浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期期中数学模拟试卷

浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知m>n,则下列结论正确的是（) A.m-5<n-5 c.m+4>n+4D.-3m>-3n 1 B.6m<6n 2.下列四个图案中，是轴对称图形的是() 3.如图，点C和点E分别在AD和AB上，BC与DE相交于点F.己知AB=AD,若要使△ABC兰△ADE,下列无 法作为有效添加条件的是() A B A.BC=DE B.AC=AE C.∠ACB=∠AED=90°D.∠BCD=∠DEB 4.若等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是(). A.14 B.15 C.16 D.14或16 5.某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为x元，小明妈妈根据信息列出了不等 式0.8×(2x-150)<1500,那么小明告诉妈妈的信息是() A.买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不超过1500元 B.买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不超过1500元 C.买两件等值的商品可减150元，再打八折，最后不到1500元 D.买两件等值的商品可打八折，再减150元，最后不到1500元 6.如图，己知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. ① 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①： ② 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②： 第1页，共8页 步骤3：连接AD,交BC延长线于点H: 下列叙述错误的是() A.BH垂直平分线段AD B.AC平分LBAD C.S AABCT=ZBC·AH D.AH=DH 7.如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂 足，下列结论不正确的是() B A.△ABD≌△EBC B.∠BCE+∠BCD=180° C.AD=EF=EC D.AE=EC 8.如图，这是嘉琪同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值x”到判断“结果是否≥13”为一次运 行过程.如果程序运行两次就停止，那么x的取值范围是() 输入 是 2 X2 ≥13 停止 Ax2 B9≤x< c?<x< Dxs号 9.如图，点P是LAOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN的度数为() A.1409 B.100° C.50° D.40° 10.如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10,AC=12,DE/BC,P,Q分别是BD和BC上的任意一点； 连接PA,PC,PQ,AQ,给出下列结论①：BDB的面积是12：②AG+DB=BC:③PC+PQ的最小值是， 第2页，共8页 ④若PA平分LBAC,则△APD的面积为9.其中正确的是() A.①② B.①②④ c.①③ D.②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有△PAB,则∠PAB+∠PBA的度数是 12.若x>y,且(a-2)x<(a-2)y,则a的取值范围是 13.如图，在△ABC中，己知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2,则阴影部 分图形面积等于cm2. A B D 14.已知a+b=4,若-2≤b<1,则a的取值范围是 15.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BE1AD于E,连接CE,若△ABD的面积为6cm2,AD:ED=5: 1,SA AEB:S△EBc=3:2,则△AEC的面积为cm2 16.如图1，将一张直角三角形纸片ABC(已知LACB=90°，AC>BC)折叠，使得点A落在点B处，折痕为DE. 将纸片展平后，再沿着CD将纸片按着如图2方式折叠，BD边交AC于点F.若△ADF是等腰三角形，则LA的度 数可能是 B(A) B D D 图1 B 图2 三、解答题：本题共8小题，共2分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 第3页，共8页 17.(本小题8分) (1)解不等式，2-3“5≥x-2,并把它的解华在数轴上表示出米。 1-3(x+1)-(x-3)<8① (2)解不等式组： 2x+1_1-x 3 2≤1② -4-3-2-101234 18.(本小题8分) 如图，在△ABC中， (1)尺规作图：作边AC的垂直平分线，交AB于点D,交AC于点E,连结CD. (2)若△BCD的周长等于18，AE=4,求△ABC的周长. C 19.(本小题8分) 如图，已知△ABC和△ADE,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B=∠D,AD与BC相交于点P,点C在DE上. (1)求证：BC=DE. (2)若∠B=30°，LAPC=70°. ①求LE的度数： ②求证：CP=CE. 第4页，共8页 20.(本小题8分) 如图，己知在△ABC中，∠B=∠C,AB=8厘米，BC=6厘米，D为AB的中点，点P在线段BC上以2厘米/秒 的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以a厘米/秒的速度由点C向点A运动.设运动时间为t秒(0≤ t≤3) (1)用含t的代数式表示PC的长度： (2)若点P,Q的运动速度相等，则经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； (3)若点P,Q的运动速度不相等，则当a为多少时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等？ A 21.(本小题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF,AD+EC=AB. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A=40时，求LDEF的度数： (③)△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ (4)请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由. 第5页，共8页 22.(本小题8分) 某电器超市销售每台进价分别为160元，120元的A,B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况. 销售数量 销售时段 销售收入 A种型号B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本) (1)求A,B两种型号的电风扇的销售单价. (2)若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购 多少台？ (3)在(2)的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购 方案：若不能，请说明理由. 第6页，共8页 23.(本小题8分) 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间对于解集取中间的不等式组（比如：p<x <q,p<x≤q,p≤x<q,p≤x≤q),我们规定其“青-距离”均为L=q一p(p<q),不等式组的整数 解称为不等式组的“求真点”.例如：-3<x≤2的“青-距离”L=2-(-3)=5,“求真点”为x=一 2,-1,0,1,2. 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分： 类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们 解集的公共部分， (1)不等式组 x+≥8的“青-距离”L=: “求真点”为_一一一： 2x-2≥4-x (2)若不等式组4(x-1)≥5x-9的“青-距离”L=3,求m的取值范围 mx-3≤x+2 (3)若不等式组0.5a-1<x<2.5a+2的“青-距离”L=4.5,此时是否存在实数n使得关于y的不等式组 y+1>n ay一1≤2n恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围：若不存在，请说明理由. 第7页，共8页 24.(本小题8分) 某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边△ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC, 试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.”学习小组进行了如下探究： D B 图1 图2 图3 (1)特殊情况，探索结论如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系.请你直接写出结论： AEDB(填“>”或“<”或“=”)； (2)特例启发，解答题目：当点E不是边AB的中点时，如图2，可过点E作EF//BC,交AC于点F,构造等边 三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题.请你判断AE与DB大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题：在等边△ABC中，点E在直线AB上，AE=2,点D在直线BC上（且不与B、C两点重 合)，且ED=EC,若△ABC的边长为1，直接写出CD的长. 第8页，共8页 浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 2.下列四个图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查了轴对称图形的识别．轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】、、选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； 选项，沿着如图所示的虚线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故它是轴对称图形． 故选： 3.如图，点和点分别在和上，与相交于点已知，若要使，下列无法作为有效添加条件的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 4.若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是． A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】若腰长为，，符合三角形三边关系，周长为；若腰长为，，符合三角形三边关系，周长为所以等腰三角形的周长为或． 5.某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，小明妈妈根据信息列出了不等式，那么小明告诉妈妈的信息是(    ) A. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不超过元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不超过元 C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元 【答案】C  【解析】已知，由，得出买两件等值的商品减元，由得出买两件等值的商品减元后再打八折，故小明告诉妈妈的信息是买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元故选C． 6.如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧； 步骤：以为圆心，为半径画弧； 步骤：连接，交延长线于点； 下列叙述错误的是(    ) A. 垂直平分线段 B. 平分 C. D. 【答案】B  【解析】解：连接，． 由作图可知：，， 直线垂直平分线段， ， ，故A，，D正确， 故选：． 根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题． 本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7.如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键． 利用证明，即可判断，由为的角平分线，，，则，，由，则，即可判断；为等腰三角形得到，由得到，则，由为的角平分线，，而不垂直于即可判断，同时判断． 【详解】解；为的角平分线， ， 在和中， ， 故A说法正确，不符合题意； 为的角平分线，，， ，， ， ， ， 故B说法正确，不符合题意； ，，，， ， 为等腰三角形， ， ， ， ， 为的角平分线，，而不垂直于， ， 故C说法不正确，符合题意； 故D说法正确，不符合题意； 故选：． 8.如图，这是嘉琪同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据程序运行两次就停止运行一次的结果，运行两次的结果，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：依题意，得 解得：． 故选：． 9.如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】根据轴对称的性质证得是等腰三角形，求得得，再利用证明≌，≌，根据全等三角形的性质可得，，再由即可求解． 【详解】解如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值． ，，； ， ， 在中，，， ； 在和中，，，， ≌， ， 同理， ． 故选：． 10.如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：的面积是；；的最小值是；若平分，则的面积为其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】先求出，进而求出的面积，根据角平分线的定义，平行线的性质、等腰三角形的性质，证明，，得出，，可得到，从而作出判断；由知，所以，从而作出判断；过点作于点，当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为，根据等积法求出即可作出判断；过点作于点，得出，求出，即可求出结果，从而作出判断． 【详解】解：，是的角平分线，， ，， ， ， ， ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 由知， ，故正确； ，是的角平分线， ，， 垂直平分， ， ， 当最小时，最小， 如图，过点作于点， 当点在与交点上时，，此时最小，且最小值为， 由知， ， ， 即的最小值是，故错误； 过点作于点，如图所示： 平分，， ， ， ， ，故正确； 综上分析可知，正确的有， 故选：． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，正方形网格中，每一小格的边长为网格内有，则的度数是________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，三角形的外角性质等知识点，能求出、、的长度是解此题的关键．延长到，使，连接，根据勾股定理求出，，，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，再根据三角形的外角性质得出答案即可． 【解答】 解：延长到，使，连接， ， 同理， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为． 12.若，且，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于          ． 【答案】  【解析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：点是的中点， ， 点是的中点， ， 同理可证， 点是的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 14.已知，若，则的取值范围是           【答案】  【解析】本题考查不等式的性质，根据，得到，结合，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即：； 故答案为：． 15.如图，在中，为的平分线，于，连接，若的面积为，：：，：：，则的面积为      ． 【答案】  【解析】解：延长交于， ，为的平分线， ，， ≌， ，， ， ， ：：，的面积为， ， 又：：， ， ， 故答案为：． 延长交于，证明≌，得出，，根据三角形中线的性质得出，则求出，根据的面积为，：：，可求出的面积，结合：：，可求的面积，即可求解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 16.如图，将一张直角三角形纸片已知，折叠，使得点落在点处，折痕为将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图方式折叠，边交于点若是等腰三角形，则的度数可能是          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得，，所以，所以，，若是等腰三角形，有三种情况：当时，，当时，，当时，，然后分别列式计算即可解决问题． 【解答】 解：由翻折可知：，， ， ， ， ， ， ，， 若是等腰三角形，有三种情况： 当时，， ， 解得； 当时，， ， 不符合题意舍去； 当时，， ， 解得． 综上所述：的度数可能是或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 解不等式组：． 【答案】，；     【解析】去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 则， 数轴如下所示： ， 解不等式得； 解不等式得， 不等式组的解集为． 先去分母再去括号，移项，然后合并同类项，得，最后在数轴上表示不等式的解集，即可作答 分别算出每个不等式的解集，再取它们公共部分解集，即可作答． 本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 18.本小题分 如图，在中， 尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连结． 若的周长等于，，求的周长． 【答案】解：如图，直线即为所求． 垂直平分线段， ，， ， 的周长． 的周长．  【解析】本题考查尺规作图作一条线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质等，解题的关键是熟练掌握作图的步骤，属于中考常考题型． 根据要求作出图形即可． 根据线段垂直平分线的性质求出，再根据，即可得出答案． 19.本小题分 如图，已知和，，，，与相交于点，点在上． 求证：． 若，． 求的度数； 求证：． 【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD， ∴∠BAC=∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ​​​​​​​， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴BC=DE．  (2)解：①∵∠B=30°，∠APC=70°， ∴∠BAD=∠CAE=∠APC-∠B=70°-30°=40°， 由（1）得△BAC≌△DAE， ∴AC=AE， ∴∠ACE=∠E， ∵∠ACE+∠E+∠CAE=180°， ∴2∠E+40°=180°， ∴∠E=70°， ∴∠E的度数是70°． ②∵∠ACB=∠E，∠ACE=∠E，且∠APC=∠E=70°， ∴∠ACP=∠ACE=70°， 在△ACP和△ACE中， ​​​​​​​， ∴△ACP≌△ACE（AAS）， ∴CP=CE．  【解析】 略  略 20.本小题分 如图，已知在中，，厘米，厘米，为的中点．点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动．设运动时间为秒． 用含的代数式表示的长度； 若点，的运动速度相等，则经过秒后，与是否全等？请说明理由； 若点，的运动速度不相等，则当为多少时，能够在某一时刻使与全等？ 【答案】(1)解：由题意得BP＝2t厘米，则PC＝BC-BP＝（6-2t）厘米．  (2)△BPD与△CQP全等． 理由：当t＝1时，BP＝CQ＝2×1＝2（厘米），所以CP＝6-2＝4（厘米）． 因为AB＝8厘米，D为AB的中点，所以BD＝4厘米，所以CP＝BD． 在△BPD和△CQP中，因为所以△ BPD△ CQP（SAS）．   (3)因为点P，Q的运动速度不相等，所以BP≠CQ． 又因为∠B＝∠C，所以若△BPD与△CQP全等，则只能是△BPD△ CPQ， 所以BP＝CP＝3厘米，CQ＝BD＝4厘米， 此时，点P，Q运动的时间（秒），所以． 故当a为时，能够在某一时刻使△ BPD与△CQP全等．   【解析】 略  略  略 21.本小题分 如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． 求证：是等腰三角形； 当时，求的度数； 可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 请你猜想：当为多少度时，，并请说明理由． 【答案】证明： ． 在和中 ， ≌． ． 是等腰三角形． 解：，， ． ． ≌． ， ， ． 解：假设是等腰直角三角形即， ． ． 这与三角形的内角和定理相矛盾， 不可能是等腰直角三角形． 猜想时，． ，， ． ． ≌． ， ， ． ．  【解析】利用全等三角形得出两边相等即可． 简单的角度的计算，由可先求出，的大小，进而求出的大小， 等腰直角三角形的判定，可先假设其成立，再进行验证． 先猜想出的度数，再根据全等三角形的对应角相等即可得出结论． 本题考查了等腰三角形的判定及性质及全等三角形的性质及判定定理；其中的反证法是一种很重要的方法，注意掌握． 22.本小题分 某电器超市销售每台进价分别为元，元的，两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本 求，两种型号的电风扇的销售单价． 若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ 在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)设，两种型号电风扇的销售单价分别为元，元.依题意，得解得故，两种型号电风扇的销售单价分别为200元，150元.  (2)设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台.依题意，得，解得.故超市最多采购种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元.  (3)能.根据题意，得1850，解得.，且为整数，在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标.相应方案有两种：①当时，采购种型号的电风扇36台，种型号的电风扇14台；②当时，采购种型号的电风扇37台，种型号的电风扇13台.  【解析】 略  略  略 23.本小题分 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间对于解集取中间的不等式组比如：，，，，我们规定其“青距离”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”例如：的“青距离”，“求真点”为，，，，． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． 不等式组的“青距离”______；“求真点”为______； 若不等式组的“青距离”，求的取值范围； 若不等式组的“青距离”，此时是否存在实数使得关于的不等式组恰有个“求真点”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】“青距离”；“求真点”为，，；   ；  或  【解析】解不等式组， 由，得， 由，得， 解集为， 故“青距离”；“求真点”为，，； ， 由，得， 由，得， 前两个不等式的解集为， 由，得， 不等式组的“青一距离”， 不等式组的解集为：， 当，即， 不等式的解集为， ， ， 解得：， 此时， 当时，即时，不等式成立， 当时，即， 不等式的解集为， ， ， ， 此时：， 综上：． 不等式组的“青一距离”， ， 解得：， 化为， 由得：， 由得：， 关于的不等式组恰有个“求真点”， 不等式组的解集为：，且有个整数解， 则存在这样的整数满足：， 由得：， 由得：， 当时，可得：， 此时； 当时，可得：， 此时； 当时，符合题意， 当为另外的整数时，不等式组无解； 综上：或． 根据题目中对“青距离”和“求真点”的定义，求解即可； 首先求解不等式组的解集，根据已知，结合题目中的定义，求解即可； 由“青距离”，解得的值，代入不等式，求出不等式组，根据恰有个“求真点”，求解的值． 本题考查了新定义，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 24.本小题分 某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： 特殊情况，探索结论：如图，当点为的中点时，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：          填“”或“”或“”； 特例启发，解答题目：当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与大小关系，并完成解答过程； 总结方法，解决新题：在等边中，点在直线上，，点在直线上且不与、两点重合，且，若的边长为，直接写出的长． 【答案】(1)  (2)解：，理由如下： 如图， ​​​​​​​是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ；   (3)解：①如图，当在射线上时， 过作， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； ②如图，当在射线上时， 过作， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或．   【解析】  本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征； 由等边三角形的性质得，，由等腰三角形的性质得，即可求解； 【详解】解：是等边三角形， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：；   由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由可判定，由全等三角形的性质得，解可求解；   当在射线上时，过作，由等腰三角形的性质得，由直角三角形的特征得，当在射线上时，同理可求； 掌握等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 第2页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市拱墅区2025-2026学年八年级上学期 期中数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知，则下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 2.下列四个图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，点和点分别在和上，与相交于点已知，若要使，下列无法作为有效添加条件的是(    ) A. B. C. D. 4.若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是． A. B. C. D. 或 5.某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，现假设某一商品的定价为元，小明妈妈根据信息列出了不等式，那么小明告诉妈妈的信息是(    ) A. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不超过元 B. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不超过元 C. 买两件等值的商品可减元，再打八折，最后不到元 D. 买两件等值的商品可打八折，再减元，最后不到元 6.如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤：以为圆心，为半径画弧； 步骤：以为圆心，为半径画弧； 步骤：连接，交延长线于点； 下列叙述错误的是(    ) A. 垂直平分线段 B. 平分 C. D. 7.如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足，下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，这是嘉琪同学设计的一个计算机程序，规定从“输入一个值”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就停止，那么的取值范围是(    ) A. B. C. D. 9.如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.如图，是的角平分线，，，，，分别是和上的任意一点；连接，，，，给出下列结论：的面积是；；的最小值是；若平分，则的面积为其中正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.如图，正方形网格中，每一小格的边长为网格内有，则的度数是________． 12.若，且，则的取值范围是          ． 13.如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于          ． 14.已知，若，则的取值范围是           15.如图，在中，为的平分线，于，连接，若的面积为，：：，：：，则的面积为      ． 16.如图，将一张直角三角形纸片已知，折叠，使得点落在点处，折痕为将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图方式折叠，边交于点若是等腰三角形，则的度数可能是          ． 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 解不等式组：． 18.本小题分 如图，在中， 尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点，连结． 若的周长等于，，求的周长． 19.本小题分 如图，已知和，，，，与相交于点，点在上． 求证：． 若，． 求的度数； 求证：． 20.本小题分 如图，已知在中，，厘米，厘米，为的中点．点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动．设运动时间为秒． 用含的代数式表示的长度； 若点，的运动速度相等，则经过秒后，与是否全等？请说明理由； 若点，的运动速度不相等，则当为多少时，能够在某一时刻使与全等？ 21.本小题分 如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，． 求证：是等腰三角形； 当时，求的度数； 可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 请你猜想：当为多少度时，，并请说明理由． 22.本小题分 某电器超市销售每台进价分别为元，元的，两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 台 台 元 第二周 台 台 元 进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本 求，两种型号的电风扇的销售单价． 若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ 在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润超过元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 23.本小题分 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间对于解集取中间的不等式组比如：，，，，我们规定其“青距离”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”例如：的“青距离”，“求真点”为，，，，． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． 不等式组的“青距离”______；“求真点”为______； 若不等式组的“青距离”，求的取值范围； 若不等式组的“青距离”，此时是否存在实数使得关于的不等式组恰有个“求真点”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 24.本小题分 某学习小组遇到了如下的数学题目：“在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： 特殊情况，探索结论：如图，当点为的中点时，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：          填“”或“”或“”； 特例启发，解答题目：当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与大小关系，并完成解答过程； 总结方法，解决新题：在等边中，点在直线上，，点在直线上且不与、两点重合，且，若的边长为，直接写出的长． 第2页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $