河南省南阳市南阳六校2025-2026学年高二上学期10月期中考试数学试题

绝密★启用前 2025—2026学年(上)南阳六校高二年级期中考试 数 学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l的斜率为 则l的倾斜角为 B. D. 2.下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线方程为y=±2x的是 3.记椭圆 双曲线 的离心率分别为e₁，e₂，若 则m= A.1 B.2 C.4 D.5 4.点 P(-1,2)关于直线x-y-1=0的对称点为 A.(3,-2) B.(2,-2) C.(3,-1) D.(2,-1) 5.已知P 为抛物线 上的任意一点,F为抛物线的焦点,点 M(2,3),则|PM|+|PF|的最小值为 A.3 C.4 6.已知圆 与直线 相交于A,B 两点,若△ABC 为正三角形，则实数m的值为 A.2 B. - 2 C.3 D.-3 数学试题 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 7.已知圆O: 直线l：y=-1，将圆O在l下方的部分沿着l向上翻折，如图，若直线x-y+m=0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是 A. B.2 C. D.3 8.已知双曲线 的左、右焦点分别为 F₁，F₂，点P 在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线 PF₂的斜率为 ，则△PF1F₂的内切圆面积为 A.π B.2π C.3π D.4π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中正确的是 A.若直线的斜率k∈[ - 1,1],则倾斜角 B.过点(-1,2)且与直线x+3y-1=0垂直的直线方程为3x-y+1=0 C.过任意两点P1(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)的直线都可以用方程 表示 D.直角坐标系xOy内的任意直线都可以用方程 Ax+By+C=0 表示 10.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经该椭圆反射后，反射光线过另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，且 一条光线从F₁出发，经过椭圆的若干次反射，第二次经过点 F₂时光走过的路程为8c，则该椭圆的离心率可能为 A. B. C. 数学试题 第2页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 11.已知抛物线C 的焦点为 F，若过点 F的直线与C交于A，B两点，且A在第一象限，O为坐标原点，则下列说法正确的是 A.△AOB面积的最小值为2 B.当直线AB 的倾斜角为60°时， C.线段AB 的中点 M 到C 的准线的距离等于 D.在x轴上存在一点 N，使直线AN与BN的斜率之和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若 表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是 . 13.已知椭圆 的左、右顶点分别为A，B，过椭圆上除A，B外任意一点 P 向x轴作垂线，垂足为Q，若 则椭圆的焦距为 . 14.已知P 是直线l:3x+4y-8=0上一动点,过点 P 作圆C 的两条切线 PM,PN,切点分别为M,N,则∠MPN 的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 设直线x+2y-5=0与3x-y-1=0交于点 P,已知直线l过点 P. (1)若l与直线3x+y+7=0平行,求l的方程; (2)若l在x轴和y轴上的截距互为相反数，求l的方程. 16.(15分) 已知点O(0,0),A(7,-1),B(0,6),△OAB的外接圆为圆C. (1)求圆C 的方程; (2)设△OAB的AB边上的高所在的直线为l，求l被圆C 所截得的弦长. 数学试题 第3页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 17.(15分) 已知椭圆 的离心率 以C 的四个顶点为顶点的四边形的面积为 (1)求C 的方程; (2)若直线l:2x-y+1=0交椭圆C于M,N两点,求|MN|. 18.(17分) 已知直线l:x-2y+2=0与抛物线C 相切于点 P. (1)求C 的方程以及点 P 的坐标. (2)过点Q(-1,-2)的动直线L与C交于A,B两点(均不与点P 重合),AB 的中点为M. (i)当PM∥x轴时,求L的方程; (ii)设直线 PA,PB 的斜率分别为k₁,k₂,证明:k₁·k₂为定值. 19.(17分) 已知双曲线 的右焦点为 F(4，0)，渐近线方程为 (1)求 C 的方程. (2)若动直线l过点 F，且与C交于M，N两点(M在第一象限，N在第四象限)，过点 M作直线x=1的垂线，垂足为D. (i)证明：直线 DN恒过点 (ii)设O为坐标原点，△ODN的面积为S，求S 的最小值. 数学试题 第4页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年（上）南阳六校高二年级期中考试 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.答案C 命题透析本题考查直线的倾斜角与斜率. 靡板由题意知的斛率k上片=n空，所以直线的领斜角为 6 6 2.答案D 命题透析本题考查双曲线的标准方程与渐近线方程. 解街A,B项中的双由线的焦点在x抽上，c项中双曲线Y一1的渐近线方程为y±7*，不符合 只有D项符合条件. 3.答案B 命题透析本题考查由椭圆和双曲线的离心率求参数的值. 解折由题意知=分=0计，因为6=5所以店=5，即2=子解得m=2 m 4.答案A 命题透析本题考查点关于直线的对称点， rx-2 ·1=-1, x+1 x=3, 解析设点P(-1,2)关于直线x-y-1=0的对称点为Q(x,y),则 解得 即 -1+x_2+y-1=0, y=-2, 2 2 Q(3,-2). 5.答案C 命题透析本题考查抛物线的定义的应用. 解析由题意知抛物线的焦点为℉(0,1)，准线1的方程为y=-1.如图，过点P作抛物线准线1的垂线段，垂足 为Q,过点M作MN⊥1，垂足为N.由抛物线的定义得：IPFI=IPQI,所以：PM+PF=PM;+PQ≥：MN:, 当M,P,N三点共线时取等号，故PM:+P的最小值为：IMNI=3+1=4. A M 1 -5-4-3-2-10 1日2345元 -1 QN 1 6.答案A 命题透析本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的值， 解析圆：x2+y-6y-m+7=0,即x2+(y-3)2=m+2,圆心为(0,3)，半径r=√m+2,因为圆C与1：x+ 5,-万=0相交于A,B两点，且△ABC为正三角形，所以圆心C到直线1的距离d=135-5=万= √1+3 2,则 r=2=√m+2,解得m=2. 7.答案B 命题透析本题考查直线与圆的位置关系. 解析由题意知圆0与1交于B,C两点，且B(-22,-1),C(22,-1),当直线x-y+m=0过点B(-22, -1)时，得m=-1+2√2≈1.828，由对称性可知，折叠后的弧BC对应的圆的方程为x2+(y+2)2=9,当1与劣 弧BC相切时，有m+2!=3,所以m=32-2≈2.242(m=-32-2舍去，结合图形可知，当-1+22<m< 3√万-2时，直线x-y+m=0与两段弧恰有4个交点.结合选项知B符合题意. 8.答案C 命题透析本题考查直线、圆与双曲线的综合. 解析由题意知F,(-4,0),F2(4,0),IPF,1-1PF2I=6.如图，设圆C与线段PF,PF2,F,F2分别相切于点 D,E,G,则lPD=IPEI,IF,D1=IF,G,IF2G=IFEI,所yF,G-IFG=IF,DI-IF2E1=IPFI-IPF2I=6,所以 G(3,0),从而可知内切圆的圆心C在直线x=3上.因为PF,的斜率为√5，所以倾斜角为(60°，因为CF,是 ∠PF2F,的平分线，所以直线CF2的倾斜角为120°，方程为y=-√5(x-4),将x=33代入，得C(3,√5)，所以 1CG1=√5，即圆c的半径为√5，得圆c的面积为3π. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AD 命题透析本题考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程. 解析对于A,作图易知正确； 对于B.直线x+3y-1=0的斜率为-了，其垂线的斜率为3。所以过点(-1,2)且与直线x+3y-1=0垂直的 直线方程为y-2=3(x+1),即3x-y+5=0,故B错误； 一2 对于C,当直线P,P,与x轴平行或垂直时，不能用方程-=一名表示，故c错误： y2-y1x2-x1 对于D,任何直线的方程都有一般式，故D正确. 10.答案BCD 命题透析本题考查椭圆的定义与性质. 解析设椭圆的长轴长为2a(a>0). ①若光线从F1沿长轴向左射出，则第二次经过Fz时，光走过的路程为2a+2(a-c),所以4a-2c=8c,得 2 a ②若光线从F1沿长轴向右射出，则第二次经过F2时，光走过的路程为2a,所以2a=8c,得C=1 a 4i ③若光线从F沿其他方向射出，则第二次经过F2时，光走过的路程为6a,所以6a=8c,得二=3 a=4 11.答案ACD 命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系、与抛物线焦点弦有关的几何性质， 解析由题意知F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y),B(x2,y2),联立直线与抛物线的方程，得 x=my+1, 消去x整理得y2-4my-4=0,则y1+2=4m,y12=-4. y2=4x, 对于ASm=号01%-方=Y+☒-正=2V,放m0时，△A0B的面积取得装小 2 值，为2，故A正确； 对于B,当直线AB的倾斜角为60°时，直线AB的方程为y=5(x-1),将y=√5(x-1)代人y2=4x,得3x2- 10x+3=0,解得=3，=号，所以1MF1=+1=4,BF1=+1=手，所以：AP=3BP,放B错误： 对于C,由题意知C的准线方程为x=-1,由前面的分析，知y1+2=4m,y2=-4,所以1AB1=√1+m1y1- 1=√(1+m)[(y+2)2-42J=4(1+m2),又x1+2=m+1+my2+1=4m2+2,所以+5+1= 2 2m2+2=之l4B1,放c正确： 对于D,由前面的分析，知+为=4m,2=-4,设N(t,0),则kw+aw=+2= 名-1名-6m,+1=i+ y2 2my1y2+(1-)(y1+y2） -8m+4m(1-t） -4m(1+)、所以当 m2+1-1m+(-)m(,+2)+(1-)=-4m2+4m-)+（1-=-4m1+（1 t=-1时，kN+kY为定值0，即存在N(-1,O),使kw+kv为定值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案(-1,4) 命题透析本题考查根据方程表示双曲线求参数的取值范围· rk-4<0, 解析 由题意得 解得-1<k<4. k+1>0, 3 13.答案25 命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质. 解析由题意知A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),则1PQ12=y2,IAQ1·1BQ1=(x+a)(a-x)=a2-x2所以 40P0。分，整理得卡+号=1，对照稀圆方程可知号=1，所以子：4，放销圆的货距为 1PQ12 a 月1 2√a2-1=25. 14.答案 3 命题透析本题考查点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系. 解析由题意，得圆C(x+2)2+(y-1)2=3的圆心C(-2,1)到直线1：3x+4y-8=0的距离d= I3×(-2）+4x1-8!=2>5=r,所以与圆C相离，如图，可知当∠MPN取得最大值时，PC取最小值，PC:的最 32+4 小值为点C到I的距商，即IPC1=d=2,此时血∠MPC=O=受，所以∠MPC=号，故LNPN的最大值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.命题透析本题考查直线的方程、直线与直线的位置关系. 「x+2y-5=0, 「x=1, 解析联立得 解得即P(1,2).…(2分) 3x-y-1=0, y=2, （1)若1与直线3x+y+7=0平行，则1的斜率k=-3, ....... (4分) 所以1的方程为y-2=-3(X-1),即3x+y-5=0.…(7分） (2)若1经过坐标原点，设1：y=kx,代入P点坐标，得k=2, 所以1的方程为y=2X,…(10分） 若1不经过坐标原点，设L七+上=1，代入P点坐标，得上-2=1，解得a:1, a -a aa 所以1的方程为y-x=1,即x-y+1=0. 所以1的方程为y=2x或X-y+1=0.…（13分) 一4 16.命题透析本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系. 解析（1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 将0(0,0)，A(7,-1),B(0,6)三点的坐标代入， ,F=0, ,D=-8, 得50+7D-E+F=0,解得E=-6, 。....。............... (4分) 36+6E+F=0, F=0, 故圆C的方程为x2+y2-8x-6y=0,即(x-4)2+(y-3)2=25.… (6分) (2)由题意得kB=9 6-（-1)=-1,与AB垂直，所以的斜率为1， 0-7 又1过0(0,0)，所以1：y=x. （10分) 圆c的圆心c(4,3)到1的距离d=4-3!= √2 2, …(12分) 则1被圆C截得的弦长为2√25-7=72 ……(15分) 17.命题透析本题考查椭圆的标准方程、求椭圆的弦长. 解析(1)设c的半焦距为c(c>0). 1 2×2a×2b=82, ra=22, 由题意 e=c 得 b=2, …(5分） a2, c=2, a2=b2+c2, 六C的方程为￡+上」 8 4 =1. …（6分） (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 联立，8+4=1， 化简得9x2+8x-6=0,2 …（8分) 2x-y+1=0, 8 2 …（10分) 六1MN1=√1+21-l=5·√g+》P-4,西=10☑ （15分) 9 18.命题透析本题考查抛物线的方程与性质，抛物线与直线的位置关系. rx-2y+2=0 解析(1)由 可得y2-4py+4p=0(*,…(1分) Ly2=2px, 由题意知△=16p2-16p=0,解得p=1(p=0舍去)， 所以C的方程为y2=2x,… (3分) 将p=1代入(*)式可得y2-4y+4=0,解得y=2, —5 将y=2代入C的方程可得：x=2,即P(2,2).…(5分) (2)(1)易知L的斜率存在且不为0，设：x=m(y+2)-1(m≠0)， 与C的方程联立，得)y2-2my-4m+2=0.… …(7分) 由4=4m2-4(2-4m)>0及点P不在L上，得m<-6-2或6-2<m<2或m> 4 4 设A(x1y1),B(x22）,则y+3=2m,y2=2-4m.… 9 分 当PM∥x轴时，十业=2，即m=2,满足题意， 2 所以L的方程为x-2y-3=0. (11分) ()由()可得x1+2=m(y1+y2）+4m-2=2m2+4m-2, xx2=(m1+2m-1)(my2+2m-1)=m2y12+(2m2-m)(y1+2）+(2m-1)2=4m2-4m+1.…(13分) 所以么·6=-2.2-2-3-2(+2)+4 2-4m-4m+4 _6-8m。2 Γx1-2x2-2x1x2-2(x1+2）+44m2-4m+1-4m2-8m+4+49-12m=3, 即1…2为定值.…（们7分） 19.命题透析本题考查双曲线的方程、双曲线中的直线过定点问题. b=5, ra=2, 解析 (1)由题意知 a 解得 la2+62=42, b=25, 所以c的方程为父上 4-121 =1. ………(4分) （2)(i)设1：x=my+4,点M(x1,y1),N(x2,y2),D(1,y). x22 由 42=1, 可得(3m2-1)y2+24my+36=0, (x=my +4, 3m< 因为1与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以-至< 3 24m 36 且1+13m3m-“ (6分) 直线N:y=2-1(x-1)+1, x2-1 令得 =3(2-）+2(x-1)_32-5m+2出」 …（8分） 2(x2-1) 2(x2-1) 72m 又水-5+2西3-5+2m侧2+4)=3(+2)+2m23m中3200 所以直线DN恒过点（各，O (11分) 咖图，设E(3., —6 则s=210Bl,-⅓=子0+2-4-5 ……(14分） 1-3m X=】 D 0 度+1=，期1<2 5”4,29m 所以当t=11时，s取最小值，最小值为15. …………(17分） 一7