第五章 平面向量与复数（单元测试）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

第五章 平面向量与复数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 【答案】C 【解析】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 2．已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】向量，则， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 3．已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 【答案】C 【解析】由题可得：，所以， 故选：C 4．已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解析】由，得， 所以 故选：C. 5．已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 则在复平面内对应点的坐标为. 故选：D 6．复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设复数，则对应点的坐标为， 所以 所以复数对应的点到的距离为， 故复数在复平面内的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， 故当点运动到与轴的交点，且向上的位置时，此时最大，最大值为 故选：C 7．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，且，①， ，②， 又，③， 由①②③解得，则点的坐标为. 故选：A. 8．的外接圆圆心为为的中点，且，则（    ） A．5 B．10 C．13 D．26 【答案】B 【解析】由题意知的外接圆圆心为为的中点， 则； 设分别为的中点，连接，则，    ， 结合，可知， 故， 即， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】向量在向量上的投影向量为. 故选：AB. 10．若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A．的实部是 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称 【答案】BD 【解析】由，得，则， 所以的实部为，A错误； 而，B正确； 因为，其在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，C错误； 在复平面内对应的点的坐标为， 则与在复平面内它们所对应的点关于轴对称，D正确． 故选：BD． 11．设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】AD 【解析】对于A：由有，令有， 所以，所以直线l过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为，当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小，当最小时，直线与过点和的直线垂直， 则，由余弦定理有，故C错误； 对于D：，即的最大值为24，故D正确， 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则和的夹角为 . 【答案】 【解析】，则， 则，故和的夹角为. 故答案为：. 13．已知复数满足（其中为虚数单位），则 . 【答案】 【解析】由，则，故. 故答案为： 14．在中，是边的中点.若，，，则 ． 【答案】/ 【解析】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 【解析】（1）由题设，； （2）由题设，又， 所以，则，可得； （3）由（2）及，则，可得. 16．（15分） 设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求. 【解析】（1）由，得， 而由已知是实数， 于是，解得， 所以； （2）依题意，是纯虚数， 因此，解得， 所以，. 17．（15分） 已知平面向量． (1)当λ为何值时，与垂直？ (2)与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 【解析】（1）因为平面向量． 则与， 因为与垂直， 所以，解得. （2）因为平面向量． 则与， 因为与的夹角为锐角， 所以，即， 解得且， 即 18．（17分） 已知复数，，其中为虚数单位，. (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 【解析】（1）因是实数， 则，即，又，，则，即， 此时； （2）由题意可知， 则，， 因为， 所以 ， 即， 又因为，所以，故则， 所以 19．（17分） 已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 【解析】（1）由题意，又， 所以的图像关于对称， 则，即，得到， 由，所以，解得或， 故不等式的解集为或． （2）因为，所以， 因为为单位向量，所以，， 题意有，由， 令，可得，令，可得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故递增区间为和，递减区间为． （3）设与的夹角为θ． ∵，∴， ∵函数在R上有两个极值，∴方程有两个不同的实数根， 即，∴， 又，∴， 即，又，∴． 第6页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 平面向量与复数 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 2．已知向量，则向量在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 3．已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 4．已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 5．已知复数满足，其中i为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．复数满足，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，.，且点在第四象限，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．的外接圆圆心为为的中点，且，则（    ） A．5 B．10 C．13 D．26 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 10．若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A．的实部是 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称 11．设动直线：交圆：于A，B两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线l过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则和的夹角为 . 13．已知复数满足（其中为虚数单位），则 . 14．在中，是边的中点.若，，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量，，． (1)求的坐标，的值； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值． 16．（15分） 设复数． (1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； (2)若是纯虚数，求. 17．（15分） 已知平面向量． (1)当λ为何值时，与垂直？ (2)与的夹角为锐角，求实数k的取值范围． 18．（17分） 已知复数，，其中为虚数单位，. (1)若是实数，求的值； (2)设复数，对应的向量分别是，，若，求的值. 19．（17分） 已知，且关于的函数． (1)已知函数，且满足，解不等式； (2)若，为单位向量，讨论函数的单调性； (3)若函数在上有极值，求与夹角的取值范围． 第4页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $