第六章 数列单元测试-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

第六章 数列单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则 （    ） A． B． C． D． 3．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 4．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（   ） A． B． C． D． 6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 7．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 8．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列为等差数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 10．已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（   ） A．时，使得要6步雹程 B．时， C．时， D．使得的的值有6个 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等差数列中，.则公差 . 13．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 14．若，已知数列中，首项，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 16．（15分） 已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 18．（17分） 在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列． (1)求d； (2)若， （i）求数列的通项公式； （ii）若，数列满足的前n项和，证明：． 19．（17分） 已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为等差数列满足，，且，故， 又，即，故. 故选：A. 2．已知函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在 时定义为 ， 取 得：， 令，得：， ， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故. 故选：D 3．设等比数列的前项和为，若，则（　　） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】A 【解析】等比数列中，成等比数列， 成等比数列， ， 故选：A． 4．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【解析】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 故选：A. 5．如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察图形知，各个图形的周长依次排成一列构成数列， 从第二个图形开始，每一个图形的边数是相邻前一个图形的4倍，边长是相邻前一个图形的， 则从第二个图形开始，每一个图形的周长是相邻前一个图形周长的，即有， 故数列是首项，公比为的等比数列，则，故. 故选：B. 6．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 7．行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解析】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 8．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【解析】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．数列为等差数列，为其前项和，已知，则（    ） A． B． C． D．当或时，最大 【答案】AB 【解析】设等差数列的公差为，则，故B正确； 所以，故A正确； ，故C错误； 由，可得， 由于二次函数的对称轴为，开口向上， 所以当或时，最小，故D错误； 故选：AB 10．已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】根据题意，， 两式相除得，A正确； 又即可得，B正确； ，C错误； 根据选项A，可知为首相为，公比为的等比数列， 所以 . D正确. 故选：ABD 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（   ） A．时，使得要6步雹程 B．时， C．时， D．使得的的值有6个 【答案】ACD 【解析】若，则， 则需要6步雹程，故A正确； 若，则， 因，则，故B错误； 若，则， ， 则，故C正确； 若，则或， 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 故的所有取值为，共个，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在等差数列中，.则公差 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，在等差数列中，，所以,解得:，所以; 故答案为： 13．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 14．若，已知数列中，首项，则 ． 【答案】158 【解析】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为：158 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【解析】（1）在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. （2）因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 16．（15分） 已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【解析】（1）由于， 故解得 所以. （2）由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 17．（15分） 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. (1)求的通项公式； (2)对于任意，求实数的取值范围. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. （2）由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 18．（17分） 在数列中，，其前n项和为．数列是公差为d的等差数列． (1)求d； (2)若， （i）求数列的通项公式； （ii）若，数列满足的前n项和，证明：． 【解析】（1）因为，且数列是公差为d的等差数列， 所以或， 于是或，且，所以或． （2）（i）当时，，即， 所以， 相减整理得，即得 所以， 所以，累乘得， 也满足上式，所以．                 （ii）证明：，显然． ， 所以， 累加得，得证． 19．（17分） 已知数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)记，证明：． (3)记（），证明：． 【解析】（1）由，可得． 当时，，解得， 当时，，整理得（）， ∴数列是以2为首项、2为公比的等比数列， ∴. （2）∵， ∴． 又， ∴．结论得证. （3）由题意知， ，得证. 第2页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $