精品解析：吉林省四平市伊通满族自治县2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

九年级期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C对应点分别为点D，E，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 4. 下列二次函数中，最大值为1的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 不存在 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 8. 如图所示的花朵图案，要与原来的图形完全重合，至少要绕其中心旋转____度． 9. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是____________ 10. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为_______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12 解方程：． 13. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 15. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 16. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？ 17. 如图，在正方形网格中（每个小正方形边长均是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转的，并写出点的坐标； （2）画出 关于点的中心对称图形，并写出点的坐标． 18. 湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 （1）求抛物线的解析式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 19. 如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F， （1）若，求证：． （2）若，，，求的长． 20. 如图，为等边高，，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转60°，得到线段，连接、． （1）问题发现：如图①，当点D在直线上时，线段与的数量关系为_________，_________； （2）拓展探究：如图②，当点P在的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）问题解决：当时，请直接写出线段的长度． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． （1）求点 A 的坐标； （2）当点 Q与点D 重合时，求x的值； （3）求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； （4）在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）对称轴是直线，且经过点，点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、、，若，，求点坐标； （3）若点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围； （4）将此抛物线上 、两点之间部分（包括 、两点）记为图象，当图象的最大值与最小值之差为3时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 音乐是人类文化中不可或缺的一部分，它充满魅力，能够唤起人们各种各样的情感体验．下列音乐符号中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项合题意； C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，根据旋转图形的对应边是相等的，进行作答即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E， ∴， 故选：． 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 弦是直径 B. 弧是半圆 C. 半圆是圆中最长的弧 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】D 【解析】 【分析】根据弦、直径、弧、半圆的概念一一判断即可． 【详解】解：A、错误．弦不一定是直径． B、错误．弧是圆上两点间的部分． C、错误．优弧大于半圆． D、正确．直径是圆中最长的弦． 故选D． 【点睛】圆的认识． 4. 下列二次函数中，最大值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，当时，有最大值，为，据此即可作答． 【详解】解：A、，，开口方向向上，有最小值，且为1，不符合题意； B、，，开口方向向上，有最小值，且为，不符合题意； C、，，开口方向向下，有最大值，且为，不符合题意； D、，，开口方向向下，有最大值，且为1，符合题意； 故选：D 5. 已知三角形两边长分别是和2，第三边的长为的根，则这个三角形的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】先解方程，后利用三角形的三边关系进行取舍，即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴ 当时，，无法构成三角形，舍去 当时，这个三角形周长是 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系，掌握一元二次方程的解法，以及三角形的三边关系是解题的关键． 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形性质、圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据圆内接四边形的性质得到， 因为，则，，利用圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：四边形内接于，， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 把一元二次方程化成一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 8. 如图所示的花朵图案，要与原来的图形完全重合，至少要绕其中心旋转____度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．该图形被平分成8部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：花朵图案，至少要旋转后，才能与原来的图形重合． 故答案为：． 9. 二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线， 则时，该函数的自变量x的取值范围是____________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，二次函数与不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线对称轴为直线， 由图象可知二次函数过和，结合图像数形结合即可解决题目． 【详解】解：∵对称轴为直线 由图象知，二次函数过和， ∵抛物线开口向下， ∴当时，或． 故答案为：或． 10. 如图，的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，如图，先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则的长为_________________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先求得与y轴的交点，再结合抛物线求得点B和点C，即可求得． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点A， ∴A点坐标为． 当时，， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 13. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上．求证：DC平分∠ADE． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】利用旋转的性质，等腰三角形的性质证明即可． 【详解】证明：由旋转可知，△ABC≌△DEC， ∴∠A=∠CDE，AC=DC， ∴∠A=∠ADC， ∴∠ADC=∠CDE， 即DC平分∠ADE． 【点睛】本题考查了旋转的全等性，等腰三角形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求此抛物线的对称轴； （2）当时，写出的取值范围； 【答案】（1）直线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）把已知点坐标代入中求出a的值，从而得到抛物线解析式，再利用配方法把一般式配成顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质得到当，y有最小值，然后计算出自变量为1和5所对应的函数值，从而得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为， ∵， ∴此抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴，y有最小值， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 15. 已知：如图所示，AB，CD是的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且，求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】过点O作于点M.由等腰三角形的性质可证，，从而可得，然后根据相等的圆心角所对的弧相等即可求得结论. 【详解】证明：如图，过点O作于点M. ， . 同理，. . . 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.也考查了等腰三角形三线合一的性质. 16. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，全班有多少名学生？ 【答案】全班有名同学 【解析】 【分析】设全班有x名学生，根据全班共送了张相片得：，解方程可得答案． 【详解】解：设此班有x名同学， 则， 解得:， (舍去)， 答：此班有名同学． 【点睛】本题一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． 17. 如图，在正方形网格中（每个小正方形边长均是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： （1）画出绕点逆时针旋转，并写出点的坐标； （2）画出 关于点的中心对称图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质． （1）将点、分别绕点逆时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求， 由图可知，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求， 由图可知，点的坐标为． 18. 湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 （1）求抛物线的解析式； （2）公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键． （1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案； （2）在中，令解出的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米， 抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令得： ， 解得（舍去）或， 处距桥墩的距离至少为米． 19. 如图，，为的弦，连接，并延长，分别交弦，于点E，F， （1）若，求证：． （2）若，，，求长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出，得到，进而证明即可； （2）首先根据垂径定理得到，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 20. 如图，为等边的高，，点P为直线上的动点（不与点B重合），连接，将线段绕点P逆时针旋转60°，得到线段，连接、． （1）问题发现：如图①，当点D在直线上时，线段与的数量关系为_________，_________； （2）拓展探究：如图②，当点P在的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）问题解决：当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）相等；90°；（2）成立，证明见解析；（3）4或 【解析】 【分析】（1）连接AD，通过SAS证明，然后对应边、对应角相等、等量减等量，即可得出结论； （2）连接AD，通过SAS证明，然后对应边、对应角相等、等量加等量，即可得出结论； （3）如图③，由（2）知，∠BMD=90°根据已知条件得到D在BA的延长线上，由旋转的性质得到AP=DP，∠APD=60°，推出△AMB是等边三角形，得到PA=PD=AD，于是得到结论；如图④，由（2）知，∠BMD=90°，根据旋转的性质得到AP=DP，∠APD=60°，求得PA=PD=AD，∠PAD=∠BAM=60°，根据全等三角形的性质得到PB=DM=4，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）相等；90°； ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 即 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）成立，证明如下： 如图②，连接， ∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴ （3）如图③，由（2）知，∠BMD=90°， ∵∠BDM=30°， ∴∠DBM=60°， ∴D在BA的延长线上， 由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴PA=PD=AD， ∵BM=4， ∴BD=8， ∴AP=AD=4； 如图④，由（2）知，∠BMD=90°， ∵∠BDM=30°， ∵BM=4， ∴DM=4， 由旋转的性质可得：AP=DP，∠APD=60°， ∴△APD是等边三角形， ∴PA=PD=AD，∠PAD=∠BAM=60°， ∴∠PAB=∠DAM， ∵AB=AM， ∴△ABP≌△AMD（SAS）， ∴PB=DM=4， ∵AC=2，BC=2， ∴CP=6， ∴AP=， 综上所述，线段AP的长度为4或4． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中的位置如图所示， 点B与坐标原点O重合， 的长分别是方程 的两个根． P、Q两点分别从点A、C同时出发，点P沿折线向终点C运动，在上的速度为每秒4个单位长度，在上的速度为每秒2个单位长度；点Q以每秒 个单位长度的速度沿线段 向终点A 运动，过点 P 作于点D，以，为邻边作矩形 ．设运动时间为秒，矩形和重叠部分的面积为y． （1）求点 A 的坐标； （2）当点 Q与点D 重合时，求x的值； （3）求y关于x 的函数解析式，并写出x的取值范围； （4）在平面内是否存在点 F，使以 B、C、P、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先解方程可得，，证明，，进一步可得答案； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）分类讨论：①当时；②当时；③当时，交于点，交于点，逐个分析，即可解答． （4）如图，当在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形，可得△为等边三角形，可得，进一步结合平移可得：或或，如图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去． 【小问1详解】 解：（1）， 解得：，， ，，而， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：当点和点重合时， ， 依题意得：， 则，， 即， 解得． 故答案为：； 【小问3详解】 解：当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 当点与点重合时，依题意得：， 解得：， 此时，则点与点重合， 分三种情况讨论： ①当时，如下图， ， ， ； ②当时，如下图，交于点， ， ， ， ， ； ③当时，如下图，交于点，交于点， ，，， ， ，，， ， ； 综上所述，． 【小问4详解】 解：在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或；理由如下： 在上时，以，，，为顶点的四边形是菱形， △为等腰三角形， ， △为等边三角形， ，， ， ， 如下图， ∴， ， 则如图所示，皆为所求， 即左移2个单位，即右移2个单位，与关于对称， 或或， 如下图，当在上时，，，三点共线，不符合题意，舍去， 综上所述，在平面内存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形；点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，锐角三角函数，等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，平移，掌握相关知识是解决问题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的对称轴是直线，且经过点，点、、均在该抛物线上，横坐标分别为、、． （1）求抛物线的解析式； （2）连接、、、，若，，求点坐标； （3）若点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，求的取值范围； （4）将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象，当图象的最大值与最小值之差为3时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合抛物线（、是常数）的对称轴是直线，且经过点，即可求出的值，从而求出抛物线的解析式； （2）因为抛物线的解析式为，点、在该抛物线上，横坐标分别为、，则或，再结合，，即可解得的值，从而求出点的坐标； （3）结合点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上，且，即可求出的取值范围； （4）由点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、，先求出点、的坐标，结合图象的最大值和最小值之差为3，然后分类讨论，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：抛物线（、是常数）的对称轴是直线， ， 即，解得， ． 抛物线过点， 把点代入中， 得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、， 把和分别代入中， 得或， 解得或， ． ， ． 如图所示，分别过点、作轴，轴，垂足分别为， 由题意得，， ． ， ． ， ，解得， 点坐标为； 【小问3详解】 解：点、分别在抛物线对称轴两侧的图象上， ， ． ， ， 解得． 的取值范围是； 【小问4详解】 解：点、均在该抛物线上，且横坐标分别为、， 把和分别代入中， 解得或， ． 抛物线（、是常数）的对称轴是直线， 把代入中，解得， 抛物线的顶点坐标为． ①当、两点均在对称轴的左侧时，此时，即， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 但不属于，所以不符合题意，舍去； ②当、两点在对称轴的两侧时，且点离对称轴更远时， 此时，解得， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即， 解得，． 不属于，不符合题意； 而属于，所以符合题意； ③当、两点在对称轴的两侧时，且点离对称轴更远时， 此时，解得， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 属于，符合题意； 但不属于，所以不符合题意； ④当、两点均在对称轴的右侧时，此时，即， 将此抛物线上 、两点之间的部分（包括 、两点）记为图象， 图象的最大值为，最小值为， 当图象的最大值与最小值之差为3时， 即，解得， 但不属于，所以不符合题意，舍去． 综上所述，的值或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $