专题08 期中真题百练通关（72题12大压轴题型）（期中专项训练）九年级数学上学期人教版

专题08 期中真题百练通关（72题12大压轴题型） 选填小压轴 题型7 旋转中多个结论问题 题型1 一元二次方程的根与系数关系 题型8 旋转中求最值问题 题型2 一元二次方程中多个结论问题 题型9 旋转中规律问题 题型3 二次函数中多个结论问题 题型10 隐圆中最值问题 题型4 二次函数中的交点个数问题 题型11 圆综合的多个结论问题 题型5 二次函数中根据最值求参数 题型12 求规则图形的阴影面积 题型6 二次函数中动点问题 题型一 一元二次方程的根与系数关系（共4小题） 1．（九年级上安徽芜湖期中）、是方程的两个根，则（   ） A．4 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题关键是把．因为、是一元二次方程的两个根，所以，，进一步即可解决问题． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，即，， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上四川资阳期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义可得，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 3．（24-25九年级上辽宁葫芦岛期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 4．（23-24九年级上�江苏宿迁�期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 题型二 一元二次方程中多个结论问题（共5题） 1．（23-24九年级上四川眉山期中）已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解． 【详解】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴的最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 故选B． 2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了定义新运算、绝对值的性质、一元二次方程的应用，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键．根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【详解】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元二次方程，根的判别式，根据，得出，求出，得出①正确；根据，得出或，解方程判定②错误；当式子中取值为与时，对应的值相等，整理得出，当时，即时，成立，此时，，或时，无论m取何值，的值一定相等；当时，成立，，当时，的最大值为3，判断③错误． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 把代入得： ，故①正确； ②当时，， ∵， ∴， ∴或， ∵方程中， ∴此方程无解； 解方程得：或，故②错误； ③∵当式子中取值为与时，对应的值相等， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∴当时，即时，成立， 此时，， ∴或时，无论m取何值，的值一定相等； 当时，成立， ∴， 解得：， 此时的最大值为3； ∴当时，的最大值为3；故③错误； 综上分析可知：正确的有1个； 故选：B． 4．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误； ，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 5．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，所以①正确； ∵，， ∴，，所以②正确； ∵， ∴， 即， ∴，所以③错误； ∵， ∴方程化为， 即， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，所以④正确． 故选：． 【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，． 题型三 二次函数中多个结论问题（共7题） 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．①判断二次函数与x轴另外一个交点的位置，判断时的函数值正负即可；②根据顶点横坐标和对称轴公式求出a、b关系，代入①中结论即可；③根据抛物线在处取得最大值即可判断；④根据抛物线图象，数形结合即可判断． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵图象与轴的一个交点在之间， ∴图象与轴另一交点在之间， 时，即，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线， 时， 故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点坐标为， 故二次函数有最大值，当时，最大值为， 当时，函数值为， ∴，即，故③正确； ∵的最大值为， ∴由图可知必有两个不相等的实数根， 故④错误； 故正确的个数为3， 故选：C． 2．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：当时，随的增大而减小，其中结论正确为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据图象依次判断．看懂函数图象是解题的关键． 【详解】图像开头向上， 对称轴，得 当时，，观察图象与轴交于负半轴可知 故正确； 图象与轴有两个不相等的交点 故错误； 当时， 故错误； 当时， 观察图象可知，此时，即 故正确； 观察图象，当时，随的增大而减小 故正确； 故选：D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④ （为实数）．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 4．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 5．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线，根据对称轴公式即可求出，可判断①正确；过点作交轴于点，过点作交轴于点，证明，可得，可判断②正确；当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为，求出的长度，得到，可判断③正确；作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，小值为，即可判断④． 【详解】解：①二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ，两个函数的对称轴均为直线， 即， 解得：，故①正确； ②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点， ， 由函数的对称性可知， 在和中， ， ， ，故正确②； ③当点、分别在两个函数的顶点上时，，点、的横坐标均为， 由①可知两个函数的解析式分别为，， ，， ， 点， ， ， 由 ， 此时以，，，为顶点的四边形为正方形，故③正确； ④作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时周长的最小，最小值为， 点的横坐标为， ，点的横坐标为， ，， ，， 周长的最小值为，故正确④； 故选：D． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键， 根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断①；根据判断②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把，代入解方程求出m的值判断④． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∴，， ∴，故①正确； ∵点C的纵坐标在～之间， ∴，即， ∴，故②正确； ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故③错误； ∵令相等，则 ∴，解得（舍），， ∴，故④正确； 故选A． 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论②可得取值范围，判断⑤是否正确． 【详解】解：由图可得：，对称轴， ， ，①错误； 由图得，图象经过点，将代入可得， ，②正确； 该函数图象与轴的另一个交点为，且， 对称轴， 该图象中，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小， ③正确； ，， 关于的一元二次方程的根为， ， ，， ④正确； ，即， 解得， 即， ， ， ⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 题型四 二次函数中的交点个数问题（共4题） 1．（24-25九年级·浙江·自主招生）如果函数与函数的图象恰好有三个交点，则（      ） A．或 B．6或 C．6或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键． 按和分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b的值． 【详解】解：当时，函数图像的一个端点为，顶点坐标为， 当时，函数顶点坐标为，如图所示， 由图可得：当或时，直线卢函数的图像恰有三个交点． 故答案为：D． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数与几何图形的问题， 分两种情况讨论：当线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点，令，，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线与y轴交点纵坐标为1，可求n的值，进而得出取值范围； 当线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点，抛物线经过点，求出n的值，当线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点，抛物线经过点，可求n的值，进而得出取值范围. 【详解】解：如图1所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当时，，即， 解得． 如图2所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线与y轴交点纵坐标为1， ∴， 解得：． ∴当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线经过点， ∴． 如图4所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线经过点， ∴， 解得：． ∴时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是或， 故选：A． 3．（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 4．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 【详解】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当B与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象G有三个公共点； ③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点； ⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点； 设直线的解析式为，把点A坐标代入得， 即； ∵点Q向上平移两个单位长度得到点B， ， ∴点D的纵坐标为， 即，把点D坐标代入，得：， 解得：（舍去）， ； 即点Q的纵坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点． 题型五 二次函数中根据最值求参数（共5题） 1．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，求不等式的解集，掌握顶点坐标，对称轴直线，图象开口等知识，数形结合分析是解题的关键．根据解析式可得对称轴为直线，顶点坐标为，图象开口向上，如图所示，当时，解得，，得到，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，图象开口向上，如图所示， 当时，， ∴当时，， 解得，， ∵，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：B ． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，则关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 4．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 5．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．由，可知图象开口向上，对称轴为直线，根据题意确定t的取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最大值， ，即， 当时，函数取得最小值， ，即， 故选：A． 题型六 二次函数中动点问题（共6题） 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图是边长为4的正方形，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿方向运动，动点同时以每秒3个单位的速度从点出发沿正方形的边方向逆时针运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒，以点，，为顶点的三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，求出分段函数解析式是本题的关键． 分三种情况当时，当时，当时，分别求出面积解析式，即可求解． 【详解】解：设点的运动时间为秒， ∵正方形的边长为4，点以每秒1个单位的速度从点出发沿方向运动，动点同时以每秒3个单位的速度从点出发沿正方形的边方向逆时针运动， ∴当点与点相遇时，， 解得，即3秒后点与点相遇， 当时，点在上运动，如图， 此时的面积为， ∴当时，的面积随时间的增大而直线增大； 当时，点在上运动，如图， 此时的面积为， ∵此二次函数开口朝下，对称轴为， ∴当时，的面积随时间的增大而抛物线减小； 当时，点在上运动，如图， 此时的面积为， ∴当时，的面积随时间的增大而直线减小； 综上所述，能够反映与之间函数关系的图象大致是D选项的图象， 故选：D． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出，当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出S，据此可判断①；当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，据此可判断②；求出当时，t的值，可得的长，再利用勾股定理求出的长，据此可判断③；可求出P在上时，；函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则，据此可判断④． 【详解】解：由图2可知当点P运动到B点时，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； ∵动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴当时，点P的运动路程为1，即此时点P在上， ∴此时， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴当时，，故①正确； 当点P在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为，故②错误 在中，当时，解得或， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故③错误； ∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； 点P在上运动时， 函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，等边的边长为4，点P是上一动点（不与端点重合），作交于点E，作交AC于点F，设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，过点E作于点G，证明是等边三角形，即可表示出，在表示出，即可求得y关于x的解析式，即可解答，熟练利用表示相关图形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，， ， ∵是等边三角形， , ， ∴，， 如图，过点E作于点G， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，∵， ∴选项C符合题意． 故选：C． 4．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 5．（24-25九年级上�广东梅州�期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 题型7 旋转中多个结论问题（共6题） 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 设， 则， ， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故②不正确； 由勾股定理得：， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①③④， 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】当点E与点B重合时，点F与点C重合，可得E，F不一定为边的中点，故①错误；将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，．求出，，可得，故②正确；根据，求出的周长为为定值，故③正确；将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，推出，由勾股定理得，即，故④正确； 【详解】解：∵， 当点E与点B重合时，点F与点C重合， ∴E，F不一定为边的中点，故①错误； 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得，， ，，， ， 因此，点，，在同一条直线上． ， ． ， ． 即． 在与中， ． ， 当时， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴的周长为为定值，故③正确； 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在正方形中， ， ， ，即，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是通过旋转作图来解答． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为1，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】依据四边形为平行四边形，以及，即可得到平行四边形是菱形；依据，即可得到的面积；依据四边形是菱形，可得；根据四边形是菱形，可得，进而得到． 【详解】解：正方形的边长为1， ，，，． 由旋转的性质可知：，，，， ，，， 和均为直角边为的等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ，，， 且， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故①正确； ，， ， 的面积，故②正确； 四边形是菱形， ，故③不正确； 四边形是菱形， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】证，即可判断①；连接，可推出是等边三角形，即可判断；由得，推出，，即可判断②；作，则，可求出，，根据四边形的面积，即可判断③；将绕点逆时针旋转得到，连接，作，同理可得：是等边三角形，，，求出，根据，即可判断④； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到；故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故②正确； 作，如图所示：    则， ∴， ∴ ∴四边形的面积，故③正确； 将绕点逆时针旋转得到，连接，作，如图所示：    同理可得：是等边三角形，，， 则， ∴， ∴ ∴，故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，几何综合性较强，掌握举一反三的数学思想是解题关键． 5．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，，分别与交于，两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论： ；DA平分；若，，则；若，则．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出判断出正确；根据全等三角形对应边相等可得，，判断出正确；利用勾股定理得到，过作于点，再利用勾股定理求出，故正确；根据角的度数得到，然后利用“角角边”证明 和全等，根据三角形面积公式即可求得，判断出错误，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 由旋转性质可知， ∴，，，， ， ∴，故正确； ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴平分，故正确； 在中，， ∵，， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， 设到边距离为， ∴，， ∴， ∴，故错误； 综上正确， 故选：． 6．（2024·山东德州·二模）如图，正方形中，E、H 分别为边、上的点，连接、、，在的延长线上取一点F，连接，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】将绕点逆时针旋转，得到，证明，即可得出，可判断①正确；过点作，交延长线于，证明，得，，从而可证明是等腰直角三角形，得，则，可判断②正确；由勾股定理，得，可判断③正确；求得，得出，可判断④正确． 【详解】解：正方形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，如图， 由旋转可得：，，，， ， 、、三点共线，即， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； 过点作，交延长线于，如图， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故②正确； 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理，得， 故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确． ∴正确结论有①②③④，共4个． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，恰当添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型八 旋转中求最值问题（共10题） 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，从而得到四点共圆，结合，，得到，继而得到，得到，故平分，作于点M，根据为边上的一个动点，得到当F与点C重合时，最小，解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 作于点M， ∵为边上的一个动点， ∴当F与点C重合时，此时最小，如图 在上截取，连接，过点作， 则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，对角互补的四边形内接于圆，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，含30度的直角三角形的有关计算等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，判定四点共圆是解决问题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 3．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，化为最简二次根式，作出适当的辅助线是解本题的关键． 如图，作关于直线的对称点，连接，过作于，由，当三点共线时，最小，再进一步利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接，过作于， ∴，共线，， 由旋转可得：，， ∴， 当三点共线时，最小， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； ∴的最小值是； 故选B 4．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．当、、、四点在同一直线上时，最小．即可求解； 【详解】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作， ，， 为等边三角形， ， 点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长． 当、、、四点在同一直线上时，最小． ， 把绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 中，， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点和点重合时，最小，最小值为的长度是解本题的关键． 取的中点，可得 ，连接，过点作于，由旋转的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则当（点和点重合）时，最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点E作于F， 在中，， ， ∴ ， ∴ ， 由旋转知，，， ∴，即有： ∴， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点， ∴当（点和点重合）时，最小，即点与点重合，最小，最小值为， 在中，， ∴，， 故线段长度的最小值是， 故选：C． 7.（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识．取的中点．连接，，，作交的延长线于．利用全等三角形的性质证明，点的运动轨迹是射线，由“”可证，可得，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于， ，， ， 点是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ，，， ， ， ， 在中，，，， ，， 在中，， ， 的最小值为， 故选：C． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）    A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，勾股定理等，先取的中点G，连接，，由，，得是等边三角形，，再根据得出≌，可得，进而得出，然后根据证明≌，可知，要求最小，就是求最小，即，再作，根据勾股定理求出答案． 【详解】取的中点G，连接，． 由已知得，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴． 要求最小，就是求最小， 即． 作，交延长线于点H， ∵， ∴． 在中，，， ∴，， ∴． 在中，． 所以的最小值是． 故选：D．    【点睛】本题涉及了旋转的性质、全等三角形的判断和性质、、等边三角形的判断和性质、菱形的性质、线段和的最值等知识点，构造全等三角形转化线段关系，构造“将军饮马”模型是解题的关键． 9．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】解：作轴于点M，轴于N，   设， ∵， 则，，    ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当时，有最小值为5， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 10．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（　　）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，，作交的延长线于，根据三角形全等的判定与性质可以得到，由三角形三边关系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，，作交的延长线于，   由题意可得：，， 点是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ，，， ， ，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线， ，，， ， ， ， 在中，，，， ， 在中，， ， 的最小值为； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形与旋转的综合应用，熟练作出辅助线并掌握旋转的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系及勾股定理的应用是解题关键． 题型九 旋转中规律问题（共5题） 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，通过旋转角度找到旋转规律，从而确定第2022次旋转后矩形的位置是解题的关键． 过点作轴于点，连接，根据已知条件求出点的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点的坐标，发现规律，进而求出第2022次旋转结束时，点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点的坐标为； 则第2次旋转结束时，点的坐标为； 则第3次旋转结束时，点C的坐标为； 则第4次旋转结束时，点(的坐标为； 发现规律：旋转4次一个循环， 则第2022次旋转结束时，点的坐标为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移．由于，因此点向右平移即即可到达点，根据点的坐标就可求出点的坐标． 【详解】解：连接，如图所示． 四边形是菱形， ． ， 是等边三角形． ， 画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示． 由图可知：每翻转次，图形向右平移． ， 点向右平移即到点． 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：C． 3．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键．先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题． 【详解】解：，， ，． 在中， ． ，且轴， 点的坐标为． ， 每旋转四次，点对应点的坐标循环出现． 余1， 点的坐标与点的坐标相同． 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ，， ， 点的坐标为， 即点的坐标为． 故选：A 4．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）如图，在中，，，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到①，可得到点；再将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转下去，若n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律探究，旋转的性质及直角三角形的性质，得到的长度依次增加2，1，且三次一循环是解题的关键． 由题意可得将绕点顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】解：中，，，， ，， 将绕点顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 又， ， 故选：D． 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，找规律，由题可得，旋转后可得到，，，，且每四次循环一周，即可得到结果，找到规律是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点O顺时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律，每4次循环一周， 即，，，， ∵， ∴点与同在一个象限内， ∵， ∴， 故选：A． 题型九 隐圆中最值问题（共6题） 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查圆外一点到圆上的最短距离，旋转的性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键是得到正确的隐圆；先根据旋转得到全等，再根据圆的定义得到隐圆，根据圆外一点到圆的最短距离在圆外一点与圆心连线与圆的交点，即可得到答案； 【详解】解：如图，画出隐圆，连接， ， 将绕点A逆时针旋转，由题中可知：绕点A逆时针旋转， ∴,, ∴, ∴, ∴点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∵， ∴, 当点在线段上时，的值最小，最小值为：； 故选：D. 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质是解题的关键．如图，连接，作于，于．求出的最小值以及最大值即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴点的对应点是点，， ，， 又∵点是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在旋转过程中，当点与重合时，的值最小，最小值为：， 当点与重合时，的值最大，最大值为：， ∴线段长度的最大值与最小值的差是：． 故选：C． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 题型十一 圆综合的多个结论问题（共5题） 1．（2024·广东·模拟预测）如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】（1）连接、，根据圆的切线的性质判定，得到，即可判断；（2）结合（1）证明，推出，即可判断；（3）连接，根据直径得到，进而证明，推出是等边三角形，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半，即可判断；（4）根据菱形和等腰三角形的性质，即可判断． 【详解】解：（1）连接、， 与相切，切点为， ， 在和中， ， ， ， 又是半径， 与相切，（1）结论正确； （2）由（1）得：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形是菱形，（2）结论正确； （3）连接， ， ， 是直径， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，（3）结论正确； （4）四边形是菱形，， ，， ， ，（4）结论错误； 即正确个数有3个， 故选：C 【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆周角，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，内接于，半径，连接CO并延长交于点D，过点O作半径交BC于点E，连接AE，以下结论：①；②；③；④四边形AOCE为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形性质，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理证明，证明即可证明四边形为菱形，再根据圆周角定理进行判定即可． 【详解】令交于点， 由题意得：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，①正确； ， ， ， ， 故四边形为菱形，选项④正确； ∵四边形为菱形， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∵， ， ∴，②正确； ，③错误； 综上，①②④正确． 故选：C． 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟记圆周角定理是解题的关键．①在同圆或等圆中，根据圆周角相等，则弧相等可作判断；②先根据勾股定理得：，由完全平方公式：，展开可作判断；③证明，可作判断；④根据完全平方公式，代入可得：，开方可判断． 【详解】解：① 平分， ， ， 是的直径， 是半圆的中点，即点是定点；故①正确； ② 是的直径， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为，故②正确； ③ ， ， 平分， 平分， ，， ，， ， ， 为的外心，故③正确； ④ ， ， 即的最大值为，故④正确； 综上，正确的结论有4个． 故选：D． 4．（2024·山东泰安·三模）如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质与判定，先由折叠的性质可得，再由角平分线的定义可得，进而证明，则是等腰直角三角，即可判断①；证明四点共圆，即可判断②；证明四点共圆，即可判断③；在中，由勾股定理得，由等面积法得到，则，即，即可判断④． 【详解】解：根据翻折可知，点A和点F关于对称， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴．故①正确； 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴，故②正确； 如图所示，连接， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴，故③正确； ∵正方形的边长为2，点E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有4个， 故选：D． 5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B、D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于点G，给出四个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】取的中点，连接，利用直角三角形性质可得，即，四点共圆，再运用勾股定理即可判断结论①；将绕点顺时针旋转得到，可证得，即可判断结论②；连接，过点作于，过点作 于，则四边形是矩形，可证得，再结合等腰直角三角形性质即可判断结论③； 【详解】解：如图1，取的中点，连接， ∵，四边形是正方形， ， ， ， 四点共圆， ， 在中，， 在中，， ∴；故①正确； 将绕点顺时针旋转得到，如图2， ， ， 共线， ， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴；故②正确； 连接，过点作于，过点作 于，则四边形是矩形，如图3， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 题型十二 求不规则图形的阴影面积（共3题） 1．（2024·山西·模拟预测）如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了的八等分点，连接其中的六个顶点得到圆内接六边形．若的半径为3、则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形和圆，垂径定理，圆周角定理，正方形的判定与性质，勾股定理，中心对称图形的性质，不规则图形的面积，解决本题的关键是掌握多边形和圆的性质．连接，易证四边形是正方形，求出，由题意证明，求出四边形的面积，的面积，进而得到四边形的面积，再根据六边形是中心对称图形，求出六边形的面积，用圆的面积减去六边形的面积即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，即， ， ∴四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∴点过，且为中点， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， ∵的面积为， ∴四边形的面积为， ∵六边形是中心对称图形， ∴六边形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．先根据直角三角形中的勾股定理求得，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：，将相关量代入求解即可． 【详解】解：根据题意可知，则， 设，， ， ，即， ， 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减及扇形面积的计算．过点作，交、于点、，连接，可知、，从而可得，根据扇形的面积公式和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，交、于点、，连接， 四边形为正方形， ，，， ，， 设，则， ，， ． 故选：A ． 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；⑥不等式的解集为；其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，则可对①③⑤进行判断；当时，有最小值可对②进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当或时，，利用函数图象得到抛物线不在直线的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过解方程抛物线与直线的交点的横坐标分别为、，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对⑥进行判断，熟练利用二次函数性质是解题的关键． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得，所以⑤正确， ， 即， ，，， ，所以①正确； ，， ，所以③正确； 当时，有最小值， 对于任意的，均有，所以②错误； 抛物线的对称轴为直线， 当或时，， 当时，或，所以④错误； 解方程得，， 抛物线与直线的交点的横坐标分别为、， 当或时，， 不等式的解集为或，所以⑥错误． 故选：B． 2．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由是的中点，，则，通过折叠性质可知，，，，则四边形是矩形，又，故四边形是正方形，则有，所以，求出，再通过图中阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， 由折叠性质可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积，圆周角定理推论，三角形内角和定理，折叠性质，矩形判定，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2024·湖南·一模）如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标和图形，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，三角形的中位线定理等知识．先得到点在半径为1的上，取，连接，可知为射线与圆B的交点时，最大，即最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为1， 取，连接， 为线段的中点，， 是的中位线， ， 当最长时，即最长， ∵ ∴，，三点共线时，最长，此时为射线与圆B的交点， ，， ， ， ， 即的最大值为， 故选：A． 4．（2024九年级·湖北·专题练习）如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④若，，，为函数图像上的两点，则； ⑤当时，； 其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号) ． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．利用抛物线的开口方向得到，根据对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴有两个交点，对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，则，把代入得到，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判断；利用抛物线在轴上方对应的自变量范围可对⑤进行判断． 【详解】解：由图象可知，，，， ，故①错误． 抛物线与x轴有两个交点， ，故②正确． 抛物线对称轴为，与x轴交于， 抛物线与x轴的另一个交点为， ，， ，， ，故③正确． ，为函数图象上的两点， ，即点C离对称轴近， ，故④错误， 抛物线对称轴为，与轴交于， 抛物线与轴另一个交点是 由图象可知，时，，故⑤正确． 综上，正确的有②③⑤， 故答案是：②③⑤． 5．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，在中，，，，在直线上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，旋转的性质及直角三角形的性质，根据题意，发现将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解． 【详解】】解：∵，，， ∴，， ∴将绕点A顺时针旋转，每旋转一次，的长度依次增加2，，1，且三次一循环， ∵， ∴ 故答案为：． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为4； ③的最小值为； ④当到的距离达到最大值时，． 你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】由折叠的性质可知，，那么当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确；连接，在中，由勾股定理得，而，故，那么的最小值为．故③正确；在中，，，那么当点在右侧圆上时，随着的增大而增大，可得，故当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合，此时，故②正确；当时，到的距离达到最大值， 此时四边形为矩形，则，即可求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动．故①正确． 连接， ∵在正方形中，，，， ∴在中， ∵， ∴， ∴的最小值为．故③正确； 在中，，， ∴当点在右侧圆上时，随着的增大而增大， ∵， ∴当最大时，有最大值，有最大值，此时，点N与点D重合， ∴此时，故②正确； 当时，到的距离达到最大值，如图： 此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查折叠的性质，正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识点，综合运用相关知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 期中真题百练通关（72题12大压轴题型） 选填小压轴 题型7 旋转中多个结论问题 题型1 一元二次方程的根与系数关系 题型8 旋转中求最值问题 题型2 一元二次方程中多个结论问题 题型9 旋转中规律问题 题型3 二次函数中多个结论问题 题型10 隐圆中最值问题 题型4 二次函数中的交点个数问题 题型11 圆综合的多个结论问题 题型5 二次函数中根据最值求参数 题型12 求规则图形的阴影面积 题型6 二次函数中动点问题 题型一 一元二次方程的根与系数关系（共4小题） 1．（九年级上安徽芜湖期中）、是方程的两个根，则（   ） A．4 B．10 C． D． 2．（24-25九年级上四川资阳期中）已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 3．（24-25九年级上辽宁葫芦岛期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上�江苏宿迁�期中）阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 题型二 一元二次方程中多个结论问题（共5题） 1．（23-24九年级上四川眉山期中）已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知关于的多项式：． ①若，则代数式的值为； ②当时，若，则或； ③若当式子中取值为与时，对应的值相等，则的最大值为3． 以上结论正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于的一元二次方程的两个根为，，且．下列说法正确的个数为（　　） ①； ②，； ③； ④关于的一元二次方程的两个根为，． A． B． C． D． 题型三 二次函数中多个结论问题（共7题） 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③（的任意实数）；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：当时，随的增大而减小，其中结论正确为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④ （为实数）．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 5．（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①； ②； ③以，，，为顶点的四边形可以为正方形； ④若点的横坐标为，点在轴上（，，三点不共线），则周长的最小值为． 其中，所有正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，，与y轴交点C的纵坐标在～之间，根据图象判断以下结论：①；②；③若且，则；④直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 7．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，，其中．结合图象给出下列结论：    ①；②； ③当时，随的增大而减小； ④关于的一元二次方程的另一个根是； ⑤的取值范围为．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 题型四 二次函数中的交点个数问题（共4题） 1．（24-25九年级·浙江·自主招生）如果函数与函数的图象恰好有三个交点，则（      ） A．或 B．6或 C．6或 D．或 2．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数，规定函数是它的相关函数。已知点M、N的坐标分别为、，连接，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25九年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁大连·三模）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 题型五 二次函数中根据最值求参数（共5题） 1．（2024九年级上·吉林长春·竞赛）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）已知二次函数，其中，当且仅当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 5．（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 二次函数中动点问题（共6题） 1．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图是边长为4的正方形，动点以每秒1个单位的速度从点出发沿方向运动，动点同时以每秒3个单位的速度从点出发沿正方形的边方向逆时针运动，当点与点相遇时停止运动，设点的运动时间为秒，以点，，为顶点的三角形的面积为，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川眉山·中考真题）如图1，在中，，点D在上，，动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．在3个时刻，，对应的正方形的面积均相等．下列4个结论：①当时，；②点P在线段上时；③；④．其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025·安徽·模拟预测）如图，等边的边长为4，点P是上一动点（不与端点重合），作交于点E，作交AC于点F，设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 5．（24-25九年级上�广东梅州�期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 题型7 旋转中多个结论问题（共6题） 1．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期中）如图，正方形的边长为1，是对角线，将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接，则下列结论：①四边形是菱形；②的面积是；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是正内一点，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：可以由绕点逆时针旋转得到；四边形的面积是，其中正确结论有个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图，将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子，其中，，，分别与交于，两点，将绕着点顺时针旋转得到，则下列结论： ；DA平分；若，，则；若，则．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2024·山东德州·二模）如图，正方形中，E、H 分别为边、上的点，连接、、，在的延长线上取一点F，连接，是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型八 旋转中求最值问题（共10题） 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将其绕点逆时针旋转至直线，使得，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 3．（2024·江苏常州·二模）如图，在中，，，．将绕点A顺时针旋转得到，边上的一点P旋转后的对应点为Q，连接，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 5．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（   ）． A． B．4 C． D．8 6．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，若中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（   ） A．1 B．3 C． D． 7.（2024·河南周口·一模）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）. A．4 B． C． D． 8．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（    ）    A． B． C．14 D． 9．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·广东深圳·开学考试）如图，平行四边形中，，，，是边上一点，且，是边上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值是（　　）    A．4 B． C． D． 题型九 旋转中规律问题（共5题） 1．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2024次，点B的落点依次为，，，…，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，的顶点B，C都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，第2025次旋转后，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·重庆忠县·期末）如图，在中，，，，且在直线l上，将绕点A顺时针旋转到①，可得到点；再将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点；…，按此规律继续旋转下去，若n为正整数，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形，，直角边在x轴正半轴上，且，将绕原点O顺时针旋转，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形（即），同理，将顺时针旋转，同时扩大边长1倍，得到等腰直角三角形，依此规律得到等腰直角三角形，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 题型九 隐圆中最值问题（共6题） 1．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，已知在中，，，将绕点逆时针旋转．得到．点是边的中点，点为边上的动点，在绕点逆时针旋转的过程中，点的对应点是点，则线段长度的最大值与最小值的差是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十一 圆综合的多个结论问题（共5题） 1．（2024·广东·模拟预测）如图，P为的直径延长线上的一点，与相切，切点为C，点D是上一点，连结．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，内接于，半径，连接CO并延长交于点D，过点O作半径交BC于点E，连接AE，以下结论：①；②；③；④四边形AOCE为菱形．其中一定正确的结论的序号为（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 3．（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，点是圆上不与，重合的点，平分，交于，平分，交于．有以下说法：①点是定点；②的最大值为；③为的外心；④的最大值为．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·山东泰安·三模）如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B、D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接交于点G，给出四个结论：①；②；③；上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型十二 求不规则图形的阴影面积（共3题） 1．（2024·山西·模拟预测）如图，小亮在学习圆内接正多边形的知识后，利用尺规作图得到了的八等分点，连接其中的六个顶点得到圆内接六边形．若的半径为3、则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D，交于点C，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，正方形的边长为，分别以，为圆心，半径为作弧和，两处阴影部分面积分别记为，，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，已知顶点为的抛物线过，则下列结论：①；②对于任意的，均有；③；④若，则；⑤；⑥不等式的解集为；其中正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·山西·模拟预测）如图，在扇形中，，，分别是，上的点．将扇形沿折叠，点恰好落在的中点处，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·一模）如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 4．（2024九年级·湖北·专题练习）如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④若，，，为函数图像上的两点，则； ⑤当时，； 其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号) ． 5．（23-24八年级下·内蒙古·期中）如图，在中，，，，在直线上．将绕点A按顺时针方向旋转到位置①，可得到点，此时；将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置③，可得到点，此时；…，按此规律继续旋转，直到得到点为止．则 ．    6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一次折纸实践活动中，小明同学准备了一张边长为4（单位：）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小明同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为4； ③的最小值为； ④当到的距离达到最大值时，． 你认为小明同学得到的结论中正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $