精品解析：江苏省南京师范大学附属中学树人学校2025-2026学年八年级第一学期数学第一次月考

初二数学 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 9的立方根为3 B. 9开平方后的结果是3 C. 是9的平方根 D. 0没有平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根．正数的立方根是正数，正数的平方根有两个，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、9的立方根为，故该选项不符合题意； B、9开平方后的结果是，故该选项不符合题意； C、是9的平方根，故该选项符合题意； D、0有平方根，且为0，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 用四舍五入法按要求对0.1509分别取近似值，其中错误的是（ ） A. 0.16（精确到0.01） B. 0.15（精确到百分位） C. 0.151（精确到千分位） D. 0.2（精确到0.1） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．精确到哪一位，就是对它后边的一位进行四舍五入． 【详解】解：A、0.1509精确到0.01为0.15，不是0.16，错误，符合题意； B、0.1509精确到百分位为0.15，正确，不符合题意； C、0.1509精确到千分位为0.151，正确，不符合题意； D、0.1509精确到0.1为0.2，正确，不符合题意； 故选：A 3. 如图所示，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义解答即可． 【详解】解：∵点到边的垂线段是， ∴边上的高是， 故选：B． 【点睛】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答． 4. 如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 本题考查了全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意可知：，，， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是与不全等，所以这个实验说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等， 故选：D． 5. 如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( ) A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 6. 如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ） A. 1cm B. 4cm C. 9cm D. 12cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系的应用，根据三角形的三边关系可以求出的范围，即可得到答案． 【详解】解：连接， 在中，，即， 在中，，即， ∴， 观察四个选项，只有C选项符合题意， 故选：C． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 8. 在3.14、、、、π、，这六个数中，无理数有____个． 【答案】3 【解析】 【分析】直接根据无理数的定义判断即可． 【详解】在3.14、、、、π、，这六个数中，无理数有、π、共三个， 故答案为3． 【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 9. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，正确掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键． 分别计算立方根和算术平方根，再进行加减运算． 【详解】解： 故答案为：． 10. 比较大小：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，立方根和算术平方根的定义．对两数分别进行乘方运算，进而比较大小 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 11. 如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _____. 【答案】BD＝BC（或AD＝AC） 【解析】 【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等． 【详解】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB， ∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD 故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 12. 如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分即可解答． 【详解】解：∵点D为中边上的中点， ∴是边上的中线， ∵的面积是60， ∴， ∵是中边上的中线， ∴． 故答案为：15． 13. 如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接， 则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，在的内部取一点O，连接，恰有，，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等边三角形．其中说法正确的是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质． 首先利用等腰三角形的性质并结合已知可求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理即可求出，据此判断①②；结合角之间的关系可得，利用等量代换可得，接下来结合等腰三角形的性质判断③；利用等边三角形的判定并结合角之间的关系可判断④． 【详解】解：，， ． ， ． ， ，，故①②正确； ，，， ． ，， ， ，故③正确， ， 不是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 15. 如图，，平分，如果射线上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用， 求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】∵平分， ∴， 分三种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为：或或． 故答案为：或或． 16. 如图，是直角三角形，且，，斜边的端点A、B分别在两条互相垂直的直线上滑动，两直线交点为O，连接，则线段的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理、含角的直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识．取的中点，连接、．根据含角的直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、． ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时． 故答案为：2． 三、解答题（共8小题，17-23题每题8分，24题12分，共68分） 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】此题考查了利用平方根和立方根的意义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解题的关键． （1）移项后，两边同除以9，再利用平方根的意义解方程即可； （2）利用立方根的意义解方程即可． 【小问1详解】 解：整理得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 18. 如果一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是1． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 【答案】（1）； （2）6． 【解析】 【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数的平方根有两个且互为相反数，进行列式计算得，然后求出，再结合立方根的性质求出，即可作答． （2）把代入，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ， ， ， ， ∵的立方根是1， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ∴， 的算术平方根是． 19. 阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 【答案】（1）的整数部分为，的小数部分为 （2）的平方根为 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）利用例题结合，进而得出答案； （2）利用例题结合，，可求得a与b的值，进而得出答案． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分为，的小数部分为； 【小问2详解】 解：，即， 的整数部分为，小数部分为， ，即， 的整数部分为， 则， 的平方根为． 20. 已知：如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，且，BD与CE相交于点O．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质证明,因为，所以，由等角对等边，即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质证明是解题的关键． 21. 如图，，点D在边上，和相交于点O．且，， （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质． （1）先利用三角形外角性质证明，然后根据证明； （2）根据直角三角形斜边中线的性质求得，再利用全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，． ∵． ． 22. （1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式、无理数的大小比较、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据作差法进行解题即可； （2）结合作差法和作商法解题即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∴，即， ，即， ∵， ∴的立方根一定大于的算术平方根，即； 综上，． 23. 折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： （1）小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段（如图1），将纸片沿折叠得到（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （2）小华先把一张正方形的纸片对折后再展开，折痕为（如图3），然后将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B（如图4），最后沿折叠（如图5），得到（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 【答案】（1） 解：同意，理由如下： 如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 解：同意，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”． （1）请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并在图中标注出必要的角度或相等的线段． ①；②，；③， （2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_______． （3）如图2，中，，其中是最小的内角，画出所有可能的“三等腰线”，并作适当的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） （4）已知，如图3，已知线段m、n，求作，使得，，且（保留作图痕迹，并作简要说明）． 【答案】（1） 解：①如图1-1，1-2，1-3所示 （2）或或 （3） 第一种画法：如图2-1，当、时，即和是等腰三角形， 第二种画法：如图2-2，当、时，即和是等腰三角形， （4） 解：如图3 ①作线段， ②在线段上取一点，使， ③作线段的垂直平分线， ④以为半径，以为圆心，画弧交线段的垂直平分线于点， 则为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形综合题和作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （3）根据两种情况、利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （4）模仿图1-2构造等腰三角形和即可作图. 【小问1详解】 解：①如图1-1，取的中点，则， ∴和是等腰三角形； ②如图1-2，取，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； ③如图1-3，作的垂直平分线，交于，交于，连接， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴和是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5， 当，时， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6， 当，时， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7， 当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵是最小的内角， ∴， ∴， ∴ 第一种画法：如图2-1，当、时，即和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、是三角形的“三等腰线”， 第二种画法：如图2-2，当、时，即和是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、是三角形的“三等腰线”， 综上所述，如图所示的两种“三等腰线”可以使得对取值范围内的任意值都成立． 【小问4详解】 证明：由作法可知，，， ∴，， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 9的立方根为3 B. 9开平方后的结果是3 C. 是9的平方根 D. 0没有平方根 2. 用四舍五入法按要求对0.1509分别取近似值，其中错误的是（ ） A. 0.16（精确到0.01） B. 0.15（精确到百分位） C. 0.151（精确到千分位） D. 0.2（精确到0.1） 3. 如图所示，在中，边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在处，和第三根木棍摆出，再将木棍绕转动，得到，这个实验说明（ ） A. 有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形一定不全等 C. 有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 5. 如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在( ) A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三条中线的交点 6. 如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ） A. 1cm B. 4cm C. 9cm D. 12cm 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分） 7. 的算术平方根是______． 8. 在3.14、、、、π、，这六个数中，无理数有____个． 9. 计算：______． 10. 比较大小：_______． 11. 如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 _____. 12. 如图，点D为中边上的中点，为的中线．若的面积为60，则的面积为________． 13. 如图，在的正方形网格中标出了和，则_____． 14. 如图，在中，，在的内部取一点O，连接，恰有，，．给出下列说法：①；②是等腰三角形；③；④是等边三角形．其中说法正确的是______．（填序号） 15. 如图，，平分，如果射线上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为_______． 16. 如图，是直角三角形，且，，斜边的端点A、B分别在两条互相垂直的直线上滑动，两直线交点为O，连接，则线段的最大值是______． 三、解答题（共8小题，17-23题每题8分，24题12分，共68分） 17. 求下列各式中x的值： （1）； （2）． 18. 如果一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是1． （1）求和的值； （2）求的算术平方根． 19. 阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 20. 已知：如图，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，且，BD与CE相交于点O．求证：． 21. 如图，，点D在边上，和相交于点O．且，， （1）求证：． （2）若，，求的长． 22. （1）比较和0.6的大小，并说明理由． （2）若，用<号连接、、、四个数的大小，不用说明理由． 23. 折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： （1）小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段（如图1），将纸片沿折叠得到（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； （2）小华先把一张正方形的纸片对折后再展开，折痕为（如图3），然后将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B（如图4），最后沿折叠（如图5），得到（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 24. 定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”． （1）请在下面三个图中，分别作出的“双等腰线”，并在图中标注出必要的角度或相等的线段． ①；②，；③， （2）如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是_______． （3）如图2，中，，其中是最小的内角，画出所有可能的“三等腰线”，并作适当的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补充） （4）已知，如图3，已知线段m、n，求作，使得，，且（保留作图痕迹，并作简要说明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $