精品解析：安徽省六安市独山中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度高一第一学期第一次月考试卷 数学 试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： ①答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上． ②回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ③考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知，则M与N的大小关系正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则称A为“影子关系”集合.在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ）个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 31 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 8. 若实数，，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，则 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设集合，其中p，q为常数，，当时，则的值为___________. 13. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 14. 已知为正实数，若，则的最小值为_________；若，则的最小值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合.求： （1）求； （2）求； （3）求. 16. 某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元. （1）求y关于x的函数解析式； （2）试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？ 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 18. 对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． （1）若，求； （2）给定集合的子集，求集合的元素个数； （3）设为有限集合，证明：． 19. 已知正数，满足. （1）求的最小值，并求此时，的值； （2）求的最小值，并求此时，的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第一学期第一次月考试卷 数学 试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： ①答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上． ②回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ③考试结束后，考生须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知全集，集合，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图知阴影部分为，结合集合交集、补集的运算求集合即可. 【详解】由题图，阴影部分为，而或，且， 所以. 故选：A 2. 已知，，若集合，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 3. 已知，则M与N的大小关系正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用作差法比较大小. 【详解】依题意，， 所以. 故选：C 4. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 6. 若，且，则称A为“影子关系”集合.在集合的所有非空子集中，为“影子关系”集合的有（ ）个. A. 3 B. 4 C. 7 D. 31 【答案】C 【解析】 【分析】结合“影子关系”集合定义直接列举即可. 【详解】由“影子关系”集合定义可知，集合中，为影子关系的集合有 . 故选：C. 7. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 8. 若实数，，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用乘1法结合条件计算即可. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 若集合中只有一个元素，则 C. 已知，则 D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，利用充分条件和必要条件进行分析得解；对于B选项，讨论方程中二次项的系数是否为零，分类讨论求解，在二次项系数不为0的时候，方程的判别式为0，从而得到的值；对于C选项，直接求命题的否定即可得解；对于D选项，利用得到，再求出的子集就是，从而得到的个数． 【详解】对于A选项：有理数是实数，但是实数不一定是有理数， 是的充分不必要条件，则A选项正确； 对于B选项：若中只有一个元素， 当时，方程无解，不满足中只有一个元素； 当时，中只有一个元素，则有， 解得（舍去）或．B选项正确； 对于C选项：，， ，，故C选项正确； 对于D选项：集合为， 的个数为4，则D选项错误． 故选：ABC． 10. 设正实数x，y满足，则（ ） A. xy有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为5 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 而，因此不能取等号，D错误. 故选：BC 11. 对任意，记，并称为集合的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义可得，对于A，B，结合集合运算法则求，，再求即可判断，对于C，由可得，，由此可得，，由此证明，即可判断，对于D，由可得，，结合集合关系推出即可判断. 【详解】根据定义， 对于A，因为，， 所以，， 所以，A正确， 对于B，因为，， 所以，， 所以，B错误， 对于C，若，则，， ， ， ∴，C正确； 对于D，若，则，， 由可得，由可得， 所以，D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12. 设集合，其中p，q为常数，，当时，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据交集的定义分别求出，即可求解. 【详解】， ， . ， ， ， . 故答案为： 13. 某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为______元． 【答案】 【解析】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 14. 已知为正实数，若，则的最小值为_________；若，则的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 第一个空，根据基本不等式，即可求解的最小值；第二个空：因为，得到，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，正实数，满足， 则，当且仅当时，即时，等号成立； 所以的最小值为； 因为，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】根据常数代换法利用基本不等式求解最值的基本解题策略： 1、根据已知条件或其变形确定定值（常数）； 2、把确定的定值（常数）变形为1； 3、把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； 4、利用基本不等式求解最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，集合.求： （1）求； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据交集的概念计算； （2）根据并集的概念计算； （3）先求补集，然后求交集即可. 【小问1详解】 由题意，； 【小问2详解】 由题意， 【小问3详解】 由题意，，则 16. 某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元. （1）求y关于x的函数解析式； （2）试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？ 【答案】（1） （2）当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元 【解析】 【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式. （2）平均费用为，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 设成本费用为，仓储费用为元，则，， 当时，，，可得，， 故. 【小问2详解】 平均费用， 当且仅当，即时，等号成立. 故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元. 17. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 18. 对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． （1）若，求； （2）给定集合的子集，求集合的元素个数； （3）设为有限集合，证明：． 【答案】（1） （2）4 （3） 对任意元素，因为恰属于集合之一，不妨设且． 若，则；若，则． 故，从而． 因此，结论成立． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出结果即可； （2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数； （3）对任意元素，可证或，故可证题设中的不等式. 【小问1详解】 因为中的元素是要么只属于，要么只属于， 所以； 【小问2详解】 设，则，因为， 故符合条件的的个数为. 【小问3详解】 略 19. 已知正数，满足. （1）求的最小值，并求此时，的值； （2）求的最小值，并求此时，的值. 【答案】（1），，最小值为. （2），18 【解析】 【分析】（1）利用常值代换法和基本不等式即可求出最小值； （2）将已知式分解因式为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【小问1详解】 因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为. 【小问2详解】 因为，，且，所以， 可得且,则, 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $