第二十二章二次函数单元练习2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第二十二章 二次函数 单元练习 一、单选题 1．下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的最小值是，则的值是（   ） A．1 B． C．3 D． 5．已知二次函数的图象如图所示，则（    ） A．，， B．，， C．， D．，， 6．如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D．或 7．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为(　　) A． B． C． D． 8．图1是形状为抛物线的某拱形门建筑．如图2，若取拱形门地面上两点A，B的连线为x轴，可以近似地用函数表示（单位：m）．则拱形门底部的宽度大约是（   ） A．95m B．190m C．235m D．285m 9．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，以下结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．其中说法正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 二、填空题 11．二次函数的图象可以由的图象平移得到：先向 平移3个单位，再向下平移5个单位． 12．若将抛物线图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是 ． 13．已知商店某种毛绒玩具的进价为每件30元，在某段时间内若以每件元（50，且为整数）的价格出售，可卖出件．若要使该店铺销售该玩具的利润最大，则每件的售价应为 元． 14．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④，则的大小关系为 ． 15．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则的长为 ． 三、解答题 16．在火热的苏超比赛中，某足球运动员起脚射门，球射向球门的路线（如图所示）呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方10米的处射门，当球飞行的水平距离为8米时，球达到最高点，此时球离地面4米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 17．已知二次函数． (1)求该函数图象的开口方向，对称轴以及图象与坐标轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象； (3)当时，则函数值y的取值范围是_____________． 18．如图，抛物线过三点，点是抛物线上动点． (1)试求抛物线的表达式； (2)如图，当在第一象限时，过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标； (3)当点P运动到使时，请直接写出点的坐标． 19．综合与实践 问题背景：小吊瓜又叫礼品瓜，采用“吊挂”“嫁接”等技术，瓜蔓向上生长，结出的瓜都吊在空中，因其玲珑的外观，甜美的口感成为水果市场新宠．研学小组的同学走进某种植基地，对同时上市的A，B两个品种小吊瓜前15天的销售情况进行调查，数据收集：信息1：A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x的函数关系可近似地用如图坐标系中的抛物线刻画，该抛物线经过点，且顶点坐标为，其中，且x为整数． 信息2：B品种小吊瓜第x天的销售利润z（元）与x之间的函数关系式为（且x为整数）； (1)建立模型：求A品种小吊瓜第x天的销售利润y（元）与x之间的函数关系式； (2)问题解决：求上市第几天时，A，B两种小吊瓜当天的销售总利润最大？最大利润是多少？ 20．新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题： (1)已知点，，求的外接抛物线的解析式； (2)如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标； (3)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十二章 二次函数 单元练习2025-2026学年人教版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B D C B D B 1．B 【分析】本题主要考查了二次函数的判断，掌握定义是解题的关键， 根据二次函数的定义：形如（为常数且），逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、不是二次函数，故C错误； D、是反比例函数，故D错误； 故选：B． 2．C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式， 根据抛物线的顶点坐标为解答即可. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 故选：C. 3．A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 将二次函数关系式化成顶点式，即可得出抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再比较可得答案. 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是，函数有最大值，即当时，有最大值. 即抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ， ∵， ∴. 故选：A. 4．B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握若开口向上，则函数在对称轴上取得最小值，若开口向下，则函数在对称轴上取得最大值是解题的关键． 由题知，，二次函数开口向上，又对称轴，接着代入求解即可． 【详解】二次函数， ，二次函数开口向上，对称轴方程为， 所以时，二次函数取得最小值， 则，解得． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系；由抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可、的符号，由抛物线与轴的交点的个数确定的符号． 【详解】解：由函数图象可知：抛物线开口向上，∴， ∵对称轴在轴右边，即，∴， ∵抛物线与轴的正半轴相交，∴， ∵抛物线与轴有一个交点，∴， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图象下方对应的自变量的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数图象位于二次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或， 故选：． 7．C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线图象的平移规则：左加右减，上加下减，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到新的物解析式为 故选：C． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，则，求解得到坐标，即可得出答案，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：令，则， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 9．D 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象及对称轴可得，，，即可判定①；由对称轴可判定②；由对称性可得抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 即得到当时，，即可判定③；根据二次函数的性质可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵二次函数的图象与轴的交点在轴的负半轴上， ∴， ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ②由①知，， ∴，故②正确； ③∵二次函数图象的对称轴为直线，且过点， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， ∴当时，，即，故③错误； ④∵二次函数开口向上， ∴二次函数图象上的点离对称轴的距离越大函数值越大， ∵， ∴，故④正确； 综上，说法正确的是②④， 故选：． 11．左 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：要得到函数的图象，可以将函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度． 故答案为：左． 12． 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：新抛物线的解析式为：， 故答案为：； 13．40 【分析】本题考查了销售问题的数量关系：总利润=每件利润×数量，二次函数的顶点式，求出函数的解析式是解题的关键． 设总利润为，由总利润=每件利润×数量就可以表示出与售价之间的关系式，再由二次函数的性质就可以得出结论． 【详解】解：设总利润为， 由题意，得， ∴， ∵， ∴当时，， 答：每件的售价应为元． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小． 设，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小． 【详解】解：直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，， ， 故答案为：． 15．18 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，熟练掌握该知识点并准确计算是解题的关键．将代入，求得点的坐标，然后根据对称性，得到的长度，最后求得的长度即可． 【详解】解：将代入，得到， 解得，或（舍） ， ， 从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ， ， 故答案为：18． 16．(1) (2)足球不能射进球门 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答； （2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 17．(1)开口方向向下，对称轴为直线，与y轴交点为，与x轴交点为、 (2)图见解析 (3)函数值y的取值范围是 【分析】本题考查了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标与抛物线解析式的关系及抛物线与坐标轴交点问题、二次函数画图，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围． （1）将二次函数化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴；根据当时，可求出抛物线与y轴的交点，根据当时可求出抛物线与x轴的交点； （2）根据列表、描点、连线的步骤作出二次函数图象即可； （3）根据当及时的y值及顶点坐标结合二次函数性质，可确定时，y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为直线； 当时，， ∴该函数图象与y轴交点为； 当时，， 解得：， ∴该函数图象与x轴交点为、； （2）解：列表： x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点、连线，作图如下： （3）解：∵， ∴当时，有最大值为4， 当时，， 当时，， ∴当时，则函数值y的取值范围是． 18．(1)抛物线解析式为 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的表达式和直线的表达式，从而求得抛物线的对称轴； （2）结合（1）求得抛物线的对称轴为直线，根据待定系数法即可求得直线的表达式；设，，，进而得，由得，解，即可得解； （3）先求得点关于直线的对称点为，过点作平分交抛物线于点，交于点，再求得，从而求得设直线的解析式，联立直线为：与抛物线解析式为即可求解；同理，作点关于的对称点，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线：， ∵，在上， ∴， 解得， ∴直线为：； 由点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且，设， ∵轴，轴，抛物线的对称轴为直线，直线为：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去）， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，，，， ∴、两点关于直线成轴对称，设点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∴点关于直线的对称点为， ∵、两点关于直线成轴对称，点关于直线的对称点为，连接， ∴与关于直线成轴对称， ∴， 过点作平分交抛物线于点，交于点，则，点为所求的点， ∵，，， ∴，， ∴， ∵平分交抛物线于点，交于点， ∴，， ∴，， ∴，即， 设直线为：， ∵直线为：过，， ∴， 解得， ∴直线为：， 联立直线为与抛物线解析式为得， ， 解得或（舍去）， ∴； 同理，作点关于轴的对称点， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得，， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数与二次函数，二次函数与几何综合，一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 19．（1）y与x之间的函数关系式为 （2）上市第7天时，A，B两种小吊瓜当天销售总利润最大，最大利润是4470元． 【分析】（1）根据抛物线的顶点式，设出品种销售利润的函数表达式，再代入已知点求出参数，从而确定函数关系式； （2）先求出两种小吊瓜的总利润函数，再根据二次函数的性质求出最大值及对应的天数． 【详解】（1）解：设品种小吊瓜第天的销售利润与的函数关系式为， 将代入，得，即， 解得， （且为整数）． 与之间的函数关系式为． （2）解：设总利润为元， 则． 将其化为顶点式：， ， 当时，有最大值． 综上所述，上市第7天时，两种小吊瓜当天销售总利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，掌握利用顶点式求二次函数表达式，以及通过二次函数的顶点式求最值是解题的关键． 20．(1) (2)， (3) 【分析】（）由点的坐标可得抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设与轴交于点，由等边三角形的性质得，由抛物线的对称性得，，设，则，，即得，再把点坐标代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴交于点，由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，，，，可得，设，由对称轴为直线得点的坐标为，点的坐标为， 把坐标代入函数解析式由方程组可得，即得，，再根据三角形的面积公式解答即可求解． 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， ∵在抛物线上， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得， ∴， ∴的外接抛物线的解析式为； （2）解：设与轴交于点，如图， ∵为等边三角形， ∴， 由抛物线的对称性得，， 设，则， ∴， ∴， 将坐标代入，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴，； （3）解：如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，C为抛物线的顶点，，，， 设， ∵对称轴为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将点的坐标代入得， ， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴，， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $