精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高一上学期10月期中考试数学试题

2025-2026学年度上学期高一期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列不等式中，与不等式同解的是 A. B. C. D. 3. 以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（ ） A. x 1 2 3 4 y 1 2 1 2 B. C. D. 4. 给出下列等式，其中因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数a，b，c满足，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. C. A的非空子集的个数为7 D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题p：，，则p：， B. 与表示同一函数 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若，，则. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 设，则的最小值是 B. 当时， C. 当时，的最小值是1 D. 若正实数x，y满足，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 设a，，集合，，若，则__________. 13. 函数，且，则函数的解析式为__________． 14. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，若，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若集合，求此时实数的值； （2）已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）求函数的值域. （2）已知正实数满足，求的最小值. 17. 已知函数 （1）若函数的定义域为，求实数m的取值范围. （2）若函数的值域是，求实数m的取值范围. 18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好地服务于人民，派调查组到上高县某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x（）户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高万元，而从事水果加工的农民平均每户收入将为（）万元. （1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值. 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） （2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期高一期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系，集合间的基本关系逐一判定选项即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，是含有一个元素0的集合，而是不含任何元素的空集，故，C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 2. 在下列不等式中，与不等式同解的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法，分别求得题设中的不等式和选项中的不等式的解集，即可求解. 【详解】由题意，不等式等价于，解得， 对于A中，不等式等价于，解得； 对于B中，不等式等价于不等式组，解得； 对于C中，不等式等价于，解得； 对于D中，不等式等价于，解得， 所以不等式与不等式的解集是相同的. 故选B. 【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法及应用，其中解答中熟记分式不等式的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 以下形式中，不能表示“y是x的函数”的是（ ） A. x 1 2 3 4 y 1 2 1 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义逐一对选项进行分析即可. 【详解】对于A选项，运用的是列表法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于B选项，运用的是图象法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 对于选项C，时，，有两个与之对应，所以不是的函数； 对于D选项，运用的是解析法，每一个自变量，都有一个唯一确定的与之对应，所以是的函数； 故选：C. 4. 给出下列等式，其中因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方差公式，十字相乘法，立方和公式进行因式分解即可得解. 【详解】对A选项：根据平方差公式可得，故A选项正确； 对B选项：根据平方差公式可得，故B选项正确； 对C选项：因为，故C选项错误； 对D选项：根据立方和公式可得，故D选项正确. 故选：C 5. 若函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数平移及抽象函数的定义域和值域求解即可. 【详解】函数的图象可以由函数的图象向左平移2个单位得到， 由于函数的定义域和值域都是， 所以函数的定义域为，值域为. 故选：D 6. 命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题为真命题求出命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义进行判断，即可求解. 【详解】由题意，命题“对，”等价于， 令，可得， 又由当，可得，所以， 要使得恒成立，所以， 则成立的一个充分不必要条件是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定及应用，其中解答中根据恒成立求得实数的取值范围是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力. 7. 已知实数a，b，c满足，且，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，根据，可得：，再代入推导即可； 对于B选项，由即可推导； 对于C选项，举反例判断即可； 对于D选项，根据代入化简即可判断. 【详解】对于A选项，根据，可得：， 故要证，即证，即证. 因为恒成立，故成立，故A正确； 对于B选项，因为，故，故成立，故B正确； 对于C选项，当，，时，满足且， 但不成立，故C错误； 对于D选项，因为，， 因为，故，故D正确. 故选：C 8. 已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】问题转化为函数在的值域是函数在的值域的子集，再根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】因为对任意，存在，使得， 所以函数在的值域是函数在的值域的子集. 当时，； 当时，结合对勾函数性质知. 所以当时，函数的值域为. 若，当时，， 由，所以； 若，当时，， 此时不成立，故不合题意； 若，当时，， 由，所以. 综上可知：或. 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 已知全集，，，，，，则下列选项正确的为（ ） A. B. C. A的非空子集的个数为7 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】由题可得：， 由，，，，， 作出图，如图所示， 由图可知，，，则，故A不正确； ，故B正确； 集合的非空子集个数为个，故C正确； 因为，所以，错误. 故选：BC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题p：，，则p：， B. 与表示同一函数 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若，，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全称命题的否定形式可判定A，利用函数三要素判定B，利用充分、必要条件的定义可判定C，利用不等式的性质判定D即可. 【详解】对于A，易知命题p：，，则p：，，故A正确； 对于B，的定义域为，而的定义域为， 则两函数不同，故B错误； 对于C，易知时有，不能推出，不满足充分性， 而可推出，满足必要性，故C正确； 对于D，由，可知：， 利用同向可加性知：，故D正确. 故选：ACD 11. 下列结论正确的是（ ） A. 设，则的最小值是 B. 当时， C. 当时，的最小值是1 D. 若正实数x，y满足，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过基本不等式及“1”的妙用，求解判断各选项即可. 【详解】对于A，因为不是定值，因此的最小值不是，故A错误； 对于B，当时，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 则的最大值是1，故C错误； 对于D，由，，则，即， 所以， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值18，则的最大值为，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上. 12. 设a，，集合，，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合相等求出，即可得到的值. 【详解】因为集合，所以0是集合的一个元素， 因为，所以， 此时，所以，解得. 所以. 故答案为： 13. 函数，且，则函数的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对进行变形后换元，再代入求出，从而得出的解析式． 【详解】， 把替换为，则， 又， ，解得， ． 故答案为：． 14. 已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，且，若，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的单调性，再利用已知等式结合推出，最后利用单调性化简原不等式求解． 【详解】函数的定义域为，对任意，都有， 令，则，，， 令，则， ， 当时，，则， 当时，，在内恒大于0， 设，则，， 时，，， 又， ， ，在上单调递减． ，，， 不等式等价于， 又在上单调递减， ，即，解得， 不等式的解集为：． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若集合，求此时实数的值； （2）已知命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与方程之间的关系和韦达定理，即可求出的值； （2）把利用充分条件关系求参数的范围，转化为集合的包含关系，通过分类讨论思想，列出关于实数的不等式组，解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以方程的两根分别为和， 由韦达定理得，解得； 【小问2详解】 因为， 由于是的充分条件，则， 当时，， 此时不成立； 当时，， 因为，则有，解得； 当时，， 因为，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 16. （1）求函数的值域. （2）已知正实数满足，求的最小值. 【答案】（1）（2）3 【解析】 【分析】（1）令，把转化成关于的二次函数，求函数值域即可； （2）利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案. 【详解】（1）解：令（），则，代入得： . 这是开口向下的二次函数，对称轴为，在时单调递减 故当时，，值域为. （2）解：由得，则： 当且仅当且，即，时取等号， 故的最小值为3. 17. 已知函数 （1）若函数的定义域为，求实数m的取值范围. （2）若函数的值域是，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原命题等价于对恒成立，分类讨论，即可求解； （2）原命题等价于的值域包含，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 定义域为等价于对恒成立. 当时，不等式为，不恒成立，不满足题意； 当时，需满足： ； 当时，二次函数开口向下，不恒成立，不满足题意； 综上，m的取值范围. 【小问2详解】 值域为等价于的值域包含. 当时，，值域为，满足题意； 当时，需满足； 当时，二次函数开口向下，值域不可能包含，不满足题意. 综上，m的取值范围是. 18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好地服务于人民，派调查组到上高县某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x（）户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高万元，而从事水果加工的农民平均每户收入将为（）万元. （1）若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，解不等式即可； （2）根据题意可得，化简得，再由基本不等式求出的最小值即可. 【小问1详解】 动员前种植总收入为万元， 动员后种植总收入为， 由题意得： 化简得：， 结合，得. 所以要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，x的取值范围为 【小问2详解】 动员后加工总收入为，动员后种植总收入为， 由题意得： 化简得： 由均值不等式，， 当且仅当即时取等号， 故a的最大值为. 19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）判断函数和函数是否存在“优美区间”，如果存在，写出符合条件的一个“优美区间”？（直接写出结论，不要求证明） （2）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值. 【答案】（1）存在优美区间是，不存在优美区间； （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的单调性及值域及新定义求解； （2）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围. 【小问1详解】 ，在上单调递增，由得或1， 函数的值域是，存在优美区间是， 是增函数，若存在优美区间，则， 而方程组无解，不合题意，所以不存在优美区间； 【小问2详解】 ，因为， 所以在和上都是增函数， 因此优美区间或， 因为函数的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. 所以，所以有两个同号的不等实根， ，， ，，或， ，同号，满足题意，又， ， 因为或，所以当，即时，． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键点在于根据函数的单调性得到，从而转化为有两个同号的不等实根，结合韦达定理，即可求出，结合二次函数即可求出最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $