精品解析：安徽省六安市金安区2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级监测•数学 ▶上册21.1~21.4◀ 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列表达式中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数，熟练掌握形如，其中c为常数，且的函数是二次函数是解题的关键．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：．自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数，故该选项不符合题意； ．，关系式不是整式，故不是二次函数，故该选项不符合题意； ． ，关系式不是整式，故不是二次函数，故该选项不符合题意； ．，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点，求出时，y的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：当时，则， 则抛物线与轴的交点坐标是， 故选A 3. 二次函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的最值，根据二次函数可知其顶点坐标为，再结合，可知抛物线开口向下，结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：，其顶点坐标为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴二次函数的最大值是3， 故选D 4. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为元．设增长率为，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．根据第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率x增长，第三天的销售额为元列出关于的函数关系式即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故选C 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过抛物线（，为常数，且）的顶点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．根据函数图象，确定交点横坐标，再找出直线在抛物线下方的部分，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为、， 当时，直线在抛物线下方， 不等式的解集为， 故选：D． 6. 将二次函数化成的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：， 故选：B． 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与3的距离为；点为顶点，最大， 点的横坐标5与3的距离为． ∵， ∴， 故选A 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（单位：厘米/天）和光照强度（单位：勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时， C. 当时，的值最大 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．根据抛物线可直接判断A，C选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，故该选项不符合题意； B．由函数图象可知：当时， ，故该选项不符合题意； C．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，故该选项符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，故该选项不符合题意． 故选C． 9. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴上方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；当时，.则C选项错误. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项中原结论错误，不符合题意； ∵抛物线与轴的交点位于轴上方， ∴当时，， ∵当时，， ∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间， ∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根， ∴，故B选项中原结论错误，不符合题意； ∵当时，，且当时，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间， ∴当时，， ∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意； 当时，，故C选项不正确，不符合题意； 故选：D． 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键． 根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项A错误，不符合题意； B、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项B正确，符合题意； C、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项C错误，不符合题意； D、由二次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在二次函数中，当自变量时，函数值________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的函数值，把代入二次函数求解即可． 【详解】解：把代入， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，知道抛物线的顶点式的顶点坐标是是解题的关键．根据顶点式的特点写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是． 13. 用一根长为100cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是__________cm2． 【答案】625 【解析】 【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（50－x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解． 【详解】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（50－x）cm． 则矩形的面积S＝x（50－x），即S＝－x2＋50x， 当x＝＝25时，S有最大值是：625． 故答案是：625． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解． 14. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为直线________． （2）若该抛物线与x轴交于A，B两点，且，则a的值是________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，解方程，熟练掌握二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元式的对称轴公式为直线求解即可； （2）设两点的横坐标分别为，利用根与系数的关系得出，再利用得出关于的方程，再解方程即可． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线； 故答案为：直线； （2）∵该抛物线与轴交于两点， ∴设两点的横坐标分别为， 是一元二次方程的解， ， ， 解得：， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过和两点．求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数 的图象经过和两点 ， ， 解得， ， ∴二次函数的解析式为 ． 16. 若（为常数）是二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出关于a的不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， 解得：， 则a的值为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 函数图象如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，求抛物线与坐标轴的交点，画二次函数图象，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据题意，用配方法化为顶点式，根据解析式即可求解； （2）根据解析式，求得抛物线的顶点，与坐标轴的交点坐标，进而画出函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴抛物线的开口向下， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为， 当时，，解得：或， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 18. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少． 【答案】 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为，把点代入解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，纵坐标的绝对值就是的长度． 本题考查了抛物线的应用之喷泉问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把点代入解析式， 得， 解得， 故抛物线解析式为 当时，. ∴水管的长度为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线． （1）新抛物线对应的函数表达式是________． （2）判断新抛物线与直线是否有交点，并说明理由． 【答案】（1） （2）没有交点，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题等知识． （1）先根据“左加右减”的原则求出抛物线向左平移2个单位可得到抛物线，再根据 “上加下减”的原则可知，将抛物线再向下平移3个单位得到的抛物线． （2）联立新抛物线与直线，得出关于x的一元二次方程，根据判别式判断即可． 【小问1详解】 解：将抛物线先向左平移2个单位可得到抛物线；再将抛物线再向下平移3个单位可得到抛物线． 故答案为： 【小问2详解】 解：新抛物线与直线没有交点，理由如下： 联立， 整理得：， ， ∴新抛物线与直线没有交点． 20. 如图，已知抛物线． （1）当时，求的取值范围． （2），为抛物线与轴的两个交点（点在点的左边），为抛物线上一点且在轴上方，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）首先将抛物线配成顶点式，然后根据的取值范围，从而得出的取值范围； （2）根据题意得出的长度，然后根据面积求出点的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点的坐标． 【小问1详解】 解：的对称轴是直线． 将代入得． 而时时． ∴的取值范围是． 【小问2详解】 解：令，得或， ∴， ∴． ∵， ， ， ∴为抛物线上一点且在轴上方， ∴， 在中，令，得， ， ， 点F的坐标是或． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得速度为0时，，将代入二次函数解析式，即可求解； （3）求得小球速度为的时间，此时两者相遇则为的最小值，据此即可求解． 【详解】解：（1）设， 将点代入得，， 解得：， ； 设， 将点代入得，， 解得：， ∴； （2）在中，当时，， 解得：， 当时，， ∴当小球在水平木板上停下来时，此时小球的滑动距离为； （3）当时，， 解得：， 当时，， ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，连接． （1）求这个抛物线对应的函数表达式． （2）P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点B，C重合），连接，，点P的横坐标为m，轴交于点Q． （i）求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） （ii）当Q是的中点时，求的长度． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，一次函数解析式求解，二次函数线段问题等知识点，综合性强，解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解． （1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式； （2）（i）先求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为； （ii）根据Q是的中点得出，即可得解答． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，点， ∴二次函数的表达式可写为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：（i）设直线的表达式为， 把和代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 则点． （ii）当Q是的中点时，， ∴， ． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线（，为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大2． （1）求的值． （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最大值． （ii）当，且时，始终有，直接写出的值． 【答案】（1）8 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为顶点式可得二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为2，结合题意得出，计算即可得解； （2）（i）由题意可得，，结合，得出，最后由二次函数的性质即可得解； （ii）由题意可得，从而可得，整理可得，解得，，结合时，始终有，即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数，， ∴二次函数的顶点横坐标为，二次函数的顶点横坐标为2， ∵二次函数（，为常数）图象的顶点横坐标比二次函数图象的顶点横坐标大2， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（i）点在二次函数的图象上，， 点在二次函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最大值为； （ii）由（i）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 整理可得：， 解得：， ∵， ∴， 即， ∴， 则当时，始终有，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级监测•数学 ▶上册21.1~21.4◀ 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列表达式中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的最大值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 黄山毛峰产于黄山一带，是安徽最具代表性的绿茶之一．新茶上市以来深受市场欢迎，某网上专卖店第一天销售额为元，之后每天销售额按相同的增长率增长，第三天的销售额为元．设增长率为，则关于的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过抛物线（，为常数，且）的顶点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数化成的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（单位：厘米/天）和光照强度（单位：勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时， C. 当时，的值最大 D. 当时， 9. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴上方，且时，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 在二次函数中，当自变量时，函数值________． 12. 抛物线的顶点坐标是________． 13. 用一根长为100cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是__________cm2． 14. 已知抛物线． （1）该抛物线的对称轴为直线________． （2）若该抛物线与x轴交于A，B两点，且，则a的值是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知二次函数的图象经过和两点．求该二次函数的表达式． 16. 若（为常数）是二次函数，求的值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． 18. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线． （1）新抛物线对应的函数表达式是________． （2）判断新抛物线与直线是否有交点，并说明理由． 20. 如图，已知抛物线． （1）当时，求的取值范围． （2），为抛物线与轴的两个交点（点在点的左边），为抛物线上一点且在轴上方，若，求点的坐标． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”． 【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用． 【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．记录的数据如下： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离 0 19 36 51 64 75 … 【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系． 【问题解决】 任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围） 任务二： （2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离． （3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方处有一辆电动小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，连接． （1）求这个抛物线对应的函数表达式． （2）P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点B，C重合），连接，，点P的横坐标为m，轴交于点Q． （i）求点Q的坐标．（用含m的代数式表示） （ii）当Q是的中点时，求的长度． 八、（本题满分14分） 23. 若抛物线（，为常数）的顶点的横坐标比抛物线的顶点的横坐标大2． （1）求的值． （2）点在抛物线上，点在抛物线上． （i）若，求的最大值． （ii）当，且时，始终有，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $