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论： 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 【即学即练】 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   2．下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 3．中的一段劣弧的度数为，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 6．如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 题型01 判断圆心角 【典例1】．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2】．图中是圆心角的是（　　） A．  B．   C．   D．   题型02 1°弧的意义及应用 【典例1】．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【变式1】．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为 ． 【变式2】．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ． 题型03 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有关辨析 【典例1】．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（    ） A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等 C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等 D．这两条弦所对的弦心距相等 【变式2】．下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解 【典例1】．如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】．如图，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】．如图，是的直径，点C，D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型05 根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系比较大小 【典例1】．如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【变式2】．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【变式3】．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 题型06 圆心角、弧、弦、弦心距之间的综合应用 【典例1】．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式1】．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是  (  ) A．== B． C． D． 【变式2】．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）    A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF 题型07 解答证明题Ⅰ 【典例1】．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    【变式1】．如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【变式2】．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 题型08 解答证明题Ⅱ 【典例1】．如图,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．   【变式1】．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【变式2】．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【变式3】．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 一、单选题 1．下列各角中，是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 4．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（　　） A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n° 6．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 7．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 9．已知，如图，，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．都是等边三角形 10．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 12．如图，是的两条弦，于P，于Q． （1）如果，那么 ， ， ； （2）如果，那么 ， ， ； （3）如果，那么 ， ， ； （4）如果，那么 ， ， ． 13．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ． 14．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 15．如图，已知、是的直径，，，则 16．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    17．如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 18．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ． 三、解答题 19．如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 20．如图，在中，弦相交于点，且．求证：． 21．如图，在中，于于，求证：． 22．如图，，是的两条弦，．求证：． 23．如图，在中，已知弦．求证：． 24．如图，点在上，．求证：． 25．如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 26．如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 教学目标 1. 了解圆心角、弦心距等概念； 2. 根据教材证明圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理及推论； 3. 应用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解或证明． 教学重难点 1.重点 （1）圆心角、弧、弦、弦心距的概念及辨析； （2）圆心角、弧、弦、弦心距，“知一求三”； （3）圆心角、弧、弦、弦心距的几何应用。 2.难点 （1）根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系进行有关几何证明； （2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的综合应用。 知识点1 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 一、圆心角与弧的定义 1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2．1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. (2)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 二、弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距.在图27-9中，过圆心O作弦AB的垂线，垂足为C,则垂线段OC的长是弦AB的弦心距. 三、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理： ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ②推论 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理有以下推论： 推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧(或优弧)、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等. 【即学即练】 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 【答案】A 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,即可解答． 【详解】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确； B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 3．中的一段劣弧的度数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可． 【详解】解：中的一段劣弧的度数为， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么对应的其余两对也分别相等． 4．如图，在中，，则度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心角的度数得出即可． 【详解】解：圆心角， 圆心角对的弧的度数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数． 5．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C．到、的距离相等 D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．根据圆心角、弧、弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴O到、的距离相等， 所以A、C、D选项正确， 不能证明是等边三角形，不一定成立， 故选：B． 6．如图，是的弦，连接，若，则弦，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据在同圆或等圆中，弧，弦，角之间任意一组量相等，另外两组也相等，即可得出结论． 【详解】解：， ． 故选：C． 题型01 判断圆心角 【典例1】．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式2】．图中是圆心角的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 【详解】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可． 题型02 1°弧的意义及应用 【典例1】．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 【变式1】．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为 ． 【答案】120 【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为： 故答案为：120． 【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解． 【变式2】．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】200° 【分析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数． 【详解】最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°． 故答案为200° 【点睛】本题考查了认识平面图形－圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360°． 题型03 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有关辨析 【典例1】．在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　） ①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据弧、弦、角的关系即可判断． 【详解】解：①∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴的度数的度数．①正确； ②在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．②正确； ③∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴和是等弧．③正确； ④在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．④正确； 故选：D 【点睛】本题考查弧、弦、角的关系．熟记相关结论是解题关键． 【变式1】．如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（    ） A．这两条弦所对的圆心角相等 B．这两条弦所对的弧相等 C．若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等 D．这两条弦所对的弦心距相等 【答案】C 【分析】在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，但在不同圆中则应另当别论． 【详解】解：A、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误； B、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误； C、若两圆为等圆，则这两条弦所对的圆心角相等，原说法正确，故本选项正确； D、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，注意在同圆和等圆这个条件，不要盲目解答． 【变式2】．下列四个命题： ①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等． 真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意； ②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意； ③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意； ④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意， 真命题有3个， 故选：C． 【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大． 题型04 根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系求解 【典例1】．如图，在中，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟记“同圆中等弧所对圆心角相等”是解决问题的关键． 根据“同圆中等弧所对圆心角相等”得． 【详解】解：，， ． 故选：A． 【变式1】．如图，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，掌握在同圆中等弧对等圆心角是解题的关键．由可得，再结合图形和即可解答． 【详解】解：， ， 又，， ， 解得：． 故选：B． 【变式2】．如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式3】．如图，是的直径，点C，D在上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，同弧所对应的圆心角相等，即可解答. 【详解】解：，， . 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，掌握在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键. 题型05 根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系比较大小 【典例1】．如图：，则下列正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，如图，取的中点E，连接，．证明，再利用三角形的三边关系解决问题． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1】．已知中， ，则弦和的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系． 如图，取弧的中点，利用得到，则根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用三角形三边的关系得，于是有． 【详解】解：如图，取弧的中点，则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】．如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 = = 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：=． 【变式3】．如图，A，B，C，D是上的四点，且，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：B． 题型06 圆心角、弧、弦、弦心距之间的综合应用 【典例1】．如图，在中，已知AB=CD，则AC与BD的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据已知条件可得，进而可得，根据圆心角、弧、弦的关系即可得 ． 【详解】， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆的性质是解题关键． 【变式1】．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是  (  ) A．== B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF，根据垂直平分线的性质易证DF=DF=BF，再根据“在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧”即可判断. 【详解】如图，连接AD，OD，DF，OF，BF， ∵CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, ∴DF=CE=AB，AD=OD，OF=BF， ∴DF=DF=BF， 则==. 故选A. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等弧的判定，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【变式2】．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）    A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF 【答案】D 【分析】在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可． 【详解】如图，在弧EF上取一点M，使，    则， 所以AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， 所以AB+CD＞EF， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键． 题型07 解答证明题Ⅰ 【典例1】．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．    【答案】详见解析 【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得． 【详解】证明：∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等． 【变式1】．如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论； 由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论． 【详解】证明：， ， ，即， ， ． 【变式2】．已知：如图，⊙O中弦．求证：AD=BC． 【答案】见解析 【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到，从而得到，再由等弧所对的弦相等即可得到． 【详解】证明：∵AB=CD， ∴， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握等弦所对的劣弧相等，等弧所对的弦相等． 题型08 解答证明题Ⅱ 【典例1】．如图,在⊙O中，弧AC=BC，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．求证：AD＝BE．   【答案】证明见解析 【分析】连接OC．只要证明△COD≌△COE，推出OD=OE即可解决问题； 【详解】解：连接OC，    ∵ ， ∴∠AOC=∠BOC． ∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E， ∴∠CDO=∠CEO=90° 在△COD与△COE中， ∵ ， ∴△COD≌△COE(AAS)， ∴OD=OE， ∵AO=BO， ∴AD=BE． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的性质和判定．熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键． 【变式1】．如图，D，E分别是的半径上的点，且，垂足分别为D，E，．求证：C是的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，求出，根据得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ∵ ∴， ∴， ∴，即C是的中点． 【变式2】．如图，，D，E分别是半径，的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．连接，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得． 【详解】证明：连接． 在中，， ， ，、分别是半径和的中点， ， ， ， ． 【变式3】．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证： （1）OC＝OD： （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论； （2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴∠OAC＝∠OBD． 在△OAC与△OBD中， ∵， ∴△OAC≌△OBD（SAS）． ∴OC＝OD． （2）∵△OAC≌△OBD， ∴∠AOC＝∠BOD， ∴． 【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC≌△OBD是解题的关键． 一、单选题 1．下列各角中，是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆心角的概念，圆心角的顶点必须为圆心，即可判定D正确． 【详解】顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D中，是圆心角， 故选D． 【点睛】本题考查了圆的认识——圆心角的定义，顶点在圆心的角是圆心角. 2．下列说法中，正确的是（    ） A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等 【答案】B 【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件． 【详解】A中，在同圆或等圆中，等弦所对应的弧可以相等也可以构成新圆，其他情况不一定成立； B中，等弧所对的圆心角、弦均相等，故正确； C中，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对应的弦相等，其他情况不一定成立，例如同心圆； D中，在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角可以相等也可以相加为，其他情况不一定成立； 故选B． 【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系，等弦、等弧的概念，需明确各概念间的区别再判断． 3．下列说法中，不正确的是（    ） A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等 B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60° C．在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大 D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧 【答案】D 【分析】圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中发生的，因此在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，由此可知答案． 【详解】A. 在同圆或等圆中，若两弧相等，则它们所对的弦相等，此项说法正确，不符合题意； B.在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为60°，此项说法正确，不符合题意； C. 在同一个圆中，若两弧不等，则优弧所对的圆心角较大，此项说法正确，不符合题意； D.在大小不等的两圆中，即使位于两圆中的两弧的度数相等，这两条弧也不是等弧，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，掌握圆的有关概念和性质是解题关键，要特别注意题干的要求． 4．如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 5．如图，圆心角∠AOB=25°，将弧AB旋转n°得到弧CD，则∠COD等于（　　） A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n° 【答案】A 【详解】试题解析：∵将旋转n°得到， ∴=， ∴∠DOC=∠AOB=25° 故选A． 6．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 【答案】C 【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数． 【详解】∵OM=ON， ∴∠M=∠N=52°， ∴∠MON=180°-2×52°=76°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 7．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系逐一分析即可． 【详解】①若，则，正确； ②若，则，故不正确； ③由不能得到，故不正确； ④若，则，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键． 8．结合各自对应图形，给出的相应推理中，其中正确的是（    ） ∵ ∴ （1） ∵ ∴ （2） ∵ ∴ （3） ∵ ∴ （4） A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【答案】C 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可判断． 【详解】（1）在⊙O中，∵，∴，∴（1）正确； （2）与不是同圆或等圆中的弧，由推不出，∴（2）不正确； （3）∵，∴∴；∴（3）正确； （4）弦与弦不是同圆或等圆中的弦，∴；（4）不正确 故选：C 【点睛】本题考查弧、弦与圆心角的关系，解题的关键是熟练掌握弧、弦、圆心角的关系进行判断正误． 9．已知，如图，，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D．都是等边三角形 【答案】D 【分析】由题意根据圆心角、弧、弦之间的关系，由∠AOB=∠COD，可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此进行分析判断即可． 【详解】解： ，． 成立，D不成立． 故选：D． 【点睛】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，注意掌握三组量中，只要有一组相等，其余的都对应相等． 10．如图，在中，，D、E分别是半径与的中点，连接，，则下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，根据弧、弦、圆心角的关系可判断A选项，证明可判断B、C选项，根据已知条件，不能证明，可判断D选项． 【详解】解：在中，， ，故A选项不符合题意； 在与中，， ， ，，故C选项不符合题意； D、E分别是半径的中点, ， 在与中， ， ， ，，故B选项不符合题意； 和不一定相等， 和不一定垂直，故D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质，掌握相关知识点是解决本题的关键． 二、填空题 11．120°的圆心角是360°的 分之一，它所对的弧是相应圆周长的 分之一． 【答案】 三 三 【分析】根据题意可知由于圆周角为360°，则圆心角是120°的圆心角所对弧长是圆周长的120°÷360°=，所以所对的弧长是相应的圆的周长的，据此解答即可． 【详解】解：120°÷360°=， 它所对的弧是相应圆周长的， 答：120°的圆心角是360°的三分之一，它所对的弧是相应圆周长的三分之一． 故答案为：三；三． 【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比． 12．如图，是的两条弦，于P，于Q． （1）如果，那么 ， ， ； （2）如果，那么 ， ， ； （3）如果，那么 ， ， ； （4）如果，那么 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系，熟记圆心角、弧、弦、弦心距的关系是解题的关键． （1）（2）（3）（4）根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，，； （2）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，； （3）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，； （4）∵，于P，于Q， ∴，，， 故答案为：，，． 13．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为 ． 【答案】60° 【分析】根据圆心角定理可得∠AOB=60°，即∠COD=60°，则的度数为60°. 【详解】∵为60°， ∴∠AOB=60°， ∴∠COD=60°， 则的度数为60°. 故答案为60°. 【点睛】本题主要考查圆心角定理：圆心角的度数和它们对的弧的度数相等． 14．如图，在中， 弧与弧相等，，则 °． 【答案】30 【分析】由弧与弧相等推得弧和弧相等，再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等，从而求出的度数． 【详解】解：∵弧与弧相等， ∴弧和弧相等， ∴； 故答案为：30． 【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 15．如图，已知、是的直径，，，则 【答案】/64度 【分析】根据等弦所对圆心角相等，即可求解，解题的关键是：找到等弦所对的圆心角． 【详解】解：， ， 又， ， ， 故答案为：． 16．如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 18．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：补全弧所在的圆及圆心，连接，，， 由三角形任意两边之差小于第三边得，当共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角， 设半圆的半径为，则由对折可得：， ∵， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去） ， 故答案为：． 三、解答题 19．如图，在中，弦，相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键，证明即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ． 20．如图，在中，弦相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，圆周角定理，等角对等边，根据，得到，进而得到，圆周角定理得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在中，于于，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，连接，根据题意得出，进而证明，即可得证． 【详解】证明：连接． ， ， ， ． 又， ， ． 22．如图，，是的两条弦，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，平行线的性质；连接，根据平行线的性质得出，进而根据弧与圆周角的关系，即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴． ∴． 23．如图，在中，已知弦．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦间的关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦所对的弧相等；由得，则有，从而得． 【详解】证明：， ， ． ， ． 24．如图，点在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆心角，弧，弦的关系，熟知圆心角，弧及弦之间的关系是解题的关键， 根据圆心角，弧及弦之间的关系即可解决问题． 【详解】∵， 25．如图，是上的点，，分别交，于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由圆中弦、弧和圆心角的关系得到，再由圆的半径相等，结合两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形性质得到，，再结合（1）中，即可得到，从而由两个三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ； ； （2）证明：， ，， 由（1）知， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆中弦、弧和圆心角的关系，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记圆的性质及三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 26．如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，由四边形是菱形，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； （2）由E为弧中点，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：为弧中点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $