精品解析：安徽省六安市独山中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

六安市独山中学2025-2026学年度第一学期 高三年级10月份月考数学试卷 一、单选题 1. 若复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】结合复数的除法运算求出复数，即可判断. 【详解】， 所以在复平面内对应的点坐标为，第四象限， 故选：D 2. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，由图可知阴影部分表示的集合为,进而求解即可. 【详解】由， ， 由图可知阴影部分表示的集合为, 而，， 则. 故选：B 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 4. “φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：当曲线过原点时，则有即，. 所以“”是“曲线过坐标原点”的充分不必要条件.故A正确. 考点：1充分必要条件;2三角函数值. 5. 已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 6. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可. 【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可， ， ， 当且仅当即时等号成立，， 或舍去，即 所以正实数a的最小值为4. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值. 7. 已知函数的定义域为，满足，且不为常数函数，，则（ ） A. -2 B. 2 C. -2026 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】令求出，再令，得到，从而求得函数的周期为4，分别求出，然后根据周期计算即可. 【详解】由题意令，得，因为不是常数函数，所以， 再令，得，因为，所以，则，故，所以函数的周期为4. 由，得，所以0， 所以 . 故选：A 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线方程得出焦距及实半轴，再根据图形特征计算即可. 【详解】双曲线的半焦距，故的实半轴， 故由双曲线的定义可知， 过作的垂线，垂足为，,则为线段的中点，故， 所以. 故选：A. 二、多选题 9. 已知实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，D，，满足，此时，，故A，D错误.（判断一个结论错误时，举反例即可） 对于B，，，得，故B正确. 对于C，由得，又，所以，故C正确. 故选：BC 10. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由函数关于直线对称及，结合偶函数定义判断；对B，由函数周期性得在解析式，判断其单调性；对C，由偶函数性质及函数关于直线对称可得；对D，由函数周期性可求. 【详解】对于A：因为的图象关于直线对称，所以， 又，所以， 所以，为偶函数，A正确； 对于B：因为，所以，即周期为， ，，， 所以，因为在单调递增， 所以在单调递增，B错误； 对于C：因为为偶函数，因为的图象关于直线对称， 所以关于对称，C正确； 对于D：因为周期为，所以，又关于对称， 所以，D正确； 故选：ACD. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据百分位数的运算公式得到答案；B选项，利用平均数定义得到，根据方差的计算公式得到；C选项，由正态分布的对称性得到C正确；D选项，由题意得到，得到D错误. 【详解】A选项，，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即，A错误； B选项，，， 因为，（），故， 故， = ， 故，B正确； C选项，因为，， 关于对称，所以，C正确； D选项，由题意得，整理得，D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 已知向量，，若，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 抽象函数不等式考虑函数的单调性，根据已知可得在单调递减，又是偶函数，因此在单调递增，，可将不等式转化为自变量关系，即可求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 则，所以函数在区间上单调递减， 又因为的图象经过点，所以， 又因为为偶函数，在单调递增， 所以等价于， 所以，解得． 故答案为：. 【点睛】本题考查抽象函数不等式，应用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于中档题． 14. 展开后的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】将展开后结合多项式的乘法可求的系数. 【详解】因为， 故展开后含的项为， 故系数为． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若设，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据条件可得， ，解出即可得到答案. (2)由条件可得，由等比数列的前项和公式可得答案. 【详解】解：（1）由题意，设等差数列的公差为， 则，解得， ∴，. （2）由（1）知，， 故数列是以2为首项，4为公比的等比数列， ∴. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，再根据倍角公式得，进而得到； （2）根据余弦定理得，再利用均值不等式得，当且仅当时取等号，此时周长最大，再由面积公式求得此时的面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，所以， 又因为，且，所以， 又因为，， 所以，即. 【小问2详解】 在中，由余弦定理， 得，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为， 此时面积. 17. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2. （1）求证：DE∥平面A1BC； （2）求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据垂直关系，构造线面角，即可求解. 【小问1详解】 证明：∵点D、E分别为AC、AA1的中点， ∴DE为三角形ACA1的中位线，即DE∥CA1， 平面，平面， ∴DE∥平面A1BC 【小问2详解】 过点A1作B1C1的垂线，垂足为F，连结， 因为平面平面，且平面平面， ，所以平面，所以为在平面的射影， 即为所求角，，， 所以. 18. 为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：，并得到如下频率分布直方图. （1）求图中 的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在的人数； （2）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为 ，求的分布列及数学期望. 【答案】（1），人； （2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积和为，求得，然后利用年龄在的组对应的面积占比计算抽取的人数； （2）先确定各组人数，根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，依次求出概率，即可得出分布列以及期望 【小问1详解】 因为小矩形的面积等于频率. 所以，求得. 所以这600名志愿者中，年龄在[30，40]人数为（人）. 【小问2详解】 用分层抽取的方法从中抽取10名志愿者，则年龄低于35岁的人数有（人），年龄不低于35岁的人数有（人）. 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，则 ，， ， 所以X的分布列为 P 0 1 2 3 X 数学期望为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在内的最大值为2，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，分、、、四种情况讨论； （2）结合第1问的单调性求出最值即可； （3）利用参变分离求最值即可. 【小问1详解】 求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在内单调递增， 则，解得与矛盾； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 令则， 则在上单调递减， 又，故； 综上，. 【小问3详解】 由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安市独山中学2025-2026学年度第一学期 高三年级10月份月考数学试卷 一、单选题 1. 若复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. “φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知函数的定义域为，满足，且不为常数函数，，则（ ） A. -2 B. 2 C. -2026 D. 2026 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，为的右支上一点，且，则到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知实数，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的定义域为，其函数图象关于直线对称且，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 在上单调递减 C. 关于对称 D. 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12 B. 两组样本数据，，，和，，，的方差分别为，，若已知（），则 C. 已知随机变量服从正态分布，若，则 D. 已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差（残差＝实际值－模型预测值）相等，则 三、填空题 12. 已知向量，，若，则实数的值为___________． 13. 已知偶函数的图象经过点，且当时，不等式恒成立，则使得成立的的取值范围是_________． 14. 展开后的系数为______． 四、解答题 15. 已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若设，求数列的前项和. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若，当的周长取最大值时，求的面积. 17. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为AC、AA1的中点，AC=AA1=2. （1）求证：DE∥平面A1BC； （2）求DE与平面BCC1B1夹角的余弦值. 18. 为创建全国文明城市，某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名，按年龄作分组如下：，并得到如下频率分布直方图. （1）求图中 的值，并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在的人数； （2）在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制，再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历，记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为 ，求的分布列及数学期望. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若在内的最大值为2，求的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $