精品解析：青海湟川中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

青海湟川中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学第一次考试试卷 命题人：魏永平 审题人：高红桃 蒋豆豆 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） ① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④ 5. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 集合与集合是相同的集合 C. 任意一个三角形，它的内角和大于或等于 D. 所有的素数都是奇数 8. 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ） A. ，，f：； B. ，，f：； C. ，，f： D. A与B的对应关系如图所示： 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是______． 13. 下列命题中，真命题的编号是______. ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 14. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 17. （1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 18. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 19. 实数集R上的函数，不妨称为“集合的标记函数”.对于两个集合A和，定义集合.当集合且集合时， （1）求与的值； （2）求集合（用列举法表示）； （3）用表示有限集合所包含元素的个数.已知集合是正整数集的有限子集，求的最小值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海湟川中学2025-2026学年第一学期 高一年级数学第一次考试试卷 命题人：魏永平 审题人：高红桃 蒋豆豆 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，且，则实数的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 4. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） ① 与 ② 与 ③ 与 ④ 与 A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数即可. 【详解】对于①，的定义域为且， 的定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，故①不正确； 对于②，，所以函数的对应关系一样， 又函数的定义域都是，所以是同一函数，故②正确； 对于③，的定义域为，的定义域为， 所以定义域不同，不是同一函数，故③不正确； 对于④，，所以函数的对应关系一样， 又函数的定义域都是， 所以是同一函数，故④正确. 故选：. 5. 已知实数，满足，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质直接可得取值范围. 【详解】由已知， 又，， 则，， 所以， 即， 故选：D. 6. 已知且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 7. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 集合与集合是相同的集合 C. 任意一个三角形，它的内角和大于或等于 D. 所有的素数都是奇数 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可说明选项A错误；化简两集合可得选项B错误；根据“或”命题真假的判断可知选项C正确；2是素数但不是奇数可得选项D错误. 【详解】A.当时，，选项A错误. B.，，，选项B错误. C.任意一个三角形，它的内角和等于，选项C正确. D.是素数，但不是奇数，选项D错误. 故选：C. 8. 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，，下列对应关系或关系式是集合A到B的函数的有（ ） A. ，，f：； B. ，，f：； C. ，，f： D. A与B的对应关系如图所示： 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，由于实数包含所有的整数，故A中的每个元素在B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故A正确； 对于B，当在A中取非整数的元素时，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，若取，则有，从而有2个和一个对应，不符合函数的定义，故C错误； 对于D，由图可知对于A中的所有元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，符合函数的定义，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法可判断AD选项；利用不等式性质可判断BC选项. 【详解】对于A，若，且，则，即，不知道的符号， 则的符号无法确定，即不一定成立，A错； 对于B，若，则，且，所以，所以，B对； 对于C，若，且，则，所以，C对； 对于D，，若，且，则，， 所以，所以，D错. 故选：BC 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的求解方法，等价转化为整式不等式，注意分母不为零，可得答案. 【详解】由不等式，则可得，解得. 故答案为：. 13. 下列命题中，真命题的编号是______. ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【解析】 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 14. 已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再利用集合的并集，补集，交集运算即可； （2）分和两种情况进行讨论得解. 【小问1详解】 当时，， ， 或，； 【小问2详解】 若，则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. （1）已知，求的最大值． （2）当时，求的最小值； （3）已知都是正数，且，求证：． 【答案】（1）8，（2）6，（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用“配凑法”，即可由不等式求解. （2）将看作整体进行变形，再利用基本不等式的性质即可得解； （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）由于，则， ， 当且仅当，即时取到等号，此时函数取得最大值为8. （2），， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当时，函数的最小值为6. （3），且， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 17. （1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1）；（2）； （3）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， 所以，即，又， 所以，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 【解析】 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可； （3）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得， 即实数的取值范围是； （3）略 18. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得解； （2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出在时的最小值即可得； （3）由题意可得，再分、、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 由的解集为，可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以； 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19. 实数集R上的函数，不妨称为“集合的标记函数”.对于两个集合A和，定义集合.当集合且集合时， （1）求与的值； （2）求集合（用列举法表示）； （3）用表示有限集合所包含元素的个数.已知集合是正整数集的有限子集，求的最小值，并说明理由. 【答案】（1），； （2） （3）6，理由：由题意得，对于集合, ①若，则， ②若，则， 则若最小，必有属于集合C， 是否属于集合C不影响的值， 集合C不能含有之外的元素， 所以当集合C是集合的子集与集合的并集时， 取得最小值6. 【解析】 【分析】（1）利用题给定义即可求得与的值； （2）利用题给定义按元素x与集合的关系分类讨论即可求得集合； （3）利用题给定义结合元素x与集合的关系分类讨论，即可求得的最小值. 【小问1详解】 由题给定义可得，，； 【小问2详解】 由，可得， ， 则时，；时，； 或时，， 则时，x可能为， 则. 【小问3详解】 略 【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $