四川省成都市第十八中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年四川省成都十八中九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是(    ) A. B. C. D. 2.若，则的值为(    ) A. B. 5 C. D. 3.用配方法解方程，下列配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，若D、E分别为中AB、AC边上的点，且，，，，则AE的长度为(    ) A. B. C. D. 4 5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为，以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将缩小，则点A的对应点的坐标是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为x m，若种植花苗的面积为，依题意列方程为(    ) A. B. C. D. 7.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果，他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点C，连接BC交y轴于点D，结合图象判断下列结论，错误的为(    ) A. 点A与点B关于原点对称 B. 点D是BC的中点 C. 在中，y的值随x值的增大而减小 D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 9.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是      . 10.若点，，都在反比例函数的图象上，则      填“>”、“<”或“=” 11.如图，，，，那么______. 12.小孔成像的原理是光的直线传播.如图，一发光的电子蜡烛竖直放置经小孔O在屏幕竖直放置上成像，设，，小孔O到AB的距离为45cm，则小孔O到的距离为       13.如图所示，在▱ABCD中，以点A为圆心AB长为半径作弧交AD于点F，连接BF；分别以点B、F为圆心，大于同样长度为半径作弧，交于点G，连接AG并延长交BC于点E，若，，则AE的长为      . 14.已知，若，则______. 15.已知方程的两根分别为，，则      . 16.如图，在中，，现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为      . 17.如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，矩形ABCD的对称中心为M，双曲线正好经过C，M两点，则直线AC的解析式为      . 18.如图，在中，，，则AC的最小值为      ，的最小值为      . 三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题12分 计算：； 解方程： 20.本小题8分 “岁岁春草生，踏青二三月”，又到了阳光明媚，适合春季研学的季节.某校数学实践小组就春季研学地点进行了调研：“A：非遗博览园；B：武侯祠；C：杜甫草堂；D：大熊猫繁育基地；E：金沙遗址博物馆”.实践小组随机抽取了部分同学进行“春季研学最想去的地点”每人必选且只选一个地点调查，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图. 请结合统计图中的信息，解决下列问题： 数学实践小组在这次活动中，调查的学生共有______人，在扇形统计图中，地点 D所对应的圆心角是______度； 补全“春季研学最想去的地点统计图”中的条形统计图； 若要选出两名研学小组组长，有两名男同学和两名女同学报名，为保证公平决定采取抽签方式抽取两名组长，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率. 21.本小题8分 某数学兴趣小组要测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵小树的高度米，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者跟睛到地面的距离FG为米；已知，，，且B、D、E、G在同一水平线上. 请求出DE的距离； 请求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 22.本小题10分 如图，在▱ABCD中，E为边BC上一点，连接BD，AE，交于点F，且 求证：； 若，，且，求AD和BD的长. 23.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，B两点. 求反比例函数的表达式及点B的坐标； 点C是第一象限内反比例函数图象上一点，且，求点C的坐标； 在的条件下，点C位于点B左侧，连接BC，点M为双曲线上一动点，平面内是否存在一点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 24.本小题8分 随着电子商务的不断发展，网络销售已经成为一种常用的销售方式.一商家通过电商平台销售某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利30元.经调研，在每件降价不超过15元的情况下，该服装每件降价1元，则每天可多售5件.设该服装每件降价x元，每天的销售量为y件. 直接写出y与x的函数表达式； 若此商家某天销售该服装共获得利润1200元，求这天该服装的销量. 25.本小题10分 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点点A在点B的右侧，与y轴相交于点 当时. ⅰ分别求A，B两点的坐标； ⅱ为x轴上一动点，当时，求点P的坐标； 取点，连接AM，BM，当时，求k的值. 26.本小题12分 如图1，在中，，，，点P为斜边AB上一点，过点P作射线，分别交AC、BC于点D， 问题产生 若P为AB中点，当，时，______； 问题延伸 在的情况下，将若绕着点P旋转到图2的位置，的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由； 问题解决 如图3，连接DE，若与相似，求PB的值． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：这个组合体的左视图为： 故选： 根据简单组合体的三视图的画法画出它的左视图即可． 本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的前提． 2.【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． 把要求的式子化成，再把代入进行计算即可得出答案． 【解答】 解：， 故选 3.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 故选： 根据配方法的步骤解决问题即可． 本题考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤． 4.【答案】D  【解析】解：，， ∽， ：：AC， 又，，， ， 故选： 根据相似三角形的判定首先证出∽，然后根据相似三角形的性质得出AE：：AC，从而求出AE的长度． 本题主要考查了相似三角形的判定及性质． 有两角对应相等的两个三角形相似． 相似三角形的三边对应成比例． 5.【答案】A  【解析】解：由题意可得：点的对应点的坐标是， 即为； 故选： 由位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，根据位似变换的性质计算，判断即可． 本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：设道路的宽为x m，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选： 设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高，本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【解答】 解：假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据概率公式小球落在不规则图案的概率为：， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为， 综上有：，解得 故选 8.【答案】C  【解析】解：根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项A正确，不合题意； 点A与点B关于原点对称， ， 轴， ， ， 是CB的中点，故选项B正确，不合题意； ③在每个象限内，y随x的增大而减小，故选项C错误，符合题意； ④，故选项D正确，不合题意； 故选： 根据反比例函数图象的中心对称性质及反比例函数的性质逐项分析解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得， 即k的取值范围是 故答案为： 先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10.【答案】>  【解析】解：，在反比例函数图象上， ，， 故答案为： 结合反比例函数的图象与性质即可求解． 本题考查的知识点是反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握该知识点． 11.【答案】  【解析】解：， ， ，， ， 解得： 故答案为： 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 12.【答案】15  【解析】解：设小孔O到的距离为x cm， 由题意可得：∽， 则， 解得： 答：小孔O到的距离为15cm， 故答案为： 利用已知得出：∽，进而利用相似三角形的性质求出即可． 此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 13.【答案】8  【解析】解：设AE交BF于点O， 由作图过程可得，，AE为的平分线， ，， 四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， 故答案为： 设AE交BF于点O，由作图过程可得，，AE为的平分线，进而可得，，结合平行四边形的性质可得，进而可得在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 14.【答案】12  【解析】解：， ， ， 故答案为： 根据等比性质计算． 本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质是解决问题的关键． 15.【答案】23  【解析】解：根据根与系数的关系得，， ， 故答案为： 先根据根与系数的关系得，利用方程的根得出，再将原式变形，然后利用整体代入的方法计算． 此题考查了根与系数的关系，设方程的两根分别为，，则有， 16.【答案】  【解析】解：，， ， ∽∽， ，， 空白部分占的， 即针尖落在黑色区域内的概率为， 故答案为： 根据阴影部分的面积占大三角形面积的比例得出结论即可． 本题主要考查概率的知识，熟练根据几何面积的比例关系计算概率是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：直线与坐标轴交于A，B两点， 令时，；令时，； ，，则，， 如图所示，过点C作轴于E， 四边形ABCD是矩形， ， ，且， ，且， ∽， ， 设，则， 即，则， 矩形ABCD的对称中心为M，且， 点M的横坐标为，纵坐标为， 即， 双曲线正好经过C，M两点， ， 解得，，不符合题意，舍去， 点， 设过点，点所在直线的解析式为， ， 解得， 直线AC的解析式为， 故答案为： 根据题意，解出A，B两点的坐标，如图所示，过点C作轴于E，可证∽，可得CE，BE的关系，设，则，再根据矩形ABCD的对称中心为M，可求出x的，即求出C的坐标，由此即可求解． 本题主要考查一次函数，反比例函数，几何图形的综合，掌握待定系数法求一次函数，反比例函数图象的性质，对称中心点的坐标的计算方法，几何图形的性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 18.【答案】4   【解析】解：当时，AC最小，， 在中，，， 点A在到BC的距离是4且与BC平行的直线上运动，当时，AB最小，AC最大，它们的比最小，， 根据勾股定理：， ， 故答案为： 利用垂线段最短，根据面积求出AC的最小值，根据勾股定理求出 本题考查了三角形的面积，勾股定理，垂线段最短． 19.【答案】解：原式 ， ， ， 则， 所以  【解析】根据实数的运算法则进行计算即可． 利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程-配方法及实数的运算，熟知实数的运算法则及配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 20.【答案】200，36；   见解答；    【解析】解：调查的总人数为人， 在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角为； 故答案为：200，36； 组人数为人， 组人数为人， 条形统计图补充为： 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男同学和一名女同学的结果数为8种， 所以恰好抽到一名男同学和一名女同学担任组长的概率 用B组人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用D组人数所占的百分比乘以得到在扇形统计图中，地点D所对应的圆心角； 先求出C组人数，再计算出A组人数，然后补全条形统计图； 画树状图展示12种等可能的结果，再找出一名男同学和一名女同学的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图． 21.【答案】解：由题意得：， ，，， ， ∽， ， ， 解得米， 答：DE的距离为6米； ， ∽， ， ， 解得：米， 凌霄塔的高度AB为38米．  【解析】根据题意可得：，再根据垂直定义可得，从而可得∽，然后利用相似三角形的性质进行计算可得米； 证明∽，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， ， ， 又， ∽， ：：EB， ； 解：， ， ， 由知∽， ， ， ， ∽， ， ，， ， ， ， 即， 解得：，   【解析】根据平行四边形的性质可得，进而得出，得出∽，利用相似比即可求解； 先利用计算出，则，由∽得出，再由，得出∽，利用相似比得出，，然后利用勾股定理求出BD的长即可解答． 本题考查平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 23.【答案】解：一次函数过点， ， ， ， 把代入得，， 反比例函数的表达式为； ， 或， ； 设点，过点C作x轴平行线交直线AB于H， 点， ， ， ， 解得或舍去 点C的坐标为或； 点C位于点B左侧， ①当四边形BCNM为矩形时，如图： 过B作直线轴，过C作直线l，过P作直线l， ， ， ，， ，，， ， 在和中， ， ≌， ， ， 设直线BM解析式为， 代入得， 直线BM解析式为， 联立得， ， 或2， ， 移动到， 移动到N， ②当为矩形时， ， 设直线解析式为， 代入得， 直线解析式为， 联立得， ， 或1， ， 移动到， 移动到， 综上所述，点N的坐标为或  【解析】由一次函数得，把代入得，故反比例函数的表达式为；再联立计算即可． 设点，过点C作x轴平行线交直线AB于H，得点，由，得，再计算即可． 由点C位于点B左侧，得①当四边形BCNM为矩形时，构造一线三垂直得≌，得，求出直线BM解析式为，再联立计算即可．②当为矩形时，由得直线解析式为，再联立计算即可． 本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． 24.【答案】解：由题意可知，； 由题意得：， 整理得：， 解得：，不合题意，舍去， ， 答：这天该服装的销量为50件．  【解析】根据该服装每件降价1元，则每天可多售5件，列出一次函数关系式即可； 根据此商家某天销售该服装共获得利润1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：正确写出一次函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25.【答案】解：当时，直线解析式为，反比例函数解析式为， 联立方程组：， 或， 点，点； 如图， 直线与y轴交于点C， 点， 点，点， ，， ，， ∽， ， ， ， 设点， ， ， 点； 联立方程组：， ， ，， 设点，， ， 如图，过点A作轴于F，过点B作轴于E， ， ， ， ∽， ， ， ， ，   【解析】联立方程组可求解； 通过证明∽，可得，可求AP的长，由勾股定理可求解； 通过证明∽，可得，即可求解． 本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 26.【答案】； 解：的值不变，理由如下： 如图1，过点P作于点G，作于点H， ， 四边形PHCG是矩形，， ， ， ， ， ， ∽， ， 由得：， ， 故的值不变； 解：，，，， ，， ， 如图2，连接CP， 当∽时，则， ， 点C、D、P、E共圆， ， ， ， ∽， ， ， ， 如图3，连接CP， 当∽时，则， 由图2知，， ， ， 同理可得：， ， ， 综上所述：或  【解析】解：，，， ， 四边形CDPE是矩形， ，， ∽， 为AB中点，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案是： 见答案； 见答案. 可将转化为，进而根据∽求得结果； 过点P作于点G，作于点H，证明∽，进而求得结果； 当∽时，可证得点C、D、P、E共圆，进一步证得∽，进而求得PB，当∽时，则，同样得出，进而推出点P是AB的中点，从而求得 本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，直角三角形性质等知识，解决问题的关键是把已知相似三角形转化为另外的相似三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $