培优点13 一网打尽恒（能）成立问题（18大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

培优点13 一网打尽恒（能）成立问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 5 题型一：转化为单调性问题 5 题型二：任意存在型 9 题型三：指对同构法 11 题型四：直接法(换元、虚设零点） 14 题型五：参数全分离 18 题型六：换元后参数分离 22 题型七：参数半分离 26 题型八：主元变换法 28 题型九：一阶端点效应 31 题型十：二阶端点效应 37 题型十一：必要性探路 42 题型十二：朗博同构 46 题型十三：整数恒成立问题 49 题型十四：共零点模型 56 题型十五：双参数问题 58 题型十六：放缩变形、两边夹 62 题型十七：双重最值恒成立 65 题型十八：已知恒成立，求具体参数值 69 04 课时精练 76 不等式恒成立与能成立问题是高考数学的重要考点，常与函数、导数等知识结合，以压轴题形式出现。恒成立问题要求不等式在定义域内对所有变量值都成立，需通过求函数最值确定参数范围；能成立问题则只需不等式在定义域内有解，通常转化为求函数值域问题。解题时，需灵活运用参数分离、数形结合、分类讨论等方法。考生需熟练掌握函数性质、导数应用等基础知识，加强综合运用能力训练，以应对高考中不等式恒成立与能成立问题的挑战。 在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略： 1、完全参数分离法 方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如（或 ）的形式。 应用条件：当分离后的函数结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。 （2）求解函数 的最值。 （3）根据最值确定参数的取值范围。 2、 部分参数分离法 方法描述：将原不等式转化为形如（或 ）的形式，其中 是一个既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。 应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。 （2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。 3、不分离参数法（隐零点、端点效应） 方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。 应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。 解题步骤： （1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。 （2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。 4、 特殊方法（如同构法） 方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。 应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。 解题步骤： （1）识别不等式的特殊结构或形式。 （2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。 （3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。 综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策略。 题型一：转化为单调性问题 【例1】若对，，，恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，所以，则可化为， 整理得， 因为，所以， 令，则函数在上单调递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减， 所以，故， 所以得最小值为. 故答案为： 【变式1-1】已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】求导可得， 由的范围可知，即在区间上单调递增，故 ， 则原不等式可化为. 又， 不妨设，由可得，且. 令，，则有且，原不等式可化为 ， 即， 即在上恒成立. 设，可知在上单调递增， 则在上恒成立，故. 令，则， 因为，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，即， 故选：. 【变式1-2】任意实数，当时，恒有成立，则的范围为 . 【答案】 【解析】由得，即有， 设，即有，知在上单调递减， 故在上恒成立，故在上恒成立，故. 故答案为：. 【变式1-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中为实常数.对于函数图象上对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，，则原不等式化为， 不妨设，则，即， 即. 设，则， 由已知，当时，不等式恒成立，则在上是增函数. 所以当时，，即，即恒成立， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的取值范围是. 故答案为： 【变式1-4】已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设，则不等式可化为， 所以， 设，由已知可得在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 设，则， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在，满足， 即，所以， 设，则， 所以在上单调递增，又， 所以， 所以当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型二：任意存在型 【例2】已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】对求导得. 时，，递增. 所以.   对求导得. 令，得. 时，，递增； 时，，递减. 则.   根据题意知道，即. 移项得，所以取值范围是.   故答案为：. 【变式2-1】已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】因则， 由知时，，即函数在上单调递增. 由可得：且,故得：， 则，不妨设，则， 故当时，，递增，当时，，递减， 即，故的最大值为. 故答案为：. 【变式2-2】设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】若对于，，使成立，只需， 因为，所以， 当时，，所以在上是减函数， 所以函数取得最小值． 因为， 当时，在上单调递增，函数取得最小值，需，不成立； 当时，在上单调递减，函数取得最小值，需，解得，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，函数取得最小值，需，解得或，此时无解； 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 【变式2-3】已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， ，当时，，单调递减，当时，，单调递增， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为当时，，且，所以， 又，所以. 所以. 令 ， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以有最大值. 故答案为：. 题型三：指对同构法 【例3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，则， 令，则， 则，令，解得， 故当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故， 故在上单调递增，故只需，即， 令，则， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故，则，即， 故选：C. 【变式3-1】已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 因为，即， 即函数在上单调递增， 则由恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故选：. 【变式3-2】对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对任意的，不等式恒成立，则，可得， ， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则， 故对任意的，， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，故，解得， 即正实数的最大值为. 故选：A. 【变式3-3】已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 令得，令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，. ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：B 【变式3-4】（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设有， 当即时，不等式恒成立； 当即时，设，则， 故在上为增函数，而即 因为，故即在上恒成立， 而时，恒成立即恒成立， 故在上恒成立， 设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故，故， 故， 故选：B. 题型四：直接法(换元、虚设零点） 【例4】已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】恒成立，即， 等价于，恒成立， 令， 因为恒成立，所以在上单调递增， 所以，即， 所以恒成立，等价于恒成立， 令， ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，不满足题意； ③当时，因为， 令，得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 要使得恒成立，只需，解得， 综上，实数的取值范围为. 【变式4-1】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】， 对任意的，不等式恒成立，则为函数在内的最大值点，也为函数的极大值点， 故即， 所以， 因为， 若， 当时，，当时，， 则易得函数在上单调递增，在上单调递减，此时时，函数取得极大值，也是最大值，满足题意； 此时； 若，令可得或， 当时，此时函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 函数在处取得极小值，与已知矛盾； 当时，此时函数在上单调递增，与已知矛盾 当，此时函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 因为是上的最大值，则且， 即， 解可得，， 所以且 即的最小值为． 故答案为： 【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为， 由， 所以切线斜率， 故切线方程为. （2）设，的定义域为， ， 设， 则， 故在单调递减，即在单调递减， 又， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 因此， 所以的取值范围是. 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，得，所以的定义域为， ， 令，则在上单调递增，在上单调递减， 又，为减函数， 所以的单调递增区间为． （2）由题意得当，， 当时，由（1）得在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意， 当时，为增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，解得，综上所述，． 【变式4-4】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，得. 当时，，所以当，即时，，单调递增， 所以在区间上的最小值为. 令，得，所以. 当，即时，若，则，单调递减； 若，则，单调递增， 所以在区间上的最小值为. 令， 解得.综上，的取值范围为. 题型五：参数全分离 【例5】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，直接写出的单调区间； (3)当时，，，求的取值范围. 【解析】（1）当时，，∴，，∴. ∴曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，∴. 令，解得；令，解得， ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，，∴. ∵对恒成立，∴对恒成立， 即对恒成立，∴. 设，则. ∵，∴，. 令，，则， ∴在上单调递增. 又，， ∴由零点存在性定理可知：，使得，即， ∴时，，，在上单调递减； 时，，，在上单调递增. ∴当时，取得最小值. ∴，即的取值范围为. 【变式5-1】已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）因为， 由题意可得，即，解得， 所以， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减，符合题意， 所以，. （2）由，即，则，对任意， 令，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，故， 所以，解得或. 所以的取值范围为. 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若时，都有成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，函数的解析式为，则， 时恒成立，函数在上单调递增；时，则函数在区间上单调递减， ∴函数的最小值为：． （2）当时，成立，此时；           当时，由，得． 令，则． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以．因此，即． 综上，实数的取值范围是. 【变式5-3】（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【解析】（1）函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. （2）由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 【变式5-4】已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【解析】对于任意的，恒成立，即在上恒成立， 也即（*）在上恒成立，设，则， 设，则，故在上单调递减， 又，则当时，，则；当时，，则， 故在上单调递增，在上单调递减，故， 由（*）可得，即，故实数的最小值为. 故答案为：. 题型六：换元后参数分离 【例6】函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，解方程； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由题设且， 当时，，即在上单调递增， 当时， 若，，即在上单调递减， 若，，即在上单调递增， 综上，时在上单调递增， 时在上单调递减，在上单调递增； （2）由题设，则，即， 令且，则， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 又，即，当且仅当取等号， 所以的解为，即的解为. （3）由且，令，则， 当时，，此时，满足题设； 当时，，，恒成立， 令，则， 令，则， 时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增，且， 故时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即， 综上，实数的取值范围是. 【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【解析】（1）由，可得， 当时，，即函数在上为增函数； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上为增函数； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）因函数的定义域为，， 令，则， 即函数在上单调递增，当时，，且， 故存在，使，则得. 当时，，即，故函数在上单调递减； 当时，，即，故函数在上单调递增. 故， 因，故得，即，故. （3）由可得，即， 设，则，故函数在上单调递增，则. 再设，则， 当时，，故函数在上单调递减； 当时，，故函数在上单调递增， 故，故得，即的取值范围是. 【变式6-2】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 【变式6-3】已知函数 . ( 1 )若 ,求 的单调区间和极值点； (2)若 ,且当 时, 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】 (1)当 时, , 令 ,得 , 所以当 时, ； 当 时, . 所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ,极大值点为 ,无极小值点. (2)方法一 , 即 . 令 ,则 , 对于 恒成立, 即 ,(*) 易证当 时, , 则 , 即 , 于是,由 可得 , 令 , 则 . 当 时, ； 当 时, , 所以 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减, , 所以 , 故实数 的取值范围是 . 题型七：参数半分离 【例7】若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】 不等式 恒成立, 恒成立, , 当 时,显然不恒成立, 当 时,原不等式等价于 恒成立, 由于 在 处的切线方程为 , 要使 恒成立, 只需 ,即 , 的取值范围为 . 【变式7-1】已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【解析】（1）根据题意，， 则，且， 所以在处的切线方程为：； （2）令，得或， 则当和时，，则函数单调递增， 则当时，，则函数单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为， 为函数的极小值点，极小值为， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为和， 极大值为，极小值为； （3）根据题意关于x的不等式在上有解， 即在上有解， 设，，，， 由于，在上单调递增，所以， 在上单调递减，所以， 则，解得. 【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）若，，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 因为，所以， 令，令，其中，则，其中， 因为函数、在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又，由可得，由可得， 所以，函数的单调递减区间，单调递增区间为， 所以，，所以，，即. 故的取值范围为． 故答案为：． 题型八：主元变换法 【例8】函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在唯一的极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【解析】（1）当时，，则， 可得，， 切线方程为，化简得. （2）由得， 令，则， 当时，解得， 可知当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，在处取得最大值，， 当时，且，则函数图形如下图： 存在唯一的极值点，即有唯一解，即有唯一解， 由可知，或，即或， 当时，在R上，无极值点， 当时，存在一点，使， 则函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值. 所以存在唯一的极值点，实数a的取值范围是 （3）存在，使得对任意成立， 则在R上恒成立，即，即， 由（2）可知，当时，存在，使在上单调递增，在上单调递减， 在处，取得最大值 则，即， 因为，解得，代入得， 令，则， 可知在上，，在上单调递减，在上，，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 所以，实数b的取值范围是. 【变式8-1】已知函数（），若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围 ． 【答案】 【解析】由条件，可知，从而恒成立． 当时，；当时，． 因此函数在上的最大值是与两者中的较大者． 为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当， 即， 在上恒成立，所以，因此满足条件的的取值范围是． 故答案为: 【变式8-2】已知不等式 对任意的 恒成立,求 的取值范围. 【解析】令 , 由于 ,所以函数 在 上单调递增, 所以 . 即 , 令 , 则 , 当 时, ,当 时, , 所以 在(0,2)上单调递减,在 上单调递增, 所以 , 所以 的取值范围为 . 【变式8-3】已知函数 ,对任意 和任意 , 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】由题知对任意 恒成立, 即 恒成立, 令 , 则 , 即 , 所以 恒成立, 令 , 则 , 当 时, , 当 时, , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增, 所以 , 所以 , 故 的取值范围为 . 题型九：一阶端点效应 【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，． (1)若在其定义域上单调，求的取值范围； (2)若． （ⅰ）证明：； （ii）若，求的取值范围． 【解析】（1）因为，，所以， 因为函数在上单调， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立，则； 若在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （2）当时，， （i）由题意得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，， 则， 当时，，则，，则， 所以，函数在区间上单调递增，所以， 所以得证； （ii）由得在区间上恒成立， 令，， 则，且， 因为在区间上恒成立，所以，解得， 因为，所以，， 所以当时，， 此时函数在区间上单调递减，所以恒成立，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式9-1】已知函数 (1)当时，求在处的切线方程 (2)求函数的单调区间和极值 (3)当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围 【解析】（1）由，则，求导可得， 所以在处的切线斜率， 由，则切线方程为， 即. （2）由，求导可得， 当时，，则函数在上单调递增，无极值， 当时，，解得，，解得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，无极大值， 综上可得：当时，函数的单调递增区间为，无极值； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 极小值为，无极大值. （3）由题意化简不等式为，令， 求导可得，令，化简可得， 令，求导可得，当时，， 则函数在上单调递增，故， 当时，易知在上恒成立，则函数在上单调递减，所以，符合题意； 当时，存在，使得，由函数在上单调递减， 则当时，，所以函数在上单调递增，故，不符合题意； 综上可得：. 【变式9-2】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，其中. (1)证明：当时，； (2)若时，有极小值，求实数的取值范围； (3)对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. （2）因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【变式9-3】（2025·江苏扬州·三模）已知函数. (1)若，且，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求b的取值范围. 【解析】（1）时，，则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故，即，所以的最小值为. （2）的定义域为. 设为图象上任意一点，关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以，可得，依题意在上恒成立， 设，则， 则有在上恒成立， 因为，可设， 所以 ①当时，由知，，所以， 所以在单调递增. 当，即时，对任意都成立， 所以在上单调递减，则； 当，即时，而当时，， 所以，使，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以舍去； ②当时，所以在上单调递增，则，所以舍去； ③当时，与在上都单调递增， 所以在上单调递增，则，所以舍去. 综上，. 【变式9-4】（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）由，得， 则，又， 所以曲线在点处的切线为； （2）当时，， 所以， 令，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递增， 所以函数的减区间为，增区间为； （3）设， 则， 因为时，所以为增函数， 又在上都是增函数， 所以函数在上单调递增，且， 当即时，， 所以函数在上单调递增，所以， 所以时，符合题意； ②当即时，，又， 当即时，恒成立， 所以函数在上单调递减，所以， 此时不符合题意； 当即时， 存在，使得， 且当时，，当时，， 即函数在上单调递减，此时，不符合题意； 综上所述，的取值范围是 题型十：二阶端点效应 【例10】（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则， 所以切线方程为，即； （2）当时，恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，则. ①当时，因为，则， 可知在上单调递减，则， 所以在上单调递减， 所以，即恒成立，所以满足题意； ②当时，令，解得：， 当时，，则单调递增， 此时，则在上单调递增，所以， 即当时，，即不恒成立，可知不合题意. 综上所述，. 【变式10-1】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 【变式10-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； (2)讨论在上的单调性； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】（1）当时，，设点为图象上任一点， 则点P关于点的对称点为在的图象上， 所以，即， 所以； （2）因为，所以； ①当时，在上恒成立，所以在上单调递减； ②当时，在[上恒成立，所以在上单调递增； ③当时，令，解得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）不等式在上恒成立，则恒成立， 所以恒成立，设， 则，令， 则，令， 则，故在上单调递增，且， 所以，所以在上单调递增，， 当时，，则，故在上单调递增， 且，故恒成立，满足题意； 当时，，则存在，使得， 且当，，则在上单调递减， 又，则当时，，不满足题意． 故． 【变式10-3】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若时，，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则，故， 又，所以处的切线方程为， 即. （2） 当时，，在，上单调递增， 时,，在单调递减； 当时，，在，上单调递增， 时,，在单调递减； 当时，时恒成立，在单调递增． 综上所述，当时，在，上单调递增，单调递减； 当时，在，上单调递增，单调递减； 当时，在单调递增． （3）由题意得对于任意的恒成立，且当时，等号成立． 令则，， ①若，则． 令，则，显然在上恒成立， 在上单调递增，即在上单调递增． 当，即时，． 又，易证， ， ，使， 时，，即在上单调递减， 对，，不符合题意； 当，即时，， 在上单调递增， ，，，符合题意，所以； ②当时，只需证明当时，即可． 令，则， 易得，即在上单调递增，故时，， ，，即在上单调递增， 所以，即当时，在上恒成立， 综上所述，的取值范围是． 题型十一：必要性探路 【例11】已知函数 ,若 恒成立,求实数 的取值范围. 【解析】 恒成立, ,解得 . 下面证明当 时, 恒成立, 将 视为关于 的函数 , 易知 单调递增, , 又 , , 即 ,所以 , 综上, 的取值范围是 . 【变式11-1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有两个极值点，满足. (1)求的取值范围； (2)判断并证明函数的对称性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知： 有两个变号零点； 令，在上递减，上递增； ， 又，得，即； （2），则对称性有关的横坐标：，且， 又， 有， 故有对称中心，无对称轴； （3）法一： 有， 故有； 当时，，故. 下证充分性： 有. 令， 则， 令，有， 故在上递减，又， 故存在，使得，故在上递增，在上递减. 又，故恒成立， 若，有， 由，故存在，使得，故不合题意. 综上，若恒成立，则实数. 法二： 有， 故有， 参变分离得， 令，有， 其中，令， 有在上成立，故在上递增， 又，故， 令， 有， 在上，且单调递减，且单调递增， 故在上单调递增，又，故， 故在上单调递减，又， 故存在使得. 故在上递减，在上递增， 又，故. 【变式11-2】（2025·江西·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）若，则，. 故曲线在点处的切线方程为. （2）（解法一）因为函数的定义域为， 所以等价于. 设函数，则. 当时，在上为增函数. 因为，所以在上恒成立，不符合题意. 当时，函数是减函数. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以. 因为，所以. 设函数，则. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增. 所以， 所以有唯一解，即. 故的取值范围是. （解法二）因为的定义域为. 所以等价于. 设函数，则. 因为，所以. 因为，所以，解得. 下面证明时，. 当时，，. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 所以，故，得证，故的取值范围是. 【变式11-3】（2025·安徽合肥·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合． 【解析】（1）当时，函数，可得， 则且，所以切线的斜率为，切点为，           故所求切线方程为，即. （2）由函数，可得其定义域为， 不等式恒成立，等价于恒成立， 令，可得，其中， 因为在区间上恒成立， 所以是的最大值点，也是极大值点，则， 可得，解得， 当时，可得，令，则， 所以在上单调递减， 当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减， 所以，满足条件，所以 综上所述，实数m的取值构成的集合为． 题型十二：朗博同构 【例12】（2025·广东·模拟预测）已知函数． （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围． 【解析】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值． （2）方法一：由题知不等式在上恒成立， 则原问题等价于不等式在上恒成立， 记， 则， 记，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以存在，使得， 即当时，，此时；当时，，此时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 即， 所以， ①当时， 因为，所以不等式恒成立， 所以； ②当时， 因为存在，使得，而， 此时不满足， 所以无解． 综上所述，． 方法二：由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立． 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， ①当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； ②当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解． 综上所述，． 【变式12-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，． （1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【解析】（1）设切点，由，求导得， 根据导数的几何意义，得， 化简可得，，依题意方程仅只一个实根， 于是，解得或， 所以当或时，过点P作曲线的切线有且仅有一条． （2）设，，则恒成立， 于是在上单调递增，则，即， 因此当时，恒有成立， 则有， 当且仅当时等号成立， 令，，则恒成立， 即在上单调递增，又，， 根据零点存在定理可得，，使得， 于是在上恒成立， 所以当时，，即成立； 当时，存在满足，即， 此时，，不合题意， 综上，a的取值范围是． 【变式12-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 令， 则，令，， ∵，∴p(x)在(0，+)上单调递增， ∵， ∴当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； ∴， ∴≥恒成立，则． 故选：A 题型十三：整数恒成立问题 【例13】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，在上恒成立，求整数的最大值． 【解析】（1） 当时，，单调递减； 当时，，此时若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 当时，，此时若，则，单调递减； 若，则，单调递增； 若，则，单调递减； 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，即， 化简得， 因为，所以，即. 下证在上恒成立， 令，只需证. ，令，则， 因为，所以，所以单调递增， ，， 所以存在，使得， 即当，，，单调递减； 当，，，单调递增； 所以 ， 因为，所以，所以， 所以整数的最大值为2. 【变式13-1】已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【解析】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. （2）由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 【变式13-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【解析】（1）的定义域为，，                        当时，恒成立，故在上单调递增, ②当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增.              综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（Ⅰ），                     ，                   令，要使存在两个极值点，， 则方程有两个不相等的正数根，， 所以  ， 解得， 所以的取值范围为.                   （Ⅱ）由于在上恒成立， 在上恒成立，                   令，则在上恒成立， 则， 当时，， 令，则，在上单调递增，   又，， 存在使得，即，，         故当时，，此时， 当时，，此时， 故函数在上单调递增，在上单调递减，         从而， 令，，则， 在上单调递增，， 又为整数，故，即整数的最小值为. 【变式13-3】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当为整数时，若恒成立，求的最小值． 【解析】（1）当时，， ， 曲线在处的切线方程为：． （2）的定义域为， ，                 ①当时，恒成立，在上单调递减；                 ②当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增． （3），即．       设，则．                 设，则．       设，则， 令，得；令，得． 时，为增函数，时，为减函数，                 ，即在上为减函数．                 ， ，使， 时，，从而为增函数； 时，，从而为减函数； 的最大值为．                 由得， ，                 ， ，                 整数的最小值为1． 【变式13-4】若，恒有，则正整数的最大值为 ．（参考数据：） 【答案】3 【解析】由题，任意，，恒有，则. 令（），则. 令得，则在上单调递增，在上单调递减， 则有最大值. 令（），则. 令，. 当时，在单调递增，，此时，必有成立； 当时，则在上单调递减，在上单调递增，故有最小值. 则，即. 两边取自然对数可得，即求最大的使得. 因，则上述不等式可转化为. 令，即求使得的最大的正整数. 恒成立，则在上单调递减. 因为，，则使成立的最大正整数为3. 故答案为：3 题型十四：共零点模型 【例14】设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】要使得在上恒成立，则，且无变号零点， 分析与的符号情况如下： 当时，，当时，，令，即， ①当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ②当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； ③当时，，所以且，又，所以 所以，满足题意； 综上，当时，在上恒成立. 所以，令，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即 故选：C 【变式14-1】已知函数，，，则（   ） A． B． C．4 D．16 【答案】D 【解析】设，， ， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 的极小值为， 又因为，，所以有两个零点，， ，且，即得，（*） 若，，则的零点也为，， 且代入（*）式得：，所以. 故选：D． 【变式14-2】设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题意知，则，因为函数在定义域上单调递增，函数在定义域上也单调递增. 当在区间上，函数与有相同的零点，且符号相同，就满足函数恒成立. 解，得，解，得， 所以，解，得，所以，所以. 令，则， 解，得，解，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 【变式14-3】函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的定义域为， 由题意得，即在上恒成立， 由于在上单调递增，故需在上单调递增， 且与两函数零点相同时， 可保证在上恒成立， 令得，令得， 即，且，所以， ， 令，， 则， 令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，又时，， 所以. 故选：B 题型十五：双参数问题 【例15】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】依题意可知对任意的实数t恒成立． 设，则． 当时，，在R上单调递增，当时，，不合题意． 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，． 因为对任意的实数t恒成立， 故恒成立， 即恒成立， 则恒成立． 令，， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 故， 故，当，时等号成立，故的最大值为． 故答案为： 【变式15-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以. 对函数求导得：. ①当时，，此时，那么函数在上单调递减. 要使得，则并不恒成立，所以. ②当时，令，则，即. 所以此时函数在上单调递增； 令，则，即. 所以此时函数在上单调递减； 此时函数在上取得最大值为. 要使得恒成立，则，即， 此时. 令，求导得， 因为，所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减， 此时，所以的最小值为. ③当时，因为，则， 所以，所以此时函数在上单调递减.此时函数无最大值， 那么并不恒成立. 综上所述，只有当时，恒成立，此时的最小值为. 故答案为：. 【变式15-2】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】令，由不等式对任意实数恒成立等价于， 所以，令有，令， 由有，有，所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 令， 所以，令有， 由有，由有， 所以在单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故答案为：. 【变式15-3】已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 令， 则，恒成立，即恒成立，即， ， 令，解得， 令，即在上单调递增； 令，即在上单调递减. ， ，， 令，， 令，即在单调递增； 令，即在单调递减； ， ，即的取值范围为. 故选：B 题型十六：放缩变形、两边夹 【例16】已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【解析】（1）由题可得，令，得． ①若，则，即， 故当时，，在上单调递减． ②若则，即， 当时，，故在上单调递增， 当时，，在上单调递减．- （2）法一：当时，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在唯一的，使得（☆）， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则． 由（☆）得， 设，则，易知在上单调递增， 所以，得， 由，得，故， 故， 因此，故b的取值范围为．- 法二：当时，即恒成立， 令，则， 而，- 令，则， 令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故，即， 当且仅当时取等号． 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立． 令，则在上单调递增，又， 所以存在，使得，当时，取得最小值1． 因此，故的取值范围为． 【变式16-1】（2025·湖北·模拟预测）已知a，b为实数，若对任意，都有恒成立，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】对任意，都有恒成立，故． 由，得，所以， 从而恒成立，故，易知，于是． 设． 设． 故在上单调递增，结合， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 故，所以的最小值为1，此时． 故答案为：. 【变式16-2】若不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以，则． 令，则．当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故，即， 从而，当且仅当时，等号成立． 又，所以，则，所以． 令，则． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增．故， 且当时，． 故答案为：． 【变式16-3】设，若不等式成立，则 ． 【答案】/ 【解析】不等式， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，当且仅当时取等号，则， 于是，从而，此时， 所以. 故答案为： 【变式16-4】已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 设，则， 故，即， 令，则， 当时，，在单调递增； 当，，在单调递减. 所以，所以， 令，则， 当，，在单调递增； 当，，在单调递减. 故，所以. 由题意可知若，则，故，， 此时且，解得，故. 故选：A. 题型十七：双重最值恒成立 【例17】（2025·河南·三模）已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）函数的定义域为R， 则， 当时，，则， 当时，，则， 所以函数在上为减函数． 又因为，故函数有且只有一个零点0. （2）（ⅰ）函数的定义域为， 当时，， 当时，， 所以. （ⅱ）由（1）知，当时，， 又， 所以当时，恒成立， 因为当时，恒成立， 所以等价于当时，恒成立， 又， 若，当时，由， 所以在上递增，所以此时恒成立. 若，当时，由，解得为， 在上递减，此时，不符合题意． 综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是. 【变式17-1】（2025·高三·北京·开学考试）已知函数，，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的零点； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）当时，，则， 所以，，， 此时曲线在点处切线的方程为，即. （2）函数的定义域为，且， 当时，，则；当时，，则， 所以函数在上为增函数， 又因为，故函数有且只有一个零点. （3）函数的定义域为， 由（2）知，当时，， 又，所以当时，恒成立， 由于当时，恒成立， 所以等价于：当时，，且. 下面考虑，当时，恒成立， ①若，当时，， 故，在递增，此时，不合题意； ②若，当时，由知， 存在，使得， 根据余弦函数的单调性可知，在上递增， 故当，，递增，此时，不合题意； ③若，当时，由知，对任意，，递减， 此时，符合题意. 且当时，，合乎题意， 综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是. 【变式17-2】（2025·高三·湖南长沙·期中）已知函数 ，设 表示 的最大值，记 . (1)讨论 在 上的单调性； (2)当 时， ，求 的取值范围. 【解析】（1） ， ， 令 ，则 ; 令 ，则 或 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2）由 (1) 知， 当 时， 当 时， ; 当 时， ， 故时，, 等价于 在 上恒成立. . 令 当 时， ， 在 上单调递增， . 所以 的取值范围是 . 【变式17-3】（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，故，从而对和均有. 这表明在和上均单调递增，从而在上递增. 由于，故. ①若，则，且等号至多对成立，所以在上单调递减. 这就意味着对有，对有，从而始终有成立，满足条件； ②若，取，使得，则对有，从而在上递增. 这就意味着有，，所以，不满足条件. 综合①②两个方面可知，实数的取值范围为. 故选：D. 题型十八：已知恒成立，求具体参数值 【例18】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在处取得极小值. (1)求的值； (2)证明：； (3)若，求的值. 【解析】（1）由题得， 又在处取得极小值，所以，解得， 此时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，故. （2）由（1）得，要证，即证， 只需证，只需证. 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以，故可得. （3）由题得，令， 其中，且， 令，解得. ①若，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，符合题意. 令，则. ②若，当时，，在区间上单调递增， 所以， 又，且， 所以存在，使得， 则当时，，所以单调递减， 则，不符合题意. ③若，当时，，在区间内单调递增， 所以， 又以及的连续性，所以存在，使得当时，，所以单调递增，则，不符合题意. 综上，的值为. 【变式18-1】（2025·高三·云南·期中）已知函数 (1)求曲线过点的切线方程； (2)若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 【解析】（1）设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即. （2）（i）当时，． 的定义域为，且； 令得，或（舍去）； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数的极小值为，无极大值． （ii）令，， 所以． 由当时，恒成立， 得，恒成立， 而，所以是函数的最小值． ①当时，，； 令，，所以当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 故当时，， 则，； 所以，， 则在上单调递增， 则当时，，不符合题意．     ②当时，令，， 所以，则在上单调递增； 又当时，，当时，， 所以存在唯一，使得； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数，则，所以． 综上，得． 【变式18-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：恒成立； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，，. 令，，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. . . 当时，在上恒成立. （2）令，， 则. 若对任意，恒成立，则. 令，， . ①当时，. 由（1）知.在上恒成立，且不恒为0. 在上单调递增. ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，符合题意. ②当时，.当时，，， ；当时，，，； 在上单调递增. ， .∴存在，使得. 当时，，则在上单调递减；，则在上单调递减； ，则在上单调递减； 故当时，，不合题意. ③当时，. 若，由②知在上单调递增. 则存在，使得，且当时，，在上单调递增； 若，由②知在上单调递增. 当时，，单调递增. 当时，函数在上单调递增. 当时，，在上单调递减， ，在上单调递增. 故时，，不合题意. 综上所述，存在，使得任意，都有恒成立. 实数的取值范围为. 【变式18-3】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求的值； 【解析】（1）当时，，，则. 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以， 所以当时，恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）由，得，. 因为当时，恒成立， 所以是在区间上的最小值， 即当时，是的极小值点， 所以，解得. 当时，. 令，则. 由（1）知， 所以当时， 恒成立， 所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增. 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，符合题意. 故. 1．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，定义域 因为可变形为，所以的反函数为， 则要使得不等式恒成立，则必须且只需要恒成立， 因为，则分离参变量得，即，， 构造，求导得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，所以，又因为，所以， 故选：C. 2．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①因，则， 由得，；得，， 所以在上单调递增，上单调递减， 因，则， 因，则，即， 则， 又， 则由零点存在性定理可知，在和内分别存在一个零点， ②若，则在上单调递增； 若，则在上单调递减，在上单调递增； ③因为恒成立， 所以和有两个相同正根，且， 对于方程，即， 则，且，； 由和，可得， 两式相加得，，即， 令，对求导，. 令，即，解得. 当时，，递增； 当时，，递减. 所以在处取最大值，. 综上， 的最大值为. 故选：B. 3．（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得， 即， 令，则， 所以在上单调递增， 由， 可得，，即在时恒成立， 令，则，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以. 故选：D. 4．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 5．（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】当时，，不满足恒成立； 当时，令，可得或， 函数的零点为和， 因为恒成立，所以， 所以， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则， 所以的最小值为1. 故选：D 6．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数的定义域为，当时，， 则由，得恒成立，因为的值域为，故不可能恒成立，故不成立； 当时，由，得，由得， 由，得，由得，因为恒成立，故，即， 故，设，则，由，得到， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故，所以的最小值为， 故选：D. 7．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，函数的定义域为， 要使得恒成立，即恒成立， 只需恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，，函数单调递减， 当时，，，函数单调递增， 所以，从而， 则，又，得， 所以由恒成立，得恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为，即， 设，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为1，即， 所以只需，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 8．若关于的不等式且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由得， 令，则， 由二次函数性质可知在单调递增，且，所以， 即，即在上恒成立. 令，则，由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 故，所以，即， 可得实数的取值范围为. 故答案为： 9．已知恒成立，则正数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由有， 令，即，由，当时，， 所以在上单调递增，由有， 即，令，所以， 所以，令有，由有，有， 所以单调增区间为，单调减区间为， 所以，所以，即， 故答案为：. 10．，，恒成立，则最小值为 ． 【答案】 【解析】由，可得， 因为，则，可得，故，故， 构造函数，其中， 则对任意的恒成立， 所以函数在上为增函数， 由可得，故， 令，其中， 则，当且仅当时，等号成立， 因为，则，故对任意的时，恒成立， 此时函数在上为减函数，此时，合乎题意. 综上所述，整数的最小值为. 故答案为：. 11．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 令， 原式可化为， 当单调递增，当单调递减， 当且仅当时，取得最小值1， 所以有解， 即有解. 记， 当在单调递增，当在单调递减， 故，且当， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 12．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 13．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】若，且，恒有， 令，则，， 令，则时，即在上单调递减， 则，所以，， 令，恒成立，在上单调递增， 故由，得，恒成立，所以， 令，，令得， 时，，在上单调递减，时，，在上单调递增， 所以，故． 故答案为：. 14．关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】关于x的不等式恒成立， 所以恒成立， 所以即恒成立， 令，则恒成立， 所以在R上单调递增，又因为恒成立， 所以即恒成立， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以a的取值范围为. 故答案为：. 15．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 . 【答案】 【解析】不等式对一切正实数恒成立， 即直线恒在曲线的上方． 当最小，即直线与交点的纵坐标最小． 根据图象可知， 当时，, 所以当直线与曲线相切于点时，取最小值. 因为，所以，所以. 故答案为： 16．已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是 ． 【答案】 【解析】令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故，即，仅当时等号成立； 由于恒成立，即， 等价于，而，即； 由于， 当且仅当等号成立，∴， 故答案为： 17．（2025·高三·河北邢台·期末）已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】令，则原不等式可化为对任意实数恒成立， 即恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增，时，，不合题意； 当时，由，可得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，， 又因为恒成立，所以， 所以，所以， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即. 故答案为：. 18．已知对于任意，不等式都成立（是自然对数的底数），则的最小值是 . 【答案】 【解析】对任意的，不等式恒成立，等价于， 令，其中，则. ①当时，则对任意的恒成立， 所以，函数在上单调递增，无最小值，不符合题意； ②当时，由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，， 所以，，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，故的最小值为. 故答案为：. 19．（2025·全国·模拟预测）已知，为正实数，若对任意的，都有成立，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】设过点的直线与曲线切于点， 因为，所以，所以直线的方程为， 因为直线经过点，所以，得，所以直线的方程为． 故要使对任意的恒成立，只需存在正实数，， 使得，即成立，所以， 设，则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以，则，故的最大值为． 故答案为： 20．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的极值点情况； (2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， ， 令，则或， 因为，所以，当，即时，， 所以在单调递增，无极值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 当，即时，在和上，单调递增；在上，单调递减， 所以是极大值点，是极小值点， 综上，当时，无极值点， 当时，是极大值点，是极小值点， 当时，是极大值点，是极小值点， （2）当时，， 不妨设，则恒成立，等价于恒成立， 令，，则在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 由均值不等式（当且仅当时取等号）， 所以，则，故实数的取值范围是. 21．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，都有成立，求整数的最大值. 【解析】（1）当时，，所以， ，所以在切线斜率， 所以切线方程为 （2）函数定义域为， 令，解得， 当时，单调递减区间为； 当时，时，单调递减； 当时，单调递增； 综上，当时，单调递减区间为；无增区间， 当时，单调递减区间为，单调递增区间为. （3）当时，恒成立， 即恒成立. 令， ， 由（2）知，在上单调递增， ，故存在唯一的使得，即. 故当时单调递减， 故当时单调递增， 为极小值且为最小值， ， ， 故整数的最大值为2. 22．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，求的极值； (3)当时，，求的取值范围. 【解析】（1）当时，定义域为，又， 当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）当时，，定义域为， ，显然， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故在时，取得极小值为，无极大值； （3）由题意得，不等式为在上恒成立， ①当时，不等式为，显然成立，符合题意，此时； ②当时，不等式等价于， 令， 则.         令，则，令， 而，所以，所以在上单调递减， 所以，即. 从而在上单调递减， 所以，即在上恒成立. 所以当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 因此. 综上可得，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点13 一网打尽恒（能）成立问题 目录 01 重点解读 2 02 思维升华 3 03 典型例题 5 题型一：转化为单调性问题 5 题型二：任意存在型 5 题型三：指对同构法 6 题型四：直接法(换元、虚设零点） 6 题型五：参数全分离 7 题型六：换元后参数分离 8 题型七：参数半分离 9 题型八：主元变换法 10 题型九：一阶端点效应 11 题型十：二阶端点效应 12 题型十一：必要性探路 13 题型十二：朗博同构 14 题型十三：整数恒成立问题 15 题型十四：共零点模型 16 题型十五：双参数问题 17 题型十六：放缩变形、两边夹 17 题型十七：双重最值恒成立 18 题型十八：已知恒成立，求具体参数值 19 04 课时精练 21 不等式恒成立与能成立问题是高考数学的重要考点，常与函数、导数等知识结合，以压轴题形式出现。恒成立问题要求不等式在定义域内对所有变量值都成立，需通过求函数最值确定参数范围；能成立问题则只需不等式在定义域内有解，通常转化为求函数值域问题。解题时，需灵活运用参数分离、数形结合、分类讨论等方法。考生需熟练掌握函数性质、导数应用等基础知识，加强综合运用能力训练，以应对高考中不等式恒成立与能成立问题的挑战。 在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略： 1、完全参数分离法 方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如（或 ）的形式。 应用条件：当分离后的函数结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。 （2）求解函数 的最值。 （3）根据最值确定参数的取值范围。 2、 部分参数分离法 方法描述：将原不等式转化为形如（或 ）的形式，其中 是一个既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。 应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。 解题步骤： （1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。 （2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。 3、不分离参数法（隐零点、端点效应） 方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。 应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。 解题步骤： （1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。 （2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。 4、 特殊方法（如同构法） 方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。 应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。 解题步骤： （1）识别不等式的特殊结构或形式。 （2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。 （3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。 综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策略。 题型一：转化为单调性问题 【例1】若对，，，恒成立，则的最小值为 . 【变式1-1】已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】任意实数，当时，恒有成立，则的范围为 . 【变式1-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中为实常数.对于函数图象上对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，的取值范围为 . 【变式1-4】已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是 . 题型二：任意存在型 【例2】已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 . 【变式2-1】已知若存在，使得成立，则的最大值为 . 【变式2-2】设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是 . 【变式2-3】已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为 ． 题型三：指对同构法 【例3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（     ） A． B． C． D．1 【变式3-2】对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 题型四：直接法(换元、虚设零点） 【例4】已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【变式4-1】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是 ． 【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-3】已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【变式4-4】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若时，，求的取值范围. 题型五：参数全分离 【例5】已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，直接写出的单调区间； (3)当时，，，求的取值范围. 【变式5-1】已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行． (1)求的值； (2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围． 【变式5-2】已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若时，都有成立，求实数的取值范围． 【变式5-3】（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【变式5-4】已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 . 题型六：换元后参数分离 【例6】函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，解方程； (3)当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)证明：； (3)若，求的取值范围． 【变式6-2】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数 . ( 1 )若 ,求 的单调区间和极值点； (2)若 ,且当 时, 恒成立,求实数 的取值范围. 题型七：参数半分离 【例7】若不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 【变式7-1】已知函数，其中． (1)求在处的切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）若，，且，则实数的取值范围是 ． 题型八：主元变换法 【例8】函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在唯一的极值点，求实数a的取值范围； (3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【变式8-1】已知函数（），若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围 ． 【变式8-2】已知不等式 对任意的 恒成立,求 的取值范围. 【变式8-3】已知函数 ,对任意 和任意 , 恒成立,求实数 的取值范围. 题型九：一阶端点效应 【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，． (1)若在其定义域上单调，求的取值范围； (2)若． （ⅰ）证明：； （ii）若，求的取值范围． 【变式9-1】已知函数 (1)当时，求在处的切线方程 (2)求函数的单调区间和极值 (3)当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围 【变式9-2】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，其中. (1)证明：当时，； (2)若时，有极小值，求实数的取值范围； (3)对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-3】（2025·江苏扬州·三模）已知函数. (1)若，且，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求b的取值范围. 【变式9-4】（2025·北京海淀·三模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 题型十：二阶端点效应 【例10】（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式10-1】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【变式10-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式； (2)讨论在上的单调性； (3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围． 【变式10-3】已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若时，，求的取值范围． 题型十一：必要性探路 【例11】已知函数 ,若 恒成立,求实数 的取值范围. 【变式11-1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有两个极值点，满足. (1)求的取值范围； (2)判断并证明函数的对称性； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【变式11-2】（2025·江西·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【变式11-3】（2025·安徽合肥·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合． 题型十二：朗博同构 【例12】（2025·广东·模拟预测）已知函数． （1）求的极值； （2）当时，，求实数的取值范围． 【变式12-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，． （1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值； （2）若恒成立，求a的取值范围． 【变式12-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三：整数恒成立问题 【例13】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，在上恒成立，求整数的最大值． 【变式13-1】已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【变式13-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若时 （Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围； （Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值. 【变式13-3】已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当为整数时，若恒成立，求的最小值． 【变式13-4】若，恒有，则正整数的最大值为 ．（参考数据：） 题型十四：共零点模型 【例14】设函数，若恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【变式14-1】已知函数，，，则（   ） A． B． C．4 D．16 【变式14-2】设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式14-3】函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五：双参数问题 【例15】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ． 【变式15-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ． 【变式15-2】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【变式15-3】已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十六：放缩变形、两边夹 【例16】已知． (1)讨论函数在的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【变式16-1】（2025·湖北·模拟预测）已知a，b为实数，若对任意，都有恒成立，则的最小值为 ． 【变式16-2】若不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【变式16-3】设，若不等式成立，则 ． 【变式16-4】已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十七：双重最值恒成立 【例17】（2025·河南·三模）已知函数，，其中． (1)求函数的零点； (2)． （ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：； （ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式17-1】（2025·高三·北京·开学考试）已知函数，，其中． (1)当时，求曲线在点处切线的方程； (2)求函数的零点； (3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式17-2】（2025·高三·湖南长沙·期中）已知函数 ，设 表示 的最大值，记 . (1)讨论 在 上的单调性； (2)当 时， ，求 的取值范围. 【变式17-3】（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型十八：已知恒成立，求具体参数值 【例18】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在处取得极小值. (1)求的值； (2)证明：； (3)若，求的值. 【变式18-1】（2025·高三·云南·期中）已知函数 (1)求曲线过点的切线方程； (2)若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 【变式18-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数. (1)当时，证明：恒成立； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【变式18-3】已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若，恒成立，求的值； 1．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 6．设函数，若恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是 ． 8．若关于的不等式且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 9．已知恒成立，则正数的取值范围为 . 10．，，恒成立，则最小值为 ． 11．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 . 12．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 13．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为 ． 14．关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 15．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 . 16．已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是 ． 17．（2025·高三·河北邢台·期末）已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为 ． 18．已知对于任意，不等式都成立（是自然对数的底数），则的最小值是 . 19．（2025·全国·模拟预测）已知，为正实数，若对任意的，都有成立，则的最大值是 ． 20．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，. (1)讨论函数的极值点情况； (2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围. 21．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若对任意，都有成立，求整数的最大值. 22．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，求的极值； (3)当时，，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$