精品解析：云南省楚雄州民族中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

楚雄州民族中学高二年级9月月考数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数的定义域求出集合的元素，进而利用交集运算即可得出. 【详解】由对数函数的定义域可得， 故. 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，再由求模公式即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，求出、的坐标，再利用空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】因为，所以，， 则. 故选：D 4. 已知，且，则（　　） A. 2 B. 6 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出和的坐标，利用向量平行的公式求解即可. 【详解】向量， 则 因，于是得， 解得，故． 故选：B． 5. “”是“函数能取尽大于0的所有实数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数值域，判断参数范围，再根据集合的包含关系，判断充分不必要条件，判断结果即可. 【详解】由题意得当时，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得， 故“”是“函数能取尽大于0的所有实数”的充分不必要条件． 故选：A． 6. 将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移的方法，对函数进行平移变换，再根据三角函数奇偶性的判断方法，列出方程，求出参数值即可. 【详解】由题意得， 当是奇函数时，，解得， 因为，则时，． 故选：C． 7. 已知是方程的两个实根，则（　　） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理，列出方程，再根据两角和的正切公式，求出参数值. 【详解】由韦达定理，可得，(*)， 因， 将(*)代入上式，得，解得. 故选：A． 8. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后用球的表面积公式即可求解. 【详解】 如图，取的中点，连接，， 因为，，所以，因此点就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以． 因为平面平面，平面平面， 所以平面． 设球半径为，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案. 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 10. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据线面平行判定定理得出选项A,反证法假设结论成立得出矛盾判断B,应用面面垂直判定定理得出线面垂直进而得出面面垂直判断C,利用等体积法：即可求解D. 【详解】如图知，且平面,不在平面内，所以平面，故A正确； 若平面，则，则，显然，故B错误； 因为是正方形，故，且平面， 所以平面，而平面，所以平面平面，故C正确； 正方体的棱长为1，设点到平面的距离为， 由， 则， 即， 解得. 点到平面的距离为，故D错误. 故选：AC. 11. 的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ） A. 的内切圆半径为 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】取边的中点，得内心P、外心O、重心G都在中线上，且，由三角形面积相等求出可判断A；求出可判断B；由余弦定理得，平方关系求出，得的外接圆半径，利用可判断C；利用可判断D. 【详解】取边的中点，连接， 因为，所以内心P、外心O、重心G都在中线上， 且，，内切圆半径， 对于A，由得 ，解得，故A正确； 对于B，因为，所以， ，故B正确； 对于C，由余弦定理得， ，所以， 所以的外接圆半径， ，所以， 所以， ，故C错误； 对于D，的外接圆半径， ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出内心P、外心O、重心G都在中线上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过点且与直线垂直，则直线的斜截式方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系求得直线的斜率，利用点斜式方程写出直线方程，再化为斜截式即可． 【详解】直线过点且与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为2，故直线的方程为，即． 故答案为：． 13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数值域，判断等式成立的条件，进而根据函数最值，列出不等式，求出参数范围，求出结果. 【详解】由题意可知，当时，即存在，使， 当时，， 所以，解得． 故答案为：． 14. 在非等腰中，设角的对边分别为，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理和正弦定理进行边角互化，即可求解. 【详解】由余弦定理化简可得， 由正弦定理化简可得，即， 由于在非等腰中，故，所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线经过原点及直线不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可. 【小问1详解】 由直线的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为． 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即． 【小问2详解】 若直线经过原点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，即，故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， AI    则， 所以，， 则， 所以是共面向量， 因为平面平面，故平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）以为原点建系，利用坐标运算得出，再结合线面平行的判定定理即可； （2）得出两个平面的法向量，再利用法向量夹角和面面角之间的关系可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知的内角所对的边分别是． （1）求； （2）若外接圆半径为，且为锐角三角形，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，并结合余弦定理即可； （2）利用正弦定理以及两角和差的正余弦公式化简得出，再结合三角函数求值域即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得，化简可得，由余弦定理得， 因为，所以； 【小问2详解】 因外接圆半径为，则由正弦定理可得， 因为，故， 所以 ， 因为为锐角三角形， 则，得，则， 则，故 即的周长的最大值为18． 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160），第二组[160,165），，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，事件表示抽取的两人来自于同一组，求． 【答案】（1）0.06，中位数为，平均数为174.1cm （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1可得第七组的频率；用每组数据中点值乘以相应频率相加即得平均数，由中位数对应频率确定中位数位于第4组，然后计算可得； （2）先确定第六组和第八组的人数，用列举法写出基本事件的总数和两名男生来自同一组所包含的基本事件，根据古典概型公式即可得解. 【小问1详解】 第六组的频率为， 第七组的频率为 由直方图得，身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为0.08 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 由于， 设这所学校的800名男生的身高中位数为， 则， 由得， 所以这所学校的800名男生的身高的中位数为， 平均数为 ×0.2+177.5×0.06×5+182.5×0.08+187.5×； 【小问2详解】 第六组[180，185）的抽取人数为4， 设所抽取的人为， 第八组[190，195]的抽取人数为0.008×5×50=2， 设所抽取的人为， 则从中随机抽取两名男生有，共15种情况， 所以事件包含的基本事件为，共7种情况． 所以． 19. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为. （1）证明：直线平面； （2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，. 【答案】（1）证明如下： 因为分别是的中点，则， 因为平面， 平面，从而平面， 因为平面，平面平面，则， 因为平面平面，平面平面，，平面， 则平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先得出，所以平面，由线面平行的性质得，再由面面垂直的性质得出平面，即可得证； （2）解法一：连接，则，，在中，在中，，因为，可得的值； 解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，分别表示和，结合可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：因为平面，平面，则， 又，则， 因为为正三角形，为的中点， 则，，、平面，从而平面， 连接，则，因为，，则， 在中，，在中，， 因为，则，得， 所以当时，； 解法二：以为原点，直线为轴，直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则点，，，，， 从而，， 设平面的法向量， 则，取，得 设点，则， 所以， ， 因为，则，得， 所以当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 楚雄州民族中学高二年级9月月考数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 若，则（ ） A. 10 B. 8 C. D. 4. 已知，且，则（　　） A. 2 B. 6 C. 1 D. 5. “”是“函数能取尽大于0的所有实数”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 将函数向左平移个单位后得到奇函数，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知是方程的两个实根，则（　　） A. B. C. 4 D. 8. 在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为1，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 点到平面的距离为 11. 的内心为P，外心为O，重心为G，若，，下列结论正确的是（ ） A. 的内切圆半径为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线过点且与直线垂直，则直线的斜截式方程为___________． 13. 已知函数，若存在，使得，则的最小值为___________． 14. 在非等腰中，设角的对边分别为，且，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点和直线． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 如图，在正四棱柱中，，点分别在棱上，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知的内角所对的边分别是． （1）求； （2）若外接圆半径为，且为锐角三角形，求周长的最大值． 18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160），第二组[160,165），，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率，并估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数； （2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，事件表示抽取的两人来自于同一组，求． 19. 如图，在三棱锥中，侧面底面，，是边长为2的正三角形，，分别是的中点，记平面与平面的交线为. （1）证明：直线平面； （2）设点在直线上，直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，求当为何值时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $