题型专练4 整式的乘法（思维导图+知识清单+19个题型专练） 2025-2026学年人教版八年级数学上册阶段性限时高效复习方案(广东专用)

题型专练4 整式的乘法 （思维导图+知识清单+19个题型专练） 知识点1 同底数幂的乘法性质 （其中都是正整数）．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 要点提醒： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式． （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整 数） （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数．即（都是正整数）． 知识点2 幂的乘方法则 （其中都是正整数）．即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 要点提醒： （1）公式的推广： （，均为正整数） （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题． 知识点3 积的乘方法则  （其中是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 要点提醒： （1）公式的推广： （为正整数）． （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便．如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式． （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加．指数为1，计算时不要遗漏． （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加． （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方． （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁． （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯． 知识点4 单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 要点提醒： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用． （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式． （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成． （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则． 知识点5 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 即． 要点提醒： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题．             （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同．                （3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果． 知识点6 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 要点提醒： 多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并．特殊的二项式相乘：． 知识点7 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 要点提醒： （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 知识点8 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 要点提醒：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点9 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 要点提醒： （1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 知识点10 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 要点提醒： （1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 知识点11 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 要点提醒：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式． 抓住公式的几个变形形式利于理解公式．但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方．常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点12 完全平方公式 完全平方公式：                两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍． 要点提醒：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍．以下是常见的变形：  ；      知识点13 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 要点提醒：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致，可以用去括号法则检查添括号是否正确． 知识点14 补充公式 ；； ；． 题型1 同底数幂乘法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘的法则：底数不变，指数相加． 根据同底数幂的乘法法则，对a3·a2进行计算，底数a保持不变，将指数3和2相加，得到结果的指数，进而确定答案． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则：， 计算a3·a2时，底数a不变，指数相加，即． 故选：A． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目要求计算m个3相加与n个4相乘的和，需分别转化为乘法和乘方形式后相加．本题考查乘法的意义，乘方的意义，熟练掌握乘法的意义和乘方的意义是解题的关键． 【详解】m个3相加，即3重复加m次，可表示为乘法：．n个4相乘，即4重复乘n次，可表示为乘方：. 将两部分相加，总结果为：． 故选：D． 题型2 同底数幂乘法的逆用 3．若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 4．若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂相乘的运算法则，把转化为与相乘的形式，再代入已知值计算．本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则是解题的关键． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为整数）， ∴． 又，， ． 故选： ． 5．已知，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方；根据题意得到，根据等式列出，；计算即可求出． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，； 解得：， 检验：将代入原方程，左右两边相等，等式成立， 故答案为：2． 题型3 用科学记数法表示数 6．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故选D． 7．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C  题型4 幂的乘方与积的乘方的运算 8．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可． 【详解】解：，， ，， ∴， 解得：， ． 故选：C． 9．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，根据题意可得，再结合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵a，b是正整数，且满足， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A．  题型5 幂的乘方与积的乘方的运算 10．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用．逆用幂的乘方法则变形，然后即可作出判断． 【详解】解：∵，，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 11．已知4×8 m×16 m=2 9，则m的值是(    ) A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先把4×8 m×16 m变形为22×（23）m×（24）m，得到2+3m+4m=9，然后求出m的值即可. 【详解】解：∵4×8 m×16 m=22×（23）m×（24）m=2 9， ∴22+3m+4m=2 9， ∴2+3m+4m=9， 解得：m=1. 故选：A. 【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解此题的关键，同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘. 题型6 计算单项式乘单项式 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以单项式运算法则即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 13．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查积的乘方，单项式乘以单项式．根据积的乘方，单项式乘以单项式法则，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：A． 14．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 题型7 利用单项式乘单项式计算字母或代数式的值 15．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 16．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 【答案】C 【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求出、的值． 【详解】解：由题意可知： ， ，， ，， 故选：C 17．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 题型8 计算单项式乘多项式的值 18．长方形的周长是，四边各增加，则面积增加（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘以多项式，整式的加减，掌握知识点是解题的关键． 设长方形长是，则宽是，分别求出原来面积与现在面积，再求差即可． 【详解】解：由，可设长方形长是，则宽是， ∴原来面积是， 现在面积是， ∴， 即面积增加． 故选B． 19．现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算，读懂规定运算的运算方法并列出代数式是解题的关键．根据规定运算的运算方法，运算符号前后两数的积加上前面的数，再减去后面的数，再减去1，列出算式，然后根据单项式乘多项式的法则去掉括号，再加减计算即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 20．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型9 计算单项式乘多项式的应用 21．如图，正方形，的边长分别是，，，，三点共线，要想求阴影部分的面积，只需知道（   ）的值． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式在几何图形中的应用，先求出，再根据，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形，的边长分别是，， ∴， ∴ ， ∴只需要知道的值就可以得到阴影部分面积， 故选：D． 22．利用图可以解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式的几何意义．用两种形式表示阴影部分的体积即可． 【详解】解：由图可知， 阴影部分的体积为， 或三个小长方体的体积减白色部分，即， 可知， 故选：A． 23．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，割补法求阴影部分的面积，三角形的面积等．先将图形补充为一个大长方形，根据阴影部分的面积大长方形的面积空白部分的三个三角形的面积，列出代数式，结合整式的混合运算化简，即可求解． 【详解】解：如图，将图形补充为一个大长方形， 则 ， 即的值与的取值无关． 故选：A． 题型10 计算多项式乘多项式 24．若，则m、n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 25．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘法法则展开并合并同类项，解答即可． 本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 题型11 （x+p）(x+q)型多项式的计算 26．若，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据整式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 27．若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】此题考查了多项式乘多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 运用多项式乘多项式的计算方法进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴， 故选：A． 28．如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题意列式为，计算后根据题意得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ， 项的系数是6， ， 解得：， 故选：B． 29．若，则的值为（    ） A．7 B．10 C．25 D．32 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则的知识，解题关键是利用多项式乘法展开式子后，根据等式两边同类项系数相等求解． 【详解】解： ， ∴， ∴， 故选：C． 题型12 化简求值 30．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式．先利用多项式乘以多项式化简，将，代入即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：A． 31．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开是解题的关键． 先利用多项式乘多项式的运算法则将整式展开，再将，代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：A． 32．已知，，  则的值为 【答案】3 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 题型13 同底数幂的除法 33．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解题关键是掌握同底数幂的除法法则． 直接利用同底数幂的除法法则求解． 【详解】解：， 故选：B． 34．已知，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】该题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂除法的逆运算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型14 整式的除法 35．已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用．根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 故选：D． 36．小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘除法的运算，理解整式乘除法的运算法则是解答关键． 根据整式乘除法的运算列出算式得到即可求解． 【详解】解：根据题意得 ， ， ， ． 故选：A． 37．若一个多项式M与单项式的积是，则这个多项式M是 【答案】 【分析】已知与单项式的积是，求，用除法，即，根据多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式即可得到答案． 此题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】解： 所以 故答案为： ． 题型15 运用平方差公式进行计算 38．下列多项式相乘，能运用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 根据公式的形式，判断能否使用即可． 【详解】解：A、两个括号中，含m的项相同，含n的项相同，不能使用平方差公式，不符合题意； B、两个括号中，含 n的项符号相反，含m的项符号相反，不能使用平方差公式，不符合题意； C、两个括号中，含m的项不同，含n的项不同，故不能使用平方差公式，不符合题意； D、两个括号中，含m项的符号相同，含n的项的符号相反，故能使用平方差公式，符合题意； 故选D． 39．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，理清“创新数”的定义是解答本题的关键． 根据“创新数”的定义，利用平方差公式逐一判断即可． 【详解】解：设两个连续奇数是和（其中取正整数）， ， 由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数． 58、60、62都不是8的倍数， 它们不是“创新数”， 64是8的倍数，且， 64是“创新数”． 故选：D． 40．若，则值为 ． 【答案】9 【分析】利用平方差公式，进行变形，再将数值代入求解． 本题主要考查平方差公式，利用整体代入求解是求解的关键，也是解此题的难点． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型16 平方差公式与几何图形 41．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：∵大正方形的面积-小正方形的面积，矩形的面积， ∴． 故选：A． 42．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何应用，分别表示出图甲、图乙阴影部分的面积，再结合两个图形中阴影部分的面积相等即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：图甲阴影部分的面积可以表示为：， 图乙阴影部分的面积可以表示为：， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 43．如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．左边一幅图中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积， 右边一幅图中阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，据此分别求出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边一幅图中，阴影部分面积为， 右边一幅图中，阴影部分面积为， ∵两幅图中阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 题型17 运用完全平方公式进行计算 44．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂乘法、平方差公式，逐一分析每个选项．本题主要考查合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂乘法法则、平方差公式，熟练掌握这些运算法则和公式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：，因为合并同类项是系数相加，字母和指数不变，不是指数相加，故A项错误． ，完全平方公式展开后中间有2倍项，故B项错误． ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故C项错误． ，符合平方差公式（这里，），故D项正确． 故选：D． 45．下列各运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，单项式乘单项式逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，，故选项错误，不符合题意； B中，，故选项错误，不符合题意； C中，，故选项错误，不符合题意； D中，，故选项正确，符合题意； 故选：D． 题型18 完全平方公式变形求值 46．若，，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选C． 47．若，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的展开和方程组的方法，代数式求值，熟练掌握解方程组的方法是关键． 先用完全平方公式展开，再用方程组的方法解出，代入原式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选C． 48．若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式是关键． 根据，，由得，即可求解． 【详解】解：∵，， 由得， ∴ 故答案为：1． 题型19  根据完全平方公式求字母系数 49．若二次三项式是完全平方式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的特点，掌握两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式成为解题的关键． 将化为可得求解即可． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式， ∴，即，解得：． 故选A． 50．若是完全平方式，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方式，根据一次项系数和二次项系数与常数项的关系列式解答即可，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选：． 51．若是一个完全平方式，则 【答案】 【分析】本题考查完全平方，将原式变形为，结合完全平方式的特征可得，据此即可解答本题． 【详解】解：对变形，得， 由完全平方式的特点，得， 所以． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型专练4 整式的乘法 （思维导图+知识清单+19个题型专练） 知识点1 同底数幂的乘法性质 （其中都是正整数）．即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 要点提醒： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式． （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整 数） （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数．即（都是正整数）． 知识点2 幂的乘方法则 （其中都是正整数）．即幂的乘方，底数不变，指数相乘． 要点提醒： （1）公式的推广： （，均为正整数） （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题． 知识点3 积的乘方法则  （其中是正整数）．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 要点提醒： （1）公式的推广： （为正整数）． （2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便．如： 注意事项 （1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式． （2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加．指数为1，计算时不要遗漏． （3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加． （4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方． （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁． （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯． 知识点4 单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式． 要点提醒： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用． （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式． （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成． （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则． 知识点5 单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 即． 要点提醒： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题．             （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同．                （3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果． 知识点6 多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即． 要点提醒： 多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并．特殊的二项式相乘：． 知识点7 同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 要点提醒： （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 知识点8 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 要点提醒：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 知识点9 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 要点提醒： （1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 知识点10 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 要点提醒： （1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 知识点11 平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 要点提醒：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式． 抓住公式的几个变形形式利于理解公式．但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方．常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 知识点12 完全平方公式 完全平方公式：                两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍． 要点提醒：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍．以下是常见的变形：  ；      知识点13 添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号． 要点提醒：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致，可以用去括号法则检查添括号是否正确． 知识点14 补充公式 ；； ；． 题型1 同底数幂乘法 1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型2 同底数幂乘法的逆用 3．若，，则等于（   ） A．7 B．10 C．25 D．32 4．若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 5．已知，则m的值为 ． 题型3 用科学记数法表示数 6．已知光的速度约为，太阳光射到地球上需要的时间约为，则地球与太阳间的距离约为多少千米？用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 7．某遥感卫星每秒向地面站传回的数据量为比特．后续发射的升级型号卫星数据传输速率是原遥感卫星的25倍，达到比特，则的值为（   ） A． B． C． D．  题型4 幂的乘方与积的乘方的运算 8．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D．  题型5 幂的乘方与积的乘方的运算 10．已知，，，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 11．已知4×8 m×16 m=2 9，则m的值是(    ) A．1 B．4 C．3 D．2 题型6 计算单项式乘单项式 12．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 13．计算：（   ） A． B． C． D． 14．计算 ． 题型7 利用单项式乘单项式计算字母或代数式的值 15．已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 16．如果与相乘的结果是，那么m和n的值分别是（    ） A．3，5 B．2，1 C．3，4 D．4，5 17．若，则 ． 题型8 计算单项式乘多项式的值 18．长方形的周长是，四边各增加，则面积增加（　　） A．4 B． C． D． 19．现规定一种新的运算，，其中为实数，那么等于（    ） A． B． C． D． 20．计算： ． 题型9 计算单项式乘多项式的应用 21．如图，正方形，的边长分别是，，，，三点共线，要想求阴影部分的面积，只需知道（   ）的值． A． B． C． D． 22．利用图可以解释的是（    ） A． B． C． D． 23．如图，三个边长分别为，，的正方形并排放置，记阴影部分的面积为，则下列关于的说法正确的是（   ） A．的值与的取值无关 B．的值与的取值无关 C．的值与的取值无关 D．的值与，，的取值均有关 题型10 计算多项式乘多项式 24．若，则m、n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 25．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 题型11 （x+p）(x+q)型多项式的计算 26．若，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．5 27．若，则m为（    ） A．2 B． C．8 D． 28．如果多项式与的乘积化简后项的系数是6，则m的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 29．若，则的值为（    ） A．7 B．10 C．25 D．32 题型12 化简求值 30．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D．6 31．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型13 同底数幂的除法 33．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 34．已知，，那么的值为 ． 题型14 整式的除法 35．已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 36．小丽复习“整式的乘除”相关内容时，在笔记本上发现这样一道题：，那么■中的一项是（   ） A． B． C． D． 37．若一个多项式M与单项式的积是，则这个多项式M是 题型15 运用平方差公式进行计算 38．下列多项式相乘，能运用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 39．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如，，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（   ） A．58 B．60 C．62 D．64 40．若，则值为 ． 题型16 平方差公式与几何图形 41．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（　　） A． B． C． D． 42．在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 43．如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 ． 题型17 运用完全平方公式进行计算 44．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 45．下列各运算中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型18 完全平方公式变形求值 46．若，，则代数式的值为（） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 47．若，，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．0 48．若，则 ． 题型19  根据完全平方公式求字母系数 49．若二次三项式是完全平方式，则k的值为（    ） A． B． C． D． 50．若是完全平方式，则的值为（　　） A． B． C． D． 51．若是一个完全平方式，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $