山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 1．（2024八上·单县期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意． 故选：A． 【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形. 2．（2024八上·单县期中） 下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的概念 【解析】【解答】A、∵是单项式不是分式，∴A不符合题意； B、∵是分式，∴B符合题意； C、∵是多项式不是分式，∴C不符合题意； D、∵是单项式不是分式，∴D不符合题意； 故答案为：B。 【分析】利用分式的定义逐项分析判断即可. 3．（2024八上·单县期中）根据下列已知条件，不能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：A.，已知两边一角，但是已知角不是已知边的夹角，无法唯一确定一个三角形，符合题意； B.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； C.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； D.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； 故选：A． 【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案. 4．（2024八上·单县期中）若分式的值为0，则的值为（　　） A．3 B．3或 C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件 【解析】【解答】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C 【分析】根据分式的值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案. 5．（2024八上·单县期中）若，则等于（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 当时，原式， 故选：A． 【分析】根据分式的性质，结合完全平方公式即可求出答案. 6．（2024八上·单县期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【知识点】角平分线的判定 【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的判定方法（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）分析求解即可. 7．（2024八上·单县期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】翻折变换（折叠问题）；补角 【解析】【解答】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【分析】根据折叠性质可得，，根据补角可得∠A'BC，即，即可求出答案. 8．（2024八上·单县期中）如图，在中，的面积为18，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定） 【解析】【解答】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长即为的最小值，即的最小值为9， 故选：C． 【分析】连接，，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据三角形面积可得AD，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 9．（2024八上·单县期中）下列化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化 【解析】【解答】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可求出答案. 10．（2024八上·单县期中）如图，点C在上，作线段的同侧作等边和等边相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型 【解析】【解答】解：等边和等边， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ，故③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选B． 【分析】根据全等三角形判定定理及性质，结合等边三角形性质及三角形外角性质即可求出答案. 11．（2024八上·单县期中）约分：　 　． 【答案】 【知识点】分式的约分 【解析】【解答】解：． 故答案为． 【分析】利用分式约分的计算方法求解即可。 12．（2024八上·单县期中）已知点、关于y轴对称，则　 　． 【答案】 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：∵点、关于y轴对称， ∴ ∴． 故答案为：． 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案. 13．（2024八上·单县期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是　 　． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【分析】由作图痕迹可知，是线段的中垂线，是的角平分线，根据垂直平分线性质可得，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得∠DAB=∠B=30°，再根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据角之间的关系可得∠DAC，则，再根据三角形外角性质即可求出答案. 14．（2024八上·单县期中）计算的结果是　 　． 【答案】x 【知识点】同分母分式的加、减法 【解析】【解答】解： 故答案为：x． 【分析】根据分式的加法即可求出答案. 15．（2024八上·单县期中）等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是　 　． 【答案】8或2 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：当腰长为8时，底长为：18-8×2=2；2+8＞8，能构成三角形； 当底长为8时，腰长为：（18-8）÷2=5；5+5＞8，能构成三角形． 故底边长是8或2． 故答案为：8或2． 【分析】根据三角形三边的关系及等腰三角形的性质分两种情况求解即可。 16．（2024八上·单县期中）已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为　 　． 【答案】12 【知识点】分式的加减法 【解析】【解答】解： ． 根据题意得：x﹣3＝±1或±2． 解得：x＝4或2或5或1． 则4+2+5+1＝12． 故答案是：12． 【分析】首先把分式进行化简，式子的值的值为整数的条件为：分母是分子的因数，据此求解即可。 17．（2024八上·单县期中）如图，点在上，与相交与点．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】根据等边对等角可得，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. 18．（2024八上·单县期中）计算： （1）； （2） 【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据分式的除法，结合完全平方公式，平方差公式即可求出答案. （2）根据分式的混合运算即可求出答案. （1）解：原式； （2）原式 ． 19．（2024八上·单县期中）在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】解：，理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 即． 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】过E作交于F，根据等边三角形性质可得，再根据直线平行性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，再根据边之间的关系可得，再根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形性质即可求出答案. 20．（2024八上·单县期中）先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a代入求值． 【答案】解： ， ∵，，， ∴，， 把代入得：原式． 【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入 【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案. 21．（2024八上·单县期中）如图，点D在上，，，． （1）说明的理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据三角形外角性质可得∠ADE，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（2024八上·单县期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 【答案】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长； （2）解：连接、、， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴． ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴. 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形周长即可求出答案. （2）连接、、，根据三角形周长可得，再根据垂直平分线性质即可求出答案. （1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长； （2）解：连接、、， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴． ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴. 23．（2024八上·单县期中）如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 【答案】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 【知识点】三角形全等及其性质；分类讨论 【解析】【分析】，则，，根据全等三角形性质分情况讨论：当，时，当，时，建立方程，解方程即可求出答案. 24．（2024八上·单县期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： （1）根据发现的规律，填空：　 　． （2）利用发现的规律，计算：． （3）类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）解： ， ． （3）解： ， ∵， ∴， 原式 ​​​​ 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】（1）由 可得． 【分析】（1）根据前3个等式的变换，总结规律，即可求出答案. （2）添括号化简，再根据（1）中规律化简，再根据分式的加减即可求出答案. （3）根据（1）中规律化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案. （1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市单县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题 1．（2024八上·单县期中）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八上·单县期中） 下列式子是分式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024八上·单县期中）根据下列已知条件，不能唯一画出的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024八上·单县期中）若分式的值为0，则的值为（　　） A．3 B．3或 C． D．无法确定 5．（2024八上·单县期中）若，则等于（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 6．（2024八上·单县期中）小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 7．（2024八上·单县期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A． B． C． D． 8．（2024八上·单县期中）如图，在中，的面积为18，的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（2024八上·单县期中）下列化简结果正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（2024八上·单县期中）如图，点C在上，作线段的同侧作等边和等边相交于点与交于点与交于点N，连接，下列结论：，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④ 11．（2024八上·单县期中）约分：　 　． 12．（2024八上·单县期中）已知点、关于y轴对称，则　 　． 13．（2024八上·单县期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是　 　． 14．（2024八上·单县期中）计算的结果是　 　． 15．（2024八上·单县期中）等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则底边长是　 　． 16．（2024八上·单县期中）已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为　 　． 17．（2024八上·单县期中）如图，点在上，与相交与点．求证：． 18．（2024八上·单县期中）计算： （1）； （2） 19．（2024八上·单县期中）在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 20．（2024八上·单县期中）先化简，再求值：，再从，，0，2中选择一个合适的数作为a代入求值． 21．（2024八上·单县期中）如图，点D在上，，，． （1）说明的理由； （2）若，，求的度数． 22．（2024八上·单县期中）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． （1）若，求的周长． （2）连接，在（1）的条件下，若的周长为18，求的长． 23．（2024八上·单县期中）如图，做一个“U”字形框架，其中足够长，，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，求此时线段的长是多少？ 24．（2024八上·单县期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： （1）根据发现的规律，填空：　 　． （2）利用发现的规律，计算：． （3）类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 答案解析部分 1．【答案】A 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意； ．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意． 故选：A． 【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形. 2．【答案】B 【知识点】分式的概念 【解析】【解答】A、∵是单项式不是分式，∴A不符合题意； B、∵是分式，∴B符合题意； C、∵是多项式不是分式，∴C不符合题意； D、∵是单项式不是分式，∴D不符合题意； 故答案为：B。 【分析】利用分式的定义逐项分析判断即可. 3．【答案】A 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：A.，已知两边一角，但是已知角不是已知边的夹角，无法唯一确定一个三角形，符合题意； B.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； C.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； D.，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一三角形，不符合题意； 故选：A． 【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案. 4．【答案】C 【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件 【解析】【解答】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故选：C 【分析】根据分式的值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案. 5．【答案】A 【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值 【解析】【解答】解： ， ， ， ， 当时，原式， 故选：A． 【分析】根据分式的性质，结合完全平方公式即可求出答案. 6．【答案】A 【知识点】角平分线的判定 【解析】【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的判定方法（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）分析求解即可. 7．【答案】D 【知识点】翻折变换（折叠问题）；补角 【解析】【解答】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【分析】根据折叠性质可得，，根据补角可得∠A'BC，即，即可求出答案. 8．【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定） 【解析】【解答】解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长即为的最小值，即的最小值为9， 故选：C． 【分析】连接，，根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据三角形面积可得AD，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 9．【答案】C 【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化 【解析】【解答】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：C． 【分析】根据分式的性质逐项进行判断即可求出答案. 10．【答案】B 【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型 【解析】【解答】解：等边和等边， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故②正确； 为等边三角形， ， ，故④正确； ， ， ， ， ， ，故③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选B． 【分析】根据全等三角形判定定理及性质，结合等边三角形性质及三角形外角性质即可求出答案. 11．【答案】 【知识点】分式的约分 【解析】【解答】解：． 故答案为． 【分析】利用分式约分的计算方法求解即可。 12．【答案】 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【解答】解：∵点、关于y轴对称， ∴ ∴． 故答案为：． 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征可得a，b值，再代入代数式即可求出答案. 13．【答案】 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：由题意知：是线段的中垂线，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【分析】由作图痕迹可知，是线段的中垂线，是的角平分线，根据垂直平分线性质可得，根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得∠DAB=∠B=30°，再根据三角形内角和定理可得∠BAC，根据角之间的关系可得∠DAC，则，再根据三角形外角性质即可求出答案. 14．【答案】x 【知识点】同分母分式的加、减法 【解析】【解答】解： 故答案为：x． 【分析】根据分式的加法即可求出答案. 15．【答案】8或2 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：当腰长为8时，底长为：18-8×2=2；2+8＞8，能构成三角形； 当底长为8时，腰长为：（18-8）÷2=5；5+5＞8，能构成三角形． 故底边长是8或2． 故答案为：8或2． 【分析】根据三角形三边的关系及等腰三角形的性质分两种情况求解即可。 16．【答案】12 【知识点】分式的加减法 【解析】【解答】解： ． 根据题意得：x﹣3＝±1或±2． 解得：x＝4或2或5或1． 则4+2+5+1＝12． 故答案是：12． 【分析】首先把分式进行化简，式子的值的值为整数的条件为：分母是分子的因数，据此求解即可。 17．【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）． 【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-等边对等角 【解析】【分析】根据等边对等角可得，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. 18．【答案】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的乘除法；分式的混合运算 【解析】【分析】（1）根据分式的除法，结合完全平方公式，平方差公式即可求出答案. （2）根据分式的混合运算即可求出答案. （1）解：原式； （2）原式 ． 19．【答案】解：，理由如下： 过E作交于F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 即． 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】过E作交于F，根据等边三角形性质可得，再根据直线平行性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，再根据边之间的关系可得，再根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形性质即可求出答案. 20．【答案】解： ， ∵，，， ∴，， 把代入得：原式． 【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入 【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值代入即可求出答案. 21．【答案】（1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案. （2）根据全等三角形性质可得，再根据三角形外角性质可得∠ADE，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案. （1）解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 22．【答案】（1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长； （2）解：连接、、， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴． ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴. 【知识点】线段垂直平分线的性质 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据三角形周长即可求出答案. （2）连接、、，根据三角形周长可得，再根据垂直平分线性质即可求出答案. （1）解：∵，分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长； （2）解：连接、、， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴． ∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴， ∴. 23．【答案】解：∵点M、N运动的速度之比为， ∴可设，则，， ∵， ∴使与全等，可分两种情况： 情况一：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当，时， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 【知识点】三角形全等及其性质；分类讨论 【解析】【分析】，则，，根据全等三角形性质分情况讨论：当，时，当，时，建立方程，解方程即可求出答案. 24．【答案】（1） （2）解： ， ． （3）解： ， ∵， ∴， 原式 ​​​​ 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的化简求值；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】（1）由 可得． 【分析】（1）根据前3个等式的变换，总结规律，即可求出答案. （2）添括号化简，再根据（1）中规律化简，再根据分式的加减即可求出答案. （3）根据（1）中规律化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案. （1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $