专题04 旋转章末56道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 旋转章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据旋转的性质求解 题型二 关于原点对称的点的坐标 题型三 中心对称图形规律问题 题型四 旋转中的规律问题 题型五 旋转中的最值探究问题 题型六 旋转综合的应用问题 题型七 坐标系中的动点问题（不含函数） 【经典例题一 根据旋转的性质求解】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）探究说理．如图，将以点为中心，沿顺时针方向旋转后得到，已知，且是的平分线，试猜想的度数，并说明理由．    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，根据题意可得，则，根据角平分线的定义得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：将以点为中心，沿顺时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，当四边形是菱形时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）要证明，需根据旋转性质找到对应边和角的关系，再利用全等三角形判定定理（）来证明． （2）要求的长，先根据菱形性质得出边和角的关系，再结合已知角度推出为等腰直角三角形，利用勾股定理求出，最后结合菱形的边求出． 【详解】（1）证明：∵ 绕点顺时针方向旋转得到， ∴ ，，． ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ． 在和中， ， ∴ （）． （2）解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． 在中，根据勾股定理： ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识，通过已知条件逐步推导是解题关键． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 【答案】(1)点 (2) (3) 【分析】本题考查的是图形旋转的性质，即：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． （1）找出两重合三角形的公共顶点即可得出其旋转中心； （2）根据两重合边所夹的角度即可求出旋转的度数； （3）根据图形旋转的性质，即对应边相等可直接进行解答． 【详解】（1）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 点即为两三角形的公共顶点， 旋转中心是点． 故答案为：点； （2）解：绕某个点顺时针旋转后与重合， 与重合， ， 旋转的度数为：． 故答案为：； （3）解：由题意知和是对应线段，根据旋转的性质可得． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）综合与实践 主题：研究旋转的奥妙． 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍． 步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点M在上（不与点P，Q重合），将木棍绕点M顺时针旋转，得到线段，点A的对应点为N，连接． 猜想与证明：试判断线段与线段的数量关系，并证明． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识． 连接，先证明是等边三角形，进而证明，问题得证． 【详解】解：，证明如下： 如图，连接， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形． ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并证明你的判断； (2)如图②，若，，请求出的长； (3)如图①，若，，请求出的长． 【答案】(1)四边形是正方形，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形； （2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，根据正方形的性质得出，即可得； （3）由（2）可知，得出，根据全等三角形点性质得出，利用勾股定理求出，再次利用勾股定理可求的长． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下： ∵，将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴，，， ∵延长交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 由（1）可知：四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于， 由（2）可知：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题，于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点在平面内转动．其中，，． (1)如图，若，则______，______； (2)如图，当点在直线的上方，点在直线的下方，且时，求的度数； (3)在绕着点旋转的过程中，是否存在的情况？若存在，请先在备用图中画出图形，再求的度数． 【答案】(1)， (2) (3)存在的情况，画图见解析，或 【分析】本题考查三角板中角度的计算，平行线的性质，同角的余角相等． （1）根据三角板的知识可知，由角之间的数量关系，即可得，从而可得； （2）由平行线的性质可得，与相加，即可得； （3）根据题意作图，由平行线的性质，结合同角的余角相等，以及角之间的数量关系，即可得的度数． 【详解】（1）解：由已知可知，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，， ∴， ∴ （3）解：在绕着点旋转的过程中，存在的情况，如图，图， 如图，，， ∴， ∵， ∴， 如图，，， ∴， ∵， ∴， 综上，或． 7．（2025九年级上·河北·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 8．（2025·湖北·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________； 【探究猜想】 （2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明； 【探究应用】 （3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）45；（2），见解析；（3）等边三角形，见解析 【分析】（1）利用正方形性质及折叠性质，求出的度数； （2）通过构造全等三角形，将、转化到同一条线段上，从而证明与的关系； （3）连接，利用菱形性质和等边三角形判定，证明三角形全等，进而判断的形状． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ， 由折叠的性质得 ． 故答案为：45； （2）， 证明如下：如解图①，延长到点，使得，连接． ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ； （3）是等边三角形，理由如下： 如图②，连接， 四边形是菱形， ． ， 和都是等边三角形， ． ， ， ， 在和中， ， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【经典例题二 关于原点对称的点的坐标】 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上． (1)画出将向下平移5个单位长度得到的； (2)画出关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，点的坐标为． 【分析】本题主要考查了图形的平移和旋转，根据题意找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用图形平移的性质，找出对应点的位置，连线即可． （2）利用关于原点对称点的性质，找出对应点的位置，连线，写出所求点的坐标即可． 【详解】（1）（1）如图，即为所求． （2）（2）如图，即为所求，点的坐标为． 答：点的坐标为． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)见详解，19 【分析】本题主要考查了坐标与图形、关于原点中心对称的点的坐标特征、勾股定理、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征“将原坐标的横纵坐标都取相反数”，即可获得答案； （2）根据，，利用勾股定理求解即可； （3）首先在图中表示出、、三点，顺次连接，然后利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：点与点关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：； （2）∵，， ∴． 故答案为：； （3）在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示， 由图可知，． 11．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，各顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点的对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形和旋转变换，解题的关键是掌握相关知识． （1）分别作出点、、的对应点、、，再依次连接即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的，已知点的坐标为，写出顶点的坐标； (2)若和关于原点成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标； (3)画出绕点按顺时针方向旋转90°得到的． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换和平移变换的定义是解题的关键． （1）由点的对应点的坐标得出平移的方向和距离，据此可得； （2）根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数可得； （3）将三角形三顶点分别绕着点按顺时针方向旋转得到对应点，据此可得． 【详解】（1）如图，为所作， 因为点平移后的对应点的坐标为，所以先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 所以点的坐标为； （2）因为和关于原点成中心对称图形， 所以； （3）如图，为所作． 13．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)作出将向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形； (2)作出关于原点成中心对称的图形； (3)作出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形；并求出线段在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析， 【分析】本题主要考查作图，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握平移，关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平移的特点找到对应点画出图形即可； （2）根据关于原点的中心对称的点的坐标特征找到对应点进行求解即可； （3）根据旋转的性质画出图形，由勾股定理求出的值，即可求出面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：由题意可得， 由勾股定理得， 在旋转过程中，线段扫过的面积为 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且． (1)①画出绕原点O顺时针旋转后的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）． ②若点P(m，n)在内，其旋转后的对应点为，直接写出的坐标( ， )（用m、n来表示）． (2)画出关于原点O成中心对称的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）． 【答案】(1)①作图见解析；②n；． (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了图形基本变换中的旋转及中心对称的知识，解决问题的关键是先找准对应点，并依次连接对应点． （1）①连接，，以O为旋转中心，顺时针旋转作出，，与原对应线段相等，对应点分别为点、、，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三角形；②明确绕原点顺时针旋转的坐标变换规则：在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转后，其坐标变为 即可按照规则解答； （2）根据中心对称的性质，反向延长、、，根据对应线段相等作出对应点，，，连接，，即可． 【详解】（1）解：①如图即为所求 ②点绕原点顺时针旋转，根据旋转规律，坐标为 ．   故答案为：n；． （2）如图所示：即为所求 15．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． (1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． (2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． (3)直接写出与y轴交点的坐标 ． 【答案】(1) (2)画图见解析； (3) 【分析】此题主要考查图形的中心对称和平移、求一次函数解析式，牢记图形中心对称的性质和图形平移的性质是解题的关键． （1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． （2）由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，先确定三个顶点平移后的对应点，依次连接对应点即可求得答案． （3）采用待定系数法求得直线的解析式，进而可求得答案． 【详解】（1）解：∵点与点关于原点对称， ∴点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图所以，由其三个顶点确定，根据图形平移的方向和距离，三个顶点平移后的对应点分别为，，，依次连接，，，即为所求． ． （3）解：设直线的解析式为． 因为的图象经过点，，则 解得 ∴直线解析式为． 当时，，即与轴交点的坐标为． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，若点在坐标原点，点， ①点的“对应点”的坐标为______； ②若点的“对应点”的坐标为，则点的坐标为______； (2)如图，已知的半径为1，是上一点，点，若为外一点，点为点的“对应点”，连接． ①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示） ②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为______（用含的式子表示） 【答案】(1)①；② (2)； 【分析】（1）①点绕点逆时针旋转得，再求点关于点的对称点为； ②点关于点的对称点为，点绕点顺时针旋转，得到点； （2）①根据题意作出点，过点作平行于轴的线，过点作垂直于线，交于点，过点作垂直于线，交于点，证明，可知，，根据在第一象限，，可得，，继而得出的坐标，由于，点关于点的对称点为，即可得出的坐标； ②根据①中点的坐标，表示出点的横纵坐标的关系，可得出点在圆心为、半径为的圆上，继而得到最长为，最短为，即可求出长的最大值与最小值的积． 【详解】（1）解：①∵由题意可知 ∴点绕点逆时针旋转，得到点， ∴点关于点的对称点为， ∴点的“对应点”的坐标为， 故答案为：； ②点的“对应点”的坐标为， ∴点关于点的对称点为， ∴点绕点顺时针旋转，得到点， 故答案为：． （2）解：①如图，根据题意作出点，过点作平行于轴的线，过点作垂直于线，交于点，过点作垂直于线，交于点， ∵由题意可知，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵在第一象限，， ∴，， ∴， 又∵，点关于点的对称点为， ∴， ②∵， ∴，， ∴ ， ∵的半径为1，是上一点， ∴， ∴ ， ∴点在圆心为、半径为的圆上， ∴最长为，最短为， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转作图及中心对称，三角形全等的判定和性质及圆的知识点，理解题目意思，正确找到“对应点”和写出对应的坐标是解答本题的关键． 【经典例题三 中心对称图形规律问题】 17．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 故答案为； （2）过点作轴于点H，如图所示： ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 18．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形点阵中，点A与点B关于点O成中心对称． (1)标出点O，在点阵中任选一格点C（不与A、B、O重合），作出C关于O的中心对称点D；若点A坐标为A（-2，4），请写出你作出的D点坐标； (2)指出以A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析，（0，0）； (2)平行四边形． 【分析】（1）由中心对称的性质作图即可； （2）由中心对称的性质即可判断． 【详解】（1）如图： 若点A坐标为A（-2，4）,则． （2）平行四边形 理由：由中心对称，有 ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查中心对称、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 19．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如：函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”，若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)、 (2) (3)或或 【分析】（1）设函数的伴随函数上一点为T（x，y），则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数图象上，将T′代入化简即可； （2）得出函数的伴随函数，根据二次函数的图象性质计算求值即可； （3）求得函数的伴随函数，结合两函数的图象特征分别讨论两函数与线段AB相交的情况，以及两函数有一个交点重合时的情况；再叠加分析即可解答； 【详解】（1）解：设函数的伴随函数上一点为T（x，y）， 则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数上，即，， ∴函数的伴随函数为； 设函数的伴随函数上一点为T（x，y）， 则T关于原点的对称点T′（-x，-y）在函数上，即，， ∴函数的伴随函数为； （2）解：设函数的伴随函数上一点为T（x，y）， 由中点坐标公式可得T关于点P（m，3）的对称点T′的坐标为（2m-x，6-y），则T′在函数上，即，， 若函数在上递增， ∵函数开口向上对称轴为x=1，∴m≥1，∵m＜7，∴1≤m＜7， 若函数在上递增， ∵函数开口向下对称轴为x=2m-1，∴7≤2m-1，m≥4，∵m＜7，∴4≤m＜7， ∴函数与其伴随函数在上都递增时4≤m＜7； （3）解：二次函数， 由（2）解答可得其关于点C（2，0）伴随函数为： ，， 如图，函数的图象为M，函数的图象为N， 由图可得：对于函数， ∵x=-1或x=3时函数值为0，∴函数过（-1，0）、（3，0）两点， 当x=4处的函数值≥1时，与AB有一个交点，此时9a-4a≥1，解得：a≥， 当x=4处的函数值＜1时，与AB没有交点，此时9a-4a＜1，解得：0＜a＜， 对于函数，顶点坐标为（3，4a）， x=1或x=5时函数值为0，∴函数过（1，0）、（5，0）两点， 当4a＜1时，与AB没有交点，此时0＜a＜， 当4a=1时，与AB有一个交点，此时a=， 当4a＞1时，且x=4处的函数值≤1时，与AB有两个交点，此时4a＞1，且-a+4a≤1，解得：＜a≤， 当两函数与AB的交点重合时：， =，=， 解得：x=，代入①得：a=，∵＜a≤，∴a=； 当4a＞1时，且x=4处的函数值＞1时，与AB有一个交点，此时4a＞1，且-a+4a＞1，解得：a＞， M与AB没有交点，N与AB有两个交点时，0＜a＜，＜a≤不成立； M、N分别与AB有一个交点时，a≥，或，即或； M、N与AB有一个交点重合时，a≥，＜a≤，a=；即a=； 综上所述，两函数与AB恰有两个交点时，或或； 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，二次函数的性质，二次函数与线段的交点问题；此题综合性较强难度大，熟练掌握二次函数的图象性质是解题关键． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段的中点．如图，在直角坐标系中，的顶点A、B、O的坐标分别为，，．点列，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称：点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，试写出点的坐标． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：作关于A点的对称点，即可得到，分析题意，知6个点一个循环， 即可点，，，，，…… 则的坐标与的坐标一样， ∵， ∴的坐标与的坐标一样， ∴，，． 21．（2025·浙江宁波·模拟预测）只用直尺（无刻度）完成下列作图： （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积； （2）如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积； （3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积． 【答案】（1）如图直线l如图所示．见解析；（2）如图直线l如图所示．见解析；（3）直线m如图所示．见解析. 【分析】（1）作正方形对角线所在的直线即为所求． （2）过正方形的中心作直线即可． （3）利用分割，补形，调整的策略解决问题即可． 【详解】（1）如图直线l如图所示． （2）如图直线l如图所示． （3）直线m如图所示． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是学会利用分割，补形，调整的策略解决问题． 22．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 23．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． 24．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB． （1）求线段AC的长度． （2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点． ①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值． ②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形． 【分析】（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出结果； （2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值即可求出t的值； ②当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出a即可得到点N的坐标；当N点在x轴上方时，点与N关于对称，得到点N’的坐标． 【详解】（1）把代入得：， 一次函数解析式为， 令，得， ∴， 在中，，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ； （2）①设， ∴P在线段AB上， ∴， 设直线AC的解析式为，代入，得： ， ∴， ∴， 又∵轴，则， ∴， ， 又∵， ∴得． ②如图所示，当N点在轴下方时， ∵， ∴， ∴， ∵是以PM为直角边的等腰直角三角形， 当时，，， 设， 过P点作直线轴，作，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，作，则， ∵， ∴， ∴M在直线AB上， ∴ ， ∴， ∴． 当N点在x轴上方时，如图所示： 点与关于对称， 则，即， 综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形． 【点睛】题目主要是考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点综合运用是解题的关键． 【经典例题四 旋转中的规律问题】 25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段； ①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出； 图1展示了当时的情况，此时图中三角形的个数为0； 图2展示了当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2； （1）当时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中有 个三角形； （2）试猜想当对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？此时最少三角形的个数能否为2010个？如果能为多少？ 图1                    图2                图3 【答案】（1）略 （2）1006   2010个三角形 【详解】（1） 以上两种画图都正确（任其一种） ……………………………………… 2分 4 …………………………………………… 4分 （2）解:当有对点时，最少可以画个三角形 ……………………………6分 ∴当时，最少可以画2010个三角形．……………………………… 7分 26．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： (1)______； (2)猜想：______． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用直角三角形性质和勾股定理求出，，再结合旋转的性质求解，即可解题； （2）结合题意得到其规律为从开始，每3个增加的一个周长，根据规律求解，即可解题； （3）同（2）先算出，进而得到，根据的面积的面积的面积列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，，，， ， ， 结合旋转的性质，以及，，， ， 故答案为：． （2）解：由题知，从开始，每3个增加的一个周长， ， ； 故答案为：． （3）解：， ， ， 的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题考查直角三角形性质，勾股定理，旋转的性质，图形的规律，解题的关键在于结合旋转的性质得到图形的规律． 27．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在直角坐标平面内，已知面积为10的正方形的顶点A在x轴上，且点A的坐标为， 点B的坐标为． 分别过点 B、点D作x轴的垂线和， 垂足分别为M、N． (1)利用 可求得点D的坐标为 ，用类似的方法可求出点C的坐标为 ； (2)如果正方形绕着顶点顺时针方向在x轴上连续翻转．翻转1次(即以点 A 为旋转中心，沿着x轴的正方向顺时针旋转正方形)，点 B落在x轴上(记作那么点 的坐标为 ．继续沿着x轴的正方向翻转正方形，它在x轴上的落点分别是 按此规律翻转下去，当2024 次翻转后，在x轴上落点的坐标为 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查坐标与图形、正方行的性质、全等三角形的判定与性质和图形的翻转， （1）通过正方形和直角三角形的性质证明两个角和一条边相等即可证明三角形全等； （2）先求出正方行的边长，再根据翻转的性质得到每次翻转后横坐标的增加量，找出落在x轴上的点的变化规律，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为 如下图所示，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点D作y轴的垂线，垂足为E，两条垂线交于点P， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形正方形， ∴ ∴，, ∴点C的坐标为， 故答案为：， （2）解：根据旋转的性质得到, ∵正方形的面积为10， ∴， ∴点 的坐标为， ∵每次翻转后，点的横坐标增加量为正方形的边长，即， ∴第二次翻转后的坐标为，即 ∴第三次翻转后的坐标为，即， ∴第四次翻转后的坐标为， ∴第五次翻转后的坐标为， ∴落在x轴上的点以A、B、C、D周期变化， ∵， ∴第2024次翻转后的点坐标为， 故答案为：，． 28．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）【问题情境】数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景研究有关图形旋转活动，如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到（点分别是点的对应点），旋转角为． 【特例分析】（1）如图1，当旋转到时，旋转角的度数为___________； 【探究规律】（2）如图2，在旋转过程中，与相交于点，与相交于点，赵辰同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论； 【拓展延伸】（3）如图3，延长直线交于点，当时，求旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得和，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，由 可判定，即可得证； （3）由旋转的性质得．当时，．根据，得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：在中，， ． 是由绕点旋转得到的， ． ， 即． 在和中， ， ， ； （3）解：是由绕点旋转得到，， ． ， ． ， ， ， 旋转角的度数为． 29．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 【答案】(1)将菱形B绕点O旋转 (2)见解析 (3)①图见解打，②③ 【分析】此题主要考查了图形变化规律，作图平移和旋转，点的坐标，关键是掌握平移与旋转的性质． （1）根据图形直接得出结论； （2）从图中可以观察变化规律是，正方形每次绕其中心顺时针旋转，每个阴影部分也随之旋转． （3）①首先确定、、三点平移后的对应点位置，再连接，然后写出点点的坐标即可； ②根据关于原点对称的点的坐标特点可得的坐标； ③根据旋转的性质确定点的位置． 【详解】（1）解：观察分析①②的不同，变化前后，的位置不变， 而的位置由的下方变为的上方，进而可得两者对应点的连线交于点， 即进行了中心对称变化，变换方法是将菱形绕点旋转， 故答案为：菱形绕点旋转． （2）解：如图： （3）解：①如图所示，即为所求，的坐标为， ②将绕点按顺时针方向旋转后得到，点的坐标为， 故答案为：； ③将绕点按顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图1，在中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． 特例分析： （1）如图2，当时，连接，求的长． 探究规律： （2）如图3，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现始终为等腰三角形，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和分类等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）可得是等腰直角三角形，进而得出结果； （2）可证得，从而得出； （3）可证得，分为：当时，可得出，当，此时，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即始终为等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ， 作，垂足为H， ， 在中，， ， ， 解得：， ∴， 综上所述：或． 31．（24-25九年级上·河南郑州·期中）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动． 如图1，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为．设与相交于点，分别交，于点，． 【特殊位置】 （1）如图1，当旋转到时，同学们发现等于旋转角，都为________度． 【探究规律】 （2）如图2，在绕点逆时针旋转过程中，同学发现始终与旋转角相等，请证明这一结论． 【拓展延伸】 （3）①在绕点逆时针旋转过程中，当为等腰三角形时，旋转角等于________度； ②如图3，延长，相交于点，请判断与的关系，并说明理由． 【答案】（1）40；（2）见解析；（3）①或；②，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，多边形内角和，全等三角形的判定与性质和旋转的性质，熟练运用相减知识是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质和旋转的性质即可得到结论； （2）由旋转可知，求得得到，于是得到结论； （3）①根据旋转的性质得到，求得，由（1）知，当时，当时，当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论； ②根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据四边形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由旋转得，， 在四边形中， ， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）证明：由旋转可知， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵为旋转角 ∴始终与旋转角相等; （3）①.将绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， 当时，， ∴（不合题意，舍去）， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，当为等腰三角形时，旋转角等于或， 故答案为：或； ②，理由如下： ∵将绕点A逆时针旋转，得到, ∴，，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． 32．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点. 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm. 小牧根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整: (1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是 ； (2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表: 0.51 1.02 1.91 3.47 3 4.16 4.47 3.97 3.22 2.42 1.66 a 2.02 2.50 通过测量。可以得到a的值为 ； (3)在平面直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象; (4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm. 【答案】（1）0≤x ≤5；（2）1.74；（3）见解析；（4）0.8或者4.8. 【分析】（1）考虑点P的临界位置∠APB=60°时，D与B重合，计算出此时的PB长，即可知x的取值范围； （2）根据图形测量即可； （3）描点连线即可； （4）画直线y=3.5与图象的交点即可观察出x的值. 【详解】（1）如图1，当∠APB=60°时，D与B重合，作PE⊥AC于E， ∵∠C=30°，∠APB=60°， ∴∠CAP=30°, ∴PC=AP， ∴CE=AE=, ∴PC=2, ∴PB=5, ∴0≤x ≤5 ； （2）测量得a=1.74； （3）如下图所示，    （4观察图象可知，当y=3.5时 x=0.8或者4.8. 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及描点法画函数图象，利用图象求近似值，体现了特殊到一般，再由一般到特殊的思想方法. 【经典例题五 旋转中的最值探究问题】 33．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，点D在内连接、、，求的最小值． 【答案】 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，连接，，首先证明出是等边三角形，得到，，得到当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． ∴，，， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，能够想到利用旋转的性质作出复杂的辅助线是解答本题的关键． 34．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，先将绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且． (1)若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长； (2)若，，点P在边上，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，可证，通过证明四边形是矩形，可得，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由垂线段最短可得当时，的长度有最小值，先证点P，点E，点D三点共线，由勾股定理可求的长，由正方形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵B、E、D三点共线， ∴， ∴， ∵将线段绕点D顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点P在边上， ∴当时，的长度有最小值， 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点E，点D三点共线， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ， ， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，旋转的性质，矩形、正方形的判定与性质的应用是解题的关键． 35．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)是 (2)4 (3)8 【分析】本题主要考查了利用旋转作全等三角形，三角形和四边形的面积，等补四边形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用旋转作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）如图3，作辅助线：将绕点逆时针旋转的大小，得，先证明三点共线，则，当时，的面积最大，从而得结论． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）∵， ∴将绕点逆时针旋转的大小，得，如图3， ∴， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， 当时，的面积最大，为， 则四边形面积的最大值为8． 36．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)图见解析，点的坐标为 (3)的最小值为 【分析】本题考查了作图—旋转变换，平移变换，轴对称变换，勾股定理，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据平移的性质即可将向左平移5个单位得到，进而可得的坐标； （2）根据旋转的性质即可将绕点O顺时针旋转后得到，进而写出的坐标； （3）找点A关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，根据网格和勾股定理即可求的最小值． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如上图，即为所求，点的坐标为； （3）解：如图，点与点关于轴对称，连接交轴于点， ∴， 的最小值为． 37．（24-25九年级上·山东青岛·期中）的各顶点坐标分别为，将先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到． (1)如果将看成是由经过一次平移得到的，则平移的距离是 个单位长度； (2)在y轴上有点D，则的最小值为 个单位长度； (3)作出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】(1) (2)5 (3)见解析 【分析】（1）由平移的性质可知平移的距离是，计算求解即可； （2）如图1，作关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则，，当三点共线，最小，即点D为所求，然后求的长即可； （3）由旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：∵将看成是由经过一次平移得到的， ∴平移的距离是个单位长度； 故答案为：； （2）解：如图1，作关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则，，                   图1 ∴， 当三点共线，最小，为，即点D为所求， ∴的最小值为个单位长度； 故答案为：5； （3）解：由旋转的性质作图，如图1，即为所作． 【点睛】本题考查了平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握平移的性质，轴对称的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 38．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点F，G，H分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ； (2)探究证明 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)等边三角形，理由见解析 (3) 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大． （1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，由三角形内角和定理得到，最后即可得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，，，即可得出，同（1）的方法得到，即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论． 【详解】（1）解：点F，H分别是，的中点， ∴，， 点H、G是，的中点， ∴，， ∵，， ， ∴， ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转知，， ∵，， ， ，， ∵点F，G，H分别为，，的中点． ∴，，，， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形； （3）解：由（2）知，是等边三角形，， 最大时，面积最大， 点在的延长线上时，最大，即最大， 此时如图，， ， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 39．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 【答案】(1)5； (2),理由见解析 (3)①或；②，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． （1）的最小值即第一次平分时的值；求出的度数即可求出的值； （2）用含的代数式分别表示出和，然后相减即可； （3）①分在的左侧时和在的右侧时两种情况求解； ②由题意得，，，，从而，，进而可得； 【详解】（1）解：由题意可得：, ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵，， ∴； （3）解：①如图4， ， 当在内部时， ∵，，， ∴， ∴， 如图5： ， 当在外部时， ∵，，， ∴， ∴， 综上所述：或； ②如图6： ， ∵，， ∴； 40．（24-25九年级上·山东济南·期中）【课本再现】如图1，在中，M、N分别是、的中点，则线段是的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________； 【触类旁通】如图2，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________； 【深度发现】已知：如图3，在中，中线，交于点O，F，G分别是，的中点．连接、、、，试判断四边形的形状； 【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（），其中，三角板从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（旋转角），在三角板旋转的过程中，取的中点G，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】课本再现：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半   触类旁通：  深度发现：是平行四边形，理由见解析  探索运用： 【分析】课本再现：根据三角形的中位线定理即可得到结论； 触类旁通：由点，，，分别是，，，的中点， 根据中线求得F的面积的面积，同理可得的面积的面积， 的面积的面积，根据三角形的面积公式即可得到结论； 深度发现：由，都是的中线，得到是的中位线，根据三角形中位线定理得到，得到且，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； 探索运用：取中点， 连接、， 由是中点，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】课本再现：三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半， 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； 触类旁通：∵点， ， ， 分别是， ，， 的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线， 是的中线，是的中线， ∴的面积 的面积的面积的面积， 同理可得的面积的面积， 的面积的面积， 又∵是的中位线， ∴的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：； 深度发现：证明： ∵ ，都是的中线， ∴是 的中位线， ， ∵，分别是，的中点， ， 且 ， ∴四边形是平行四边形； 探索运用：取中点， 连接、， 如图： ∵是中点， ， 在中，， ， ， ∵是斜边上中线， ， 当、、不在同一直线上时， ， 当在线段上时，， ， ∴、、三点共线时， 最大值． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形中位线定理，三角形的中线，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【经典例题六 旋转综合的应用问题】 41．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上．线段绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段（点、分别是A、B的对应点，也都在格点上），在图中作出旋转中心． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作旋转中心．连接，在网格中作的垂直平分线，交于点O，点O即为旋转中心. 【详解】解：如图，连接,在网格中作的垂直平分线，交于点O，点O即为旋转中心. 42．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）按下列要求画图： ①将图中的直角三角形向右平移到图方格中对应的位置上； ②再将平移后的图形沿直线l翻折到图的方格中； ③最后将翻折的图形绕点旋转到图的方格中． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是利用平移、轴对称以及旋转设计图案，熟知图形平移、轴对称以及旋转的性质是解答此题的关键，本题是一道比较简单的基础题． ①根据图形平移的性质画出图形；②根据翻折变换的性质画出图形；③根据旋转的性质画出图形． 【详解】解：①如图2， ②如图3， ③如图4 43．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数； (3)求与的面积之和，请直接写出结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，，可证明是等边三角形，即可得解； （2）根据证明，得出，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，即可得解； （3）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点，同理（1）（2）求出，，同理（2）得，推出，，再根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵等边， ∴，． ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形． ∴； （2）解：∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴是直角三角形． ∴； （3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点， 同理（1）得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理（2）得，是直角三角形，且，， ∴， 同理（2）得，， ∴， ∴与的面积之和等于与的面积之和， ∴与的面积之和为． 44．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． (1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； (2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查利用网格作图——旋转变换，轴对称的性质； （1）与是关于对称的，根据轴对称的性质，利用网格找到A点正上方两格处的E点，连接即为所求，是由绕点B顺时针旋转90°得到，找到B点下两格右四格的F点，连接即为所求； （2）由图2中网格可得，，所以. 【详解】（1）解：如图1中，线段BE，BF即为所求； （2）解：由图2中网格可得：，， ∴. 故答案为：． 45．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，，在平面内任取一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，，． (1)请根据题意补全图1； (2)猜测和的数量关系并证明； (3)作射线，交于点，把绕点旋转，当，，时，补全图形，直接写出的长． 【答案】(1)图见解析 (2)，证明见解析 (3)图见解析， 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）先证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）根据题意补全图形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：，证明如下： ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：①当点在左侧时，如图： ∵，，， ∴； ②当点在右侧时，如图： ∵，，， ∴； ∴综上所述，的长为． 46．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）通过“”证明即可得证； （2）取的中点M，连接，先证明，得到，再由，得到，进而证明，得到，由得到，即可证明，得到，因此，得到，最后由即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵由旋转有， 又， ∴， ∴ （2）证明：取的中点M，连接， 由旋转可得， ∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 47．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)图象见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图--轴对称变换，轴对称--最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）一个点关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为相反数； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求． 【详解】（1）解：关于x轴对称对应点分别为，如图所示： ； （2）解：关于y轴对称点为， 故答案为：； （3）解：如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，则即为所求： 理由如下： 由对称可知， 的周长为，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴当P为与y轴的交点时，的周长最小． 48．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 【答案】(1)点B或点C或线段的中点 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转、平移的性质、平行四边形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得答案； （2）根据平移的性质和等边三角形的性质得到，，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出答案． 【详解】（1）解：将绕点B逆时针旋转能与重合； 将绕点C顺时针旋转能与重合； 将绕线段的中点旋转能与重合； ∴满足题意的点为点B或点C或线段的中点； 故答案为：点B或点C或线段的中点； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵等边和有公共边， ∴，， ∴， 根据平移的性质得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【经典例题七 坐标系中的动点问题（不含函数）】 49．（25-26九年级上·四川南充·阶段练习）如图，中，，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，点坐标为，点坐标为，求点的坐标 (2)如图2所示，过作轴于，求证：； (3)如图3所示，若轴恰好平分，与x轴交于点，过作轴于，求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，结合等腰三角形的性质、等角的余角相等求解是解题的关键． （1）作轴于，如图1，易得，根据等腰直角三角形的性质得，，再利用等角的余角相等得到，证明，得到，，所以； （2）与（1）一样的方法可证明，得到，，易得； （3）如图3，和的延长线相交于点，先证明得到，再利用对称性质得，进而得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作轴于， ，， ，， 是等腰三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （2）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）证明：如图3，延长与的延长线相交于， ， 轴， ， ， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ． 50．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）综合与实践，如图在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， (1)求点B的坐标 (2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒． 【分析】本题考查了坐标与图形，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据点A、C的坐标得到，，再结合长方形的性质求解即可； （2）由题意可知，当点P移动到4秒时，点P的移动距离为，再根据点P的移动路线可知，点P在上，写出点P的坐标即可． （3）分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在上时，分别求出点P的移动距离，再求出点P移动的时间即可． 【详解】（1）解：点A坐标为，点C的坐标， ，， 长方形， ，，， 点B的坐标为； （2）解：当点P移动到4秒时，点P的移动距离为， 点P沿着的路线移动，且，， 点P在上，坐标为，即． （3）解：①如图，当点在上时， 点P移动到距离x轴4个单位长度， ， 点P的移动距离为， 点P移动的时间为秒； ②如图，当点在上时， 点P移动到距离x轴4个单位长度， ， 点P的移动距离为， 点P移动的时间为秒； 综上可知，点P移动的时间为秒或秒． 51．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性求解即可； （2）设经过x秒，，列方程求出x的值即可； （3）分点P在y轴右侧时和点P在y轴左侧时两种情况，根据以A、、、为顶点的四边形的面积是列方程求出x的值，即可求出P点的坐标. 本题考查了坐标与图形性质，非负性的应用，平行线的判定与性质，梯形的面积，难度适中，运用数形结合与方程思想是解题的关键. 【详解】（1）解：∵， ，， ∴，， ∴点E 坐标为； 故答案为：4，6，. （2）解：， ， 设经过x秒，， 依题意，得， 解得 ， ∴经过2秒. （3）解：当点P在y轴右侧时， 依题意，得 , 解得, 则, 此时点P 的坐标为; 当点P在y轴左侧时， 依题意，得 , 解得 , 则, 此时点P 的坐标为 ． 综合以上可得点P的坐标为或 ． 52．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 【答案】【阅读材料】能，图见详解；【解决问题】，；【拓展延伸】 【分析】本题主要考查了坐标与图形及三角形全等的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． [阅读材料]结合图形，作于，作于，即可求解； [解决问题] 作轴于，证明，得，进而可得，； [拓展延伸] 作轴于，证明，得，结合线段的和差关系即可求解． 【详解】解： [阅读材料]能，作于，作于，如图， ， ， ， ， ； [解决问题] 作轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ； ； [拓展延伸] 作轴于， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， 轴， ， 轴， ， 点为y轴负半轴上一动点， ， ． 53．（24-25九年级上·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上． (1)如图1，若平分，平分，试说明； (2)如图2，连接，，求和的面积； (3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)，，， 【分析】此题考查了坐标和图形，数形结合是关键． （1）证明，即可证明结论成立； （2）求出，根据即可求出答案； （3）依次求出，，，，，，即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）设动点在轴上时： ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， 设动点在轴上时： ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 则 54．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在，或或或 【分析】（1）结合点A，B的坐标根据平移特点横坐标加上3，纵坐标不变可得答案； （2）作，根据平移的性质得，再根据平行线的性质得然后根据可得答案； （3）先求出平行四边形的面积，分点P在x轴上时，作出图形根据，可得答案；然后根据点P在y轴上时结合，可得答案；最后根据点P在y轴正半轴时，结合，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵线段的两个端点坐标分别为，将线段向右平移3个单位长度，得到线段， ∴； （2）解：理由如下： 过点F作，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∴ ∵ ∴， 即：； （3）解：存在；理由如下： 由平移的性质得：． ∵ ∴，边上的高为2， ∴． ①当点P在x轴上时，如图所示： 则， ∴， ∴点P的坐标为：或； ②当点P在y轴上时， 设点P的坐标为， 若点P在y轴负半轴，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 点P在y轴正半轴时，如图所示： 则， 即， 解得：， ∴； 综上所述，点P的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标内线段的平移，平行线的性质，求点的坐标，求三角形和平行四边形的面积，注意分情况讨论，不能丢解． 55．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)、， (2) (3)不变， 【分析】（1）根据实数的非负性，结合图形的面积，点所在象限，计算点C的坐标即可． （2）根据角的平分线定义，直角三角形的性质，三角形内角和定理计算即可． （3）过点D作，过点N作，利用平行线的判定和性质，角的平分线的定义，解答即可． 【详解】（1））∵， ∴，， 解得，， ∴、． ∴，． ∵， ∴， 解得，， ∵C在第四象限， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴； （3）在图3中，，大小不会发生变化， 理由如下：过D作，，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵AN平分，MN平分， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了实数的非负性，平行线的判定和性质，垂直的应用，角的平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 56．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 【答案】（1）3，或；（2）①， 【分析】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质，点到坐标轴的距离． （1）根据题意列式计算即可； （2）①由平移的性质得到，由题意得 ，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可；②过点A作 轴于点 G，由题意，得 ， 求出， 设点，由，求出；再根据，求出；最后利用即可求解． 【详解】解：（1）∵，轴， ∴； ∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴或； （2）①如图， ∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得 ， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴； ②过点A作 轴于点 G， 由题意，得 ， ∴， 设点， ∵， ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 旋转章末56道压轴题型专训（7大题型） 题型一 根据旋转的性质求解 题型二 关于原点对称的点的坐标 题型三 中心对称图形规律问题 题型四 旋转中的规律问题 题型五 旋转中的最值探究问题 题型六 旋转综合的应用问题 题型七 坐标系中的动点问题（不含函数） 【经典例题一 根据旋转的性质求解】 1．（24-25九年级上·河南郑州·期中）探究说理．如图，将以点为中心，沿顺时针方向旋转后得到，已知，且是的平分线，试猜想的度数，并说明理由．    2．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，已知中，，把绕点顺时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，当四边形是菱形时，求的长． 3．（24-25九年级上·四川泸州·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，若绕某个点顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是______； (2)旋转的度数是______； (3)若，则______． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）综合与实践 主题：研究旋转的奥妙． 素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍． 步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点M在上（不与点P，Q重合），将木棍绕点M顺时针旋转，得到线段，点A的对应点为N，连接． 猜想与证明：试判断线段与线段的数量关系，并证明． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接． (1)试判断四边形的形状，并证明你的判断； (2)如图②，若，，请求出的长； (3)如图①，若，，请求出的长． 6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题，于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点在平面内转动．其中，，． (1)如图，若，则______，______； (2)如图，当点在直线的上方，点在直线的下方，且时，求的度数； (3)在绕着点旋转的过程中，是否存在的情况？若存在，请先在备用图中画出图形，再求的度数． 7．（2025九年级上·河北·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 8．（2025·湖北·模拟预测）【问题发现】 （1）如图1，小万将正方形纸片折叠，使得边都落在对角线上，展开得到折痕，连接，则___________； 【探究猜想】 （2）小唯将图1中的绕点旋转，使它的两边所在直线分别交边，于点，，连接，如图2．小唯猜想线段之间存在某种数量关系，请你帮小唯猜想线段之间的数量关系，并证明； 【探究应用】 （3）小原受到小唯的启发，想探究如图3所示的一个内角为的菱形中满足的相关结论，他在边上取点，连接，以为边向右作，交于点，连接．请你试着判断的形状，并说明理由． 【经典例题二 关于原点对称的点的坐标】 9．（2025·甘肃武威·模拟预测）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点均在格点上． (1)画出将向下平移5个单位长度得到的； (2)画出关于原点对称的，并写出点的坐标． 10．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 11．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，各顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点的对称的图形； (2)将绕点顺时针旋转得到，请在网格中画出． 12．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出经过平移后得到的，已知点的坐标为，写出顶点的坐标； (2)若和关于原点成中心对称，不画图直接写出顶点的坐标； (3)画出绕点按顺时针方向旋转90°得到的． 13．（24-25九年级上·云南保山·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)作出将向左平移5个单位，向上平移1个单位后得到的图形； (2)作出关于原点成中心对称的图形； (3)作出将绕点按顺时针方向旋转后得到的图形；并求出线段在旋转过程中扫过的面积． 14．（24-25九年级上·广东广州·期中）网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且． (1)①画出绕原点O顺时针旋转后的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）． ②若点P(m，n)在内，其旋转后的对应点为，直接写出的坐标( ， )（用m、n来表示）． (2) 画出关于原点O成中心对称的图形，其中点与点A对应，点与点B对应，点与点C对应（不写画法）． 15．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，是经过某种变换后得到的图形，分别观察点与点，点与点，点与点的坐标之间的关系． (1)若三角形内任意一点的坐标为，点M经过这种变换后得到点N，根据你的发现，点N的坐标为 ． (2)若三角形先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形，画出三角形，并求三角形的面积． (3)直接写出与y轴交点的坐标 ． 16．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点绕点逆时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． (1)如图，若点在坐标原点，点， ①点的“对应点”的坐标为______； ②若点的“对应点”的坐标为，则点的坐标为______； (2)如图，已知的半径为1，是上一点，点，若为外一点，点为点的“对应点”，连接． ①当点在第一象限时，求点的坐标（用含，，的式子表示） ②当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积为______（用含的式子表示） 【经典例题三 中心对称图形规律问题】 17．（2025·江西赣州·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 18．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，正方形点阵中，点A与点B关于点O成中心对称． (1)标出点O，在点阵中任选一格点C（不与A、B、O重合），作出C关于O的中心对称点D；若点A坐标为A（-2，4），请写出你作出的D点坐标； (2)指出以A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由． 19．（2025·江苏南通·模拟预测）定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如：函数与关于原点O互为“伴随函数”． (1)函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ． 函数关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 ； (2)已知函数与函数G关于点P（m，3）互为“伴随函数”，若当时，函数与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围； (3)已知点A（0，1），点B（4，1），点C（2，0），二次函数与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围． 20．（2025·湖北武汉·模拟预测）如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段的中点．如图，在直角坐标系中，的顶点A、B、O的坐标分别为，，．点列，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称：点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，试写出点的坐标． 21．（2025·浙江宁波·模拟预测）只用直尺（无刻度）完成下列作图： （1）如图1，过正方形ABCD的顶点A作一条直线平分这个正方形的面积； （2）如图2，不过正方形EFGH的顶点作直线l平分这个正方形的面积； （3）如图3，五个边长相等的正方形组成了一个“L型”图形，作直线m平分这个“L型”图形的面积． 22．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 23．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 24．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB． （1）求线段AC的长度． （2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点． ①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值． ②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题四 旋转中的规律问题】 25．（24-25九年级上·江苏南通·期中）两条平行直线上各有个点，用这对点按如下的规则连接线段； ①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点； ②符合①要求的线段必须全部画出； 图1展示了当时的情况，此时图中三角形的个数为0； 图2展示了当时的一种情况，此时图中三角形的个数为2； （1）当时，请在图3中画出使三角形个数最少的图形，此时图中有 个三角形； （2）试猜想当对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？此时最少三角形的个数能否为2010个？如果能为多少？ 图1                    图2                图3 26．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转．根据以上规律，解决下列问题： (1)______； (2)猜想：______． (3)连接，求的面积． 27．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，在直角坐标平面内，已知面积为10的正方形的顶点A在x轴上，且点A的坐标为， 点B的坐标为． 分别过点 B、点D作x轴的垂线和， 垂足分别为M、N． (1)利用 可求得点D的坐标为 ，用类似的方法可求出点C的坐标为 ； (2)如果正方形绕着顶点顺时针方向在x轴上连续翻转．翻转1次(即以点 A 为旋转中心，沿着x轴的正方向顺时针旋转正方形)，点 B落在x轴上(记作那么点 的坐标为 ．继续沿着x轴的正方向翻转正方形，它在x轴上的落点分别是 按此规律翻转下去，当2024 次翻转后，在x轴上落点的坐标为 ． 28．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）【问题情境】数学活动课上，同学们以等腰三角形为背景研究有关图形旋转活动，如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到（点分别是点的对应点），旋转角为． 【特例分析】（1）如图1，当旋转到时，旋转角的度数为___________； 【探究规律】（2）如图2，在旋转过程中，与相交于点，与相交于点，赵辰同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论； 【拓展延伸】（3）如图3，延长直线交于点，当时，求旋转角的度数． 29．（24-25九年级上·山东济南·期中）图形变换大观园：请阅读各小题的要求，利用你所学的平移与旋转知识作答． (1)如图1，是某产品的标志图案，要在所给的图形图2中，把A，B，C三个菱形通过一种或几种变换，均可以变为与图1一样的图案．你所用的变换方法是________． ①将菱形B向上平移半径的长度；②将菱形B绕点O旋转；③将菱形B绕点O旋转． （在以上的变换方法中，选择一种正确的填到横线上．） (2)分析图①、②、④中阴影部分的分布规律，并按此规律在图③中画出其中的阴影部分． (3)如图，在平面直角坐标系中，已知点、、． ①若将先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到，请画出，并写出点的坐标为________； ②若将绕点O按顺时针方向旋转后得到，直接写出点的坐标为________； ③若将绕点P按顺时针方向旋转后得到，则点P的坐标是________． 30．（24-25九年级上·河北邢台·期中）如图1，在中，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点分别是点的对应点），旋转角为，线段与相交于点，线段分别交于点． 特例分析： （1）如图2，当时，连接，求的长． 探究规律： （2）如图3，连接，在绕点逆时针旋转的过程中，淇淇同学发现始终为等腰三角形，请你证明这一结论． 拓展延伸： （3）在旋转过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 31．（24-25九年级上·河南郑州·期中）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动． 如图1，在中，，．将绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为．设与相交于点，分别交，于点，． 【特殊位置】 （1）如图1，当旋转到时，同学们发现等于旋转角，都为________度． 【探究规律】 （2）如图2，在绕点逆时针旋转过程中，同学发现始终与旋转角相等，请证明这一结论． 【拓展延伸】 （3）①在绕点逆时针旋转过程中，当为等腰三角形时，旋转角等于________度； ②如图3，延长，相交于点，请判断与的关系，并说明理由． 32．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，在钝角中，点为上的一个动点，连接，将射线绕点逆时针旋转，交线段于点. 已知∠C=30°，CA=2 cm,BC=7cm,设B，P两点间的距离为xcm,A,D两点间的距离ycm. 小牧根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究.下面是小牧探究的过程，请补充完整: (1)根据图形.可以判断此函数自变量X的取值范围是 ； (2)通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表: 0.51 1.02 1.91 3.47 3 4.16 4.47 3.97 3.22 2.42 1.66 a 2.02 2.50 通过测量。可以得到a的值为 ； (3)在平面直角坐标系xOy中.描出上表中以各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象; (4)结合画出的函数图象，解决问题:当AD=3.5cm时，BP的长度约为 cm. 【经典例题五 旋转中的最值探究问题】 33．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，点D在内连接、、，求的最小值． 34．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，先将绕点C顺时针旋转得到，再将线段绕点D顺时针旋转得到，连接，且． (1)若，B、E、D三点在同一条直线上，求的长； (2)若，，点P在边上，求线段的最小值． 35．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，四边形中，，，，求四边形面积的最大值． 36．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，画出，并写出点的坐标； (2)将绕点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标； (3)若点为轴上一动点，求的最小值． 37．（24-25九年级上·山东青岛·期中）的各顶点坐标分别为，将先向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到． (1)如果将看成是由经过一次平移得到的，则平移的距离是 个单位长度； (2)在y轴上有点D，则的最小值为 个单位长度； (3)作出绕点O顺时针旋转后的． 38．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点F，G，H分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ； (2)探究证明 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 39．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图1，在直线上摆放一副直角三角板，两三角板顶点重合于点O，，，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向转动，设转动时间为t秒． (1)如图2，若平分，则t的最小值为 ；此时﹣ 度；（直接写答案） (2)当三角板转动如图3的位置，此时、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由；（数量关系中不含t） (3)若当三角板开始转动的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针转动，当旋转至射线上时，两三角板同时停止运动： ①当t为何值时，； ②在转动过程中，请写出与的数量关系，并说明理由．（数量关系中不含t） 40．（24-25九年级上·山东济南·期中）【课本再现】如图1，在中，M、N分别是、的中点，则线段是的中位线，请叙述三角形的中位线定理：________________； 【触类旁通】如图2，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是________； 【深度发现】已知：如图3，在中，中线，交于点O，F，G分别是，的中点．连接、、、，试判断四边形的形状； 【探索运用】现将一大一小两个三角板按照如图4所示的方式摆放，C、E、B三点在一条直线上（），其中，三角板从图4所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转（旋转角），在三角板旋转的过程中，取的中点G，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【经典例题六 旋转综合的应用问题】 41．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上．线段绕着某一定点顺时针旋转一个角度后，得到线段（点、分别是A、B的对应点，也都在格点上），在图中作出旋转中心． 42．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）按下列要求画图： ①将图中的直角三角形向右平移到图方格中对应的位置上； ②再将平移后的图形沿直线l翻折到图的方格中； ③最后将翻折的图形绕点旋转到图的方格中． 43．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)求点与的距离； (2)求的度数； (3)求与的面积之和，请直接写出结果． 44．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C，D均为格点（即每个小正方形的顶点），线段关于直线对称的线段为． (1)线段绕点B顺时针旋转90°得到线段，在图1中画出线段、； (2)线段绕点B顺时针旋转α（）得到线段，若D，B，F三点共线，则与的关系为 （用等式表示）． 45．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，在中，，，在平面内任取一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结，，． (1)请根据题意补全图1； (2)猜测和的数量关系并证明； (3)作射线，交于点，把绕点旋转，当，，时，补全图形，直接写出的长． 46．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，点P为平面内一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至，使得，连接，，． (1)如图1，当点P在内部时，求证：； (2)如图2，当点P在所在直线上方时，与交于点F，若，F是的中点，求证∶． 47．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)直接写出点C关于y轴的对称点的坐标：_______； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 48．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知等边和等边有公共的底边． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为_____________；（写出所有的这种点） (2)如图2，已知是的中点，现沿着由点B到点的方向，将平移到的位置．请你判断：得到的四边形是平行四边形吗？说明你的理由． 【经典例题七 坐标系中的动点问题（不含函数）】 49．（25-26九年级上·四川南充·阶段练习）如图，中，，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． (1)如图1所示，点坐标为，点坐标为，求点的坐标 (2)如图2所示，过作轴于，求证：； (3)如图3所示，若轴恰好平分，与x轴交于点，过作轴于，求证：． 50．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）综合与实践，如图在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标，且点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动， (1)求点B的坐标 (2)当点P移动到4秒时，请求出点P的坐标． (3)当点P移动到距离x轴4个单位长度时，求点P移动的时间． 51．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是第一象限内一点，且轴，过点作轴的平行线，与轴交于点A，已知点，，且．若点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，点从原点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动. (1)　　　，　　　，点坐标为　　　. (2)求经过几秒？ (3)若某一时刻以A、、、为顶点的四边形的面积是，请直接写出此时点的坐标. 52．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 53．（24-25九年级上·重庆南川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过点，与轴交于点，，点在直线上． (1)如图1，若平分，平分，试说明； (2)如图2，连接，，求和的面积； (3)若动点在坐标轴上，且满足时，求点的坐标． 54．（24-25九年级上·江西宜春·期中）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段向右平移3个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点C、点D的坐标． (2)如图2，延长交y轴于点E，点F是线段上的一个动点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． (3)在坐标轴上是否存在点P使三角形的面积与四边形的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，试说明理由． 55．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，是x轴正半轴上一点，C是第四象限内一点，轴交y轴负半轴于，且，． (1)求点A、B、C的坐标． (2)如图2，设D为线段OB上一动点，当时，的角平分线与的角平分线的反向延长线交于点P，求的度数；（点E在x轴的正半轴）． (3)如图3，当点D在线段OB上运动时，作交BC于M点，、的平分线交于N点，则点D在运动过程中，的大小是否会发生变化?若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 56．（24-25九年级上·江西南昌·期中）在数学活动课上，某小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，当时，轴，且线段的长为；当时，则轴，且线段的长为． 【实践操作】 （1）若点，且轴，则的长为______；若点，轴，当时，则点Q的坐标为______； 【初步运用】 （2）点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接． ①如图，点M，N分别是线段上的动点（不与端点重合），点M从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N从点B出发以每秒0.5个单位长度的速度向点A运动，若两点同时出发，运动的时间为t秒，当轴时，求t的值； 【问题解决】 ②如图，若点M是x轴正半轴上的一个动点，且在的左侧，连接交于点D，当时，求的值．（说明：三角形记作的面积记作） 学科网（北京）股份有限公司 $