专题02 中心对称重难点题型专训（3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 中心对称重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 中心对称图形的识别 题型二 成中心对称 题型三 画已知图形关于某点对称的图形 题型四 判断中心对称图形的对称中心 题型五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型六 在方格纸中补画图形成为中心对称图形 题型七 判断两个点是否关于原点对称 题型八 求关于原点对称的点坐标 题型九 已知两点关于原点对称求参数 题型十 按图形的变换要求画出另一个图形 拓展训练一 中心对称图形的画法 拓展训练二 中心对称图形规律问题 拓展训练三 中心对称综合应用 知识点一：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ． 知识点二：作图步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 【即时训练】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为（  ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为 ． （2）若，则的最小值为 ． 知识点三：中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ． 【经典例题一 中心对称图形的识别】 【例1】（2025·山东枣庄·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级·江西南昌·单元测试）从数学对称的角度看：下面的几组大写英文字母：①；②；③；④．不同于另外三组的一组是 ，这一组的特点是 ． 3．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，被旋转过的一张牌是 ． 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（﹣2，2）（﹣3，﹣2）的位置如图所示． (1)作出线段AB关于y轴对称的线段A′B′，并写出点A、B的对称点A′、B′的坐标； (2)连接AA′和BB′，请在图中画一条线段，将图中的四边形AA′B′B分成两个图形，一个是轴对称图形，另一个是中心对称图形，并且线段的一个端点为四边形的顶点（每个小正方形的顶点均为格点）． 【经典例题二 成中心对称】 【例2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 1．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，则图中长度相等的线段有(　　)。 A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知点A(1，4)，B(3，2)关于点M成中心对称，则点M的坐标为 . 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个网格都有三个小正方形被涂黑． 在图①中将一个空白部分的小正方形涂黑，使其余空白部分是轴对称图形但不是中心对称图形； 在图②中将两个空白部分的小正方形涂黑，使其余空白部分是中心对称图形但不是轴对称图形．    【经典例题三 画已知图形关于某点对称的图形】 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，中心对称的两个图形是 图形． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·课后作业）如图，已知四边形ABCD及点O，要作一个四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于O点对称. 画法：（1）联结 并延长 到点A′，使 = ，于是得到点A的对称点 ； （2）同样画出B、C、D的对称点 、 、 ； （3）顺次联结 、 、 、 ，得四边形 就是所求四边形. 4．（2025九年级·江西·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的交点称为格点． 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图①，点A，B在格点上，作出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段． (2)如图②，点A，B，C，O均在格点上，以边AC的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请作出． 【经典例题四 判断中心对称图形的对称中心】 【例4】（2025·河北邯郸·模拟预测）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC与A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（　　） A．(1，1) B．(1，0) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2) 2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则其旋转中心的坐标是 .    4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点C移到点，画出平移后的； (2)将绕点旋转180°，得到，画出旋转后的； (3)与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标：若不是，请写出理由． 【经典例题五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例5】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（  ） A．点与点是对应点 B． C． D． 1．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为 ． 3．（2025九年级上·湖北武汉·模拟预测）如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成（不重叠，无缝隙），它既是轴对称图形，又是中心对称图形．若图中阴影面积的和为36，则图中线段的长为 ．    4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 【经典例题六 在方格纸中补画图形成为中心对称图形】 【例6】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 1．（2025九年级·云南·模拟预测）用围棋子在棋盘上摆图案，棋子均放在格点上．如图所示，右下角的白棋所在位置用有序实数对表示．如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放位置正确的是（    ） A．黑，白 B．黑，白 C．黑，白 D．黑，白 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号） 3．（24-25九年级·江西南昌·课后作业）如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′． 作法： ①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ； ②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作． 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点B逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标为_____； (2)画出与关于原点对称的． 【经典例题七 判断两个点是否关于原点对称】 【例7】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）直角坐标系中，点A(-3，4)与点B(3，-4)关于（     ） A．原点中心对称 B．轴轴对称 C．轴轴对称 D．以上都不对 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）和点关于 对称． 3．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图： （1）写出A、B、C三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系； （3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系． 【经典例题八 求关于原点对称的点坐标】 【例8】（2025·广东河源·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称.若点，，，，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（  ）    A． B． C．0 D．1 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为 ． 3．（2025·山西运城·模拟预测）扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并写出的坐标． (2)以原点为旋转中心，画出把顺时针旋转的图形．并写出的坐标． 【经典例题九 已知两点关于原点对称求参数】 【例9】（24-25九年级上·四川乐山·期中）若点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 1．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则 ． 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）填空： （1）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． （2）点与点关于原点对称，则 ． （3）点绕原点旋转后到达的位置是 ． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 【经典例题十 按图形的变换要求画出另一个图形 】 【例10】（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．  B．  C．  D．   1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A． ① B．② C．②或③ D．①或③ 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于平面图形上的任意两点，，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点，，保持，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称， 其中一定是“同步变换”的有 （填序号）． 3．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）在平面直角坐标系中将点用线段依次连接，可以得到一个图形．把这些点的横､纵坐标都乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图形与原图形相比有什么变化？ 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．绕原点顺时针旋转90°后得到，与关于原点对称． （1）请画出与； （2）如果将看成由点经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是______． 【拓展训练一 中心对称图形的画法】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）按要求完成作图： (1)如图1，点A与点关于直线l对称，用直尺和圆规作出直线l； (2)如图2，给定的两个三角形关于直线m对称，只用直尺作出直线m； (3)如图3，给定的两个三角形成中心对称，只用直尺作出点P的对应点． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）在如图正方形网格中按要求画出图形：    (1)将平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别为点E、F，请画出； (2)画出点A旋转后的； (3)已知与于点P成中心对称，请在图中画出点P． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形.    （2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．      【拓展训练二 中心对称图形规律问题】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 2．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 阅读下面材料，完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【拓展训练三 中心对称综合应用】 1．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)请画出，使与关于原点对称； (2)分别写出， ，的坐标． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，的顶点均在格点上，网格线经过格点，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出； (2)若与关于点对称，作出； (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心； (4)在直线上找一点，使得最短． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． (1)图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长； (2)图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若点关于原点对称的点是则的值是（    ） A． B．2 C． D．6 3．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，将向左平移个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为(    )    A．， B．， C．， D．， 6．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）在下列字型的数字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 . 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知点和点关于原点对称，则点坐标是 ． 8．（25-26九年级上·四川·阶段练习）已知点和关于原点对称，则的值是 ． 9．（25-26九年级上·陕西·期中）如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是 ． 10．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为 ． 11．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 12．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出将向右移动4个单位长度后的三角形； (2)在图2中画出与成中心对称且顶点都在格点上的三角形． 13．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)若与成中心对称（点分别与点A，B，C对应），试在图中画出； (2)将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出； (3)若可由绕点旋转得到，则点的坐标为 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 15．（24-25九年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，位置如图所示： (1)点A关于y轴对称的点的坐标为________，点B关于原点的对称点的坐标为________； (2)若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________；若绕原点O逆时针旋转得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________； (3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 中心对称重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 中心对称图形的识别 题型二 成中心对称 题型三 画已知图形关于某点对称的图形 题型四 判断中心对称图形的对称中心 题型五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型六 在方格纸中补画图形成为中心对称图形 题型七 判断两个点是否关于原点对称 题型八 求关于原点对称的点坐标 题型九 已知两点关于原点对称求参数 题型十 按图形的变换要求画出另一个图形 拓展训练一 中心对称图形的画法 拓展训练二 中心对称图形规律问题 拓展训练三 中心对称综合应用 知识点一：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，为中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180后能与原图形重合，这个图形就叫做中心对称图形，即可判断． 【详解】解：根据中心对称图形的定义， A.不是中心对称图形； B.不是中心对称图形； C.是中心对称图形，它的对称中心是正方形对角线的交点； D.不是中心对称图形； 故选C． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，熟记中心对称图形的定义是解题的关键． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ． 【答案】 对称中心 对称中心 分别相等 【分析】根据中心对称的性质即可得． 【详解】解：关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过对称中心，被对称中心平分，对应线段与对应角都分别相等， 故答案为：对称中心，对称中心，分别相等． 【点睛】本题考查了中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 知识点二：作图步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 【即时训练】 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）分别选取下列图形进行作图，画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为（  ） （1）平行四边形；（2）菱形；（3）矩形；（4）梯形；（5）等腰梯形；（6）直角梯形；（7）等腰三角形；（8）等边三角形；（9）直角三角形；（10）等腰直角三角形 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，逐个进行判断即可． 【详解】解：（1）平行四边形是中心对称图形； （2）菱形是中心对称图形； （3）矩形是中心对称图形； （4）梯形不是中心对称图形； （5）等腰梯形不是中心对称图形； （6）直角梯形不是中心对称图形； （7）等腰三角形不是中心对称图形； （8）等边三角形不是中心对称图形； （9）直角三角形不是中心对称图形； （10）等腰直角三角形不是中心对称图形； 综上：是中心图形的有（1）（2）（3）， ∴画出来的图形为中心对称图形是必然事件的数量为3， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为 ． （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 关于点A成中心对称 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质、三角形的面积公式、勾股定理． （1）根据轴对称的性质和中心对称的定义求解； （2）根据勾股定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 知识点三：中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选C． 2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，可得答案； 【详解】解：①是中心对称图形，故①错误； ②是轴对称图形，故②错误； ③既是轴对称图形又是中心对称图形，故③正确； ④既是轴对称图形又是中心对称图形，故④正确； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 【经典例题一 中心对称图形的识别】 【例1】（2025·山东枣庄·模拟预测）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据中心对称图形、轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级·江西南昌·单元测试）从数学对称的角度看：下面的几组大写英文字母：①；②；③；④．不同于另外三组的一组是 ，这一组的特点是 ． 【答案】 ③ 各个字母既是轴对称，又是中心对称 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念求解. 【详解】解：①中，有轴对称图形A、E，有中心对称图形N； ②中，有轴对称图形K、B、X、M，有中心对称图形X； ③中，所有字母既是轴对称，又是中心对称； ④中，有轴对称图形H、W、D，有中心对称图形Z． 故同于另外三组的一组是③，这一组的特点是各个字母既是轴对称，又是中心对称. 【点睛】考查了字母的对称性. 3．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）如图（1）所示，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°，魔术师解除蒙具后，看到4张扑克牌如图（2）所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，被旋转过的一张牌是 ． 【答案】方块4． 【分析】4张扑克牌中只有方块4为中心对称图形，根据旋转的特点以及牌的花色进行判断. 【详解】解：4张扑克牌中只有方块4为中心对称图形，故旋转180°后还是原状，而其他3张均不是，观察翻转前后4张牌均为保持原状，据此可知翻转的为方块4， 故答案为方块4. 【点睛】本题结合旋转考查了中心对称. 4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（﹣2，2）（﹣3，﹣2）的位置如图所示． (1)作出线段AB关于y轴对称的线段A′B′，并写出点A、B的对称点A′、B′的坐标； (2)连接AA′和BB′，请在图中画一条线段，将图中的四边形AA′B′B分成两个图形，一个是轴对称图形，另一个是中心对称图形，并且线段的一个端点为四边形的顶点（每个小正方形的顶点均为格点）． 【答案】(1)图见解析，点A′（2，2）、B′（3，-2）； (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称确定点A′、B′，连线即可； （2）作线段得到平行四边形AA′DB和等腰三角形A′DB′，则等腰三角形A′DB′是轴对称图形，平行四边形AA′DB是中心对称图形． 【详解】（1）解：如图，线段点A′B′即为所求，点A′（2，2）、B′（3，-2）； （2）解：如图，线段即为所求． 【点睛】此题考查了作图能力：轴对称图形及中心对称图形，以及确定直角坐标系中点的坐标，正确掌握轴对称的性质及中心对称图形的定义是解题的关键． 【经典例题二 成中心对称】 【例2】（24-25九年级上·福建厦门·期中）图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合． 【详解】解：根据中心对称的性质： 图中的两个梯形成中心对称，点P的对称点是点C. 故选：C 【点睛】本题考查中心对称的性质，属于基础题，掌握其基本的性质是解答此题的关键． 1．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对称中心为点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F，则图中长度相等的线段有(　　)。 A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【分析】由已知可得，四边形是平行四边形，O是中心，可找出相等的线段. 【详解】由中心对称的性质可得，相等的线段是:AB=CD,AD=BC,AE=CF,BF=DE,OE=OF. 故选C 【点睛】本题考核知识点：中心对称.解题关键点：理解中心对称的性质. 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）已知点A(1，4)，B(3，2)关于点M成中心对称，则点M的坐标为 . 【答案】（2,3） 【分析】利用已知建立坐标系，进而得出段线AB的中点M的位置． 【详解】如图所示：点M即为所求，则M（2，3）． 【点睛】此题主要考查了中心对称以及坐标与图形的性质，得出线段AB的中点位置是解题关键． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知平面直角坐标系上的三个点D（0，0），A（﹣1，1），B（﹣1，0）．将△ABD绕点D旋转180°，则点A、B的对应点A、B的坐标分别是A1 ，B1 【答案】 （1，﹣1） （1，0） 【分析】根据旋转的性质,旋转不改变图形大小和形状． 【详解】解：旋转180°后,各对应点将关于原点对称, ∴A1（1,﹣1）,B1（1,0）． 【点睛】本题考查旋转的性质,解答本题关键要理解旋转180°即成了中心对称． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个网格都有三个小正方形被涂黑． 在图①中将一个空白部分的小正方形涂黑，使其余空白部分是轴对称图形但不是中心对称图形； 在图②中将两个空白部分的小正方形涂黑，使其余空白部分是中心对称图形但不是轴对称图形．    【答案】见解析 【分析】（1）利用轴对称图形的性质可知，从左边沿涂黑的正方形再画一个即成轴对称图形，但不是中心对称图形． （2）利用中心对称图形的性质可知，把左上角的那个正方形涂黑，和最下行中间的那个涂黑，空白部分就成了中心对称但不是轴对称图形． 【详解】解：所画图形如下所示：    【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称的性质． 【经典例题三 画已知图形关于某点对称的图形】 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西防城港·期中）中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，中心对称的两个图形是 图形． 【答案】全等． 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出答案． 【详解】中心对称的性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，中心对称的两个图形是全等图形． 故答案为：全等． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，正确掌握中心对称图形是解题关键． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·课后作业）如图，已知四边形ABCD及点O，要作一个四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于O点对称. 画法：（1）联结 并延长 到点A′，使 = ，于是得到点A的对称点 ； （2）同样画出B、C、D的对称点 、 、 ； （3）顺次联结 、 、 、 ，得四边形 就是所求四边形. 【答案】 AO； AO； A’O； AO； A’； B’； C’； D’； C’ D’； D’ A’； A’ B’； B’C’； A’B’C’D’ 【分析】根据中心对称点平分对应点连线，结合题目提示步骤填空即可． 【详解】解：①联结AO并延长AO到点A′，使AO=OA′，于是得到点A的对称点A′； ②同样画出B、C、D的对称点B′、C′、D′； ③顺次联结A′B′、B′C′、C′D′、D′A′得四边形A′B′C′D′就是所求四边形． 故答案为：AO、AO、AO、OA′、A'；B′、C′、D′；A′B′、B′C′、C′D′、D′A′、A′B′C′D′． 【点睛】本题考查了旋转作图的知识，题目已经给出了提示，注意按照提示信息填空． 4．（2025九年级·江西·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的交点称为格点． 请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图①，点A，B在格点上，作出线段AB关于线段MN所在直线对称的线段． (2)如图②，点A，B，C，O均在格点上，以边AC的中点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请作出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别过点，作所在直线的对称点，，连接即可得到线段； （2）点旋转后的对应点与点重合，点旋转后的对应点与点重合，只需将点绕点逆时针方向旋转即可找出点，将三点连接起来得到的三角形即为． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求． （2）解：如图②，即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，熟知图形对称的性质是解题的关键． 【经典例题四 判断中心对称图形的对称中心】 【例4】（2025·河北邯郸·模拟预测）图是由8个大小相等的正方形组成的中心对称图形，则此图的对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据中心对称图形的概念即可分析判断. 【详解】观察图形可知，图形中所有的点都关于P点中心对称， ∴P点为对称中心， 故选：A. 【点睛】本题考查中心对称，掌握中心对称图形的概念，旋转180°后与原图重合，掌握图形所有点都关于对称中心对称，是解题的关键. 1．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC与A1B1C1是中心对称图形．则对称中心的坐标是（　　） A．(1，1) B．(1，0) C．(1，﹣1) D．(1，﹣2) 【答案】C 【分析】连结AA1，CC1，两线交点即为对称中心． 【详解】如图，连接AA1，CC1，    ∵AA1与CC1交于点（1，-1）， ∴对称中心的坐标是（1，﹣1）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称的概念，解题的关键是掌握对称点所连线段都经过对称中心． 2．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）已知与关于某点中心对称，若对称点，C的坐标分别是，，则对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质，对应点连线的中点即为对称中心，据此求解． 【详解】解：∵对称点，C的坐标分别是，， ∴对称中心的坐标是，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则其旋转中心的坐标是 .    【答案】(1，-1) 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´， ∴A、B的对应点分别是A´、B´， 又∵线段BB′的垂直平分线为x=1， 线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线， 由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，-1）． 故答案为(1，-1)． 【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解题的关键． 4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系内，的顶点坐标分别为，，． (1)平移，使点C移到点，画出平移后的； (2)将绕点旋转180°，得到，画出旋转后的； (3)与是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标：若不是，请写出理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是， 【分析】（1）首先确定点的平移规律，依此规律平移、两点，从而得到； （2）利用中心对称的性质作出、、的对应点、、即可； （3）连接，、，求出，的中点坐标即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）与关于某点成中心对称，对称中心的坐标为 【点睛】本题考查了坐标的平移，中心对称图形的画法，求对称中心的坐标，解题的关键是根据题意画出图形． 【经典例题五 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例5】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（  ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析：根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断．此题考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段． 【详解】解：∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、，原说法错误，故选项符合题意； C、，原说法正确，故选项不符合题意； D、，则，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 1．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【详解】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答． 【详解】解：如图所示： 菱形的两条对角线的长分别为和， 菱形的面积， 是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ， 阴影部分的面积， 故答案为∶． 3．（2025九年级上·湖北武汉·模拟预测）如图，这是小聪设计的正方形花边图案，该图案由正方形和三角形拼接组成（不重叠，无缝隙），它既是轴对称图形，又是中心对称图形．若图中阴影面积的和为36，则图中线段的长为 ．    【答案】 【分析】把图形局部放大如图所示：作于N，于M，连接交于P交于Q，延长交于H，设，则．由，，推出，，，设，由，可得，推出，根据，构建方程求出a即可解决问题． 【详解】解：把图形局部放大如图所示，作于N，于M，连接交于P交于Q，延长交于H，设，则． 由题意得：是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍弃）， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 4．（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图所示，在中，是边上的中线． (1)画出与关于点成中心对称的三角形；找出与相等的线段； (2)探究：中与的和与中线之间有何大小关系？并说明理由； 【答案】(1)作图见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系及中心对称的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键， （1）根据中心对称的特征，延长至，使，连接，则即为所求，， （2）根据三角形的两边之和大于第三边分析即可得解． 【详解】（1）解：如图所示，在中，是边上的中线，延长至，使，连接，则即为所求，． （2）解：，理由： ∵与关于点成中心对称， ∴， ∵在中，有，即， ∴． 【经典例题六 在方格纸中补画图形成为中心对称图形】 【例6】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在4×4的网格纸中，ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　） A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 【答案】C 【分析】画出中心对称图形即可判断 【详解】解：观察图象可知，点P．点N满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查利用旋转设计图案，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2025九年级·云南·模拟预测）用围棋子在棋盘上摆图案，棋子均放在格点上．如图所示，右下角的白棋所在位置用有序实数对表示．如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放位置正确的是（    ） A．黑，白 B．黑，白 C．黑，白 D．黑，白 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别把四个选项代入分析，判断是否满足轴对称和中心对称即可得到答案． 【详解】A．当摆放黑，白时，此时图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故A项错误； B. 当摆放黑，白时，此时图案是轴对称图形又是中心对称图形，故B项正确； C．当摆放黑，白时，此时图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故C项错误 D．当摆放黑，白时，此时图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项错误 故B为答案． 【点睛】本题主要考车了平面直角坐标系的有关概念、图形的轴对称以及图形的中心对称（把一个图形绕着某一点转180°，如果旋转后的图形能够与原来图形重合，那么这个图形叫中心对称图形），熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 2．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在 处．（填写区域对应的序号） 【答案】② 【分析】根据中心对称图形的概念解答． 【详解】解：在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形， 这个正方形应该添加区域②处， 故答案为：②． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键． 3．（24-25九年级·江西南昌·课后作业）如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′． 作法： ①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ； ②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作． 【答案】 OA A′ B′ A′B′C′D′ 【解析】略 4．（24-25九年级上·四川广安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出绕点B逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标为_____； (2)画出与关于原点对称的． 【答案】(1)图见解析， (2)如图，即为所作 【分析】本题考查作图：原点对称变换，旋转变换等知识． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作．点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所作． 【经典例题七 判断两个点是否关于原点对称】 【例7】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）直角坐标系中，点A(-3，4)与点B(3，-4)关于（     ） A．原点中心对称 B．轴轴对称 C．轴轴对称 D．以上都不对 【答案】A 【分析】观察点A与点B的坐标，依据关于原点中心对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案． 【详解】根据题意，易得点（-3，4）与（3，-4）的横、纵坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称． 故选A． 【点睛】本题考查在平面直角坐标系中，关于原点中心对称的两点的坐标之间的关系．掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）对于题目“把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，画出得到的三角形”，嘉嘉和淇淇的答案如图所示，对于这两个答案，其中说法正确的是（   ）    A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．嘉嘉、淇淇均对 D．嘉嘉、淇淇均不对 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，根据题意得到的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：把的三个顶点的横坐标与纵坐标均乘以，则：的三个顶点与对应三角形的三个顶点关于原点对称， 故只有淇淇对； 故选B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）和点关于 对称． 【答案】原点 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是掌握两个点关于原点对称，则横纵坐标均互为相反数． 根据和点横纵坐标均互为相反数，即可确定和点关于原点对称． 【详解】解：∵和点横纵坐标均互为相反数， ∴和点关于原点对称， 故答案为：原点． 3．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 4．（24-25九年级上·福建宁德·期中）如图： （1）写出A、B、C三点的坐标； （2）若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以﹣1，请你在同一坐标系中描出对应的点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC有怎样的位置关系； （3）在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以﹣1，在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC有怎样的位置关系． 【答案】（1）A（3，4）B（1，2）C（5，1） （2）描点画图见解析，△A′B′C′与△ABC关于x轴对称； （3）描点画图见解析，△A″B″C″与原△ABC关于原点对称. 【分析】（1）根据各点坐标描出各点； （2）将题目中各点横坐标不变纵坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点； （3）将题目中各点纵坐标不变横坐标分别乘以﹣1，再描出各点连接各点． 【详解】解：（1）根据各点的位置，各点坐标为：A（3，4）、B（1，2）、C（5，1）； （2）由（1）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），横坐标不变，纵坐标都乘以-1，得：A′（3，-4）、B′（1，-2）、C′（5，-1），△A′B′C′与△ABC关于x轴对称； （3）A（3，4）、B（1，2）、C（5，1），纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，得：A″（-3，4）、B″（-1，2）、C″（-5，1），则△A″B″C″与△ABC关于原点对称． 【经典例题八 求关于原点对称的点坐标】 【例8】（2025·广东河源·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标系里点的坐标．根据点的坐标关于原点对称的特点“横、纵坐标互为相反数”即可得解． 【详解】解：点A的坐标是， ∴点A关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 1．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称.若点，，，，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（  ）    A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加，， ∴， ∴，而即， 在，当时，， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点求解即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴． 故答案为：2． 3．（2025·山西运城·模拟预测）扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为 ． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． (1)以原点为对称中心，画出关于原点对称的，并写出的坐标． (2)以原点为旋转中心，画出把顺时针旋转的图形．并写出的坐标． 【答案】(1)见解析；的坐标为 (2)见解析；的坐标为 【分析】此题考查中心对称与旋转变换作图． （1）根据中心对称的性质求解即可； （2）根据旋转的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求， 的坐标为； （2）解：如图所示：，即为所求， 的坐标为． 【经典例题九 已知两点关于原点对称求参数】 【例9】（24-25九年级上·四川乐山·期中）若点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征．根据关于原点对称点的点横坐标和纵坐标都互为相反数，求出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴． 故选：A 1．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图，与关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质．根据中心对称的性质，为，的中点，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称，点A的坐标为， 设， 依题意，， 解得：， 点的坐标为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点和关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，根据两个点关于原点对称，可知两个点的横坐标，纵坐标都互为相反数求出a即可． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴． 故答案为： 3．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）填空： （1）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． （2）点与点关于原点对称，则 ． （3）点绕原点旋转后到达的位置是 ． 【答案】 1 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．在平面直角坐标系中，任意点关于坐标轴、原点都存在对称点．关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于y轴的对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数．如：点关于x轴的对称点为；关于y轴的对称点为，关于原点对称的点为． 【详解】解：（1）点与点关于原点对称， 点的坐标是， 故答案为：； （2）点与点关于原点对称， ，则， 故答案为：1； （3）点绕原点旋转后到达的位置与原来的点关于原点对称， 到达的位置是． 故答案为：． 4．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点，点与点，点与点分别是对应点，观察对应点坐标之间的关系，解答下列问题： (1)分别写出点A与点，点与点的坐标． (2)若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求的值． 【答案】(1)，；，． (2) 【分析】（1）根据各个点在平面直角坐标系中的位置写出坐标即可； （2）根据（1）得出的结论可知点P和点Q的横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可． 本题主要考查了在平面直角坐标系中点的变化规律、二元一次方程组的应用等知识，熟练的掌握平面直角坐标中点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】（1），；，． （2）由（1）可知对应点的横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数． 根据题意得：， 解得 【经典例题十 按图形的变换要求画出另一个图形 】 【例10】（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）在平面直角坐标系中的位置如图所示，把各点的横坐标、纵坐标都乘以，依次连接这些点，所得到的图形是（      ）    A．  B．  C．  D．   【答案】C 【分析】利用关于原点对称点的性质，得出符合题意的图形． 【详解】解：把各点的横坐标、纵坐标都乘以， 所得到的图形与原图形关于原点对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确得出图形的位置关系是解题关键． 1．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【详解】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于平面图形上的任意两点，，如果经过某种变换（如：平移、旋转、轴对称等）得到新图形上的对应点，，保持，我们把这种对应点连线相等的变换称为“同步变换”．对于三种变换： ①平移、②旋转、③轴对称， 其中一定是“同步变换”的有 （填序号）． 【答案】① 【分析】根据平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质，依据“同步变换”的定义判断可得． 【详解】平移的性质是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的所有点平移的方向和距离都相等， 故平移变换一定是“同步变换”； 若将线段PQ绕点P旋转，则PP′=0，而QQ′≠0，故旋转变换不一定是“同步变换”； 将相对于直线倾斜的线段PQ经过该直线的轴对称变换，所得PP′≠QQ′，故轴对称变换不一定是“同步变换”， 故答案是：①． 【点睛】考查几何变换的类型，熟练掌握平移变换、旋转变换和轴对称变换的性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）在平面直角坐标系中将点用线段依次连接，可以得到一个图形．把这些点的横､纵坐标都乘，再将所得的各个点用线段依次连接起来，所得的图形与原图形相比有什么变化？ 【答案】所得图形与原图形关于原点对称． 【分析】根据数乘以-1得到这个数的相反数解答即可． 【详解】∵任何数乘以-1得到这个数的相反数， ∴把这些点的横､纵坐标都乘，得到各坐标的相反数即横坐标，纵坐标都变成了原坐标的相反数， ∴变化前后的两个坐标关于原点对称， ∴所得图形与原图形关于原点对称． 【点睛】本题考查了坐标的对称，熟练掌握关于原点对称的坐标特征是解题的关键． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点、、均在格点上．绕原点顺时针旋转90°后得到，与关于原点对称． （1）请画出与； （2）如果将看成由点经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是______． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1得到 ，根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2的坐标，然后描点即可得到； （2）写出BB1的长度即可． 【详解】（1）如图， 分别将、绕原点顺时针旋转90°，得 ， ，连接 ；得到为所作； 分别作点 、 关于原点的对称点 、 ，然后顺次链接 、 、 ，得到为所作； （2）将 看成由点 经过一次平移得到的，即将沿 轴方向向下平移8个单位到点，则一次平移的距离为4-（-4）=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，中心对称，平移，根据旋转的性质可知，对应角都相等，且都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 【拓展训练一 中心对称图形的画法】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）按要求完成作图： (1)如图1，点A与点关于直线l对称，用直尺和圆规作出直线l； (2)如图2，给定的两个三角形关于直线m对称，只用直尺作出直线m； (3)如图3，给定的两个三角形成中心对称，只用直尺作出点P的对应点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本作图． （1）连接，作出的垂直平分线，即为直线l； （2）根据轴对称的性质，连接两个三角形对应的点，再连接连线的交点即为直线m； （3）根据关于点成中心对称的性质先找到中心点，连接并延长，即可求出点． 【详解】（1）解：直线l即为所求； （2）直线m即为所求； （3）点即为所求． 2．（24-25九年级上·福建福州·期中）在如图正方形网格中按要求画出图形：    (1)将平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别为点E、F，请画出； (2)画出点A旋转后的； (3)已知与于点P成中心对称，请在图中画出点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用点A和点D的位置确定平移方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点E、F，最后顺次连接即可即可； （2）延长到，使，延长到，使，连接即可解答； （3）连接相交于P点，则可判断与于点P成中心对称． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：点P即为所求．    【点睛】本题主要考查了平移作图、旋转变换、确定旋转中心等知识点，掌握通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期中）（1）如图①，等边三角形ABC的3个顶点都在上，仅用无刻度的直尺画出关于点O 的中心对称图形.    （2）如图②，正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接AF、DE，△ABF按顺时针方向旋转后得到△DAE，仅用无刻度的直尺画出旋转中心．      【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）作直线，交于点D，则点D为点A的对称点，同理可作出点B的对称点E，点C的对称点F，依次连接点D，E，F，则为所求； （2）连接，，相交于点O，则点O为所求． 【详解】（1）如图，为所求．    （2）如图，点O为所求．      【点睛】 本题考查作中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【拓展训练二 中心对称图形规律问题】 1．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 2．（24-25九年级上·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）阅读与思考 阅读下面材料，完成以下问题． 图形的等分 如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？ 如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？ 我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？ 问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法； 问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法） 问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】问题1：详见解析（答案不唯一）；问题2（答案不唯一）：详见解析；问题3：存在，详见解析， 【分析】本题考查了中心对称图形的对称中心及正比例函数的解析式．坐标与图形，正方形的性质，正确找到各图形的对称中心是解题关键． 问题1：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线 问题2：直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，用待定系数法可得该直线的表达式为． 【详解】解：问题1：如图所示：直线将平行四边形的面积二等分．（答案不唯一） 作法：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线． 问题2：如图所示，直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可） 作法：不唯一，只要描述清晰，作图正确即可． 问题3：存在 如图所示：直线将图形的面积二等分． 作法：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，如图： 由图易知． 设直线的函数解析式为， 直线经过两点，代入得： 解得： ∴该直线的函数解析式为． 【拓展训练三 中心对称综合应用】 1．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）．    (1)请画出，使与关于原点对称； (2)分别写出， ，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了中心对称作图，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）首先确定A、B、C三点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的坐标特点即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求．    （2）解：∵，，， ∴根据关于原点对称点的性质可得：． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，的顶点均在格点上，网格线经过格点，按要求完成以下作图． (1)若与关于直线成轴对称，作出； (2)若与关于点对称，作出； (3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心； (4)在直线上找一点，使得最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图、中心对称作图、画对称轴，轴对称—最短路线，理解轴对称和中心对称的定义是解答本题的关键． （1）根据对称轴垂直平分对应点连线，可找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接可得； （3）根据轴对称的定义结合所画的图判断并画出对称轴即可解答 （4）连接交直线于点即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求的三角形． （2）解：如图：即为所求的三角形． （3）解：如图：与成轴对称．对称轴为直线． （4）解：连接交直线于点， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴， 此时取得最小值，最小值为的长， 则点即为所作． 3．（24-25九年级上·福建宁德·期中）某校“智慧数学”社团征集专属设计图案，要求该图案是一个由正方形和三条线段组成的中心对称图形，且三条线段表示字母“Z”． (1)图1是小红根据要求设计的图案，其中的一条线段恰好在正方形的对角线上．已知，，点E，F在上，求线段的长； (2)图2是小明根据要求设计的图案的一部分，该图案缺失了部分线段，请仅用无刻度的直尺将图案补充完整．（保留作图痕迹，辅助线用虚线表示，所求作的线段用实线描黑） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、中心对称，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接交于点，由正方形的性质可得，，，．结合勾股定理可得．证明，得出．求出．进而可得．根据中心对称性，得，即可得解； （2）根据中心对称图形的定义以及正方形的性质，并结合三条线段表示字母“Z”，作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，连接交于点， 四边形是正方形，且， ，，，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴． ∴． 根据中心对称性，得， ． （2）解：将图案补充完整如图所示： 1．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）若点关于原点对称的点是则的值是（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，如果两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标分别互为相反数．据此求出的值，即可解答． 【详解】解：∵点关于原点对称点是， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，，，，将向左平移个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向右平移个单位长度，得到；将关于原点中心对称，得到；将向左平移个单位长度，得到……若按此规律作图形的变换，则的坐标为(    )    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平移与中心对称的性质得出规律，可得在第四象限，横坐标特征和一致，则，，即可求解． 【详解】解：将向左平移个单位长度，得到,，， ∴，在第二象限； ∵将关于原点中心对称，得到； ∴，在第四象限； ∵将向右平移个单位长度，得到， ∴，在第四象限； ∵将关于原点中心对称，得到； ∴，在第二象限 ∵得到；将向左平移个单位长度，得到， ∴，在第二象限， ……若按此规律作图形的变换，点所在的象限，四次一循环， ∵, 则在第四象限，横坐标特征和一致，则，， 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，中心对称，点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 6．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）在下列字型的数字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有 . 【答案】、或. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】既是轴对称图形，也是中心对称图形；不是轴对称图形，也不是中心对称图形；是轴对称图形，不是中心对称图形；不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不是轴对称图形，也不是中心对称图形；不是轴对称图形，也不是中心对称图形；是轴对称图形，也是中心对称图形；不是轴对称图形，也不是中心对称图形；是轴对称图形，也是中心对称图形； 故答案为、或. 【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）已知点和点关于原点对称，则点坐标是 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点∶它们的坐标符号相反可直接得到答案． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴点坐标是． 故答案为： 8．（25-26九年级上·四川·阶段练习）已知点和关于原点对称，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点关于原点对称，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点对称的性质． 根据点关于原点对称，则对应坐标互为相反数，再由乘方运算计算即可． 【详解】解：点和关于原点对称， ，， ，， ． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·陕西·期中）如图为某桥梁模型的示意图，其中与关于点成中心对称，点、分别是、的中点，横梁的长度为，则模型中的主承重钢梁的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称以及三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解答本题的关键．根据三角形的中位线定理可得，再根据中心对称的性质可得，即可得解． 【详解】解：点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 与关于点成中心对称， ． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，在轴的正半轴上取一点，在第一象限取一点，使，将，绕点旋转，若点落在轴上，则旋转后点的对应点的横坐标为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形．熟练掌握 旋转的性质，关于原点对称的点坐标的特征，含的直角三角形是解题的关键． 由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于，则，，，进而可求、的横坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，有两种情况，如图，其中关于原点对称，作于， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴的横坐标为1，的横坐标为， 故答案为：1或． 11．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 【答案】，，中是中心对称图形，对称中心见解析 【分析】本题考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母，再标出它们的对称中心． 【详解】解：根据题意，上述汉字或字母是中心对称图形的有：，，中．“由”不是中心对称图形； 如图所示，，，中的对称中心为图形中的点． 12．（24-25九年级上·贵州六盘水·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出将向右移动4个单位长度后的三角形； (2)在图2中画出与成中心对称且顶点都在格点上的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格内平移作图，作已知图形关于某点对称的图形： （1）将的顶点分别向右移动4个单位长度，顺次连接即可； （2）选择点A为对称中心，利用格点找出点B，C关于点A的对称点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 13．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)若与成中心对称（点分别与点A，B，C对应），试在图中画出； (2)将（1）中的绕点顺时针旋转得到，试在图中画出； (3)若可由绕点旋转得到，则点的坐标为 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【分析】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点及旋转变换的性质． （1）由图可知，、是关于原点的中心对称，再根据中心对称的定义分别作出点B、C关于原点的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出点、，绕点顺时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （3）根据对称中心在对应点连线的垂直平分线上，连接，，分别作出其垂直平分线，交点即为点G． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求，； （3）解：点的坐标， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1)； (2) (3)t的值为；此时的面积为 (4)点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到 （3）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可； （4）根据轴对称的性质和三角形的面积公式，分别求出点P在上运动时和点P在上运动时的t值即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：当时P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． （4）解：分二种情况：①点P在上运动时，如图， 则，，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴， 即， ∵， ∴； ②点P在上运动时，如图， 则，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：； ∴点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，位置如图所示： (1)点A关于y轴对称的点的坐标为________，点B关于原点的对称点的坐标为________； (2)若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________；若绕原点O逆时针旋转得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________； (3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为________． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据轴对称和中心对称的性质即可求解； （2）将点C按照的平移方式进行平移，求出平移后的坐标即可；画出旋转后的三角形，即可求出坐标； （3）的中垂线与x轴的交点即为所求； 【详解】（1）解：∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为； ∵， ∴点B关于原点的对称点的坐标为； （2）解：∵ ∴将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得， 则点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将绕原点O逆时针旋转得，如图： 则； （3）解：如图，点P即为所求，坐标为； 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的平移、旋转、轴对称、中心对称，垂直平分线的性质，掌握其变化性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $