专题强化04：旋转、对称几何变换题型归纳【八大题型 培优】-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

专题强化04：旋转、对称几何变换题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：旋转的性质 · 题型二：旋转中的坐标问题 · 题型三：中心对称变换 · 题型四:旋转变换之线段问题 · 题型五：旋转变换之面积问题 · 题型六：旋转变换之角度问题 · 题型七：旋转与其他知识交汇问题 · 题型八：旋转的压轴问题 【题型探究】 题型一：旋转的性质 【例1】．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【变式2】．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．    题型二：旋转中的坐标问题 【例2】．（23-24九年级上·广东云浮·期末）已知线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为，将线段顺时针旋转后得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式2】．（22-23九年级上·河南漯河·期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： (1)作出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标 题型三：中心对称变换 【例3】．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知点和关于原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C． D．5 【变式1】．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 ． 题型四:旋转变换之线段问题 【例4】．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【变式1】．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【变式2】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 题型五：旋转变换之面积问题 【例5】．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25九年级上·北京门头沟·期中）把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】．（22-23九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 题型六：旋转变换之角度问题 【例6】．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． (1)求的度数； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．    (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 【变式2】．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 题型七：旋转与其他知识交汇问题 【例7】．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的斜边为一边在同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则正方形的边长为 ．    【变式1】．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 题型八：旋转的压轴问题 【例8】．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【变式1】．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 【变式2】．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 4．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在边长为12的等边中，D为边上一点，，点E是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段．当点F恰好落在边上时，则的面积是（   ） A．4 B． C．8 D． 二、填空题 7．（20-21九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 10．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    11．（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    三、解答题 12．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 13．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（2022·湖北·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 15（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 16．（21-22九年级上·天津南开·期中）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）． （Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝　 　度，AD与BC的位置关系是 　 　，AE与BC的位置关系是 　 　； （Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （Ⅲ）当旋转角α＝　 　时，△ABD的面积最大． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化04：旋转、对称几何变换题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：旋转的性质 · 题型二：旋转中的坐标问题 · 题型三：中心对称变换 · 题型四:旋转变换之线段问题 · 题型五：旋转变换之面积问题 · 题型六：旋转变换之角度问题 · 题型七：旋转与其他知识交汇问题 · 题型八：旋转的压轴问题 【题型探究】 题型一：旋转的性质 【例1】．（25-26九年级上·新疆阿克苏·期中）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 根据旋转的性质即可直接得出结果． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转一定角度后，得到，， ∴， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的边延长线上一点，连接，把绕点逆时针旋转恰好得到，其中，是对应点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的三要素． 由旋转得到旋转角，再由角度和差计算求解． 【详解】解：∵把绕点A逆时针旋转恰好得到， ∴， ∵， ∴． 【变式2】．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．    【答案】25度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数． 【详解】证明：是由旋转得到   ，， ， 题型二：旋转中的坐标问题 【例2】．（23-24九年级上·广东云浮·期末）已知线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，端点的坐标分别为，将线段顺时针旋转后得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，根据题意证即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点的坐标为 故选：A． 【变式1】．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点的坐标旋转得到，设点的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用中心对称的性质可知，点C是的中点，再根据中点坐标公式可得点A的坐标． 【详解】 解：由题知，点C是的中点， ，， 设，，．得，．即． 故选：D． 【变式2】．（22-23九年级上·河南漯河·期中）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： (1)作出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出的坐标； (2)作出关于原点成中心对称的；并直接写出的坐标 【详解】（1）解：绕点顺时针旋转，如图所示， ∴点． （2）解：根据关于原点成中心对称的，作图如下， 原因原点的中心对称，则点，，与点，，的坐标关系是横纵坐标变为原来的相反数， ∴，，， ∴． 题型三：中心对称变换 【例3】．（25-26九年级上·河南周口·期中）已知点和关于原点对称，则的值为（　　） A．1 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，代数式求值． 利用关于原点对称的点的坐标特征，即横纵坐标均互为相反数，求出和的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ， ， ， 故选：B． 【变式1】．（25-26九年级上·甘肃武威·期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 【变式2】．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知点与点关于原点中心对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点的坐标符号相反是解题的关键． 根据关于原点对称的点横、纵坐标也互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴，即， ∴． 故答案为：． 题型四:旋转变换之线段问题 【例4】．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴，∵，， ∴，∵，∴，∴，∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形，边长为6，点D为边上一点，，以D为顶点作边长为6的正方形，连接，．将正方形绕点D旋转，当取最小值时，的长为 ．    【答案】8 【分析】过点A作于M，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由正方形的边长及勾股定理即可得出． 【详解】解：过点A作于M，   是等边三角形，边长为6， ， ， ， ， ， 在中，， 当点E在DA延长线上时，，此时取最小值， 在中，， 正方形的边长为6， ， 在中，， 故答案为：8． 【变式2】．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【详解】（1）证明：， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 题型五：旋转变换之面积问题 【例5】．（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中的绕点C逆时针旋转得，连接，如图②．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形，且斜边相等， ∴，     ∴(ASA)    ， 故选项A正确； 根据旋转的性质可得， 故选项B正确； ∵，，并不一定相等， ∴不一定全等， 故选项C错误； ∵， ∴, ∵, ∴， ∴， ∴, ∵ ， ∴， 故选项D正确； 故选C． 【变式1】．（24-25九年级上·北京门头沟·期中）把边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，边与交于点，则四边形的面积为（    ） A．2 B． C． D． 【详解】解：连接，如图， 四边形为正方形，，， 正方形绕点逆时针旋转得到正方形， 点在上，， 为等腰直角三角形， 而， ， 四边形的面积． 故选C． 【变式2】．（22-23九年级上·河南安阳·期中）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，C上，若，则，，之间的数量关系为________________；（提示：以点为旋转中心，将顺时针旋转90°） 解决问题： （2）如图2，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，，是底边上任意两点，且满足，试探究，，之间的关系； 拓展应用： （3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积． 【详解】（1），理由如下： 如图，以点为旋转中心，将顺时针旋转得， 将顺时针旋转得， ，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， （2）如图，以点为旋转中心，将绕点逆时针旋转得到，连接． 绕点逆时针旋转得到， ，，． 由题知，，， ．． ． ，． ． 是等腰直角三角形， ． ． ， ． （3）． 如图，连接，过点作于， 四边形是菱形，， ，是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形，， ， 题型六：旋转变换之角度问题 【例6】．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． (1)求的度数； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵将绕点A顺时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 【变式1】．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将绕点逆时针旋转得到．    (1)若，写出旋转角及其度数； (2)当度数变化时，与之间存在某种不变的数量关系．请你写出结论并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出旋转角为； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，，即可求解； 【详解】（1）当时， ， ∵旋转得到，其中旋转到. ∴旋转角为； （2）∵， ， ∵旋转得到， ， ， 即， ， 即， ； 【变式2】．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【详解】（1）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． （2）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，      ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 题型七：旋转与其他知识交汇问题 【例7】．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的斜边为一边在同侧作正方形，设正方形的中心为O，连接．若，，则正方形的边长为 ．    【答案】 【分析】把绕点A逆时针旋转得到，连接，根据旋转的性质可得，，，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，然后求出点A、C、O、B四点共圆，求出，然后求出，判断出点C、三点共线，过点A作于F，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据正方形的性质求解即可． 【详解】解：如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接，    ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵正方形的中心为O， ∴， ∵， ∴点A、C、O、B四点共圆， ∴， ∴， 又∵， ∴点C、三点共线， 过点A作于F，则， ∴， 在中，， ∴正方形的边长． 故答案为：． 【变式1】．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）将矩形绕点A顺时针旋转，得到矩形．    (1)如图，当点E在上时． ①若，则_____________°； ②求证：； (2)探究：当为何值时，？请你画出图形，并说明理由． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， ， 由旋转得：， ， ， ， 故答案：； ②由旋转可得： ， ， ， ， 又， ， ， 在和中 ， （）， ， 又， ． （2）解：如图，当时， 则点G在的垂直平分线上， ①当点G在右侧时，取的中点H，连接交于M，   ， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， 旋转角； ②如图，当点G在左侧时，    同理可得是等边三角形， ， 旋转角． 题型八：旋转的压轴问题 【例8】．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【变式1】．（2023·广东惠州·一模）如图1，正方形的边长为，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接． (1)证明：． (2)延长交于点．判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求线段的长度． 【详解】（1）证明：由题意和旋转的性质可得：，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是正方形，理由如下： 由（1）得：，且， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴线段的长度为． 【变式2】．（23-24九年级上·湖北黄冈·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ，∵，， 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【专题强化】 一、单选题 1．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 3．（2023·浙江湖州·一模）如图，矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行交，于M，N．若，则图中阴影部分的面积的是（    ）    A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质和矩形的性质结合勾股定理求出的长，再运用四边形、是平行四边形进行转换求出面积即可解答； 【详解】解：∵矩形绕点旋转得到矩形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形,，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴阴影部分的面积， 故选：A 4．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到，点的对应点恰好落在边上，且，，三点在同一条直线上，若，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绕点逆时针旋转一个角度得到，可得，在中，根据三角形内角和定理，可得，从而算出旋转角的度数． 【详解】∵绕点逆时针旋转得到，点的对应点是， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． ∵，，三点在同一条直线上， ∴在中，， 即， ∴， 解得． ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的旋转变换，熟练掌握三角形内角和定理和旋转的性质是解本题的关键． 5．（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 6．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在边长为12的等边中，D为边上一点，，点E是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段．当点F恰好落在边上时，则的面积是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】先证明，再证明，最后用勾股定理三角形求出的高即可求解． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 在中：， ∴， 故选：D． 二、填空题 7．（20-21九年级上·广东汕头·期中）如图，边长为1的正方形绕点顺时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，三角形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．连接，根据旋转的性质和正方形的性质得出，，， 三点共线，三点共线，根据勾股定理得求出长，再分别求出和的面积即可求出阴影面积． 【详解】解：如图，连接，， 正方形绕点顺时针旋转到正方形，， 点三点共线，三点共线，即点在对角线上，对角线过点， 在中，， ，， ， ， ， 的面积， 的面积正方形的面积， 阴影部分的面积的面积的面积 8．（23-24八年级下·四川成都·月考）已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，，，，将绕点C顺时针旋转一定角度，如果在旋转的过程中有一边与平行，那么此时的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当时，过点B作延长线于点F；当时，过点B作延长线于点G，利用30度角 直角三角形即可解答． 【详解】如图1，当时，过点B作延长线于点F， 根据题意可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积； 如图2，当时，过点B作延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴的面积 综上所述：的面积是或12． 故答案为：或12． 10．（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    【答案】， 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，．    故答案为，． 【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 11．（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 三、解答题 12．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，点E是正方形内一点，将绕点A顺时针旋转至，点E的对应点为点F． (1)若，，求的度数． (2)连接，若，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明即可求解； （2）先证明，再利用勾股定理求解即可 【详解】（1）解∶， ， 绕点顺时针旋转至， ， ； （2）绕点顺时针旋转至，点的对应点为点， 旋转至的位置，旋转角为， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题。 . 13．（21-22九年级上·河北廊坊·期末）如图，中，，D为内一点，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，从而可求，进而可证，即得出； （2）设相交于点F，则．由等边对等角结合三角形内角和定理可求出，从而可求出，进而可得． 【详解】（1）证明：由题意可知，， ∴，即． 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，设相交于点F，    ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 14．（2022·湖北·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），理由见解析． 【分析】（1）利用SAS证明即可； （2）先证,再利用勾股定理求解； （3）先证,再利用等边三角形的判定性质证明即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2中，设交于点J． 由（1）知，， ， ∵EF是绕点E逆时针旋转得到， ∴， 在中，； （3）解：结论：． 理由：如图3中， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 是绕点E逆时针旋转得到的， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 15．（21-22九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据条件证出，即可得证． （2）根据条件求出的度数，然后根据四边形内角和求出的度数，最后用的度数即可． 【详解】（1） 解：证明：∵绕点B按逆时针方向旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴． （2） 解：由旋转可得：， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定、等腰三角形的性质等知识点，充分利用旋转性质是解题关键． 6．（21-22九年级上·天津南开·期中）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角α（0°＜α＜360°）． （Ⅰ）当DE⊥AC时，旋转角α＝　 　度，AD与BC的位置关系是 　 　，AE与BC的位置关系是 　 　； （Ⅱ）当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数； （Ⅲ）当旋转角α＝　 　时，△ABD的面积最大． 【答案】（Ⅰ）；垂直；平行；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 【分析】（Ⅰ）根据题意画出图形，由等腰直角三角形的性质和即可求出旋转角的度数，再利用角度之间的关系求出，即可得到与的位置关系，再根据平行线的判定即可求出与的位置关系； （Ⅱ）利用全等三角形的判定得出≌，从而得出，再根据角之间的关系得出，从而得出的度数； （Ⅲ）由题意可知，点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动，在中，当以为底边，点到的距离最大时，的面积最大，即时的面积最大，从而求出旋转角的度数． 【详解】解：（Ⅰ）如图所示， ∵为等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴旋转角 ∵， ∴ ∴ ∴与的位置关系是垂直 ∵, ∴ ∴ ∴∥ （Ⅱ）如图所示 ∵， ∴ ∵与为等腰直角三角形 ∴ 在与中 ∴≌ ∴ ∵ ∴ ∴ （Ⅲ）如图3、图4所示 ∵绕点按逆时针方向旋转 ∴点在以点为圆心，长为半径的圆周上运动 ∴当以为底边，点到的距离最大时，的面积最大 ∴当时的面积最大 ∴旋转角或时的面积最大 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以及全等的判定，根据题意画出相应图形是解答此题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $