6.1直线、射线、线段（第2课时 线段的长短）（教学设计）数学苏科版2024七年级上册

6.1 直线、射线、线段（ 第2课时 线段的长短） 教学设计 1.教学内容 本课为新教材苏科版七年级上册第六章《平面图形的初步认识》第6.1节“直线、射线、线段”的第2课时“线段的长短”，核心知识点包括：1.线段的长短比较及符号化表达。 2.线段长度的和与差。 3.线段中点的概念及简单推理方法。 2.内容解析 本节从度量和叠合两种方法出发，让学生体验并掌握比较线段长短的实质是比较其长度；通过“折叠长方形纸片”理解线段“复制—粘贴”的思想；再借“尺规作图”实现线段的和与差，深化对几何与数之间对应关系的理解。最后引入线段中点的概念，通过“因为……所以……”的形式培养逻辑推理能力，凸显实物操作与几何抽象的融合，帮助学生形成对线段长度及中点的系统认识。 1.教学目标 •会比较线段的长短，并能进行符号化表达。 •理解线段的和、差，以及线段中点的意义。 •结合线段中点的概念，会用“因为……，所以……”的方法进行简单推理。 2.目标解析 • 掌握线段长度比较方法，能利用度量或叠合进行判断；学会运用尺规作图实现线段的和与差。 • 通过动手操作与抽象推理相结合，加深对中点概念的理解；体会数形结合思想在度量与作图中的运用。 • 在推理过程中培养严谨的思维品质，形成主动探索、勤于交流的学习习惯。 3.重点难点 • 教学重点：掌握比较线段的常用方法、线段和差的尺规作图、线段中点及其推理。 • 教学难点：通过“因为……所以……”掌握简单推理方法，体验数形结合的思路。 学生对线段已有初步认知，能理解度量概念，但抽象几何与数的对应尚不熟练；在学习中点性质时易混淆“线段”与“线段长度”的区别，需要在实践与验证中深化理解；同时，运用尺规作图对于初学者的准确操作和理性推理能力是挑战的关键所在。 创设情景，引入新课 问题情境： 教师提问：有一张长方形纸片(如图)，如何比较相邻两条边AB，AD的长短？ 学生思考并讨论： 1.可以用刻度尺度量后比较，如图: 线段的长短关系与它们的长度的大小关系是一致的,可得：AD＜AB 2.也可以用叠合的方法比较，如图: 如图，将长方形纸片折叠，使点D落在射线AB上.此时，如果点D落在线段AB上(不与点B重合)，那么线段AD的长度小于线段AB的长度，记作“AD＜AB”． 【设计意图】通过现实生活中“纸片折叠比较边长”这一直观情境，引导学生思考并总结出比较线段长短的两种常见方法——度量法和叠合法，激发学生的学习兴趣，并明确本节课的学习方向和目标。 探究点1：线段长短的比较 1.新知探究： （1）点D落在什么位置时，AD＞AB？ 解： 如果点D落在线段AB的延长线上(不与点B重合)，那么线段AD的长度大于线段AB的长度，记作“AD＞AB”． （2）点D落在什么位置时，AD＝AB？ 解： 如果点D落在线段AB上(且与点B重合)，那么线段AD的长度等于线段AB的长度，记作“AD＝AB”． 把边AD折到边AB上，相当于“复制”了线段AD，“粘贴”到射线AB上． 2.交流讨论，共同总结得: 对于两条线段，其长度分别为a，b，下列三种关系中有且只有一种成立：a＜b，a＝b，a＞b． 比较线段的长短实质就是比较线段长度的大小． 常用的两种方法：度量法（数的角度）和叠合法（形的角度）. 注意：“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数量． 【设计意图】通过直观的折纸操作与符号语言的表达，使学生深刻理解“度量”和“叠合”两种方法在比较线段长短时的作用，并初步感受数学语言的简洁与严谨。 探究点 2：线段的和与差 1.典例分析： 例1 尺规作图：如图，已知线段AB，在射线A′C′上作线段A′B′，使A′B′＝AB． 【知识补充】在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 解：作法：把圆规的两脚尖分别放在点A，B上，然后移动圆规，使圆规的一个脚尖与点A′重合，另一个脚尖在射线A′C′上截取的点记为B'．线段A′B′即为所求. 复制→粘贴 例2 如图，线段AB，A′B′的长度分别为a，b(a＞b)，用直尺和圆规在射线AB上作线段AC，AD，使得：(1) AC＝a＋b；(2) AD＝a－b． 解：作法：(1)延长AB，以点B为圆心，b为半径作弧，交AB的延长线于点C线段AC即为所求. (2)以点B为圆心，b为半径作弧，交线段AB于点D．线段AD即为所求 例3 如图，线段AB＝16，C是AB的中点，点D在线段CB上，且DB＝3．求线段CD的长． 解：因为C是AB的中点，AB＝16， 所以CB＝AB＝×16＝8． 又因为CD＝CB－DB，DB＝3， 所以CD＝8－3＝5． 2.讨论交流 已知两条线段的长度分别为a，b，你能用尺规作图解释下面的结论吗？ (1)a＋b＞a； (2) 可以找到一个自然数n，使得na＞b． 解：(1)如图，线段AB，A'B'的长度分别为a，b (a＞b)，延长AB，以点B为圆心，b为半径作弧，交AB的延长线于点C，则线段AC＝a＋b，易知a＋b＞a． 解：(2)如图，线段AB，A'B'的长度分别为a，b(a＜b)，延长AB，以点B为圆心，a为半径作弧，交AB的延长线于点C，再以点C为圆心，a为半径作弧，交AB的延长线于点D，……，易知可以找到一个自然数n，使得na＞b． 3.交流讨论，共同总结得： 如果一个点把一条线段分成两条相等的线段，那么这个点叫作这条线段的中点． 如图，如果C是线段AB的中点，那么AC＝BC＝AB或AB＝2AC＝2BC． 注意：线段的中点只有一个，且一定在该线段上. 教师提问：反之是否成立? 4.知识精讲： 教师提问：以上结论反之是否成立? 学生思考并讨论：反之也成立． 如图，如果C在线段AB上，且AC＝BC(或AC＝AB或BC＝AB)，或 AB＝2AC或AB＝2BC，那么点C是线段AB的中点． 【设计意图】借助“线段中点”与“线段差”的结合，帮助学生在几何图形的度量与推理之间搭起理解桥梁，强化运用“因果式”语言进行严谨推理的意识。 1．估计各图中线段AB与线段BC的长短关系，并用圆规检验． 解：AB＞BC；AB＜BC；AB＝BC 思考：如何用圆规检验？说说你的操作过程．在操作过程中你有什么发现？ 2．如图，线段AB，CD的长度分别为a，b．用直尺和圆规作一条线段，使其长度为2a＋b． 解： 线段EH即为所求． 3．下列说法正确的是 ( ) A. 若AP＝ AB，则P是AB的中点 B. 若AB＝2PB，则P是AB的中点 C. 若AP＝PB，则P是AB的中点 D. 若AP＝PB＝ AB，则P是AB的中点 解：D 4．根据题意画图：画直线l，在l上取点A，B，C，并且点B在点A，C之间，AB＝2BC．设D为线段AB的中点，写出线段DB，AC的数量关系． 解：如图，AC＝3DB． 点D，点B是线段AC的三等分点． 5．如图，点C，D在线段AB上，AC＝BD． (1) 线段AD与线段BC有怎样的数量关系？为什么？ (2) 设M为线段CD的中点，M还是图中哪条线段的中点？ 解:(1)AD＝BC． 因为AC＝BD， 所以AC＋CD＝BD＋CD， 所以AD＝BC． (2) M还是线段AB的中点． 因为M为线段CD的中点， 所以CM＝DM． 因为AC＝BD， 所以AC＋CM＝BD＋DM． 即 AM＝BM． 所以M还是线段AB的中点． 6．如图，B是线段AD上的一点，C是线段BD的中点，AD＝10，BC＝3．求线段CD，AB的长． 解：因为C是BD的中点，BC＝3， 所以CD＝BC＝3． 又因为AB＝AD－BC－CD，AD＝10， 所以AB＝10－3－3＝4． 能力提升 1. 如图，C是线段AB的中点，线段BC＝3，D是直线AB上一点，且AB＝AD. 求线段CD的长. 解：因为C是线段AB的中点，BC＝3， 所以AC＝BC＝3，AB＝2BC＝6. 因为AB＝AD， 所以AD＝AB＝4. 当点D在线段AB上时，CD＝AD－AC＝4－3＝1. 当点D在线段BA的延长线上时，CD＝AD＋AC＝4＋3＝7. 所以线段CD的长为1或7. 2.如图，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点. （1）若AC＝9 cm，CB＝6 cm，则线段MN的长为（ ）cm； （2）若AC＝a cm，CB＝b cm，则线段MN的长为（ ）cm； （3）若AB＝m cm，求线段MN的长度； （4）若点C为线段AB上任意一点，且AB＝n cm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论. 解：（1）7.5；（2）(a＋b) ； (3) 因为M是AC的中点，N是BC的中点， 所以MC＝AM＝AC，NC＝BN＝BC， 所以MN＝MC＋NC＝AC＋BC＝1/2(AC＋BC)＝AB＝m cm. （4）猜想MN＝ n cm. 因为M是AC的中点，N是BC的中点， 所以MC＝AM＝AC，NC＝BN＝BC， 所以MN＝MC＋NC＝AC＋BC＝(AC＋BC)＝AB＝ n cm. 结论：若点C为线段AB上一点，且M，N分别为AC，BC的中点，则MN＝AB. 【设计意图】通过习题练习，提供较高层次的问题以培养学生的综合分析与推理能力。 主板书 6.1 直线、射线、线段（ 第2课时 线段的长短） 探究点1 线段长短的比较 探究点 2 线段的和与差 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 基础练习：完成课本相关练习中“直线、射线、线段”部分的计算题。 2. 拓展提高：选做教材中综合应用题，体会在更复杂情境下如何应用直线、射线、线段解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $