精品解析：江苏省扬州市扬州中学教育集团树人学校2024-2025学年八年级上学期阶段作业数学试题

八年级数学素养体验活动 一、选择题 1. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）． A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 8，15，17 D. 1，2，3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数问题，根据三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，这三个数为勾股数，进行判断即可． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，不符合题意； D、，不是勾股数，符合题意； 故选D． 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，而与不一定相等，A说法错误，符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，C说法正确，不符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 3. 估算的值，与它最接近的两个整数是（ ） A. 4和5 B. 5和6 C. 6和7 D. 7和8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，根据与、的大小可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 4. 如图所示，平移得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理，根据平移的性质可得，即可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 5. 下列实数中：0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，，无理数个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数，算术平方根以及立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据无理数的定义即可判断选择项． 【详解】解：在实数：0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，中，无理数有0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，共4个． 故选：C． 6. 在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线，角的平分线，线段的垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键． 【详解】根据题意，甲作的是的垂线，乙作的是的平分线，丙作的是线段的垂直平分线， 而点P一定是在的角平分线与的交点处， 故选B． 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，.若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，由题意得出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 故选：C． 8. 如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果； ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∠PBE=∠PAB+∠APB， ∴∠CAB+∠ACB=2（∠PAB+∠APB）， ∴∠CAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB， ∴∠ACB=2∠APB；故①正确； ②过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，如图所示： ∴PM=PN=PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB，而AC：AB不一定等于PC：PB， ∴S△PAC∶S△PAB不一定等于PC∶PB，故②错误； ③∵BE=BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE，故③正确； ④∵PG∥AD， ∴∠FPC=∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP=∠PCF， ∴∠PCF=∠CPF，故④正确． 综上分析可知，①③④正确，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等． 二、填空题 9. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 10. 在中，已知，那么_______（大小比较）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 11. 2025.10万精确到____ 位． 【答案】百 【解析】 【分析】本题考查近似数的精确度，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：万精确到百位． 故答案为：百． 12. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．根据题意证明，得出，结合求得，根据，即可解题． 【详解】解：，， 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，已知，则的度数为__________． 【答案】##135度 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接，得出为等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，， 为等腰直角三角形， ∴， 在中， ， 在中，， 是直角三角形，且， ， 故答案为：． 14. 如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键． 证明三角形为等边三角形，然后由等边三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：根据题意，米， ， ， ∴为等边三角形， 米， 故答案为：． 15. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，根据，点M表示的数为，由此即可解决问题． 【详解】解：由已知可得， 在中，， ， 点M表示的数为． 16. 如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为______． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：22． 17. 在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，并作分类讨论是解题的关键．①当为锐角三角形时，设的垂直平分线交线段于点，交于点，在中可求得，再由三角形内角和定理可求得；②当为钝角三角形时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，在中可求得，从而得到，再由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：①当为锐角三角形时， 如图，设的垂直平分线交线段于点，交于点， ，， ， ， ； ②当为钝角三角形时， 如图，设的垂直平分线交于点，交直线于点， ，， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 18. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 三、简答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，解题关键是熟记平方根与立方根的相关概念， （1）移项后，转化为的形式，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值； （2）移项后，转化为的形式，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值． 【小问1详解】 解： ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴． 20. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．平行得到，线段的和差关系求出，结合，即可得证． 【详解】略 21. 已知的算术平方根是2，的立方根是2，c是的整数部分． （1）分别求出a、b、c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了无理数估算，平方根，算术平方根，立方根的定义，代数式求值，熟练掌握相关定义并准确计算是解答本题的关键． （1）根据无理数估算，平方根，算术平方根，立方根的定义，求出a、b、c的值即可； （2）先将a、b、c的值代入，再求平方根即可． 【小问1详解】 解：的算术平方根是2，的立方根是2， ，， , ， 解得：，，； 【小问2详解】 由（1）得， ， ∴． 22. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为80，，求的长； （2）若，，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、三角形面积、角平分线的定义，熟练掌握基础知识是解答本题的关键． （1）直接利用面积法进行求解即可； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：（1）∵是的中线，， ∴， ∵是的高，的面积为80， ∴， ∴； 【小问2详解】 在中，为它的一个外角，且，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 23. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①CP的长为 _________ cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． 【答案】①10﹣4t；②a＝4；或a＝4.8 【解析】 【分析】①根据，代数即可； ②分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】解：①由题意可得：， ∴ ②当时，则有或两种情况 ∴当时，解得： ∴当时，解得： ∴的值为4或4.8 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 已知a，b，c是的三边． （1）若，，第三边c为奇数，判断的形状； （2）化简：． 【答案】（1）等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键： （1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴， 又∵c为奇数， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 ∵， ∴． 25. 利用网格作图． （1）在图①中找一点P，使P到和距离相等且； （2）在图②中，作出的角平分线． 【答案】（1） 解：交点即为所求： （2） 解：线段即为所求： 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质可知，作的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求； （2）先利用勾股定理求得的长度，然后根据等腰三角形的三线合一的性质，取格点T，使，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取格点T，使，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵点J为的中点， ∴平分， 即为的角平分线． 【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用以上知识点，学会利用数形结合的思想解决问题． 26. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）的长为4． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 27. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为 ；（用含t的代数式表示） （2）若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 【答案】（1） （2） （3）或或4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）根据题意列代数式可求得答案； （2）根据角平分线的性质解答即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵已知点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度运动， ∴点P运动的长度为：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点P作于点M，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点P在的角平分线上， ， ，， 又， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； 【小问3详解】 解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得： 此时； 当作为腰时，如图所示： ，此时； 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或4． 28. 如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至点，使得， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形． （1）由旋转的性质，结合即可证明； （2），同理可证明，则，故，即可证明平行； （3）延长至点，使得，可得为等边三角形，证明，则，，即可得到，那么，则，故，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学素养体验活动 一、选择题 1. 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）． A. 3，4，5 B. 7，24，25 C. 8，15，17 D. 1，2，3 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 估算的值，与它最接近的两个整数是（ ） A. 4和5 B. 5和6 C. 6和7 D. 7和8 4. 如图所示，平移得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列实数中：0.2020020002…（每两个2之间多1个0），，，，，无理数个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 在寻宝游戏中有一线索：宝藏埋藏点P在图1中的小路上，且到河岸，的距离相等．依据线索甲、乙、丙三人各自在藏宝图中标记了点P（如图2所示），则能找到宝藏的是（ ） A. 只有甲 B. 只有乙 C. 只有丙 D. 甲和乙 7. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，.若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题 9. 的立方根是__________． 10. 在中，已知，那么_______（大小比较）． 11. 2025.10万精确到____ 位． 12. 如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为__________． 13. 如图，在四边形中，已知，则的度数为__________． 14. 如图，工人在某施工现场作业，地面上有一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子底端与地面的交点为C，梯子与墙面的交点为M，此时梯子的倾斜角为（即），如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，梯子与墙面的交点为N，此时梯子的倾斜角为（即），若连接，那么的长是________米． 15. 如图，长方形的顶点A，B在数轴上，点A表示，，．若以点A为圆心，对角线长为半径作弧，交数轴正半轴于点M，则点M所表示的数为______． 16. 如图，在中，是的中线，是边的垂直平分线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为______． 17. 在中，，的垂直平分线与的所在的直线相交所成的锐角是，则________． 18. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 三、简答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知：如图，、、、在同一直线上，，，，求证：． 21. 已知的算术平方根是2，的立方根是2，c是的整数部分． （1）分别求出a、b、c的值； （2）求的平方根． 22. 如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． （1）若的面积为80，，求的长； （2）若，，求的大小． 23. 如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm．如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒， ①CP的长为 _________ cm（用含t的代数式表示）； ②若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值． 24. 已知a，b，c是的三边． （1）若，，第三边c为奇数，判断的形状； （2）化简：． 25. 利用网格作图． （1）在图①中找一点P，使P到和距离相等且； （2）在图②中，作出的角平分线． 26. 已知：如图，，、分别是、的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 27. 如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． （1）的长为 ；（用含t的代数式表示） （2）若点P在的角平分线上，求t的值； （3）在整个运动中，直接写出是等腰三角形时t的值． 28. 如图，在中，，点D在直线上，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． 【问题初探】 （1）如图1，点D在线段上，延长至点F，使得，连接． 求证：． 【类比分析】 （2）如图2，若，点D在的延长线上，延长至点F，使得，连接．求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，若，，点D在的延长线上，连接，延长交于点G，猜想与的数量关系，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $