专题01 图形的旋转重难点题型专训（3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 图形的旋转重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 旋转对称图形的识别 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 题型三 根据旋转的性质求解 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型五 利用旋转设计图案 题型六 求旋转对称图形的旋转角度 题型七 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型八 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 拓展训练一 旋转的性质及应用 拓展训练二 坐标与旋转的相关问题求解 拓展训练三 坐标系中的动点问题 拓展训练四 旋转综合应用 知识点一：旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意； ③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意； ④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）图形的平移是由 和 决定的，图形平移后，它的 和 没有发生变化． 【答案】移动的方向，距离；形状，大小 【详解】试题分析：根据平移的性质即可得到结果． 图形的平移是由移动的方向和距离决定的，图形平移后，它的形状和大小没有发生变化． 考点：本题考查了平移的性质 点评：解答本题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小. 知识点二：旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转后形成的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，要注意旋转的三要素：①定点一旋转中心；②旋转方向；③旋转角度，根据旋转的性质，找出图中图形的关键处(旋转中心和对应点)按顺时针方向旋转后的形状即可选择答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转后形成的是和． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：≌， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 知识点三：旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的定义.把一个图形绕某一点O旋转的图形变换叫做中心对称，据此进行判断即可 【详解】解：观查选项中的图形，只有C选项是绕点旋转得到， 故选：C 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）有如图，从图形甲到图形乙，所进行的图形运动是先绕点 时针旋转，再向右移动 格．    【答案】 逆 10 【分析】根据旋转性质及平移性质即可得到答案． 【详解】解：观察甲乙两图可知，将甲图以为旋转中心，逆时针旋转，再向右平移个单位长度即可得到乙图， 故答案为：逆；． 【点睛】本题考查旋转及平移性质，熟记旋转性质及平移性质作图是解决问题的关键． 【经典例题一 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． 【详解】解：A．由平移变换得到，故本选项不合题意； B．由轴对称变换得到，故本选项不合题意； C．由旋转变换得到，故本选项符合题意； D．由轴对称变换和旋转变换得到，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换设计图案，通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据轴对称的性质得出翻折后图形，再利用旋转对称图形的概念得出即可． 【详解】解：以图的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻转180°后，圆在右上角， 再按顺时针方向旋转90°，圆在右下角． 故选C． 【点睛】考查了旋转变换与轴对称变换，利用旋转对称旋转180度后重合得出是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在线段.角.等腰三角形.正方形和圆中，旋转对称图形是 ； 【答案】线段，正方形和圆 【分析】利用旋转对称图形的定义解答即可． 【详解】解：是旋转对称图形的为线段，正方形和圆 故答案为：线段，正方形和圆. 【点睛】本题主要考查了旋转对称图形的概念，如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． 3．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图所示，在这个旋转对称图形中，有 对相等线段. 【答案】8 【分析】根据旋转对称图形的性质可知，旋转后图形与原图形完全重合，即对应线段是相等的. 【详解】由题意，本题图形为旋转对称图形，可以找出旋转中心为点O（如图所示），旋转角为， 由此可得，AB=CD，BC=DA，AM=CP，MB=PD，BN=DQ，NC=QA，MN=PQ，NP=QM， 故答案为8. 【点睛】本题考查了旋转对称图形，找出旋转中心和旋转角是解题关键. 4．（2025九年级上·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【答案】(1)，E， (2) (3)25 【分析】（1）通过证明即可得到可以由绕点E旋转后得到； （2）根据（1）可直接得到答案； （3）利用可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在和中， , ∴（AAS）， ∴可以由绕点E旋转后得到， 故答案为：，E，； （2）解：由（1）可知 故答案为：； （3）解：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、梯形的面积公式运用以及中心对称的知识，解题的关键证得． 【经典例题二 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，在解题时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．先确定出旋转中心，再确定出旋转的方向和度数即可求出答案． 【详解】解：根据图形可知：将绕点A逆时针旋转可得到． 故选：B． 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握图形绕某点进行旋转的方法是解题的关键． 根据旋转的性质及题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 当左边的阴影部分绕点E顺时针旋转可得右边的阴影部分，此时； 当左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 当把左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转，将得到的四边形绕点C逆时针旋转可得右边的阴影四边形，此时； 故选：D． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是 ．    【答案】（1，1） 【分析】连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心． 【详解】解：连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示，    ∵A点的坐标为（-1，5），B点的坐标为（3，3）， ∴E点的坐标为（1，1）， ∴这个旋转中心的坐标是（1，1）， 故答案为：（1，1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键． 3．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线交于点D，点D即为所求． 【详解】解：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线，两条垂直平分线交点即为点D，如图，旋转中心D的坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查了旋转的性质，掌握对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心是解题的关键． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形中，点E是线段延长线上一点，连接，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为 ． (2)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． （1）根据平移的性质和平行四边形的面积公式计算即可； （2）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】（1）解：线段扫过的平面部分的面积为：， 故答案为：； （2）解：①如图，旋转中心：边的中点O，顺时针旋转； ②如图，旋转中心：点D，顺时针旋转； ③如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转． 【经典例题三 根据旋转的性质求解】 【例3】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，经过变换得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解∶A．绕点A逆时针旋转得到，故选项A不符合题意； B．不能由绕点A旋转得到， 故选项B不符合题意； C．不能由绕点A旋转得到， 故选项C不符合题意； D．绕点A逆时针旋转得到，故选项D符合题意， 故选∶D． 1．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质. 由旋转的性质可得，由线段中点的定义证明，进而可证明为等边三角形，则． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形的内角和定理的应用，根据旋转的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转°得到． ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作延长线于点F，与x轴交于点G，根据旋转的性质可得，即可求解，理解图示和旋转的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点D，过点C作于点E，过点作的延长线于点F，与x轴交于点G， 则， ∵，， ∴，， ∵绕点C旋转得到， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）（1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 【答案】（1）等边；（2）；（3） 【分析】（1）证明是等边三角形即可； （2）将绕点逆时针方向旋转，得，连接，证明是等边三角形，推出，然后利用勾股定理求解即可； （3）将绕点按逆时针方向旋转，得到，推出是等边三角形，，再求得，，推导出，得到，然后利用勾股定理求得，最后利用求得答案． 【详解】（1）解：等边，理由如下： 将绕点顺时针旋转，得到 ， 是等边三角形， 故答案为：等边； （2）解：如图，将绕点逆时针方向旋转，得，连接， 那么有， 是等边三角形 ， 在中，； （3）解：如图， 将绕点按逆时针方向旋转，得到， 是等边三角形，， ， ，即 即 ． 【点睛】本题考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题． 【经典例题四 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例4】（2025·广西贺州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点A逆时针转60°得到，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AC与的交点为点O，连接，先利用勾股定理、旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据垂直平分线的判定与性质可得，最后利用勾股定理分别可得，由此即可得出答案． 【详解】如图，设AC与的交点为点O，连接， ， ， 由旋转的性质得：， 是等边三角形， ， 是线段AC的垂直平分线， ， 在中，， 在中，， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造等边三角形是解题关键． 1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（    ） A．25 B．40 C．45 D．50 【答案】D 【分析】由旋转即得出，．从而可求出和利用等边对等角证明，再结合三角形内角和定理即可求出，即n的大小． 【详解】根据旋转可知，， ∴， ∴． 即． 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，当点在边上时，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由旋转可得，，进而得出，，进而得到，，再根据，即可得到. 【详解】由旋转可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转前后的图形全等是解决问题的关键. 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】由旋转的性质可知：，，设，则，，继而根据锐角三角函数可得，列方程，解方程可得，，继而即可根据三角形面积公式即可求解． 【详解】由旋转的性质可知：，， 设，则，， ， 即：， 整理得： 解得， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查旋转的性质和锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和锐角三角函数． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【经典例题五 利用旋转设计图案】 【例5】（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，则每次旋转60°． 【详解】设每次旋转角度x°，则6x=360，解得：x=60，每次旋转角度是60°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了利用旋转设计图案，此题是基础题，6个相等的角构成一个周角，每一个角一定为60°． 1．（2025·江苏南通·模拟预测）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是B，故选B． 考点：利用旋转设计图案． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．依据旋转变换以及轴对称变换，即可使与重合． 【详解】解：先将绕着的中点旋转，再将所得的三角形绕着的中点旋转°，即可得到； 先将沿着的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着过点与垂直的直线翻折，即可得到； 故答案为：③④． 3．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 【答案】 （a，b﹣1）； （a，﹣b）； （12a，b）　 【详解】若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为：（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 故答案为（a，b﹣1），（a，﹣b），（12a，b）． 点睛：本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋旋一定角度得得新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 4．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【答案】（1）如图①，△A′B′C′为所作；见解析；（2）如图②，△A″B″C″为所作；见解析． 【分析】（1）把△ABC先向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到△A′B′C′，则△A′B′C′满足条件； （2）以点P为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°得到△A″B″C″，则△A″B″C″满足条件． 【详解】（1）如图①，△A′B′C′为所作； （2）如图②，△A″B″C″为所作． 【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 【经典例题六 求旋转对称图形的旋转角度】 【例6】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）五星红旗上的一个五角星图案如图所示，将图案绕五角星的中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ）    A．108 B．90 C．72 D．60 【答案】C 【分析】根据圆周角为，五角星把周角分为了相同的五部分，结合旋转的定义，利用以上内容，问题即可解答． 【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， ∵A、B、D都不是的整倍数， ∴只有C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用旋转设计图案，掌握旋转的定义是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】C 【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角． 【详解】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角， ∴旋转角为90° 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的旋转，掌握作图的基本步骤是解题的关键 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转 度与它本身重合． 【答案】360 【分析】根据旋转对称图形的定义即可得． 【详解】点M是边CD的中点，不是正方形ABCD的中心， 正方形ABCD绕点M至少旋转360度才能与它本身重合， 故答案为：360． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，掌握理解定义是解题关键． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是 ． 【答案】39° 【分析】由∠BCA＝∠BCA′，推出∠BCB′＝∠ACA′＝39°，求出∠ACA′即可解决问题． 【详解】解：∵AC⊥A′B， ∴∠CDA′＝90°， ∵∠A＝∠A′＝51°， ∴∠ACA′＝39°， ∵∠BCA＝∠BCA′， ∴∠BCB′＝∠ACA′＝39°， 故答案为39°． 【点睛】本题考查了旋转变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 【答案】(1)见解析 (2)B (3)270 (4)2 【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用旋转变换的性质解决问题即可； （2）观察图形可知，旋转—次循环，由可得结论； （3）利用旋转变换的性质判断即可； （4）利用翻折变换作出图形判断即可． 【详解】（1）解：如图，图2，图3即为所求； （2）解：观察图形可知，旋转—次循环， ， 所以风叶①到达了图4中位置． （3）解：图1所示风车绕中心逆时针旋转 270 度（旋转一周内），风叶（1）也能到达第（2）问中位置． 故答案为： 270 ； （4）解：由如图5可知，最少翻折 2 次，也能到达第（ 2 ）问中位置． 故答案为： 2 ． 【经典例题七 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例7】（24-25九年级上·广西南宁·期中）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系下的旋转，解题的关键是建立平面直角坐标系，利用数形结合的思想解决问题．据此解答即可． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 由图可知：． 故选：A． 1．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转、规律型，依题意不难发现第4次旋转后回到初始位置，而，据此可得当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合，据此即可解答． 【详解】解：∵每次绕点逆时针旋转， 第4次旋转后回到初始位置， 又， 当旋转2025次后的位置与旋转第1次后的位置重合， 即此时点与点重合， 点， 点 转动2025次后，点的坐标为． 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·山东聊城·模拟预测）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，，将绕着坐标原点顺时针旋转后，点对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，根据点和点的坐标，确定平面直角坐标系，再画出绕原点顺时针旋转后的图形即可解决问题．能根据题意确定平面直角坐标系并画出旋转后的三角形是解题的关键． 【详解】解：∵点，两点的坐标分别为，， ∴平面直角坐标系如图所示， ∴将绕原点顺时针旋转后的图形如图所示， ∴点对应点的坐标为． 故答案为：．    4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，位置如图所示： (1)点A关于y轴对称的点的坐标为________，点B关于原点的对称点的坐标为________； (2)若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________；若绕原点O逆时针旋转得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________； (3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为________． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）根据轴对称和中心对称的性质即可求解； （2）将点C按照的平移方式进行平移，求出平移后的坐标即可；画出旋转后的三角形，即可求出坐标； （3）的中垂线与x轴的交点即为所求； 【详解】（1）解：∵， ∴点A关于y轴对称的点的坐标为； ∵， ∴点B关于原点的对称点的坐标为； （2）解：∵ ∴将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得， 则点的横坐标为，纵坐标为， 即； 将绕原点O逆时针旋转得，如图： 则； （3）解：如图，点P即为所求，坐标为； 【点睛】本题考查了坐标与图形变化中的平移、旋转、轴对称、中心对称，垂直平分线的性质，掌握其变化性质是解题的关键． 【经典例题八 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例8】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，将绕点旋转得到，设点D的坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点A的坐标是，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可． 【详解】解：根据题意，点A、点D关于点C对称， 点C是线段AD的中点， 设点A的坐标是， ，， ，， 解得，， 点的坐标是 故选D． 【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点D、点A关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方． 1．（2025·湖北孝感·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，3），C（4，1），如果将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，那么点A的对应点A'的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，4） C．（4，3） D．（4，4） 【答案】D 【分析】按照旋转规律画出旋转后的图形，即可快速确定A'的坐标. 【详解】解：旋转后的Rt△A′B′C′如图所示，观察图象可知A′（4，4）． 故选D． 【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是理解题意，正确画出图形，属于中考常考题型，需引起足够重视. 2．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点C作CM⊥x轴于M，根据旋转变换的性质可得△ABO与△BCM全等，再根据全等三角形对应边相等求出OB、CM的长度，然后根据点C在第二象限即可得出结论． 【详解】解：过点C作CM⊥x轴于M，则∠CMB=90°， 解：∵ ∴OB=2，OA=4； ∵线段是由线段绕点逆时针旋转而得到 ∴∠CMB=∠ABC=∠AOB=90°，BC=BA ∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBM=90° ∴∠OAB=∠CBM ∴△BCM≌△ABO， ∴BM=AO=4，CM=OB=2 ∴OM=BM+OB=6 ∵点C在第二象限， ∴C（-6，2） 故答案是：（-6，2） 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，利用全等三角形对应边相等求出点C到坐标轴的距离是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图(1)位置，第二次旋转至图(2)位置…，则正方形铁片连续旋转2018次后，点P的纵坐标为 ．      【答案】1 【分析】由旋转方式和正方形性质可知点P的位置4次一个循环，首先根据旋转的性质求出P1～P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题． 【详解】解：∵顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）， ∴第一次旋转90°后，对应的P1（5，2）， 第二次P2（8，1）， 第三次P3（10，1）， 第四次P4（13，2）， 第五次P5（17，2）， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵2018÷4=504余2， P2018的纵坐标与P2相同为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出绕顺时针旋转后的并写出点 的坐标． 【答案】画图见解析，，． 【分析】本题考查了作图——旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出答案，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 由图可得，，． 【经典例题九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例9】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，等边的顶点为坐标原点，轴，，将等边绕原点顺时针旋转105°至的位置，则点到轴的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】过作轴于，得到，根据等边三角形的性质得到，，得到，根据旋转的性质得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：过作轴于， ， 是等边三角形， ，， 轴， 轴于， ， 将等边绕原点顺时针旋转至的位置， ，， ， ， 点的坐标为，， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转，是基础题，根据旋转角求出然后作出等腰直角三角形是解题的关键． 1．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式连续旋转2021次得到正方形，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质和旋转的性质探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1， ∴A（0，a）， ∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1， ∴A1，A2（a，0），A3，A4（0，-a）…， 发现是8次一循环， ∵2021÷8=252…5， ∴点A2021的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点P（2，3）绕点M（4，0）旋转180°后得到点P'，则点P'的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题属于旋转题型，根据旋转特点性质可知点M为P和P'的中点位置，据此可得答案． 【详解】解：由点P（2，3）绕点M（4，0）旋转180°后得到点P'可知，点M在P和 P'的中间位置，即M为P P'中点， 设P'坐标为（x，y）， ∵点P（2，3）绕点M（4，0）， 由中点坐标可知：，， 解得：x=6，y=3 ， 即P'的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题利用旋转考查中点坐标，难度一般，当掌握中点坐标即可解题． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为 ． 【答案】（1，﹣4） 【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标． 【详解】解：作AC⊥x轴于C， ∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0）， ∴AC＝2，BC＝3+1＝4， 把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图， ∴BC′＝BC＝4，A′C′＝AC＝2， ∴点A′的坐标为（1，﹣4）． 故答案为（1，﹣4）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转问题转化为直角三角形的旋转． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点A对应点坐标为， ①请画出平移后的； ②若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是______；（用字母a、b表示）． (3)将绕某一点E旋转可得到，直接写出点E的坐标是______； (4)若点P是网格中第二象限内的格点，且满足，这样的点P在网格中有______个． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) (4)9 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，平行四边形的性质与判定，正确根据图形的变换方式找到对应点位置是解题的关键． （1）绕原点O顺时针旋转，旋转前后对应点的横纵坐标互为相反数，据此描出，再顺次连接即可； （2）①根据点A和点的坐标，可判断出平移方式，进而确定的坐标，描出，再顺次连接即可；②根据平移方式即可得到带你的坐标； （3）可证明四边形是平行四边形，则点E即为四边形对角线的交点，据此根据两点中点坐标计算公式求解即可； （4）由可知，点P到直线的距离等于点B到直线的距离的一半或点P到直线的距离等于点C到直线的距离的一半或点P到直线的距离等于点A到直线的距离的一半，据此根据网格的特点作图求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②∵将平移后得到，点对应点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵内部一点P的坐标为， ∴点P的对应点的坐标是； （3）解：由平移和旋转的性质可得， ∴四边形是平行四边形， ∵将绕某一点E旋转可得到， ∴点E即为四边形对角线的交点， ∵， ∴，即； （4）解：如图所示，到即为所求， ∴一共有9个点P符合题意． 【经典例题十 坐标与旋转规律问题】 【例10】 （24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，老师把点绕原点逆时针旋转后得到称第一次变换…，那么第变换之后得到的的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，旋转的性质，根据旋转可得点绕原点逆时针旋转，经过次后回到初始位置，所以经过次混合后的第三次的坐标与的坐标相同，再根据点坐标的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：，即点绕原点逆时针旋转，经过次后回到初始位置， ∴， ∵， ∴经过次混合后的第三次的坐标与的坐标相同， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，一段抛物线，记为，它与轴于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，若点在某段抛物线上，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、图像与坐标的旋转变化等知识，理解周期性与旋转的性质是解题的关键．首先确定，由图可以观察到整个函数图像是一个在轴正向上下往复循环的图像，即可以得到整个图像的周期为，结合，可知点纵坐标与时的纵坐标相等，再结合函数图像的旋转，即可得解． 【详解】解：对于抛物线， 令，可得， 解得， ∴， ∴， 观察图像可知，整个函数是周期函数， 周期为， 又∵， ∴时，， 由图像变化可知，当与时的值互为相反数， 则有． 故选：C． 2．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转中坐标规律探究，解题的关键是确定所在的位置．分析可得：每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，故在轴正半轴上，且，即可得到答案． 【详解】解：∵A点坐标为， ∴， ∴第一次旋转后，点在第一象限，； 第二次旋转后，点在第二象限，； 第三次旋转后，点在轴负半轴，； 第四次旋转后，点在第三象限，； 第五次旋转后，点在第四象限，； 第六次旋转后，点在轴正半轴，； 如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上， ∵， ∴点在轴正半轴上，且， ∴ 故答案为：． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转，得到，把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标 ，顶点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律．依次求出等腰直角三角形的顶点（i为正整数）的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为点，，是等腰直角三角形且， 所以点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， …， 以此类推，点的横坐标坐标为， 当n为奇数时，点的纵坐标为； 当n为偶数时，点的纵坐标为2． 所以点的横坐标为：，纵坐标为：， 故点的坐标为． 故答案为：，． 4．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2），（﹣4，﹣1）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将△ABC绕着某点按顺时针方向旋转得到△A′B'C'，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度. （2）画出△ABC关于点A成中心对称的△AED，若△ABC内有一点P（a，b），请直接写出经过这次变换后点P的对称点坐标． 【答案】（1）旋转中心坐标为（2，﹣3），旋转角为90°；（2）作图见解析，（﹣a﹣2，﹣b）． 【分析】（1）作线段BB′，线段AA′的垂直平分线交于点K，点K即为所求．连接AK、A′K，可得∠AKA′=90°，即可得旋转角度数；（2）分别作出C，B的对应点E，D即可，利用中点坐标公式求出对称点的坐标即可． 【详解】（1）如图，作线段BB′，线段AA′的垂直平分线交于点K，点K即为所求． ∴旋转中心坐标为K（2，﹣3）， 连接AK、A′K， 由网格的特点可知：∠AKA′=90°， ∴旋转角为90°． （2）如图，△ADE即为所求， 设点P关于点A的对称点为P′（x，y）， ∵A（-1，0），P（a，b），点A为PP′的中点， ∴，， 解得：x=-2-a，y=-b， ∴点P（a，b）经过这次变换后点P的对称点坐标为（﹣a﹣2，﹣b）． 【点睛】本题考查旋转的性质及坐标变换，正确得出对应点、对应边并熟记中点坐标公式是解题关键. 【拓展训练一 旋转的性质及应用】 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． (1)证明：． (2)已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若，，则________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由已知推出，因为，推出，根据可证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （2）与（1）证法类似可证出，能推出得到，再结合已知条件以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵于，于． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） (2)在图①中，①求证：； ②______． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 【答案】(1)说明见解析 (2)①证明见解析；② (3)①的度数不会发生变化，说明见解析；②证明见解析 【分析】（1）先得到，然后根据旋转的性质解答即可； （2）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可； ②根据，得到，根据三角形的内角和定理，即可解答； （3）①根据等边三角形性质得出，求出，根据推出两三角形全等即可解题； ②连接，过点作于点，根据，得到，即可得到，然后根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】（1）解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴是绕点C顺时针旋转得到的； （2）①证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）①解：的度数不会发生变化， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ②证明：连接，过点C作，于点H，G， ∵， ∴，， ∴， ∴平分． ∴点C落在的角平分线上． 【点睛】本题考查旋转的定义，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，证明三角形全等是解题的关键． 3．（2025九年级·四川成都·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点A逆时针方向旋转α（）角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）连接并延长，延长线相交于点G，交于点M，问和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）如图3，连接，点O是的中点，连接，求证：． 【尝试应用】 （3）如图4，请直接写出当旋转角α从变化到时，点G经过路线的长度． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）由，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）证明G在以O为圆心为半径的上，过F作于N，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角α从变化到时，G在上运动，再进一步解答即可； 【详解】解：；；理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵由旋转有， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 【点睛】本题主要考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【拓展训练二 坐标与旋转的相关问题求解】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．作出将绕点顺时针旋转得到的（点、的对应点分别为点、），并直接写出点、的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可． 【详解】解：如图所示， ， 则． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)以点C为中心，把逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； (2)在（1）中的条件下， ①点A经过的路径的长为______(结果保留π)； ②写出点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查作图旋转变换； （1）根据旋转的定义作出点、绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得； （2）①根据弧长公式列式计算即可；②根据（1）中所作图形可得． 解题的关键是根据旋转变换的定义作出对应点及弧长公式． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）①，， 点经过的路径的长为， 故答案为：； ②由图知点的坐标为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题．解题的关键是作各个关键点的对应点． （1）作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次； （2），图形作变换相等于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； （3）因为变换表示先作1次变换，再作1次变换变换表示先作1次变换，再依1次变换，所以可按此作出图形，再作判断． 【详解】（1）解：作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次， ∴作变换相当于至少作两次变换； 故答案为：2； （2）解：，图形作变换相当于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； 如图所示，图形作变换后得到的图形； （3）解：变换与变换不是相同的变换．如图3，4所示． 【拓展训练三 坐标系中的动点问题】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是第一象限内一点，满足过点A分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，M是线段的中点，点P从M点出发沿线段向终点C运动，速度为每秒2个单位长度．设点P运动的时间为t（秒）． (1)求出A点坐标． (2)用含有t的代数式表示线段的长度． (3)当点P在上时，三角形的面积等于直角梯形的面积的，求t的值及此时点P的坐标． 【答案】(1) (2)当在上时，；当在上时， (3)，P点的坐标为 【分析】本题考查了坐标与图形性质，解二元一次方程组，矩形的性质，三角形的面积等知识点的应用． （1）解方程组求出方程组的解，即可得出答案； （2）分为两种情况：当在上时，当在上时，求出即可； （3）分为两种情况：当在上时，分别求出和四边形的面积，根据三角形的面积等于直角梯形的面积的，即可得出关于t的方程，求出t，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得， 即的坐标为； （2）解：∵根据题意知：四边形是矩形，，为的中点， ∴，，， 当在上时，， 当在上时，； （3）解：当在上时，如图： ∵， ， ∴， 解得， ∴， ∴P点的坐标为． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出三角形； (2)在（1）的条件下，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，两条直线交于点，补全图形，并直接写出的坐标是______． (3)若点在轴上运动，当长度最小时，点的坐标为______，依据是______． 【答案】(1)见解答 (2)画图见解答，； (3)，垂线段最短． 【分析】（1）描点并依次将它们连接起来即可； （2）画图并写出的坐标即可； （3）根据垂线段最短，过点作轴，交轴于点，写出点的坐标即可． 本题考查点的坐标、最短路线问题，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：三角形如图所示： （2）补全图形如图所示，的坐标是． 故答案为：． （3）过点作轴，交轴于点，则点的坐标为，依据是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【答案】(1) (2)①②m有最小值，当时，，对应点；无最大值 【分析】本题考查平面直角坐标系点的特征，和值的定义，熟练掌握平面直角坐标系点的特征是解题的关键； （1）根据和值的定义求解即可； （2）①根据题意，求解， ，进而求解和值；②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值即可求解； 【详解】（1）解：根据图象，可得， 横坐标最大值：、、中最大为； 纵坐标最大值：、、中最大为； 【，，】； 故答案为： （2）①当时，则， ， 横坐标最大值： 、， 中最大为1； 纵坐标最大值：、、， 中最大为； 求和值：； 故答案为： ②根据的不同范围，分析横纵坐标最大值： 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）； 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而增大）。 当：横坐标最大值为，纵坐标最大值为， （随增大而减小）； 综上，m有最小值：当时，，对应点； 无最大值：随增大而无限增大； 【拓展训练四 旋转综合应用】 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的坐标； (2)绕点C逆时针方向旋转90°得到，按要求作出图形； (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 【答案】(1)见解析，坐标为(2，-2) (2)见解析 (3)P 【分析】（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位；即得所求； （2）根据旋转定义处理； （3）根据旋转定义，确定两组对应点连线，两线段垂直平分线交点即是旋转中心． 【详解】（1）（1）如图所示，的对应点的坐标为,沿横轴正方向平移6上单位，沿纵轴负方向平移6个单位； △即为所求．    点B的坐标，坐标为（2，－2） （2）如图所示，△即为所求 （3）旋转中心P的坐标    【点睛】本题考查图形变换旋转、平移，理解旋转的定义及性质是解题的关键． 2．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，    四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 3．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 【答案】（1）见详解（2），理由见详解，（3） 【分析】（1）按要求作图即可 （2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可； （3）如图4中，先由旋转的性质得出，则，，，，，再证明，然后在中，由勾股定理求出的长度，即为的最小值； 【详解】（1）图即为所作， （2）数量关系：， 理由如下：逆时针旋转 由题意得：如图， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ， ，，，，， 是等边三角形， ， ， 当点，点，点，点共线时，有最小值， ， ， ， ， 故答案为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质，利用旋转的性质构造全等三角形是本题的关键． 1．（24-25九年级上·广东韶关·期中）下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查旋转的三要素即旋转中心，旋转角，旋转方向的应用． 根据旋转的性质，判断每个选项的图形是否可由原图形旋转得到。 【详解】解：A．该图形与原图形完全相同，可由原图形旋转（或）得到，故此选项不符合题意； B．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，因为形状、大小未变，只是方向改变，故此选项不符合题意；     C．图形不能由由原图形经过旋转得到，故此选项符合题意；     D．原图形绕某点旋转一定角度（如）后，可得到此图形，形状、大小不变，方向改变符合旋转性质，故此选项不符合题意；     故选：C． 2．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，． ∵，即，． ， 点的坐标为， 故选： ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应角相等，对应边相等． 由旋转可得，，，即可得，故． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转及探索图形规律．根据题意和角平分线的性质，即可得到B点的坐标，根据旋转的规律即可得到旋转后B的坐标，找到规律，即可求解．找到旋转的规律是解题的关键． 【详解】∵射线是第一象限的角平分线，， ∴设点，则， ∴，（不合题意舍去） ∴， 由题意得：第一次旋转后点对应点的坐标为， 第二次旋转后点对应点的坐标为， 第三次旋转后点对应点的坐标为， 第四次旋转后点对应点的坐标为， 第五次旋转后点对应点的坐标为， 第六次旋转后点对应点的坐标为， 第七次旋转后点对应点的坐标为， 第八次旋转后点对应点的坐标为， ∴第八次旋转后与原来点B重合， ∴每8次一个循环， ， ∴第次旋转结束后，点对应点的坐标与第一次的坐标相同为． 故选：B． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 6．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图所示的三个圆是同心圆，且，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是能够理解阴影部分的面积是圆面积的． 由图可知，三个阴影部分通过移动可充满大圆的，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：把最小圆的阴影部分以圆心为定点顺时针旋转，然后把最外边的阴影部分逆时针旋转， 即可填充满最大圆的， 而最大圆的面积为， 图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 9．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为，，的沿轴向右滚动到的位置，再到的位置，依次进行下去，发现，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是灵活运用旋转的知识找到点的坐标变化规律．根据已知条件得到点的坐标，再根据旋转的性质依次得到、的坐标，进而得到、的坐标，即可找到规律得到与的坐标，进而求解点的坐标． 【详解】解：由题意可知，， ，，， ， 根据旋转可知：， ， ， 继续旋转得，， 发现规律：，， ， 点的坐标为． 10．（2025·河北唐山·模拟预测）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是 ；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是 ．    【答案】 5 /0.4 【分析】由旋转的性质可得图形①和图形②面积相等，则新正方形面积等于个小的正方形面积的和，采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积，把它返回到个相同的平行四边形的状态，进而得出平行四边形的面积． 【详解】解：将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处， 图形①和图形②面积相等， 新正方形的面积等于个小的正方形面积的和， 新正方形的面积等于， 根据题意可得出：图形是个相同的平行四边形的状态， 那么其中一个面积为原图形的，那么平行四边形的面积=， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，图形的剪拼，培养学生动手操作能力及想象力，是热点题型，多思考、多总结，注意问题过程的形成． 11．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是由绕点O逆时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，然后利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵是由绕点O逆时针旋转后得到的图形， ∴， ∵， ∴． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出； (2)直接写出（1）中点的坐标：___________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据图形旋转的性质，先分别作三个顶点绕原点旋转得到的对应点，再将三个对应点连结成三角形即可； （2）根据图形即可写出坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知点的坐标． 故答案为：． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 【答案】(1)点A (2) (3)点C转到了点E的位置 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角． （1）直接根据旋转的性质求解即可； （2）由等腰三角形的性质得，然后由旋转的性质可得旋转角的度数； （3）直接根据旋转的性质求解即可． 【详解】（1）由旋转的性质可知，旋转中心是点A； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴， 由旋转的性质可知，旋转了； （3）由旋转的性质可知，点C转到了点E的位置． 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）． （1）直接写出△ABC的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A、C的对应点分别为A1、C1，请你完成作图； （3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）画△A1BC1见解析；（3）点G（0， 3）． 【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题． （2）利用数形结合的思想解决问题． （3）利用数形结合的思想解决问题． 【详解】解：（1）∵A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）， ∴， AC＝，， ∴， ∴， ∴△ABC是直角三角形． （2）根据题目已知条件，将△ABC绕点B逆时针旋转角度2∠ABC得到△A1BC1，则△A1BC1如图所示． （3）如图示，过C1点，作直线C1G使得C1G⊥AB交y轴于点G， 由图可知，点G坐标为：（0，3）． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图在中，，点D，E分别在边上，，连接，，点M，P，N分别为的中点，连接，． (1)图1中，线段与的数量关系是___________；位置关系是____________． (2)将绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接，判断的形状，并说明理由． (3)将绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PMCE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=10，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PNBD，PN=BD， ∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PMCE，PM=CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PNBD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PMCE， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN； （2）解：△PMN是等腰直角三角形． 证明：由旋转性质可知∠BAD＝∠CAE 又∵AB＝AC，AD＝AE ∴△BAD≌△CAE ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE ∵点P，M分别是DC，DE的中点 ∴PM是△DCE的中位线 ∴PM＝CE且PMCE 同理PN＝BD且PNBD ∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC ∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD ∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN ∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90° ∴△PMN是等腰直角三角形． （3）解：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD， ∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD=AB+AD=11， ∴PM=5， ∴S△PMN最大=PM2=×()2=． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 图形的旋转重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 旋转对称图形的识别 题型二 找旋转中心、旋转角、对应点 题型三 根据旋转的性质求解 题型四 根据旋转的性质说明线段或角相等 题型五 利用旋转设计图案 题型六 求旋转对称图形的旋转角度 题型七 求绕原点旋转90度的点的坐标 题型八 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 题型九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 题型十 坐标与旋转规律问题 拓展训练一 旋转的性质及应用 拓展训练二 坐标与旋转的相关问题求解 拓展训练三 坐标系中的动点问题 拓展训练四 旋转综合应用 知识点一：旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江西南昌·课后作业）图形的平移是由 和 决定的，图形平移后，它的 和 没有发生变化． 知识点二：旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转后形成的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为 ． 知识点三：旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）将绕点旋转得到，则下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）有如图，从图形甲到图形乙，所进行的图形运动是先绕点 时针旋转，再向右移动 格．    【经典例题一 旋转对称图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图是经典微信表情，下列选项是由该图经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在线段.角.等腰三角形.正方形和圆中，旋转对称图形是 ； 3．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图所示，在这个旋转对称图形中，有 对相等线段. 4．（2025九年级上·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，，，垂足为点C，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)图中可以由△______绕着点______旋转______度后得到； (2)写出图中的一对全等三角形______； (3)若，，．求的面积． 【经典例题二 找旋转中心、旋转角、对应点】 【例2】（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则下列旋转方式中，符合题意的是（   ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，现要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，每次旋转都以图中的A，B，C，D，E，F中不同的点为旋转中心，旋转角度为（k为整数），则下列关于n的选项正确的是（    ） A．n可能为1，不可能为2，3 B．n可能为2，不可能为1，3 C．n可能为1，2，不可能为3 D．n可能为1，2，3 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为（5，3），则这个旋转中心的坐标是 ．    3．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在平面直角坐标系中，绕点旋转得到，则点的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形中，点E是线段延长线上一点，连接，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为 ． (2)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 【经典例题三 根据旋转的性质求解】 【例3】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，经过变换得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，连接，若恰好经过点C，则的长为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，中，，将绕点逆时针旋转°得到．当点，，在同一直线上时，的度数为 ． 3．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ． 4．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）（1）【操作发现】如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则是 三角形． （2）【类比探究】如图，在等边三角形内任取一点，连接，，，若，，，求的长． （3）【解决问题】如图，在边长为的等边三角内有一点，，，求的面积． 【经典例题四 根据旋转的性质说明线段或角相等】 【例4】（2025·广西贺州·模拟预测）如图，在中，，，将绕点A逆时针转60°得到，则的长是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（    ） A．25 B．40 C．45 D．50 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，当点在边上时，连接，若，，则的度数为 ． 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在中，，，．把绕边上的点D顺时针旋转得到，交于点E．若，则的面积是 ． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【经典例题五 利用旋转设计图案】 【例5】（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）如图的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是（ ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏南通·模拟预测）一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，是由经过平移得到的， 还可以看作是经过怎样的图形变化得到的？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25九年级上·江西南昌·单元测试）观察下列图象，与图A中的三角形相比，图B、图C、图D的三角形都发生了一些变化，若图A中P点的坐标为（a，b），则这个点在图B、图C、图D对应的P1、P2、P3对应的坐标分别为： ， ， ． 4．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）图①、图②是9×6的正方形网格，△ABC的三个顶点和点P都在格点上，按要求在图①、图②中各画一个三角形，使它的顶点均在格点上． （1）在图①中，将△ABC平移，使点P在平移后得到的三角形的内部． （2）在图②中，以边BC上的格点为旋转中心，将△ABC旋转，使点P在旋转后得到的三角形的内部． 【经典例题六 求旋转对称图形的旋转角度】 【例6】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）五星红旗上的一个五角星图案如图所示，将图案绕五角星的中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ）    A．108 B．90 C．72 D．60 1．（24-25九年级上·浙江台州·期中）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点顺时针旋转一定角度所得，点A′与点A是对应点，则这个旋转的角度大小可能是（　　） A．45° B．60° C．90° D．135° 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转 度与它本身重合． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是 ． 4．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图是一个微型风车模型，风车的四叶分别标记为“①②③④”，观察图形，回答以下问题． (1)图1的风车绕中心先顺时针旋转，形成图2的状态，再逆时针旋转，形成图3的状态，请在图2、图3的四叶上分别标记“①，②，③，④”； (2)图1的风车绕中心顺时针旋转后，风叶①到达了图4________的位置（填入A，B，C，D）； (3)图1所示风车绕中心逆时针旋转________度（旋转一周内），风叶①也能到达第（2）问中位置； (4)图1所示风车中风叶①最少翻折________次，也能到达第（2）问中位置． 【经典例题七 求绕原点旋转90度的点的坐标】 【例7】（24-25九年级上·广西南宁·期中）以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图，佳佳利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，，接着他将绕原点O逆时针转动至，称为第一次转动，然后将绕原点O逆时针转动至，称为第二次转动，……那么按照这种转动方式，转动2025次后，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江·期中）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为 . 3．（2025·山东聊城·模拟预测）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都是网格线的交点，已知，两点的坐标分别为，，将绕着坐标原点顺时针旋转后，点对应点的坐标为 ．    4．（24-25九年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，位置如图所示： (1)点A关于y轴对称的点的坐标为________，点B关于原点的对称点的坐标为________； (2)若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________；若绕原点O逆时针旋转得，其中A、B、C分别和对应，则点的坐标为________； (3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离相等，则点P的坐标为________． 【经典例题八 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标】 【例8】（2025·河南新乡·模拟预测）如图，将绕点旋转得到，设点D的坐标为，则点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 1．（2025·湖北孝感·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，3），C（4，1），如果将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到Rt△A′B′C′，那么点A的对应点A'的坐标是（　　） A．（3，3） B．（3，4） C．（4，3） D．（4，4） 2．（2025·山西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图(1)位置，第二次旋转至图(2)位置…，则正方形铁片连续旋转2018次后，点P的纵坐标为 ．      4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． 请画出绕顺时针旋转后的并写出点 的坐标． 【经典例题九 求绕原点旋转一定角度的点的坐标】 【例9】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，等边的顶点为坐标原点，轴，，将等边绕原点顺时针旋转105°至的位置，则点到轴的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 1．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将边长为a的正方形绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式连续旋转2021次得到正方形，那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，点P（2，3）绕点M（4，0）旋转180°后得到点P'，则点P'的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为 ． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）在如图平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕原点O顺时针旋转，请画出旋转后的； (2)将平移后得到，若点A对应点坐标为， ①请画出平移后的； ②若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是______；（用字母a、b表示）． (3)将绕某一点E旋转可得到，直接写出点E的坐标是______； (4)若点P是网格中第二象限内的格点，且满足，这样的点P在网格中有______个． 【经典例题十 坐标与旋转规律问题】 【例10】 （24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，老师把点绕原点逆时针旋转后得到称第一次变换…，那么第变换之后得到的的坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，一段抛物线，记为，它与轴于点和；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，如此进行下去，若点在某段抛物线上，则的值为（   ） A．0 B． C．2 D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转，得到，把绕点顺时针旋转，得到，依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标 ，顶点的坐标为 ．    4．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图所示，在正方形网格中，△ABC的顶点坐标分别为（﹣1，0），（﹣2，﹣2），（﹣4，﹣1）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）将△ABC绕着某点按顺时针方向旋转得到△A′B'C'，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角度. （2）画出△ABC关于点A成中心对称的△AED，若△ABC内有一点P（a，b），请直接写出经过这次变换后点P的对称点坐标． 【拓展训练一 旋转的性质及应用】 1．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． (1)证明：． (2)已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若，，则________ 2．（25-26九年级上·江西南昌·期中）已知：如图和都是等边三角形．D是延长线上一点，与相交于点P，与相交于点M． (1)说明：是经过怎样的旋转得到的？（请从旋转“三要素”加以说明） (2)在图①中，①求证：； ②______． (3)当绕点C沿逆时针方向旋转到图②时， ①的度数会发生变化吗？请说明理由？ ②求证：点C落在的角平分线上． 3．（2025九年级·四川成都·模拟预测）数学活动课上，某小组将一个含的三角尺和一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点A逆时针方向旋转α（）角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 （1）连接并延长，延长线相交于点G，交于点M，问和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． （2）如图3，连接，点O是的中点，连接，求证：． 【尝试应用】 （3）如图4，请直接写出当旋转角α从变化到时，点G经过路线的长度． 【拓展训练二 坐标与旋转的相关问题求解】 1．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．作出将绕点顺时针旋转得到的（点、的对应点分别为点、），并直接写出点、的坐标． 2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点． (1)以点C为中心，把逆时针旋转90°，画出旋转后的图形； (2)在（1）中的条件下， ①点A经过的路径的长为______(结果保留π)； ②写出点的坐标为______． 3．（25-26九年级上·江西南昌·课后作业）如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 【拓展训练三 坐标系中的动点问题】 1．（24-25九年级上·广东广州·期中）平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是第一象限内一点，满足过点A分别作x轴和y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，M是线段的中点，点P从M点出发沿线段向终点C运动，速度为每秒2个单位长度．设点P运动的时间为t（秒）． (1)求出A点坐标． (2)用含有t的代数式表示线段的长度． (3)当点P在上时，三角形的面积等于直角梯形的面积的，求t的值及此时点P的坐标． 2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）已知，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出三角形； (2)在（1）的条件下，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，两条直线交于点，补全图形，并直接写出的坐标是______． (3)若点在轴上运动，当长度最小时，点的坐标为______，依据是______． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，有个点，记为：，，…，若这个点的横坐标的最大值记为，纵坐标的最大值记为，将【，，…，】记为这个点的“和值”． 例如：对于，则“和值”【，】． 已知：如图，在平面直角坐标系中，正方形的四个顶点坐标为、、、，边与轴交于点． (1)“和值”【，，】______； (2)已知，过点作直线轴，直线与直线、分别交于点、记【、、、】． ①当时，______； ②当点在轴上运动时，判断有最大值还是最小值，并写出的最大或最小值以及相应的点的坐标． 【拓展训练四 旋转综合应用】 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．    (1)平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的，并直接写出点的坐标； (2)绕点C逆时针方向旋转90°得到，按要求作出图形； (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心P的坐标． 2．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    3．（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）【综合实践】 中，是边上任意一点，以点为中心，取旋转角等于，把逆时针旋转，画出旋转后的图形． 【操作体验】 （1）若点的对应点为点，画出旋转后的图形； 【深入探究】 （2）如图2，中，是边上一点（不与重合），猜想三条线段之间的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，中，是内部的任意一点，连接，求的最小值． 1．（24-25九年级上·广东韶关·期中）下列选项中不能由下图旋转得到的是（　　） A． B． C． D．   2．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转得到若点，，在同一条直线上，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 6．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）如图所示的三个圆是同心圆，且，那么图中阴影部分的面积是 ． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏南通·期中）定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 9．（2025九年级上·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为，，的沿轴向右滚动到的位置，再到的位置，依次进行下去，发现，，，则点的坐标为 ． 10．（2025·河北唐山·模拟预测）小明遇到一个问题：个同样大小的正方形纸片，边长是，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕的中点旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形．则新正方形的面积是 ；如图，在面积为的平行四边形中，点分别是边的中点，分别连接得到一个新的平行四边形．则平行四边形面积的大小是 ．    11．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是由绕点O逆时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，求的度数． 12．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出； (2)直接写出（1）中点的坐标：___________． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，是等腰直角三角形，，经过逆时针旋转后到达的位置，且点E在边上．     (1)旋转中心是哪一点？ (2)旋转了多少度？ (3)经过上述旋转后，点C转到了什么位置？ 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点的坐标分别为A（3，0）、B（0，4）、C（4，2）． （1）直接写出△ABC的形状； （2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1，其中α＝∠ABC，A、C的对应点分别为A1、C1，请你完成作图； （3）在网格中找一个格点G，使得C1G⊥AB，并直接写出G点的坐标． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图在中，，点D，E分别在边上，，连接，，点M，P，N分别为的中点，连接，． (1)图1中，线段与的数量关系是___________；位置关系是____________． (2)将绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接，判断的形状，并说明理由． (3)将绕点A在平面内自由旋转，若，请直接写出面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $