1.2 一定是直角三角形吗 课后练习2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.2 一定是直角三角形吗 1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（　　） A．3，4，5 B．0.6，0.8，1 C．9，12，16 D．5，12，13 2．下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（　　） A．AC：BC：AB＝3：4：5 B．∠A+∠B+∠C＝180° C．AC＝BC＝AB D．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 3．如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，借助尺规在BC上确定一点P，则PC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（　　） A．25 B．26 C．27 D．28 6．四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（　　） A．2 B．3 C．6 D．4 7．在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中． a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当a＝24时，b+c的值为（　　） A．162 B．200 C．242 D．288 8．如图是由小正方形拼成的网格，A，B两点均在格点上，C，D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED＝（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 9．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成三角形不是直角三角形的是（　　） A．△ABD B．△ADC C．△BCD D．△ABC 10．如果正整数a，b，c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a，b，c叫作勾股数．某同学将探究勾股数的过程列成表格，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） a 3 8 15 24 … x b 4 6 8 10 … 16 c 5 10 17 26 … y A．67 B．98 C．128 D．73 11．如图，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为 　 　 ． 12．一个三角形花坛的三边长分别为7m，24m，25m，则这个花坛的面积是　 　 m2． 13．满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数　 　 ． 14．下列条件：①∠C＝∠A﹣∠B；②∠A：∠B：∠C＝5：2：3；③ac，bc；④a：b：c＝1：2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 　 　 个． 15．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　 　 三角形． 16．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数． （1）请把下列三组勾股数补充完整：①　 　 ，8，10；②9，　 　 ，15；③9，40，　 　 ． （2）小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12，请你帮小明证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组． （3）如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则m+n＝　 　 ． 17．如图，在△ABC中，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm，CD是AB边上的高，求： （1）△ABC的面积； （2）CD的长． 18．观察下列等式． 第1个等式：（22﹣1）2+42＝52； 第2个等式：（32﹣1）2+62＝102； 第3个等式：（42﹣1）2+82＝172； 第4个等式：（52﹣1）2+102＝262． （1）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． （2）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 19．我们把满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若a，b，c（a＜b＜c）是一组勾股数，n为正整数． （1）当b＝n+7，c＝n+8时，请用含n的代数式表示a2，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； （2）当b＝2n2+2n，c＝b+1时，用含n的代数式表示a2，再完成下列勾股数表． a b c 　 　 40 41 11 60 　 　 20．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： a b c 3＝1+2 4＝2×1×2 5＝2×1×2+1 5＝2+3 12＝2×2×3 13＝2×2×3+1 7＝3+4 24＝2×3×4 25＝2×3×4+1 9＝4+5 40＝2×4×5 41＝2×4×5+1 … … … （1）当a＝11时，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）． （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 21．请你观察下列四个等式： ①（22﹣1）2+42＝52； ②（32﹣1）2+62＝102； ③（42﹣1）2+82＝172； ④（52﹣1）2+102＝262． （1）请用含n（n为正整数，且n＞1）的等式表示上面的规律，并证明； （2）我们知道，若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（如：3，4，5）．现有一直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由； （3）（1）中得出的表示上面规律的等式，是表达所有勾股数的关系式吗？若是，请利用该关系式再写出另外两组勾股数；若不是，请举一个例子说明． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C B C D C C C 11．45°． 12．84． 13．6，8，10（答案不唯一）． 14．4． 15．等腰直角． 16．（1）解：①设空缺的数为x， 则有三种情况：x2+82＝102，x2+102＝82，102+82＝x2， 解得：x＝±6，， ∵x要为正整数， ∴仅有x＝6满足题意， 同理，对于②③，可求得空缺的数为：12，41， 故答案为：6，12，41； （2）证明：（2mn）2＝4m2n2， （m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4， （m2﹣n2）2＝m4﹣2m2n2+n4， 显然，m4+2m2n2+n4＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2， 即：（m2+n2）2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2， ∴2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组； （3）解：28，96，100约去公因数4，得到7，24，25， 其中，24＝2×3×4， ∵25＝42+32，7＝42﹣32， ∴m＝4，n＝3， ∴m+n＝7， 故答案为：7． 17．解：（1）∵AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm， ∴AB2＝169cm，CB2+AC2＝144+25＝169（cm）， ∴AB2＝CB2+AC2， 即△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积； （2）∵CD是AB边上的高， ∴△ABC的面积， 解得， ∴CD的长为cm． 18．解：（1）第1个等式：（22﹣1）2+42＝52； 第2个等式：（32﹣1）2+62＝102； 第3个等式：（42﹣1）2+82＝172； 第4个等式：（52﹣1）2+102＝262， 由题中等式的规律可得（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 证明：左边＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n+1）2＝右边． （2）它的三边长能为勾股数，理由如下： ∵35＝36﹣1＝62﹣1， 把n＝6代入，得（62﹣1）2+（2×6）2＝（62+1）2， 即352+122＝372， ∴它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 19．解：（1）a2＝c2﹣b2， 把b＝n+7，c＝n+8代入a2＝c2﹣b2中， 得a2＝（n+8）2﹣（n+7）2＝（n+8+n+7）（n+8﹣n﹣7）＝2n+15， ∵n为正整数， ∴当n＝5时，满足题意的最小整数； （2）a2＝c2﹣b2＝（b+1）2﹣b2＝2b+1＝4n2+4n+1＝（2n+1）2， b＝40，c＝41，， a＝11，b＝60，， 补全勾股数表如下： a b c 9 40 41 11 60 61 20．解：（1）a＝5+6， ∴b＝2×5×6＝60， c＝2×5×6+1＝61， 故答案为：60，61； （2）由（1）可得，a2+b2＝c2， 当a＝2n+1时，（2n+1）2+[2n×（n+1）]2＝[2n×（n+1）+1]2 （3）解：[2n×（n+1）+1]2﹣[2n×（n+1）]2 ＝[2n×（n+1）+1+2n×（n+1）][2n×（n+1）+1﹣2n×（n+1）] ＝2n2+2n+1+2n2+2n ＝4n2+4n+1 ＝（2n+1）2． 结论成立． 21．解：（1）由题中等式的规律可得：（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2， 证明：等式左边＝n4﹣2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝（n2+1）2＝等式右边； （2）它的三边长能为勾股数，理由如下： ∵35＝36﹣1＝62﹣1， 把π＝6代入上式得：（62﹣1）2+（2×6）2＝（62+1）2， 即352+122＝372， ∴它的三边长能为勾股数，为35，12，37； （3）不表示所有勾股数， 如9，12，15，92+122＝152， 9，12，15是勾股数，但并不满足上面规律的等式， 故上面规律的等式不能表达所有勾股数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/29 22:26:11；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $