题型专练3 轴对称（思维导图+知识清单+18个题型专练） 2025-2026学年人教版八年级数学上册阶段性限时高效复习方案(广东专用)

题型专练3 轴对称 （思维导图+知识清单+18个题型专练） 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线称为它的对称轴． 注意：1． 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2． 轴对称图形是1个图形， 3． 有些对称图形的对称轴有无数条． ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．这条直线称为这两个图形的对称轴． ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线． ②关于某直线对称的两个图形是全等形． 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形． 知识点5 线段垂直平分线 1．定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2．线段垂直平分线的作图 1．分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2．作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 知识点7 线段的垂直平分线逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 知识点8 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 特别提醒：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 知识点9 等腰三角形的性质 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2．等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等．是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3．等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 【知识点三】等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）． 特别提醒：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 知识点10 等边三角形的定义 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形． 特别提醒：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 知识点11 等边三角形的性质 等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°． 知识点12 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点13 含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 特别提醒：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系． 题型1 轴对称图形的识别 1．下列交通标志，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 题型2 轴对称的性质 3．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 4．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 5．如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断作答即可. 【详解】解：由图可知，由5个“○”和3个“□”组成的图形仅关于对称． 故选：C. 题型3 线段垂直平分线的性质 6．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 7．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】该题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据是线段的垂直平分线得出，将周长转化为即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴ ∴的周长为： ． 故答案为：14． 题型4 线段垂直平分线的判定 9．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 10．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等， 则， ∴点在线段、的垂直平分线上， 即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔， 选项B符合题意． 故选：B． 11．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解： ，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 题型5  画对称轴 12．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：    则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意； D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：    则直线m、n即为所求做的对称轴， 但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：    故此选项符合题意； 故选D． 13．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（    ） A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、没有刻度尺不能作轴对称，故本选项正确； 、连接菱形的对角线即是对称轴，故本选项错误； 、等腰梯形对称轴是两腰延长线的交点和对角线的交点的连线，故本选项错误； 、连接两个对角线即是对称轴，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． 题型6  求对称轴条数 14．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】4 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴数量． 根据图形作答即可． 【详解】解：该轴对称图形有4条对称轴， 故答案为：4． 15．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 【答案】2 【分析】本题主要考查画轴对称图形的对称轴，解题的关键是熟练掌握轴对称的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一解答即可． 【详解】解：该轴对称图形有2条对称轴， 如图所示． 故答案为：2． 16．正方形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有 条对称轴． 【答案】 4 2 无数 【分析】本题考查的是求解轴对称图形的对称轴，根据图形特点解答即可. 【详解】解：正方形有条对称轴，长方形有条对称轴，圆有无数条对称轴． 故答案为：，，无数 题型6  对称图形 17．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒成为解题的关键． 直接根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625． 故选：A． 18．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 19．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称及性质，平面镜成像，关键在于利用“像与物体关于镜面对称（左右相反）”这一特性，通过将镜子中的像进行左右翻转来确定实际时间．平面镜成像时，像与物体关于镜面对称，即像和物体左右相反，要得到实际时间，需将镜子中看到的电子钟像进行左右翻转，从而确定实际显示的时间。 【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，将其左右翻转后，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：． 故答案为：． 题型7  画对称图 20．如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 【答案】C 【详解】∵点A坐标为（0，a）， ∴点A在该平面直角坐标系的y轴上， ∵点C、D的坐标为（b，m），（c，m）， ∴点C、D关于y轴对称， ∵正五边形ABCDE是轴对称图形， ∴该平面直角坐标系经过点A的y轴是正五边形ABCDE的一条对称轴， ∴点B、E也关于y轴对称， ∵点B的坐标为（﹣3，2）， ∴点E的坐标为（3，2）， 故选C.. 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的点坐标特征及正五边形的轴对称性质，解题的关键是通过顶点坐标确认正五边形的一条对称轴即为平面直角坐标系的y轴． 21．已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，作轴对称图形，解题关键是正确作出图形． （1）先根据点的坐标及与轴平行，求出点的横坐标，再根据，，，求出点的纵坐标即可； （2）作出关于轴对称的，根据轴对称的性质求出，两点的坐标； （3）作出与关于轴对称，再求出各顶点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，与轴平行， ∴点的横坐标为， ∵，，， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． ∵点的坐标为，点的坐标为，关于轴对称的， ∴点的坐标，点的坐标； （3）如图，即为所求． ∵与轴平行，，点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为，与关于轴对称， ∴． 题型8  横纵坐标的变化规律(对称) 22．平面直角坐标系中，点在第二象限，若点与点关于轴对称，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，判断点所在的象限，根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标不变，结合点所在象限的坐标符号特征进行判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点在第二象限，其坐标特征为横坐标（）为负，纵坐标（）为正，即满足，， ∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∵横坐标，纵坐标保持不变， ∴点在第一象限， 故选：A． 23．已知点，则：点P关于x轴对称的点的坐标为 ；点P关于y轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称变化的规律；掌握好相关基础知识是关键． “关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标为相反数”、“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标变为相反数”，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为； 点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：， 24．如图，在平面直角坐标系中，是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，根据成轴对称图形的特征进行求解，直接利用关于轴对称点的性质“关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 题型9 平面直角坐标系中的对称图形 25．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：． 26．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； (3)在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出点的坐标即可； （2）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍找到对应点的位置，然后顺次连接点即可； （3）根据关于直线对称的点横坐标相同，纵坐标的和为1的2倍进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，与关于直线对称， ∴若点在的内部，则点在中对应点的坐标是， 故答案为：． 题型10 等边对等角 27．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．根据等腰三角形的性质可得的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C 28．如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角的性质即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，，， ， 故选：B． 29．已知在中，，过点B的一条直线将分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键． 分三种情况讨论：①当为等腰的顶角时，②当为等腰的顶角时，③当为等腰的顶角时，综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当为等腰的顶角时，如图1， ∵， 又∵是等腰三角形，， ∴； ②当为等腰的顶角时，如图2， ∵， ∴， ∴， 又∵是等腰三角形，， ∴； ③当为等腰的顶角时，如图3， 则， 又∵是等腰三角形，， ∴． 故答案为：或或． 题型11 三线合一 30．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一． 直接根据等腰三角形三线合一得到垂直平分，作答即可． 【详解】解：∵，， ∴由等腰三角形三线合一可知垂直平分， ∴， 故选：A． 31．如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（   ） A．垂线段最短 B．三角形三条高所在的直线交于一点 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合． 根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的． 【详解】解：∵，D为边的中点， ∴为等腰的底边上的高． 又∵自然下垂， ∴处于水平位置． 故他作出判断的依据是等腰三角形“三线合一” 故选D． 32．如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】连接、，如图所示，由，为边的中点，由等腰三角形三线合一性质可得，根据，，求出，因为是垂直平分线，则周长，当三点共线时，最小，值为，又，得到周长最小值为． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵，为边的中点， ∴由等腰三角形三线合一性质可得， ∵，的面积为， 即， 则， 解得， ∵是垂直平分线， ∴， ∴， 则当三点共线时，取得最小值，这个最小值就是的长度， 又∵为边的中点，， ∴， ∴周长最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题-两点之间线段最短，涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、中点定义、三角形面积公式的应用及三角形周长公式．解题的关键在于利用垂直平分线的性质将的周长进行转化，然后通过三角形面积求出相关线段长度，进而由两点之间线段最短分析出周长的最小值． 题型12 等角对等边 33．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的判定，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 利用三角形内角和定理，可求出第三个内角的度数，结合，可得出该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形，再对照四个选项，即可得出结论． 【详解】解：第三个内角的度数为， ， ∴该三角形是钝角三角形，且是等腰三角形． 故选：C． 34．根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及作图，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的性质等知识，确定分割三角形中的哪一个角是解题的关键．根据相关知识分别进行判断即可． 【详解】解：A．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； B．如图，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； C．如图，取的中点，作直线，则，直线能把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意； D．不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意； 故选：D． 题型13 平行线+角平分线+等腰三角形 35．如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 36．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：B 37．如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 题型14 等边三角形的性质 38．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， A、由，得到，由SAS判定≌，故A不符合题意； B、由，得到，由AAS判定≌，故B不符合题意； C、由ASA判定≌，故C不符合题意； D、和分别是CD和AE的对角，不能判定≌，故D符合题意． 故选：D． 39． 如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °． 【答案】30 【分析】根据正三角形ABC得到∠BAC=60°，因为AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一得到∠BAD的度数． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠BAC=30°， 故答案为30°． 题型15 等边三角形的判定 40．如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定及三线合一，熟练掌握该知识点是关键．根据等边三角形的判定解答即可． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 为角平分线，， ． 故选：C． 41．如图，在中，，、分别是、的垂直平分线， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质和等边三角形的判定是解题的关键，连接，，易证得为等边三角形，即可得到，进而得到答案． 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 42．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型16 含30°的直角三角形的性质 43．如图，，，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 44．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，且平分，那么下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，证明，然后判断解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，边的垂直平分线交于点，交于点，且平分， ∴，且， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， A. ，正确，不符合题意； B. ，正确，不符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，错误，符合题意； 故选：D． 45．如图，在中，，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据直角三角形两锐角互余得到，再由外角结合等腰三角形的判定得到，最后由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，含角的直角三角形的性质，三角形的外角定理，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 题型17 含30°的直角三角形的应用 46．如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边三角形，立柱的端点D在上，且立柱与地面垂直（即，垂足为E），则与的比值为（   ）    A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由等边三角形的性质可得，求出，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即与的比值为， 故选：D． 47．如图1，是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 过作于点，过作于点，则可得和的长，依据端点A与B之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：过作于点，过作于点，如图： ， ∴在中，， 同理可得：， ∵A与B之间的距离为， ∴通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：C； 题型18 最短路径 48．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 把此正方体的一面展开，然后在平面内，根据两点之间线段最短即可得到答案． 【详解】解：把此正方体的一面展开，根据两点之间线段最短可知，蚂蚁所爬过的最短路径（虚线）在侧面展开图中的位置如选项B中所示， 故选B． 49．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接、，由于是等腰三角形，点是底边边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接、， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴ ∵ ∴当A、M、D三点共线时，值最小， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故选：C． 50．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换及最短路径问题． （1）利用关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点即可； （2）连接交y轴于P点，根据两点之间线段最短可判断P点满足条件，从而得到P点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）如图，根据轴对称的性质可知，，连接交y轴于P点，此时点P即为所求作，P点坐标为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型专练3 轴对称 （思维导图+知识清单+18个题型专练） 知识点1 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线称为它的对称轴． 注意：1． 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2． 轴对称图形是1个图形， 3． 有些对称图形的对称轴有无数条． ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．这条直线称为这两个图形的对称轴． ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 知识点2 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线． ②关于某直线对称的两个图形是全等形． 知识点3 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． 知识点4 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形． 知识点5 线段垂直平分线 1．定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2．线段垂直平分线的作图 1．分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2．作直线 CD，CD 为所求直线 知识点6 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 知识点7 线段的垂直平分线逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 知识点8 等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 特别提醒：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 知识点9 等腰三角形的性质 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2．等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等．是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3．等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 【知识点三】等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）． 特别提醒：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理． 知识点10 等边三角形的定义 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形． 特别提醒：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 知识点11 等边三角形的性质 等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°． 知识点12 等边三角形的判定 （1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 知识点13 含30°的直角三角形 含30°的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 特别提醒：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系． 题型1 轴对称图形的识别 1．下列交通标志，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型2 轴对称的性质 3．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（    ） A． B． C． D． 题型3 线段垂直平分线的性质 6．如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（    ） A．20 B．18 C．16 D．14 7．如图，在中，垂直平分．若，，则的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 8．如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长是 ． 题型4 线段垂直平分线的判定 9．如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 10．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 题型5  画对称轴 12．不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是(    ) A．  B．C． D．   13．在下列图形中，只利用没有刻度的直尺将无法作出其对称轴的是（    ） A．等腰三角形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正六边形 题型6  求对称轴条数 14．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 15．如图，该轴对称图形有 条对称轴． 16．正方形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，圆有 条对称轴． 题型6  对称图形 17．小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（    ） A．70625 B．70952 C．70925 D．52607 18．在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B．C． D． 19．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是 ． 题型7  画对称图 20．如图所示，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是(　　) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 21．已知在中，，在如图的平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，与轴平行． (1)求点的坐标； (2)在如图的平面直角坐标系中作出关于轴对称的，并在图中标出，两点的坐标； (3)若与关于轴对称，求各顶点的坐标． 题型8  横纵坐标的变化规律(对称) 22．平面直角坐标系中，点在第二象限，若点与点关于轴对称，则点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．已知点，则：点P关于x轴对称的点的坐标为 ；点P关于y轴对称的点的坐标为 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，是关于轴对称的轴对称图形，点的坐标为，则的面积为 ． 题型9 平面直角坐标系中的对称图形 25．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 26．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．    (1)请画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，画出与关于直线l对称的； (3)在（2）的条件下，若点在的内部，则点在中对应点的坐标是 ． 题型10 等边对等角 27．如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 28．如图1所示是生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成图2的等腰三角形，其中．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．已知在中，，过点B的一条直线将分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则的度数为 ． 题型11 三线合一 30．如图，在中，，，，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 31．如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（   ） A．垂线段最短 B．三角形三条高所在的直线交于一点 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形“三线合一” 32．如图，在中，的面积为的垂直平分线交于点，若为边的中点，是线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 题型12 等角对等边 33．三角形两个角的度数如图所示，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 34．根据下列图形提供的角度，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型13 平行线+角平分线+等腰三角形 35．如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 36．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 37．如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 题型14 等边三角形的性质 38．如图，是等边三角形，点D，E分别在边上，添加下列条件后不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 39． 如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD= °． 题型15 等边三角形的判定 40．如图， 在中， 为角平分线， 若， ， 则的长度为 （    ） A．1 B． C．2 D．4 41．如图，在中，，、分别是、的垂直平分线， ，则（   ） A． B． C． D． 42．在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 题型16 含30°的直角三角形的性质 43．如图，，，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 44．如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，且平分，那么下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 45．如图，在中，，则的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型17 含30°的直角三角形的应用 46．如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边三角形，立柱的端点D在上，且立柱与地面垂直（即，垂足为E），则与的比值为（   ）    A． B． C． D．2 47．如图1，是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（   ） A． B． C． D． 题型18 最短路径 48．如图是一个正方体，有一只蚂蚁从点A沿表面爬向点B，则它所爬过的最短路径在部分侧面展开图中用虚线可以表示为（　　） A． B． C． D． 49．如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 50．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于y轴对称的； (2)点P为y轴上一动点，当取得最小值时，点P的坐标为_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $