期中模拟卷02（上海专用，测试范围：实数+二次根式+一元二次方程）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备考系列（沪教版五四制2024）

2025-2026学年上海数学八年级上学期期中模拟卷02 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围： （实数、 二次根式、一元二次方程） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00000402毫米，数据0.00000402用科学记数法表示（　　） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列根式中， 最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列实数（每相邻两个1之间依次多1个2）、中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（本题3分）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 5．（本题3分）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）实数，，，，，中，是无理数的有 ． 8．（本题2分）化简： ． 9．（本题2分）如果，那么约等于 ． 10．（本题2分）比较大小： ． （填“”“”“”） 11．（本题2分）不等式 的解集是 ． 12．（本题2分）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 13．（本题2分）已知，，则 14．（本题2分）已知，b是49的平方根，且，则的值为 ． 15．（本题2分）大于且小于的整数有 个． 16．（本题2分）石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 17．（本题2分）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则 18．（本题2分）阅读下列材料：设x==0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即x=．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． = ， = ． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1) (2)（，） 20．（本题6分）解下列方程： (1)． (2)． (3) （一题多解法） ． 21．（本题6分）已知：a，b为有理数，且，求的平方根 22． （本题6分）已知若，，求的值． 23．（本题8分）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 24．（本题8分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 25．（本题8分）（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 26．（本题10分）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海数学八年级上学期期中模拟卷02 （考试时间：90分钟  试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考试范围： （实数、 二次根式、一元二次方程） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（本题3分）生物学家发现一种病毒的长度约为0.00000402毫米，数据0.00000402用科学记数法表示（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中 ，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，由此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．（本题3分）下列根式中， 最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义． 由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：无法分解为因数或因式的平方且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不符合题意． 故选：C． 3．（本题3分）下列实数（每相邻两个1之间依次多1个2）、中，无理数的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【详解】解：， ，是有理数， 无理数有：、（每相邻两个1之间依次多1个2）、共三个． 故选：B． 4．（本题3分）已知，则的值为（   ） A．或2 B．或8 C．2 D．8 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 设，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合非负性确定解即可． 【详解】解：令， 则原方程变为． 提取公因式，得． 解得或． ， 舍去，唯一解为． 因此，的值为． 故选：D． 5．（本题3分）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 6．（本题3分）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．（本题2分）实数，，，，，中，是无理数的有 ． 【答案】 【知识点】无理数、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，正确把握定义是解题关键．直接利用无理数的定义分析得出答案． 【详解】解：实数，，，，，中，是无理数的有， 故答案为：． 8．（本题2分）化简： ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质化简二次根式即可． 【详解】， 故答案为：． 9．（本题2分）如果，那么约等于 ． 【答案】13.33 【知识点】立方根概念理解 【分析】根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：13.33． 【点睛】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质． 10．（本题2分）比较大小： ． （填“”“”“”） 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．比较两个数的平方，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴． 故答案为： 11．（本题2分）不等式 的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式， 根据移项，系数化为1，再分母有理化解答. 【详解】解：不等式， 移项，得， 两边都除以，得， 即. 故答案为：. 12．（本题2分）最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】7 【知识点】同类二次根式 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 13．（本题2分）已知，，则 【答案】0.3173 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】把被开方数0.1007变形为10.07×，故，进而求解即可. 【详解】， 故答案为：0.3173 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题关键在于能够把所求的二次根式进行变形. 14．（本题2分）已知，b是49的平方根，且，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】绝对值方程、求一个数的平方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．先根据绝对值确定a，b的值，再根据有理数的减法，即可解答． 【详解】解：，b是49的平方根， ，， ， ， ，或，， 或， 故答案为：或． 15．（本题2分）大于且小于的整数有 个． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数估算方法得出，，然后写出符合条件的整数即可，掌握无理数估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴大于且小于的整数有，，，，，共个， 故答案为：． 16．（本题2分）石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度nm，nmm用科学记数法表示：nm m 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用1纳米米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 17．（本题2分）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两个根为3和6，乙由于看错了某一项系数的符号，求得两个根为和，则 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据甲所解的方程，利用根与系数的关系，推出，根据乙由于看错了某一项系数的符号，求得的方程有根， 可知乙看错的是二次项系数或常数项的符号，再根据乙所解的方程，利用根与系数的关系，推出， 代入计算即可． 【详解】关于x的一元二次方程没有实数根， ． 设甲解的方程为（）， 由根与系数的关系，可得，， 消去得，， 乙由于看错了某一项系数的符号，求得的方程有根， 乙看错的是二次项系数或常数项的符号，（改变一次项系数的符号，判别式的值不变） 若乙看错的是二次项系数的符号，则方程两个根为和， 由根与系数的关系，可得，解得， ． 若乙看错的是常数项的符号，则方程两个根为和， 由根与系数的关系，可得，解得， ． 综上可知的值为 ． 故答案为：． 18．（本题2分）阅读下列材料：设x==0.333…①，则10x=3.333…②，则由②﹣①得：9x=3，即x=．所以=0.333…=．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数． = ， = ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【详解】试题分析：设=x=0.777…①，则 10x=7.777…② 则由②﹣①得：9x=7，即 x=； 根据已知条件=0.333…=．可以得到=1+ =1+ = ． 故答案为；． 点睛：此题主要考查了无限循环小数和分数的转换，正确题意，读懂阅读材料 是解决本题的关键，这类题目可以训练学生的自学能力，是近几年出现的一类新 型的中考题．此题比较难，要多次慢慢读懂题目． 三.解答题（本大题共8题，满分58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算： (1) (2)（，） 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式乘除混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（本题6分）解下列方程： (1)． (2)． (3) （一题多解法） ． 【答案】(1) (2) ， (3) ， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，根据方程特点选取恰当的方法是解题的关键． （1）移项后利用完全平方式可得，再直接开平方即可求解； （2）移项后得，再利用公式法求解即可； （3）方法：原方程可变形为，再利用公式法求解即可； 方法：移项后得，再提取公因式得，分别令或求解即可． 【详解】（1）解：移项，得，即， 解得． （2）解：移项，得． ， ， ，． （3）解：方法：原方程可变形为． ， ， ，． 方法：移项，得， 提取公因式得， 即或 解得，． 21．（本题6分）已知：a，b为有理数，且，求的平方根 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了实数运算，正确利用完全平方公式得出的值是解题关键． 利用完全平方公式去括号，进而得出的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， ∴， ， ， 则的平方根为：． 22．（本题6分）已知若，，求的值． 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先化简a和b，再求出和的值，然后根据完全平方公式把变形后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 23．（本题8分）观察下表： 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________； (2)根据你发现的规律填空：已知． 则___________，___________； 若，则___________； (3)拓展提升： ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位 (2)，， (3)①；② 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍． 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）解：∵． ∴，； 若，则， 故答案为：，，； （3）解：①∵知， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， 故答案为：． 24．（本题8分）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 【答案】（1）1；（2）3；（3）当时，代数式有最小值，最小值为 【知识点】配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质． （1）由可得时，取得最小值0； （2）由知可得答案； （3）把原式配方，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）代数式有最小值时，， 故答案为：1； （2）代数式的最小值在时，最小值为3， 故答案为：3； （3）， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 25．（本题8分）（2+4+4=10）综合与探究 【定义】我们把关于x的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程” 【示例】如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”是________． 【探究】 （2）已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的两个根． 【猜想】 （3）当时，方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________．（，） 【证明】 ∵方程的两根为，； 方程的两根为，①________；…… 请完成上述填空①，并补全证明过程．（备注：证明一组关系即可） 【答案】（1）；（2），；（3）互为倒数，，过程见解析 【知识点】公式法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，熟练掌握一元二次方程的解法、求根公式以及对新定义“友好方程”的理解与运用是解题的关键． （1）依据“友好方程”的定义直接写出； （2）先写出“友好方程”，再用因式分解法求解； （3）先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积或和来推导关系． 【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程的“友好方程”是， 故答案为：； （2）， ∴， 解得：，； （3）∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， 同理： ， ∴方程的两根，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为互为倒数， 故答案为：互为倒数，； 26．（本题10分）阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：； (2)若是正整数，，，且，求的值； (3)若，则的值是______．（直接写出答案结果） 【答案】(1) (2) (3)9 【知识点】利用二次根式的性质化简、已知条件式，化简求值、通过对完全平方公式变形求值、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解； （2）先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子化简求解即可； （3）先求出，再计算出，结合，，即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2），， ． ． ． ， ， ， 解得：； （3）， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 学科网（北京）股份有限公司 $