3.2.1双曲线及其标准方程导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面积． 3．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 知识点1 求双曲线的标准方程 【题1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 知识点二 双曲线定义的应用 【题2】△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A．　　 　 B．±　　 　C．－　　　 D．± 知识点三 与双曲线有关的轨迹问题 【题3】如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C ＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 考点一 数学运算-求双曲线的方程 【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)． 考点二 逻辑推理-求点的轨迹方程 【例5】如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 一、选择题 1.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 2．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ） A．11 B．9 C．5 D．3 3．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐 标是(1，3)，则的面积为（ ） A． B． C． D． 4．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A． B． C． D． 5．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的 距离为（ ） A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 6．已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为 E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是（ ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ） A．当时，曲线C表示椭圆； B．当或时，曲线C表示双曲线； C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则； D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则； 8.（多选题）设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆 B．当θ＝时，方程不表示任何图形 C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线 D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 二、填空题 9．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则 的面积等于__________． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线 段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________. 11.已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，则|AB|＝________. 又三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．则点C的轨迹方程为________． 3、 解答题 12.已知双曲线. （1）求该双曲线的焦点坐标、离心率； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小. 13． 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲 线类型． 14.如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P 的圆心P的轨迹方程． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S＝×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积． (2)利用公式＝×|F1F2|×|yP|求得面积． 3．求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种： (1)列出等量关系，化简得到方程； (2)寻找几何关系，结合双曲线的定义，得出对应的方程． 求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 知识点1 求双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2 【题1】根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； 【解析】　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1. ② 由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1. 法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为－＝1. 知识点二 双曲线定义的应用 双曲线的定义 文字语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 符号语言 ||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【题2】△ABC中，A(－5,0)，B(5,0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　) A．　　 　 B．±　　 　C．－　　　 D．± 【答案】D　 【解析】在△ABC中，sin A＝，sin B＝，sin C＝＝(其中R为△ABC外接圆的半径)． ∴＝＝. 又∵|BC|－|AC|＝±8， ∴＝±＝±. 知识点三 与双曲线有关的轨迹问题 双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹. 【题3】如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝4，且三个内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程． 【解析】　以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－2，0)，B(2，0)． 由正弦定理，得sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC的外接圆半径)． ∵2sin A＋sin C＝2sin B，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 即|AC|－|BC|＝＝2<|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为－＝1(x>a)， ∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6. 即所求轨迹方程为－＝1(x>)． 考点一 数学运算-求双曲线的方程 【例4】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)焦距为2，经过点(－5,2)，且焦点在x轴上； (2)焦点为(0，－6)，(0,6)，且过点A(－5,6)． 【解析】(1)因为焦点在x轴上，且c＝， 所以设双曲线的标准方程为－＝1,0＜a2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以－＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为－y2＝1. (2)由已知得c＝6，且焦点在y轴上．因为点A(－5，6)在双曲线上，所以2a＝|－|＝|13－5|＝8，则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是－＝1. 考点二 逻辑推理-求点的轨迹方程 【例5】如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 【解析】　圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心F1(－5,0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心F2(5,0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3＜10＝|F1F2|. ∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝，c＝5，于是b2＝c2－a2＝. 故动圆圆心M的轨迹方程为－＝1. 一、选择题 1.到两定点的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹为（　　） A．椭圆 B．两条射线 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【解析】∵到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于6， 而|F1F2|＝6， ∴满足条件的点的轨迹为两条射线． 故选B． 2．若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ） A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B 【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B． 3．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D． 4．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6，则P点的轨迹方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)的距离的差等于6,知轨迹是双曲线的一支，根据定义得到：c＝5，a＝3，∴b＝4，∴点P的轨迹方程是. 故答案为：D. 5．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ） A．3或7 B．6或14 C．3 D．7 【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点为，则是的中位线， ， 或6，或3. 故选：A 6．已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，由题意知.设的中点分别为M，N，在中， ，所以，， 由双曲线的定义可得，即，所以， 故双曲线E的标准方程为. 故选:D. 7．（多选题）已知方程表示的曲线C，则下列判断正确的是（ ） A．当时，曲线C表示椭圆； B．当或时，曲线C表示双曲线； C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则； D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则； 【答案】BC 【解析】由，得，此时方程表示圆，故A选项错误. 由双曲线的定义可知时，即或时，方程表示双曲线，故B选项正确. 由椭圆的定义可知，当椭圆焦点在轴上时，满足，解得，故C选项正确. 当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故D选项不正确. 综上所述，正确的选项为BC. 故选：BC 8.（多选题）设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是(　　) A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆 B．当θ＝时，方程不表示任何图形 C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线 D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】BC　 【解析】当0＜θ＜时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A错误；当θ＝时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选BC. 二、填空题 9．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________． 【答案】12 【解析】由于，因此，，故，由于即，而，所以，，，所以，因此. 10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，线段AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是________. 【答案】26 【解析】由题得|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8， ∴|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16. ∴|AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21. ∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 故答案为26 11.已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，则|AB|＝________.又三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．则点C的轨迹方程为________． 【答案】4　x2－＝1(x＞1) 【解析】将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1. ∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4， 则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4. 又∵sin B－sin A＝sin C，∴由正弦定理得 |CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4， 即动点C到两定点A，B的距离之差为定值． ∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1， ∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x＞1)． 3、 解答题 12.已知双曲线. （1）求该双曲线的焦点坐标、离心率； （2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由，得，∴，，， ∴焦点为，，离心率． （2）由双曲线的定义，得， ∴ ， ∴． 13．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型． 【解析】(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 14.如图，圆E：(x＋2)2＋y2＝4，点F(2,0)，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，求动圆P的圆心P的轨迹方程． 【答案】x2－＝1(x≤－1) 【解析】由已知，圆E半径为r＝2，设圆P的半径为R， 则|PF|＝|PM|＝R，|ME|＝r＝2，|PE|＝|PM|－|ME|＝R－2， 所以|PF|－|PE|＝2. 由双曲线的定义知，P的轨迹为双曲线的左支， 因为a＝1，c＝2，所以b＝， 所以，所求轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $