14.3.2角的平分线（第2课时 角的平分线判定） 课件 2025--2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 第二课时 角的平分线的判定 第十二章 全等三角形 人教版2024·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 探索并证明角的平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，并会进行应用； 区别角的平分线的性质定理和判定定理,并灵活运用，感受互逆的数学思想,发展学生的推理能力和解题能力． 培养积极探求客观真理的科学态度，渗透数学中普遍存在的相互联系、相互转化、相互制约的关系 知识回顾 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少. 角平分线的性质 常用辅助线： 过角的平分线上的点向角的两边作垂线段 知识回顾 角平分线的性质 (1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 ＝ . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 = . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD B A D C 判一判 缺少“垂直距离”这一条件 DC⊥AC，DB⊥AB 缺少“角平分线”这一条件： AD 平分∠BAC (已知) 猜想证明:已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴点P在∠AOB的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. 新 课 讲 授 几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. ☀拓展 在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的几何. ☀归纳 角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上. ☀注意 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 新 知 小 结 角的平分线的性质定理与判定定理的关系： 点在角的平分线上 (角的内部)点到角的两边的距离相等 性质定理 判定定理 性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据. 学 习 目 标 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证： （1）点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等. （2）△ABC的三条角平分线交于一点. 分析：(1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等; (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上. M B C P N A 典 例 精 析 B C P M N E F D 证明：（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为点D，E，F. ┐ ┐ ┐ A ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. (2)由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 典 例 精 析 角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 位置关系 数量关系 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为 500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 在射线 OC 上截取 OD = 500 m，则点 D 即为所求. O 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 例1 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 探究点一： 角平分线的判定 新知探究 变式1：如图， S 区内有两条公路和一条铁路，它们两两相交，交点分别为点 A，B，C，如果要在△ABC 区域内建一个风筝主题公园，使它到三条路的距离相等，这个风筝主题公园应建在何处？ A B C 分析：由上题可知到 AB，AC 距离相等的点在∠BAC 的角平分线上， 则到 BA，BC 距离相等的点在∠ABC 的角平分线上 ，它们交于一点 P. P 那么这一点 P 是否到三边的距离都相等呢？ 探究点二： 三角形三条角平分线的关系 新知探究 小 结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 1.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D.若PC＝PD，则 ( ) A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1<∠2 D．不能确定 B 随 堂 小 测 2．如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝1.2，当PN的长为_____时，点P在∠BAC的平分线上． 1.2 3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BD＝CD，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 4．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对 B 3.(2025·泰兴市校级三模)如图,两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合,另一边相交于点P,则OP平分∠BOA的依据是( ) A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C.角平分线的性质 D.角平分线是对称轴 A 4. 如图，点 D 在边 BC 的延长线上，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，过点 E 作 EH⊥BD 于点 H，∠CEH = 62°，∠ACE = 28°. 求证：AE 平分∠CAF. B A C D F E H 证明：如图，过点 E 作 EM⊥BF 于点 M， EN⊥AC 于点 N. ∵ BE 平分∠ABC，∴EM = EH. ∵∠ACE = 28°，∠CEH = 62°， ∴∠HCE = 90° –∠CEH = 90°–62°=28°=∠ACE. ∴ EN=EH. ∴ EM=EN， ∴ AE平分∠CAF． B A C D F E H N M THANKS 感谢观看 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,BE＝CF，)) ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC. $