第14章 全等三角形（举一反三讲义）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学全等三角形单元复习讲义通过题型分类系统梳理知识体系，按“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”分层呈现全等三角形的判定方法、性质应用及构造技巧，用框架图清晰呈现SSS、SAS等判定与角平分线性质的内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与构造思想指导，如“倍长中线构造全等”“旋转构造全等”等题型培养推理意识与创新意识，基础题巩固判定方法，创新题如半角模型提升综合应用能力，助力不同学生进阶，为教师精准教学提供系统资源支持。

第14章 全等三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断图形是否全等】 2 【题型2 已知全等求解】 2 【题型3 SSS判定全等】 3 【题型4 SAS判定全等】 4 【题型5 ASA判定全等】 6 【题型6 AAS判定全等】 7 【题型7 HL判定直角三角形全等】 8 【题型8 尺规作已知角的角平分线】 9 【题型9 结合尺规作角平分线的求值或证明】 10 【题型10 角平分线性质求值】 11 【题型11 角平分线判定】 12 【进阶拔高】 14 【题型12 全等证明两线段相等】 14 【题型13 全等证明两角相等】 15 【题型14 全等证明两线段位置关系】 16 【题型15 全等求线段长度】 17 【题型16 全等求角度大小】 18 【题型17 全等求周长】 19 【题型18 全等求面积】 20 【题型19 全等证明线段和差关系】 21 【题型20 多次全等证同一结论】 22 【题型21 角平分线的实际应用】 24 【创新思辨】 25 【题型22 连接两点构造全等】 25 【题型23 倍长中线构造全等】 26 【题型24 动点构造全等求解】 27 【题型25 旋转构造全等】 29 【题型26 截长补短构造全等】 30 【题型27 角平分线与垂直平分线综合】 32 【题型28 利用全等三角形解决实际问题】 34 【题型29 半角模型】 36 【题型30 手拉手模型】 37 【夯实基础】 【题型1 判断图形是否全等】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可） 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是_____． 【题型2 已知全等求解】 【例2】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图， ，若,，则________． 【变式2-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 【变式2-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【题型3 SSS判定全等】 【例3】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【题型4 SAS判定全等】 【例4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，连接，F为边上一点，连接交于点E，连接，若，则的度数为_____°； 【变式4-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【题型5 ASA判定全等】 【例5】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，丙工程队先过点，作直线，然后在直线上方确定一点，连接，在段确定一点，连接；再以为边在下方作，并在上截取，最后以为边作，交于点．若，，则，间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，，其中的顶点与的中点重合，，分别与，交于点，．若的面积为18，则阴影部分的面积为________． 【变式5-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，猜想线段与的关系，并说明理由． 【题型6 AAS判定全等】 【例6】（25-26七年级下·全国·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【变式6-3】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【题型7 HL判定直角三角形全等】 【例7】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【变式7-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，等边的顶点,分别在正方形的边，上，则_____． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【题型8 尺规作已知角的角平分线】 【例8】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式8-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式8-3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【题型9 结合尺规作角平分线的求值或证明】 【例9】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【变式9-2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【变式9-3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，． (1)利用尺规作的平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的平分线． 【题型10 角平分线性质求值】 【例10】（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【变式10-2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式10-3】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，平分 于E，点F在边上，连接． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长度； (3)若 ，直接写出BE的长度（用含 m，n的代数式表示）． 【题型11 角平分线判定】 【例11】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式11-1】（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【进阶拔高】 【题型12 全等证明两线段相等】 【例12】（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【变式12-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【变式12-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，M，N分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式12-3】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【题型13 全等证明两角相等】 【例13】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式13-1】（24-25八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)求证：平分． 【变式13-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知，，， (1)求证：； (2)求证：． 【变式13-3】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）求证：△EPF是等腰直角三角形； （3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°； （4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC． 【题型14 全等证明两线段位置关系】 【例14】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【变式14-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式14-2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【变式14-3】（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知，在中，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：； 【题型15 全等求线段长度】 【例15】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【变式15-1】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【变式15-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【变式15-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【题型16 全等求角度大小】 【例16】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． 【变式16-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 【变式16-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接交对角线于点，连接．设，则________（用含的代数式表示）． 【变式16-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【题型17 全等求周长】 【例17】（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为________． 【变式17-1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为，若的周长为，的周长为，则的长为 （     ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为________． 【变式17-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【题型18 全等求面积】 【例18】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【变式18-1】（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式18-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，平分的延长线交于点，连接，若，请解决下列问题：    ①设，则___________（填“”“”“”“”或“”）； ②的面积是面积的___________倍． 【变式18-3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【题型19 全等证明线段和差关系】 【例19】（24-25八年级下·江西抚州·期中）（1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． （2）如图2，在中，平分，，，求证：． 【变式19-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【变式19-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【变式19-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【题型20 多次全等证同一结论】 【例20】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【变式20-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【变式20-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知在中，是的平分线，，是的中点，，交的延长线于，交的延长线于，求证：． 【变式20-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知和的顶点A公共，点B、A、E在一条直线上．． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，则______； (3)在图2的基础上将等腰绕点A旋转一个角度，得到图3，则______，并证明你的结论． 【题型21 角平分线的实际应用】 【例21】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【变式21-1】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【变式21-2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式21-3】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【创新思辨】 【题型22 连接两点构造全等】 【例22】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【变式22-1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【变式22-2】（25-26七年级·全国·单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分. 【变式22-3】（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【题型23 倍长中线构造全等】 【例23】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，是的中线，交于点，交于点，且，若，，则线段的长是________． 【变式23-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【变式23-2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式23-3】（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【题型24 动点构造全等求解】 【例24】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【变式24-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【变式24-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【变式24-3】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中， ， ，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：   (1)当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） 当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） (2)用含的代数式表示的面积； (3)当点在上运动时： ①计算说明：当为何值时，？ ②当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，直接写出当与全等时，的数值． 【题型25 旋转构造全等】 【例25】（25-26八年级下·山东淄博·期中）点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【变式25-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【变式25-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式25-3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（　　　） A．5.5 B．6 C．7.5 D．8 【题型26 截长补短构造全等】 【例26】 中，AD是 的平分线，且.若，则 的大小为 （     ）． A． B． C． D． 【变式26-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【变式26-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【变式26-3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【题型27 角平分线与垂直平分线综合】 【例27】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式27-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，小明同学在画线段的垂直平分线时，先以点为圆心画弧，当以点为圆心画弧时，不小心使圆规的张口变小了，两弧相交于，两点，连接交于点．①；②；③；④点到，的距离相等；以上结论正确的是（     ） A．③④ B．①③ C．①② D．①③④ 【变式27-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【变式27-3】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）【探究型问题】 (1)小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形中，于点，为上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．求的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点作于点，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． (2)参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形中，，于点，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明． 【题型28 利用全等三角形解决实际问题】 【例28】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【变式28-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 小颖和小娜一起玩秋千，开始时小颖坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 小颖坐在秋千的起始位置A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，小娜在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小颖距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 若规定户外秋千设置高度在以内为合理，则小颖所在小区的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【变式28-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施   ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【变式28-3】（25-26八年级上·广西北海·期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 【题型29 半角模型】 【例29】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式29-1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【变式29-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【变式29-3】（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【题型30 手拉手模型】 【例30】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【变式30-1】（2025·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____． 【变式30-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【变式30-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材人教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断图形是否全等】 2 【题型2 已知全等求解】 3 【题型3 SSS判定全等】 5 【题型4 SAS判定全等】 8 【题型5 ASA判定全等】 11 【题型6 AAS判定全等】 14 【题型7 HL判定直角三角形全等】 18 【题型8 尺规作已知角的角平分线】 20 【题型9 结合尺规作角平分线的求值或证明】 22 【题型10 角平分线性质求值】 26 【题型11 角平分线判定】 31 【进阶拔高】 36 【题型12 全等证明两线段相等】 36 【题型13 全等证明两角相等】 41 【题型14 全等证明两线段位置关系】 46 【题型15 全等求线段长度】 50 【题型16 全等求角度大小】 53 【题型17 全等求周长】 56 【题型18 全等求面积】 60 【题型19 全等证明线段和差关系】 64 【题型20 多次全等证同一结论】 71 【题型21 角平分线的实际应用】 78 【创新思辨】 81 【题型22 连接两点构造全等】 81 【题型23 倍长中线构造全等】 88 【题型24 动点构造全等求解】 93 【题型25 旋转构造全等】 99 【题型26 截长补短构造全等】 104 【题型27 角平分线与垂直平分线综合】 109 【题型28 利用全等三角形解决实际问题】 116 【题型29 半角模型】 121 【题型30 手拉手模型】 129 【夯实基础】 【题型1 判断图形是否全等】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）图中有①～⑤ 5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有___________．（只填序号即可） 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查全等图形，根据能够完全重合的图形叫做全等图形，进行判断即可． 【详解】由全等形的概念可知，②④⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形能够完全重合， 故答案为：②④⑤． 【变式1-1】（25-26七年级下·江苏盐城·开学考试）在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是___________． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·随堂练习）与电子显示的四位数不相等，但为全等图形的四位数是_____． 【答案】5269 【分析】本题考查全等图形的概念，根据全等的性质把这四位数旋转所得图形与原来的图形全等，翻转过来所得四位数是5269． 【详解】解：四位数6925旋转得到5269， 与电子显示的四位数6925不相等，但为全等图形的四位数是5269， 故答案为：5269． 【题型2 已知全等求解】 【例2】（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图， ，若,，则________． 【答案】/60度 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据全等三角形性质得出结论． 【详解】解：∵,， ， ∵ ， ∴． 【变式2-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，已知，顶点分别与顶点对应，则______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-3】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】 解： ， ， ， ， ， ， ． 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【题型3 SSS判定全等】 【例3】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________． 【答案】/边边边 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定． 【详解】解：在和中 ， ∴． 【变式3-1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，和的边在一条直线上，且，，要使，可以添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 根据线段的关系得出，然后利用全等三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A.添加，无法证明； B.添加， 又∵， ∴； C. 添加，无法证明； D. 添加，无法证明； 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 【变式3-3】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，． (1)求证：； (2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：在和中， ∵， ∴． (2) 解：， 理由如下： ∵，     ∴． ∵，，   ∴． 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，结合，可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 【题型4 SAS判定全等】 【例4】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，若以“”为依据来判定，还需添加一个条件为________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴可添加． 【变式4-1】（24-25八年级上·四川南充·阶段检测）下面四个三角形中，与图中的全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可得， A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意； C选项中已知两边及两边的夹角对应相等，所以根据“”能判定全等，故本选项符合题意； D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，故本选项不符合题意． 【变式4-2】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在正方形中，连接，F为边上一点，连接交于点E，连接，若，则的度数为_____°； 【答案】70 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键；由正方形的性质、三角形外角的性质可求得的度数；证明，得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：70． 【变式4-3】（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点O，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：和都是等腰直角三角形， ，， 又， ， 即， 在和中， ， ； (2) 理由： ， ，， 又，， ， ， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，，，进一步利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，利用三角形内角和以及对顶角相等得到，可得，即可证明． 【详解】（1）略． （2）解：略． 【题型5 ASA判定全等】 【例5】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，在探究过程中判断的依据是_______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解： ， 由题意得，， ， 故答案为：． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，丙工程队先过点，作直线，然后在直线上方确定一点，连接，在段确定一点，连接；再以为边在下方作，并在上截取，最后以为边作，交于点．若，，则，间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质得到，然后根据等式的性质得到，最后根据线段的和差关系求出，间的距离． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ，即， ， 则，间的距离为， 故选：B． 【变式5-2】（25-26七年级下·山东青岛·期末）一副三角尺如图放置，，其中的顶点与的中点重合，，分别与，交于点，．若的面积为18，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，利用直角三角形中线性质、三角尺角度关系，证明三角形全等，进而通过面积转化求出阴影部分面积． 【详解】解：连接， ∵为中点，是等腰直角三角形，，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴ 【变式5-3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，平分，线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，猜想线段与的关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由垂直平分线的定义及性质得到，，得出，根据角平分线的定义得到，因此，从而证明，得到． 【详解】略 【题型6 AAS判定全等】 【例6】（25-26七年级下·全国·周测）如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子（），左边滑梯的高度等于右边滑梯水平方向的长度，且，则与长度____________（填“相等”或“不相等”）． 【答案】相等 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 通过证明，由全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：由题意，得，， ． 在和中， ， ． 故答案为：相等． 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形判定条件分析即可． 【详解】解：由题可得：，， ， ， ． 【变式6-2】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，是的中点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若，，则的面积是______． 【答案】 【分析】利用证明三角形的全等，得到，，，根据等面积法，即可求解的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式6-3】（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，，，，． (1)求证：； (2)若点F在的延长线上，求证：平分； (3)若，，直接写出的长度为______________． 【答案】(1) 证明：设、相交于G， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ； (2)证明：过C作于N，连接，则， ∵， ， ∴， 在与中， ， ， ， ∵，, 是的角平分线． (3)2 【分析】（1）设、相交于G，根据线段垂直平分线的性质得出，根据三线合一可得出 ，结合已知得出，结合三角形内角和定理、对顶角的性质可得出； （2）过C作于N，连接，证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证； （3）根据全等三角形的性质得出，，结合已知得出，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， 是的角平分线， ， 又，， ， ， ， 又，， ， 解得. 【题型7 HL判定直角三角形全等】 【例7】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 【变式7-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 【变式7-2】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，等边的顶点,分别在正方形的边，上，则_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质和等边三角形的性质，易证得，进而得到，利用求解即可 【详解】解：四边形是正方形， 、， 是等边三角形， 、， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式7-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型8 尺规作已知角的角平分线】 【例8】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，．请用尺规作图法作的平分线交边于点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，即为所作．（作法不唯一） 【分析】根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】略 【变式8-1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，点在直线上，在上方作射线，．请你用尺规作图法在内部作射线，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 【分析】根据题目可知，，所以射线为的角平分线．先以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，交于点，连接并延长，即可得到满足题目要求的射线． 【详解】略． 【变式8-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知，直线分别与，相交于点E，F．请用尺规作图的方法过点F作，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】构造的角平分线，进而构造即可． 【详解】略． 【变式8-3】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）舞狮是我国优秀的民间艺术．阳光中学计划举办一场舞狮表演．如图是张老师设计的舞台设计图，为了使舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等，请你帮忙确定舞台中心M的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】作舞台两个角的角平分线，两条角平分线的交点即为舞台中心M的位置，根据角平分线的性质可知舞台中心M到观众区的三条围栏的距离相等． 【详解】解：舞台中心M的位置如解图所示． 【题型9 结合尺规作角平分线的求值或证明】 【例9】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以，为圆心，大于的一半的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线，交于点．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据尺规作图的痕迹判断是的角平分线，最后计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴． 【变式9-1】（25-26九年级下·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，为上一动点，则取最小值时的长是（    ） A．0 B．2 C． D．5 【答案】B 【分析】过点G作于点H，证明，可求，当点P与点H重合时，取最小值，即可求得此时的长． 【详解】解：如图，过点G作于点H，则， ， ， 由作图可知，平分， ， ， ， ， ， 当点P与点H重合时，取最小值，此时． 【变式9-2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，在中，． (1)用尺规作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题主要考查了作角平分线、以及角平分线的性质.解题的关键在于作出角平分线并利用其性质证明线段相等. （1）先以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧交于一点，最后过点及这一交点画射线交于； （2）过点作，垂足为，由角平分线的性质定理证明，再由等面积法列方程求解即可. 【详解】（1）解：以为圆心，小于长为半径画弧，交，于两点；再分别以这两点为圆心，大于这两点距离一半的长为半径画弧，两弧在内部交于一点，最后过点及这一交点画射线交于 （2）解：如图，过点作于点． ∵，平分， ∴． ∵， ∴， 解得． 【变式9-3】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，． (1)利用尺规作的平分线，交于点E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：是的平分线． 【答案】(1) 如图，即为所作； (2) 证明：过点作于点，如图， ∵平分， ， 在和中， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ∴是的平分线． 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作角平分线，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，然后证明得到． 【详解】（1）略 （2）略 【题型10 角平分线性质求值】 【例10】（25-26八年级上·广东珠海·开学考试）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ． 【答案】/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川南充·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 【变式10-2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴可能的值为8， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 【变式10-3】（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，在中，，平分 于E，点F在边上，连接． (1)求证： ； (2)若 ，求 的长度； (3)若 ，直接写出BE的长度（用含 m，n的代数式表示）． 【答案】(1) 解：∵ 平分， ， 在和中， ∴，   ∴； (2)1； (3)． 【分析】（1）应用角平分线到角两边的距离相等这个条件，证明，然后证明； （2）用条件：，先证明，然后求出； （3）根据（2）证明出的结果，直接写出代数式． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，      ，       故答案为：3； （3）解：由（2）证明可得： ， 故答案为． 【题型11 角平分线判定】 【例11】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 【变式11-1】（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 【变式11-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识， 连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点M作于点H， 由题意可得：，， ， 点E，F对应的刻度分别为， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 【进阶拔高】 【题型12 全等证明两线段相等】 【例12】（24-25八年级上·广东湛江·阶段检测）在等边中，F为边上的点，作，延长与交于点D，截取，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； (3) 证明：∵， ∴， ∴. 又∵， ∴为等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边对等角，等边三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（2），先根据全等三角形的性质得，，再根据“等边对等角”得，则答案可证； 对于（3），根据全等三角形的对应角相等得，进而得出， 再根据“有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形”得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式12-1】（25-26八年级上·山东潍坊·期中）如图，，于点D，于点E，与相交于点O． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； (2)证明：如图，连接， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）连接，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式12-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，已知，M，N分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵分别为的中点， ∴． 在和中， ∴； (2) 证明：由知， ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴， 故． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据证明； （2）证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式12-3】（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知中，，，是的垂直平分线，为边上一点，且． (1)求证：； (2)连接、，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 【分析】（1）由角所对的直角边等于斜边的一半，可得，由线段垂直平分线的定义，可得，，可得，利用“”即可证得结论； （2）由直角三角形的两个锐角互余，可得，由全等三角形的性质，可得，结合已知可得是等边三角形，可得，由线段垂直平分线的性质，可得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型13 全等证明两角相等】 【例13】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接、，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴. ∵E是的中点， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质， 对于（1），根据“角角边”证明即可； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，即可说明是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得出答案. 【详解】（1）略 （2）略 【变式13-1】（24-25八年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，，，点在边上，，交于点． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（）由得，进而由可证； （）由得，，得，即得，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式13-2】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知，，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）知， ∵， 又∵，， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应关系是解答的关键． （1）可以先证，再利用全等三角形的性质，可得； （2）由（1）的结论结合已知条件，根据三角形内角和定理，可得． 【详解】（1）略 （2）略 【变式13-3】如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、CA的延长线于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）求证：△EPF是等腰直角三角形； （3）求证：∠FEA＋∠PFC＝45°； （4）求证：S△PFC－S△PBE＝S△ABC． 【答案】 （1）如图，连接，P是BC中点， AB＝AC，∠BAC＝90°, ，, ，, , , , , , , 在和中： （ASA）, , , , 即． （2）由（1）可知 ： ， ， 是直角， △EPF是等腰直角三角形． （3）如图，连接, 是等腰直角三角形， 即∠FEA＋∠PFC＝45°； （4） ， S△PFC－S△PBE＝S△PFC－ P是BC中点， S△ABC． 【分析】（1）先证明 ，得，再由已知条件即可求证； （2）根据（1）的结论结合题意即可得证； （3）根据（1）的结论，进行角的等量代换，即可求证； （4）根据（1）的结论，利用全等的性质，可得，S△PFC－S△PBE＝S△PFC－ ，进而可求证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型14 全等证明两线段位置关系】 【例14】（24-25七年级下·吉林·阶段检测）如图，是等腰直角三角形，，点是上一点（点不与点A、D重合），延长至点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵是等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴； (2) 证明：由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）等腰直角三角形，得到，进而得到，再根据，即可得证； （2）根据全等三角形的对应角相等，得到，进而得到，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-1】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴. (2) 证明：∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定； （1）三边相等的两个三角形全等，由得即，与就具备了全等的条件； （2）全等三角形的对应角相等，由得到，这两个角是一组同位角，同位角相等两直线平行. 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-2】（24-25八年级上·宁夏固原·期末）已知，在中，，于点H． (1)求证：； (2)点D为外一点，，若平分，求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ； (2) 证明：， ， ， ， 平分， ， ， ， ，           ． 【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得出，再根据 “”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得，根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-3】（24-25八年级上·新疆克孜勒苏·期中）已知，在中，于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为外一点，，若平分，求证：； 【答案】(1) 证明：， ，          又，， ； (2) 证明：， ， ，         ， 平分， ， ， ， ，           ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定“”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和角平分线定义得， 根据平行线的性质可证得，再根据平行线的性质得，即可证得结论； 本题考查全等三角形判定与性质、垂直定义、角平分线的定义、平行线的判定与性质、等角的余角相等，熟练掌握三角形的判定与性质是解答的关键. 【详解】（1）略 （2）略 【题型15 全等求线段长度】 【例15】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 【变式15-1】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 【变式15-2】（25-26七年级下·四川成都·期末）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) ． 【分析】（1）利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明， （2）根据全等三角形对应边相等可得然后计算即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知， ∴ ∴． 【变式15-3】（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图，在中，点，分别在，边上，连接，交于点，且垂直平分，连接． (1)若，，求的度数； (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，根据垂直平分线的性质得出，，即可证明，得出，，根据平行线的性质得出，，，根据平角的定义即可求出的度数； （2）根据的周长为，结合得出，根据的周长为得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵垂直平分， ∴，， 在与中，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为，， ∴， ∵的周长为， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【题型16 全等求角度大小】 【例16】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在与中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，利用证明，得出，再利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式16-1】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在的方格纸中，__________ ． 【答案】 【分析】取格点、、、、，证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式16-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点在边上，连接交对角线于点，连接．设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据正方形的性质证明，则结合外角的性质得到，再由平角的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式16-3】（25-26七年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或或 【分析】令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 令， ∵和关于直线对称， ， ， ，且平分， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ， ∴， ， 当时，，即， 解得：， ； 当时，； 当时，； 综上所述，的度数为：或或． 【题型17 全等求周长】 【例17】（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为________． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 【变式17-1】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为，若的周长为，的周长为，则的长为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定及性质．根据题意，判定≌，然后得到，，进行求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， 又， ≌， ， ， 的周长为， ， 又的周长为， ， 又， ， 故选A． 【变式17-2】（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，已知等边的周长为6，点在边上，点是边上一点，连接，将沿着翻折得到，交于点，交于点，若，则的周长为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的性质，由等边三角形的性质可得，，由折叠可知，，，易证，所以，所以的周长为由此可得出结论． 【详解】解：∵等边的周长为6， ∴，， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴的周长为： ， ∴的周长为2． 故答案为：2． 【变式17-3】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． 【题型18 全等求面积】 【例18】（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，垂直的平分线于P．若的面积为， 且的面积是的面积的 2 倍．则的面积_______． 【答案】4 【分析】延长交于E，证明，得出，，根据三角形面积公式，求出结果即可． 【详解】解：延长交于E， ∵垂直的平分线于P， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式18-1】（24-25八年级上·北京·期中）数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，尺寸如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积．过点作交于点，过点作的延长线，交于点，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，结合题意可得这两个三角形是等底等高的三角形，故面积相等，即可求解． 【详解】解：如图：过点作交于点，过点作的延长线，交于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 故， 即． 故选：B． 【变式18-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图所示，平分的延长线交于点，连接，若，请解决下列问题：    ①设，则___________（填“”“”“”“”或“”）； ②的面积是面积的___________倍． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，三角形的面积，通过证明是解题的关键． 先证明得到，则，根据三角形三边的关系可得，即； 由全等三角形的性质得到，再根据同高三角形的面积之比等于底边之比推出，据此可得答案． 【详解】解：①∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是面积的5倍， 故答案为：5． 【变式18-3】（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）如图，，，． (1)求证：； (2)若，的面积等于5，，求的面积． 【答案】(1) 证明：， ， ． 在和中， ， ， ． (2)7.5． 【分析】（1）根据题意可知，再根据SAS即可证明，即可解答． （2）根据题意得出，，再由三角形全等得到，即可解答． 本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：，的面积等于5， ． ，，， ． ， ， ， ． 【题型19 全等证明线段和差关系】 【例19】（24-25八年级下·江西抚州·期中）（1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． （2）如图2，在中，平分，，，求证：． 【答案】 （1）证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长与交于点，     由（1）可知：， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质； （1）证明，即可得到； （2）延长与交于点，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根据即可证明结论成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式19-1】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图中，，、为、上的点，，垂足为E，且，． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：，， 和是直角三角形， 在和 中， ， ， ， ，， ， 平分； (2) 证明：∵， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，线段的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）利用证明，得到，即可得到平分． （2）先证明，得到，得到，即，则，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略． 【变式19-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【答案】(1)8 (2) 证明：在上取一点M，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）在上取一点M，使得，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式19-3】（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)是 (2)①； ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”即可判断． （2）①由是等边三角形，得出，，再利用全等三角形判定推出，即可得出结论； ②在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是； （2）解：由（1）知是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ②略 （3）解：若点A在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 【题型20 多次全等证同一结论】 【例20】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，是边上的中线，点为边上一点，与交于点，，交的延长线于点． (1)如果平分，，求的度数； (2)如果点是边中点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接， 由（1）得， 又 ， ， ，， ，是边上的中线， 是的角平分线， ， ，即； 点是边中点， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）由等边对等角得，由三线合一得，再由三角形外角的性质求解； （2）先证，由平行线的性质得，，由三线合一得是的角平分线，等量代换得出；证明，推出，再证 ，即可证明． 【详解】（1）解： 中，，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ． （2）略 【变式20-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，，交于，求证：． 【答案】证明：取中点，连接并延长至点，使，连接，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【分析】取中点，连接并延长至点，使，连接，证明，得出，，导角求出，证明，得出，则，根据等边对等角求出，则，根据等角对等边得出，即可得证. 【详解】略 【变式20-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知在中，是的平分线，，是的中点，，交的延长线于，交的延长线于，求证：． 【答案】证明：延长至G，使，连结、，延长交于H． ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】延长至G，使，连结、，延长交于H． 由三角形中位线的判定定理和性质得出，进而可得出，证明，得出，再证明，得出，由三角形外角的定义和性质结合已知条件得出，由等角对等边得出，进而可得出． 【详解】略． 【变式20-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知和的顶点A公共，点B、A、E在一条直线上．． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，则______； (3)在图2的基础上将等腰绕点A旋转一个角度，得到图3，则______，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，证明如下： 如图：连接，交于Z，交于O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴∠， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴． 【分析】（1）如图：先证明得到，由得到和为等边三角形，则，根据三角形的内角和定理得到，，即可得到； （2）同（1）一样，只是，得到，则，，即可得到； （3）如图：连接，交于Z，交于O，先证明，得到，求出求出，证明，得到，求出，同理，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图1，∵，B、A、E在同一条直线上，C、A、D在同一条直线上， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴， ∵，， ∴． （2）解：如图2，由（1）可得：， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）解：，证明略． 【题型21 角平分线的实际应用】 【例21】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有______处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 【变式21-1】（25-26七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 【变式21-2】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 【变式21-3】（25-26八年级上·天津·期末）某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 【创新思辨】 【题型22 连接两点构造全等】 【例22】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则______度． 【答案】 【分析】连接，利用平行线的性质和全等三角形的判定得出、及是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 和中， ， ，， ， ， 即， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是根据平行线判定与性质求角度、连接两点作辅助线、等腰三角形的性质和判定，解题关键是利用辅助线构造等腰三角形． 【变式22-1】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌ ， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 【变式22-2】（25-26七年级·全国·单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明） （2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分. 【答案】 （1）    已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB, PF⊥AC, PE⊥BC, 求证：PD+PE+PF为定值. 证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP. ∵， ∴ 又∵BC=AB=AC ∴AG=PE+PF+PD,即定长. ∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长. （2） 过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F. ∵， ∴， 又∵AD=AD ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，即AD平分. 【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明； （2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分. 【详解】略． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键． 【变式22-3】（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【答案】 （1）证明：在线段上截取，连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）图2：，图3： 【分析】（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解． （2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得． 【详解】解：（1）略． （2）当点在线段延长线上时， 如图2：在的延长线上截取，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 当点在线段延长线上时， 如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，，且 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键． 【题型23 倍长中线构造全等】 【例23】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，是的中线，交于点，交于点，且，若，，则线段的长是________． 【答案】26 【分析】延长到点G；使，连接，证明，再利用等腰三角形的判定和性质，求解即可； 【详解】解：延长到点G；使，连接， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【变式23-1】（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为的角平分线，M是的中点，过点M作交于点F，若，，则的长为________． 【答案】 【分析】延长到N，使，连接，延长交延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到N，使，连接，延长交延长线于E， ∵M是的中点， ∴，， ∴， ∴，， 又∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式23-2】（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长，交于点，利用证明，得出，，再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明，最后由求解． 【详解】解：连接并延长，交于点， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式23-3】（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在长方形中，E为的中点，F为上一点，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形的面积公式，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长交延长线于点，通过证明得到，，由，可设，则，得到，利用三角形的面积公式得到，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， 长方形， ， E为的中点， ， 又， ， ，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【题型24 动点构造全等求解】 【例24】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当两点同时到达点时，； ③若时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（   ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据路程等于速度乘时间求出点和点的路程，即可判断①；先求出点到达点时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；先画出图形，根据题意求出，，，，然后得到和不全等，进而证明出，即可判断③；根据全等三角形边角的对应关系，分种情况求出的值即可判断④． 【详解】解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒， 点运动路程为． 若，则点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意； 对于②，当点到达点时，秒， ，故②符合题意； 对于③，如图所示， 当，时， 点运动的路程为，点运动的路程为． ，， ，． ， ， ， 和不全等， ． ， ， ， 与不垂直，故③不符合题意； 对于④，当时，则，． ， ， ， ， ， ； 当时，则，． ， ， ． ， ， ， 若与全等，则或，故④不符合题意． 综上所述，符合题意的结论为①②． 【点睛】本题是一道动点问题，考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是能充分把握运动过程，找出符合条件时点的位置及满足的数量关系，分类时做到不重不漏． 【变式24-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，厘米，，厘米，点D为的中点．点M在线段上以3厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点N在线段上由点C向点A运动．当点M运动到点C或点N运动到点A时，另一个点也停止运动．若点N的运动速度为a厘米/秒，则： （1）运动2秒时，______厘米（用含a的式子表示）； （2）当与全等时，a的值为______． 【答案】 2a 或3 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间求解； （2）设运动的时间为t秒，根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米，根据全等三角形的判定方法，由于，则当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别解方程组得到a的值． 本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：（1）运动2秒时，厘米； 故答案为：2a； （2）设运动的时间为t秒， 根据题意得厘米，厘米，厘米，则厘米， ， 当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，， 综上所述，a的值为或． 故答案为：或． 【变式24-2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，于点于点，点为直线上一点，且，点从点出发，以1单位长度/秒的速度沿向点运动，同时，点从点出发，沿射线以4单位长度/秒的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动．若，设运动时间为秒，当与全等时，_________． 【答案】2或 【分析】分两种情况：点M在的延长线上和点M在上，两种情况都可证明只存在这种情况，则可得到，再根据线段的和差关系建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 如图所示，当点M在的延长线上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在上时，同理可得只存在这种情况， ∴， ∴， ∴； 综上所述，t的值为2或． 【变式24-3】（25-26八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中， ， ，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒：   (1)当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） 当点在上运动时，_________ ．（用的代数式表示） (2)用含的代数式表示的面积； (3)当点在上运动时： ①计算说明：当为何值时，？ ②当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，直接写出当与全等时，的数值． 【答案】(1) (2) (3)① ②2， 【分析】本题主要考查了矩形的性质、分段函数、全等三角形的判定与性质． 当点在上运动时，根据即可得出结果；当点在上运动时，根据即可得出结果； 分点在上运动、在上运动、在上运动，求出与的函数关系式； ①根据，可知，得到关于的方程，解方程求出的值； ②分当时和当时，两种情况列方程求出的值． 【详解】（1）解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上运动时，即时， 可得：； 当点在上运动时，即时， 可得：； 当点在上运动时，即时， 可得：； 综上所述，； （3）①解：， ， ， 秒； ②解：当时，，， 可得：， 解得：， 当点运动的速度是时，； 当时，，， 可得：， 解得：， 当点运动的速度是时，； 综上所述，当与全等时，的数值是或． 【题型25 旋转构造全等】 【例25】（25-26八年级下·山东淄博·期中）点M、N分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，则的度数为______．    【答案】45°/45度 【分析】由题意得，将绕点顺时针旋转得到,证即可求解． 【详解】解： 即 将绕点顺时针旋转得到，如图所示：       在的延长线上 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转等．根据几何条件进行严密的几何推理是解题关键． 【变式25-1】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长______厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 【变式25-2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式25-3】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（　　　） A．5.5 B．6 C．7.5 D．8 【答案】C 【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE≌△FCD，可得BE=DF，则DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解． 【详解】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF， ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6， ∴∠ABC=60°，BC=3， ∵将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE， ∴CD=CE，∠DCE=60°， ∵△BCF是等边三角形， ∴CF=BC=BF=3，∠BCF=∠DCE =60°， ∴∠BCE=∠DCF，且BC=CF，DC=CE， ∴△BCE≌△FCD(SAS)， ∴ BE= DF， ∴DF⊥AB时，DF的长最小，即BE的长最小， 如图，此时作， ∵=180°-60°-60°=60°，， ∴ ， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键． 【题型26 截长补短构造全等】 【例26】 中，AD是 的平分线，且.若，则 的大小为 （     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，进而得到∠B、∠C的数量关系，再根据三角形内角和定理即可解得∠B的度数. 【详解】解：在AB边上截取AE＝AC，连接DE， AD是 的平分线， 在与中， ， 即 故选A 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，是常见的典型考点，难度一般，作出正确的辅助线是解题关键． 【变式26-1】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在中，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的最小值即为点C到AB的垂线段长度． 【详解】在AB上取一点G，使AG＝AF． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴AB=5， ∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS） ∴FE＝GE， ∴要求CE+EF的最小值即为求CE+EG的最小值， 故当C、E、G三点共线时，符合要求， 此时，作CH⊥AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值， 此时，， ∴CH==， 即：CE+EF的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键． 【变式26-2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得 ，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有，即可求解． 【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE， ∵为等边三角形， ∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵，BE=AD， ∴ ， ∴CE=CD，∠BCE=∠ACD， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE， ∴∠DCE=∠ACB=60°， ∵CE=CD， ∴是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式26-3】（25-26八年级上·广东珠海·期末）实验与探究： 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？某校数学兴趣小组的同学们对此展开探究： 例如，如图1（1），在中，，怎样证明呢？ 把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB上的点处（如图1（2））．由，，可得． 【类比探究】 （1）如图2，在中，，类比上述的方法，请证明． 【方法运用】 （2）如图3，在中，，若，写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】 （1）证明：把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点、 由翻折的性质可知，， ， ，即 （2），理由如下： 如图（3），在上取，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ，即 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定、三角形外角的性质，三角形内角和定理．构造全等三角形，转化线段和角的关系是解题的关键． （1）把翻折，使点落在点上，折痕分别交、于点D、E，由翻折可得：， （2）在上取，使，连接，可得，进而可得，由此证明， ，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【题型27 角平分线与垂直平分线综合】 【例27】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，于点．首先证明，求出的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 【变式27-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，小明同学在画线段的垂直平分线时，先以点为圆心画弧，当以点为圆心画弧时，不小心使圆规的张口变小了，两弧相交于，两点，连接交于点．①；②；③；④点到，的距离相等；以上结论正确的是（     ） A．③④ B．①③ C．①② D．①③④ 【答案】D 【分析】由作图可得，，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得垂直平分，则，；根据等腰三角形三线合一可得平分，则点到，的距离相等；由已知条件可得，则，若，则，与已知条件矛盾，由此可得结论． 【详解】解：由作图可得：，， ∴垂直平分， ∴，， 故①③正确； ∵，， ∴平分， ∴点到，的距离相等， 故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若， 则，矛盾， 故②不正确； ∴正确的结论是①③④． 【变式27-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，理解题意和准确构造辅助线是解题的关键； 连接，，过点作，交于点，证明，得到，再证明，从而得到，，即可推出． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴、、三条线段之间的数量关系为， 故答案为：． 【变式27-3】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）【探究型问题】 (1)小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形中，于点，为上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．求的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点作于点，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． (2)参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形中，，于点，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明． 【答案】(1)，解法见解析 (2)图见解析，猜想，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接并延长交于，由是的垂直平分线，得，根据三角形外角的性质，得，同理：，进而即可求解；方法二：连接，由垂直平分线和等边三角形性质得，作辅助线、，利用角平分线性质得，证明，通过角度代换求出答案 ． （2）补全图形如图，连接，，易证，得，同理：，从而得，根据三角形内角和定理与平角的定义，以及等腰三角形的性质，即可得到结论． 【详解】（1）解：方法一：连接并延长交于， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在等边中，于点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：过F作于点M，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵在等边中，于点D， ∴是的垂直平分线，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， （2）解：补全图形如图，猜想，证明如下： 连接，设交于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴; ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型28 利用全等三角形解决实际问题】 【例28】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外的点B处沿着与垂直的方向向东走米，到C处立一根标杆，然后方向不变继续向东走米到D处，在D处沿着与垂直的方向再向南走米，到达E处，使E与A，C在同一直线上，则可得A，B的距离为________米． 【答案】 【详解】解：由题意知：， ， 米． 【变式28-1】（25-26八年级上·广东广州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 小颖和小娜一起玩秋千，开始时小颖坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直． 素材2 小颖坐在秋千的起始位置A处（与地面垂直），两脚在地面上用力一蹬，小娜在距水平距离的B处接住她后用力一推，当秋千摆动到最高点C处时，小颖距离地面的高度为，已知，于点D，于点E．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 若规定户外秋千设置高度在以内为合理，则小颖所在小区的秋千高度设置是否合理？为什么？ 【答案】 任务1：，理由如下： 由题意得， ∵于点D，于点E ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 任务2：小颖所在小区的秋千高度设置是合理的，理由如下： ∵点B距的水平距离为，于点D， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小颖所在小区的秋千高度设置是合理的． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质及其判定定理是解题的关键． 任务1：根据秋千的长度不变可得，再导角证明，则可利用证明； 任务2：根据全等三角形的性质可得，据此求出的长即可得到结论． 【详解】任务1：略 任务2：略 【变式28-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动． 项目背景 依数学之托，解生活之谜 项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度 项目工具 测角仪、皮尺 项目实施   ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为． 求这条河的宽度． 【答案】 【分析】先利用三角形内角和定理可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用等式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式28-3】（25-26八年级上·广西北海·期末）（1）【探究发现】如图1，在中，，，过点作直线，于点，于点，则，与之间满足的数量关系是________； （2）【反思感悟】问题：如图2，在四边形中，，是上一点，，．请探究与的位置关系，并说明理由； （3）【生活应用】校园广场的景观规划： 如图3，校园广场有一块空地为四边形，为了优化广场景观，学校计划筑造成两个直角三角形花坛和，以便种植不同的花卉．数学兴趣小组通过测量得知，且，他们在上取一点，当测量到时，恰好．请结合（1）和（2）小问的结论，试判断是否符合要求为直角三角形，并说明你的理由． 【答案】（1）； （2），理由如下， ∵，， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）为直角三角形，理由如下： 过点作，交的延长线于点， ∴， 又∵，， 同（1）可得， ∴，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴符合要求，是直角三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据证明，则可得，，进而可得． （2）由，可得．根据可得，则可得，由，可得，进而可得； （3）过点作，交的延长线于点，由（1）结论可得，，进而可得，，又由，，可得，进而可得，符合要求． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）略 【题型29 半角模型】 【例29】（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式29-1】（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（　　）    A．①②③④ B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用旋转性质可得△ABF≌△ACD，根据全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB， ∴△ABF≌△ACD， ∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，BF＝CD，故②④正确， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE故③正确 无法判断BE＝CD，故①错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式29-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）问题情境 在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 特例探究 如图1，当DM＝DN时， （1）∠MDB＝　 　度； （2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　； 归纳证明 （3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明． 拓展应用 （4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　． 【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC； （3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵BD＝CD，∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠MBD＝∠NCD＝90°． ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 又∵BD＝CD，BM＝CE， ∴△DBM≌△DCE（SAS）， ∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC， ∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°， ∴∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°， ∴∠EDN＝∠MDN， 又∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC； （4） 【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°； （2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC； 归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN； 拓展应用： （3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC； （4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论． 【详解】特例探究： 解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴△MDN是等边三角形， ∴MN＝DM＝DN， ∵∠BDC＝120°，BD＝DC， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠DBM＝∠DCN＝90°， ∵BD＝CD，DM＝DN， ∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴∠MDB＝∠NDC＝30°， 故答案为：30； （2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL）， ∴BM＝CN， ∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC， 即MN＝BM+NC； 归纳证明 （3）略 拓展应用 （4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC， ∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∴△ABC的周长＝3AB， ∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质． 【变式29-3】（25-26八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3) 解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长到，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，再得到，再利用全等三角形的性质则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型30 手拉手模型】 【例30】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“等角减去同角仍相等”得到，再根据判定，从而证明结果； （2）利用等量代换将转化为，从而解出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 【变式30-1】（2025·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是____． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 【变式30-2】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 【变式30-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N；结合题意，利用等边三角形、全等三角形的性质，推导得AE＝CD，∠AHD＝∠ABG＝60°；再根据等边三角形、角平分线的性质分析，即可得到答案． 【详解】连接GF，过点B作BM⊥AE于M，BN⊥CD于N ∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠ABD＝∠EBC＝60°，BA＝BE，BE＝BC， ∴∠ABE＝∠DBC， 在△ABE和△DBC中， ∴△ABE≌△DBC（SAS）， ∴AE＝CD，故①正确； ∵△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC， ∵∠AGB＝∠DGH， ∴∠AHD＝∠ABG＝60°，故②正确； 在△AGB和△DFB中， ∴△AGB≌△DFB（ASA），故③正确； ∵△AGB≌△DFB， ∴BG＝BF， ∵∠GBF＝60°， ∴△BGF是等边三角形， ∴∠FGB＝∠ABD＝60°， ∴FG∥AC，故⑤正确； ∵△ABE≌△DBC，BM⊥AE，BN⊥CD， ∴BM＝BN， ∴BH平分∠AHC，但不一定平分∠GBF，故④错误； 根据题意，无法判断DH＝CH，故⑥错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等边三角形、角平分线的性质，从而完成求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $