精品解析：青海省青海师范大学附属实验中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试卷

青海师范大学附属实验中学2025-2026学年第一学期10月月考 高三年级数学试卷 命题人：谢丽君 审题人：庞志雷、吴晓红、霍国寿、李鸿万、叶占忠 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的运算法则直接进行运算即可. 【详解】因为集合，，， 则， 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知，，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断； 【详解】解：定义域为，又， 所以， 所以为奇函数，函数图形关于原点对称，故排除B、D， 又，故排除C， 故选：A 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数为增函数，由每一段为增函数，且断点处右边函数值不小于左边函数值求解. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以，解得， 故选：A 7. 已知函数满足，且为奇函数，则（ ） A. 3037 B. 3034 C. 3035 D. 3036 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，求得，结合递推关系，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为为奇函数，令，可得，所以， 所以. 故选：C. 8. 已知定义在R上的函数f（x）=，若存在互不相等的实数a，b，c，满足f（a）=f（b）=f（c）=m，则mabc的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出f（x）的图象，由对数的运算性质可得ab=4，再由二次函数的值域求法，结合图象可得c的范围，计算可得所求范围． 【详解】解：设a<b<c,作出f（x）的图象， 可得m=1-log2a=log2b-1=3-c， 即有log2a+log2b=2，即为ab=4， mabc=4mc=4c（3-c），4＜c＜6， 可得mabc=-2（c-3）2+18，在（4，6）递减， 得mabc的范围是（0，16）． 故选A． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查方程根的个数以及二次函数的值域求法，考查运算能力，属于中档题． 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知实数满足,则下列关系式中恒成立的是（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为，所以. A：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立； B：在上是增函数，故，故本关系恒成立； C: 当时，显然符合，但是没有意义，故本关系式不恒成立； D：因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立. 故选：BD. 10. （多选）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二次函数的图象和性质对选项逐个判断即可. 【详解】对于A，因为二次函数的图象与x轴交于两点， 所以，即，故A正确， 对于B，由图象可得对称轴为直线，即， 化简得，故B错误， 对于C，结合图象可得当时，，即，故C错误， 对于D，由已知得，即， 而抛物线开口向下，故，得到，即，故D正确. 故选：AD 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ） A. 3是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知可推得，即可得出A项；由为奇函数，即可得出函数的对称性；易知，结合，即可推得，得出C项；根据函数的奇偶性、周期性求解，即可判断D项. 【详解】对于A项，因为，所以，所以3是函数的一个周期，故A正确； 对于B项，因为，为奇函数，所以， 所以，点是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C项，因为，为奇函数，所以， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以，函数是偶函数，故C项正确； 对于D项，由C知，函数是偶函数，所以. 又3是函数的一个周期， 所以，，， 所以，， 所以，，故D错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：根据已知条件，变换得出函数的关系式，进而得出函数的对称性、奇偶性以及周期性.然后根据奇偶性以及周期性求值，即可得出答案. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线与交点个数是_______． 【答案】3 【解析】 【分析】分别作出与图象，分析即可得答案. 【详解】在同一坐标系中作出与图象，如下图所示， 因为，在 单调递增，， 所以由图象可得，交点个数为3. 故答案为：3 13. 函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合复合函数单调性的判断方法和对数真数大于零可构造不等式组求得结果. 【详解】在上单调递减， 若在上单调递增， 则在上单调递减且在上恒成立， ，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若恒成立，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，则可得与同零点，即可得，再构造函数，结合导数研究其单调性计算即可得. 【详解】由恒成立，则恒成立， 当时，恒成立，则需恒成立，不符和题意； 当时，此时与同号或其中至少一个为零， 令得，令得， 当时，，则需，即； 当时，，则需，即； 综上可得，故， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 求值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）0 【解析】 【分析】（1）利用换底公式即可求值； （2）利用指数运算，对数运算法则即可． 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 . 16. 已知幂函数在上单调递减. （1）求m的值； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值； （2）由解不等式得出a的取值范围. 【小问1详解】 解：由幂函数的定义可得，即，解得或. 因为在上单调递减，所以，即， 则. 【小问2详解】 设，是R上的增函数. 由（1）可知，即， 则，解得， 即a的取值范围为. 17. 已知，函数． （1）若是奇函数，求a的值； （2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数结合奇函数的定义及性质，即可求解； （2）先求出， 再根据有两个负根，则，从而可求解. 【小问1详解】 因为的定义域为， 且为奇函数，所以，即． 此时，的定义域为， 且，为奇函数， 所以． 【小问2详解】 因为的图象过点，则，解得． 令，得． 因为函数与x轴负半轴有两个不同交点， 所以方程有两个不相等的负根， 所以，解得． 所以， 所以的取值范围为． 18. 已知函数.其中是自然对数的底数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切点坐标即可得在点处的切线方程； （2）令，然后利用导数并根据a的情况研究函数的单调性和最值. 【详解】（1），， ∴， 又， ∴切线方程为，即. （2）令， ， ①若，则在上单调递减，又， ∴恒成立，∴在上单调递减，又， ∴恒成立. ②若，令， ∴，易知与在上单调递减， ∴在上单调递减，， 当即时，在上恒成立， ∴在上单调递减，即在上单调递减， 又，∴恒成立，∴在上单调递减， 又，∴恒成立， 当即时，使， ∴在递增，此时，∴， ∴在递增，∴，不合题意. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及构造函数解决含参数的不等式恒成立时求参数的取值范围问题，第二问的难点是构造函数后二次求导问题，对分类讨论思想及化归与等价转化思想要求较高，难度较大，属拔高题. 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海师范大学附属实验中学2025-2026学年第一学期10月月考 高三年级数学试卷 命题人：谢丽君 审题人：庞志雷、吴晓红、霍国寿、李鸿万、叶占忠 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知，，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，且为奇函数，则（ ） A. 3037 B. 3034 C. 3035 D. 3036 8. 已知定义在R上的函数f（x）=，若存在互不相等的实数a，b，c，满足f（a）=f（b）=f（c）=m，则mabc的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 已知实数满足,则下列关系式中恒成立的是（    ） A. B. C. D. 10. （多选）已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数满足，且为奇函数，，.下列说法正确的是（ ） A. 3是函数的一个周期 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线与交点个数是_______． 13. 函数在区间上是单调递增，则实数的取值范围是___________． 14. 已知函数，，若恒成立，则的最大值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分） 15. 求值： （1）； （2）． 16. 已知幂函数在上单调递减. （1）求m的值； （2）若，求a的取值范围. 17. 已知，函数． （1）若是奇函数，求a的值； （2）若函数的图象过点，且与x轴负半轴有两个不同交点，求c的取值范围． 18. 已知函数.其中是自然对数的底数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $