题型专练2 全等三角形（思维导图+知识清单+8个题型专练） 2025-2026学年人教版八年级数学上册阶段性限时高效复习方案(广东专用)

题型专练2 全等三角形 （思维导图+知识清单+8个题型专练） 知识点1 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关． （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形． （三）一个图形经过平移．翻折．旋转后，形状．大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移．翻折．旋转前后的图形全等． 知识点2 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等． （3）判定：边．角分别对应相等的两个多边形全等． 知识点3 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （二）全等三角形中的对应元素 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F． 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF． 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F． 2．对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边．对应角． （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角； （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）． （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 知识点4 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． （二）全等三角形对应边上的高．中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等． ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）． 知识点5 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 知识点6 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠) ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D． ②画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点． ③以点为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； ④过点画射线，则∠=∠AOB． 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 知识点7 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 知识点4  判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 知识点5  判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”． 知识点8 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）有公共边的，公共边常是对应边． （4）有公共角的，公共角常是对应角． （5）有对顶角的，对顶角常是对应角． （6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 知识点9 全等三角形的判定方法 （1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． （2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． （3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等． （4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 知识点10 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 知识点11 角平分线的性质 1.性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：∵ DC平分∠ADB 又∵ PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F， ∴PE=PF 特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件 知识点12 角平分线的判定 1.判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 2.几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F， 又∵PE=PF ∴DC平分∠ADB , 即点P在∠ADB的平分线上。 知识点13 尺规作图——作角平分线 作角平分线的方法与步骤：如右图所示 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）作射线OC. ∴射线OC即为所求. 题型1 用SAS证明全等 1．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据题意可得，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． 故选：A． 2．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得． 【详解】解：, , 在和中， ， ． 故选B． 3．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可知，根据平角定义即可求解． 【详解】如图：    在和中， （SAS） ， ． 故答案为： 4．如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想到了用三角形全等的方法：在池塘的两端分别系上两根绳子、，两根绳子相交处记为点C，满足，．连接，则线段的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定； 根据对顶角相等可得，然后可利用证明≌． 【详解】解：在和中，， ∴≌， 即此处判定三角形全等的依据是， 故选：B． 5．如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，根据全等三角形的性质及平角的定义推出是解题的关键．由，，可得，根据已知条件可推出，从而可知，再根据平角的定义及三角形内角和推出，即可得解． 【详解】解： ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行导角计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型2 用AAS,ASA证明全等 7．九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 根据全等三角形的判定定理即可得解． 【详解】解：由图得：第块含有三角形的两个角和被两个角夹住的边， 则根据全等三角形的判定原理可知，通过“角边角”可找到一块一模一样的三角形． 故选：． 8．如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据已知条件推出全等三角形的判定方法即可． 【详解】解：∵，，且， ∴； 故选C． 9．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 10．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 11．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的判定定理：、、、、．本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 12．如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，同角的补角相等，作于，于，则有，根据同角的补角相等得出，从而证明，则有，然后通过三角形面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作于，于，如图， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故选：． 题型3 用SSS证明全等 13．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 根据，，判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 14．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与用尺规作一个角等于已知角的原理．解题的关键是理解尺规作图过程中构造出的相等线段，从而确定全等三角形的判定依据． 分析用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图过程，找出对应的相等边，确定全等三角形的判定方法． 【详解】以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； 同样地，以为圆心，同样的长度（即与前面半径相等）为半径画弧，交于点， 再以为圆心，长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点， 连接，这样就得到． 在和中，三边对应相等，根据全等三角形判定定理“SSS（边边边）”， 可得 所以，即得出作一个角等于已知角的依据是“”． 故答案为：． 15．如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据已知条件推断全等的依据即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 16．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 17．如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，解题的关键是找出三组对应边相等． 根据题意证明，即可得到． 【详解】证明：在和， ， ， ． 题型4 用HL证明全等 19．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 20．如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是推出≌． 证明≌，根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：A：， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵和互余， ∴与也互余，正确，故该选项不合题意； B：由A选项可知，正确，故该选项不合题意； C：由A选项可知≌，正确，故该选项不合题意； D：，， ∴，但不一定与相等，故该选项符合题意． 故选：D． 21．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 题型5 添加条件证明全等 22．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 23．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 题型6 尺规作图做角平分线 24．如图，在中，，根据作图痕迹可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和求出，然后根据作图得是的一条角平分线，再利用角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知是的一条角平分线， ∴． 故选：B． 25．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和定理可得，由作法得：平分，从而可得，即可得到答案． 本题主要考查了三角形内角和定理，尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ， 由作法得：平分， ， 故选：B． 题型7 角平分线的性质定理 26．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由题意可知平分，即，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 27．如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】此题考查角平分线的判定和性质，根据，，，得到，由此得到，再根据角平分线的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 28．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 题型8 角平分线的判定定理 29．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 30．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 31．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握性质和解析式是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，于点N，于点G， ∵的平分线与的外角平分线相交于点D， ∴，， ∴， ∴点D一定在的角平分线上， 则平分的外角， 故选：A． 32．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型专练2 全等三角形 （思维导图+知识清单+8个题型专练） 知识点1 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形． （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关． （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形． （三）一个图形经过平移．翻折．旋转后，形状．大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移．翻折．旋转前后的图形全等． 知识点2 全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等． （3）判定：边．角分别对应相等的两个多边形全等． 知识点3 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （二）全等三角形中的对应元素 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F． 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF． 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F． 2．对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边．对应角． （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角； （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）． （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 知识点4 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． （二）全等三角形对应边上的高．中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等． ∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）． 知识点5 判定全等三角形（边边边） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 知识点6 判定全等三角形（边角边） 1、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠) ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D． ②画一条射线，以点为圆心，OC长为半径画弧，交于点． ③以点为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； ④过点画射线，则∠=∠AOB． 2、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 知识点7 判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 知识点4  判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 知识点5  判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”． 知识点8 全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． （3）有公共边的，公共边常是对应边． （4）有公共角的，公共角常是对应角． （5）有对顶角的，对顶角常是对应角． （6）两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 知识点9 全等三角形的判定方法 （1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． （2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． （3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等． （4）角角边定理（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 知识点10 全等三角形的应用 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 知识点11 角平分线的性质 1.性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 2.几何语言：∵ DC平分∠ADB 又∵ PE⊥AD,PF⊥BD , 垂足为E、F， ∴PE=PF 特别指出：解题时一定要写上E⊥AD,PF⊥BD这个条件 知识点12 角平分线的判定 1.判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 2.几何语言：∵PE⊥DA,PF⊥DB , 垂足为E、F， 又∵PE=PF ∴DC平分∠ADB , 即点P在∠ADB的平分线上。 知识点13 尺规作图——作角平分线 作角平分线的方法与步骤：如右图所示 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交角的两边D、E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）作射线OC. ∴射线OC即为所求. 题型1 用SAS证明全等 1．如图，为测量太原永祚寺内宣文塔底座的最大宽度，某地理课外实践小组在宣文塔旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，得到，再测得的长，就是的长，从而得出宣文塔底座的最大宽度，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则可以直接判定（   ） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是 ．    4．如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想到了用三角形全等的方法：在池塘的两端分别系上两根绳子、，两根绳子相交处记为点C，满足，．连接，则线段的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，，，，分别为边，，上的点，，．若，则 ． 6．如图，已知，，，、、三点在一条直线上．若，，则的度数为 ． 题型2 用AAS,ASA证明全等 7．九年班小颖同学不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有、、 、的四块），他只拎第块去玻璃店，他这么做的数学原理是（  ） A．第块面积最大 B．三角形具有稳定性 C．有两个角相等并且这两个角的夹边也相等的两个三角形全等 D．三角形内角和为度 8．如图，为了测量B点与河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，得到，所以测得的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（   ） A． B． C． D． 9．如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 11．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 12．如图，在和中，，，，如果的面积，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 题型3 用SSS证明全等 13．如图是油纸伞的张开示意图，，则的判定依据是（　　）      A． B． C． D． 14．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是边边边、边角边、角边角、角角边中的 ． 15．如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 16．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °． 18．如图，．求证． 题型4 用HL证明全等 19．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 20．如图，，，三点在同一条直线上，，，，则不正确的结论是（    ） A．与互为余角 B． C．≌ D． 21．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 题型5 添加条件证明全等 22．如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ． 23．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 题型6 尺规作图做角平分线 24．如图，在中，，根据作图痕迹可知的度数为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，，，按下列步骤作图：①以点A为圆心、小于的长为半径作弧，分别交边、于点D、E；②分别以点D、E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线交边于点F．则的大小为（　　） A． B． C． D． 题型7 角平分线的性质定理 26．如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 28．如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 题型8 角平分线的判定定理 29．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 30．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 31．如图，中，的平分线与的外角平分线相交于点D，连结，则下列结论中正确的是（   ） A．平分的外角 B．平分 C． D． 32．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $