专题九 二次函数与平行四边形的存在性问题-【名师大课堂】2025-2026学年九年级上册数学作业课件（人教版）

专题九 二次函数与平行四边形的存在性问题 例题讲解 类型一 存在平行关系，考虑构造线段相等 色思路分析 例1[宜宾中考改编]如图，在平 (1)将点A,B的坐标代入两个解析式求解 面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 (2)易知MN∥CE 得MN=CE 2x+C与直线y=x+b都经过A(0, 设点M的坐标， 求CE 列方程 3),B(3,0)两点，该抛物线的顶点为 表示出点N 求解 C. 的坐标 表示出MN的长 (1)写出此抛物线和直线AB的解析式 (2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线 解：(1)抛物线的解析式为y=x2-2x-3, EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线 直线AB的解析式为y=x-3. 于点N,使以点M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 例题讲解 类型一 存在平行关系，考虑构造线段相等 (2)存在.因为y=x2-2x-3=（x-1)2-4, 例1[宜宾中考改编]如图，在平 所以抛物线的顶点C的坐标为(1，-4)， 面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2 因为CE∥y轴，点E在直线AB上， 2x+C与直线y=x+b都经过A(0, 所以E(1,-2),所以CE=2 3),B(3,0)两点，该抛物线的顶点为 由题意可知，MN∥CE,所以MN与CE为一组对应边，则 C. MN=CE. (1)写出此抛物线和直线AB的解析式 设M(m,m-3),则N(m,m2-2m-3),则MN= (2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线 m-3-(m2-2m-3）=-m2+3m EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线 因为点M在射线EB上，所以m>1. 于点N,使以点M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边 由MN=CE,得-m2+3m=2. 形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 当-m2+3m>0时，-m2+3m=2,解得m1=2,m2=1(不合 题意，舍去)； 例题讲解 类型一 存在平行关系，考虑构造线段相等 3+17 例1[宜宾中考改编]如图，在平 当-m2+3m<0时，m2-3m=2,解得m,=2,m9 面直角坐标系中，已知抛物线y=2- 3-17 B (不合题意，舍去) 2x+C与直线y=x+b都经过A(0, 2 3),B(3,0)两点，该抛物线的顶点为 综上所述，点M的坐标为(2，-1)或 3+17 2 C. (1)写出此抛物线和直线AB的解析式 -3+/17 2 (2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E,在射线 EB上是否存在一点M,过点M作x轴的垂线交抛物线 于点N,使以点M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 >解题策略解答“两定两动型”平行四边形的存在性问题，若已 知（或由已知条件可以推出）连接两定点的线段与连接两动点的 线段平行，则这两条线段相等，据此列方程求解即可 对应训练 1-1★★如图，抛物线 y=-3x2+bx+c与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C,直线y+3经过点A,G (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交直线 AC于点M,设点P的横坐标为t,若以点C,O,M,P为 顶点的四边形是平行四边形，求t的值 3 解：(1)在y=4+3中，令=0，得=39 令y=0,得x=-4,所以A(-4,0),C(0,3) 路A-4,0)C0,3)代入y=-2+bx+0 . 6=- c=3. 厨以地物线的麻桥式为 4t+3 (2)因为点P的横坐标为1， 所以P,-+3w(+3, 所以pn=43(3-0 因为以点C,O,M,P为顶点的四边形为平行四边形，且PM∥OC,所以 PM=0C=3, 所以 -30=-2-3=3, 解得t,=12=-2; 当-0=-3叶，解得1=-2*22，2-22 综上所述，满是条件的1的值为-2或-2+2W2或-2-22. 类型二 未知平行关系 例2*[济宁中考改编]如图，已知抛物线y=ax+bx+C 解：(1)该抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3) (2)存在. (1)写出该抛物线的解析式. 设P(m,m2-21-3),Q(1,0),分三种情况： (2)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是 ①当四边形BCQP为平行四边形，即BQ,CP为对角线 否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平 yatyo yctyp 行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不 时，2 2 存在，请说明理由。 由B(-1,0),C(0,-3),得0+0=-3+m2-2m-3,解得m ·思路分析 =1+7,m2=1-√7. (1)将点A,B,C的坐标代入y=x2+br+c求解即可， 平行四边形 当m=1+√7时，m2-2m-3=3, 平行阳边形的两条 的边.对角 BQ,CP为 对角线 ”对角线互相平分 线都不就定 即P(1+√7,3)； 两条对角 分三种 (2)况 BPCQ为 线的中点 列方程 对角线 的纵坐标求解 当m=1-7时，m2-2m-3=3, 相等 BC,PO为 即P(1-√7,3) 对角线 类型二 未知平行关系 例2*[济宁中考改编]如图，已知抛物线y=ax2+bx+c ②当四边形BCPQ为平行四边形，即BP,CQ为对角线 (a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3) ya+yr ye+yo (1)写出该抛物线的解析式 时，2 2 (2)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是 由B(-1,0),C(0,-3),得0+m2-2m-3=-3+0,解得m 否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平 =0,m2=2 行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不 当m=0时，m2-2m-3=-3,点P(0,-3)与点C重合，不 存在，请说明理由. 合题意，舍去； ·思路分析 当m=2时，m2-2m-3=-3,即P(2,-3) (1)将点A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c求解即可. 平行四边形 平行阳边形的两条 的边.对角 BQ,CP为 对角线 /对角线互相平分 线都不就定 两条对角 分三种 (2)况 BPCQ为 线的中点 列方程 对角线 的纵坐标求解 相等 BC,PO为 对角线