第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，则“”是“向量共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 6．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 7．若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．图中阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知，若对一切实数恒成立，且一元二次方程有实数根，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“”的否定是 . 13．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 14．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，集合或． (1)若是成立的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 16．（15分） 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 17．（15分） 美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 18．（17分） 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 19．（17分） 若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ∵，解得， ∴，又， 所以 故选：C 2．已知向量，则“”是“向量共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，向量，因为，所以向量共线成立； 由向量，共线，有，此时， 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件． 故选：A 3．集合，则的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为， 故子集个数为， 故选：C. 4．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 则，， 故. 故选:D. 5．已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【答案】C 【解析】由，则，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 6．由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出，该公司是一家专注于人工智能（）的中国初创公司．其模型于2024年年底发布，此模型足以媲美，一经推出便成为全球热门话题．利用进行学习已经成为一种学生自主学习的全新方式，但是目前市场各种模型运算参差不齐．技术人员对n个模型进行测试，测试由m道题组成，每个模型都对这道题逐一进行求解．若一道题至少有个模型未解对，则称此题为难题；若一个模型至少解出了道题，则该模型测试成绩合格．如果测试至少有个模型成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（   ） A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】B 【解析】设有个模型合格，道题为难题，则， 依题意有， 所以 所以， 同理 ， 要使两式有整数解，则，所以． 当时，若3个模型生答题情况如下表： 题目1 题目2 题目3 1 √ √ × 2 √ × √ 3 √ × × 则有2个模型合格，2个难题，符合题意，所以的最小值为9． 故选：B 7．若，且，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：B. 8．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．图中阴影部分所表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 如图， A选项：①+②，则②，故A正确； B选项：①+④，则④， 故B错误； C选项：③，①+②+④，则②，故C正确； D选项：①，故D错误. 故选：AC. 10．已知实数满足，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因，则，，则， 等号成立时，故B正确； 对于C，因且，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：BC 11．已知，若对一切实数恒成立，且一元二次方程有实数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为对一切实数恒成立，所以， 因为一元二次方程有实数根，所以， 所以，故，即，， 所以， 当且仅当时不等式取等号. 故选：AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．命题“”的否定是 . 【答案】 【解析】由存在量词命题的否定为全称量词命题可得： “”的否定是“”， 故答案为：“”. 13．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 . 【答案】 【解析】，， 显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是. 故答案为：. 14．设，我们常用来表示不超过的最大整数．如：．若，则 ，若是方程的实数解，则 ． 【答案】 或或 【解析】若，则，故 因为，故， 因为，故，故，故， 若，则，又，故符合； 若，则，故，又，不符合，均舍； 若，则，故，又，故符合； 若，则，故，又，故符合； 综上，或或． 故答案为：，或或 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，集合或． (1)若是成立的必要不充分条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【解析】（1）由是成立的必要不充分条件，得集合真包含于集合， 则或，解得或， 所以的取值范围是或. （2）依题意，，由，得， 则，解得， 所以的取值范围是. 16．（15分） 已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 【解析】（1）由，则，故； （2）由，则，可得； （3）由，即， 若，则，可得； 若，则，无解； 综上，. 17．（15分） 美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【解析】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 18．（17分） 关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础.两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一.通过运算代数变形可以解决很多关于基本不等式的问题. 例如此题：已知a，b为正实数，且，则的最小值为_____. 其解法如下，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”.根据上述材料解决以下问题. (1)已知a，b，c为正实数，且，求证：； (2)已知，，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法： 令则化为 原式当且仅当即，即，时，等号成立. 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知a，，，则的最大值是多少？ 【解析】（1）， 当且仅当，即时，等号成立，得证． （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 19．（17分） 若为定义域D上的单调函数，且存在区间（其中），使得当时，的取值范围恰为，则称函数是D上的“优美函数”. (1)写出的一组值，使得函数为“优美函数”，并说明理由; (2)若函数为“优美函数”，求实数t的取值范围; (3)若函数为“优美函数”，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为函数单调递增， 若在定义域区间上存在，使得的值域， 则，，即为方程的两根，又，得，， 又在区间上的值域为，故，符合题意. （2）因为函数为递增函数， 要使在定义域区间上存在，使得的值域， 则只需有两个不等的非负实根， 令，，则在有两个不等的实根， 故，即，得， 即t的取值范围是. （3）函数在定义域内单调递减， 依题意得，两式相减，得， 则， 得① 将①式代入方程组得，则是方程的两根， 令，则在上有两个不同的实根， 则，解得， 故实数m的取值范围为 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$