精品解析：河南省尉氏县第三高级中学2025-2026学年高三上学期校内检测数学试题

2025-2026学年尉氏三中校内检测 高三年级数学学科试题卷 （考试时长：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每题5分，共40分.） 1. 已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】由题意，所以z的虚部是. 故选：A 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 3. 记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据向量夹角为锐角的条件求出甲成立时的取值范围，再分析甲与乙之间的充分性和必要性关系. 【详解】, 由向量与向量的夹角为锐角，故，且与不共线， 所以， 解得， 又与不共线，则可得，解得. 故向量与向量的夹角为锐角，可得且. 故若且，则可得，即充分性成立； 反之，若，则推不出且，即必要性不成立； 故甲是乙的充分不必要条件, 故选：. 4. 云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 则是以2为公比的等比数列， ，，解得， 所以， ． 故选：C． 5. 某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，然后由概率性质计算可得. 【详解】由题知，， 因为， 所以，即，解得. 故选：C 6. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位， ①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； ②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：B. 7. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答. 【详解】令“玩手机时间超过的学生”，“玩手机时间不超过的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥，，， 依题意，，解得， 所以所求近视的概率为. 故选：B 8. 设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到和，再根据项的取法为1个和1个再计算即可. 【详解】因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大， 所以展开式一共有项，即， 令，得展开式中所有项的系数和为，所以， 中项的取法为1个和1个， 所以系数为. 故选：C 二、多选题（每题6分，共18分.） 9. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式将原式转化，再令，通过解不等式求出的范围即可判断A；利用基本不等式将原式转化，设，通过解不等式求出的范围，进而求出的范围即可判断B；将变形为，将选项B中求出的代入求出其最小值，即可判断C；从原式中求出，将变形为，再利用基本不等式求出其最小值，即可判断D. 【详解】因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，整理可得，即. 因为，所以解得，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为6，故A正确； 因为正实数满足， 所以由（当且仅当时等号成立），可得. 设，则有，即， 因为，所以解得，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 因为正实数满足，又由选项B可知， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 则以下说法正确的有（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由图可知，结合，可得，即可判断选项A；由，利用代入检验法，结合正弦函数的性质即可判断选项B；根据图象的周期变换可得，即可判断选项C；由的周期为，区间的长度为2个周期，结合正弦函数性质即可判断选项D. 【详解】由图可知，∴. 又，∴，，∴，故选项A错误； ∵，∴图象关于直线对称，故选项B正确； ∵函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，∴，故选项C正确； 由可知函数的周期为，区间的长度为，即2个周期，结合正弦函数性质可知：在上必不单调，故选项D错误. 故选：BC. 11. 已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 三角形的面积的最大值为 C. 三角形的周长为8 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件求出，可确定椭圆方程，判断A的真假；结合椭圆焦点三角形面积最大值是短轴顶点与两焦点所成的三角形的面积，可判断B的真假；利用椭圆的定义，可判断C的真假；利用特殊情况，可判断D的真假. 【详解】如图： 对于选项A，由于，可得椭圆的方程为，所以A正确； 对于选项B，，所以B错误； 对于选项C，的周长，所以C正确； 对于选项D，当直线方程为时，由通径的概念可得， 所以，所以不能恒成立，故D错误. 故选：AC 三、填空题（每题5分，共15分.） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 13. 命题P：，使得成立，若P是假命题，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得到“，使得恒成立”为真命题，根据的取值分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】因为P是假命题，所以是真命题，即，使得恒成立． 当时，结合二次函数的图象可知不能恒成立； 当时，不等式恒成立； 当时，需使，解得. 综上：可得k的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】当时，的值域为，从而当时，值域包含，由此可列不等式求解即可. 【详解】当时，的值域为， 因为函数的值域为， 所以当时，的值域包含， 所以，所以， 即，解得或， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 15. 已知数列的前n项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由和的关系即可求解； （2）由裂项相消法求得，确定最值，结合一元二次函数最值即可求解. 【小问1详解】 依题意， 当时，， … 当时，， 当时上式也符合，所以. 【小问2详解】 ， ， 由通项公式可知是单调递增数列，，则， 所以， 函数的对称轴为， ， 当时，单调递增. 所以使成立的正整数的最小值为 16. 某学校学生会积极组织学生学习《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，组织线上考试后，随机抽取了若干人线上考试的成绩（满分60分），得到如图的频率分布直方图： 已知，成绩最高的一组的人数为10． （1）求样本容量n； （2）样本估计总体的思想，估计该校学生的平均分数（每一组取组中点值近似代替本组考试成绩）； （3）按照分层抽样从成绩在两个组内共抽取8人组成交流互助小组，在这个小组中任选2人发言，求至少有1人的成绩在内的概率． 【答案】（1）25 （2）分 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意,成绩最高的一-组的人数为10,求出组距,计算即可; （2）根据题意,结合平均分的定义，计算即可; （3）结合分层抽样知，从成绩在[36, 40 )抽取3人，从成绩在[56, 60 )抽取5人，利用对立事件的概率求解即可. 【小问1详解】 根据题意，成绩最高的一组的人数为10， 则， 解得； 【小问2详解】 该校学生的平均分数为： （分）； 【小问3详解】 根据题意，按照分层抽样从成绩在，两个组内共抽取8人， 因为两组人数之比为， 则从成绩在中抽取3人，从成绩在中抽取5人， 在这个小组中任选2人发言，至少有1人的成绩在内的概率为： . 17. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求得，可求切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论正负，从而求得的单调性， （3）由（2）可得极大值，再根据极大值小于0，求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， 当时恒成立， 在上单调递增，无极值. 当时，由，解得， 由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）当时恒成立，在上单调递增，无极值. 当时，在处取得极大值，极大值为. 令，解得， 所以的取值范围为. 18. 如图，在三棱锥中，，底面是等腰直角三角形，且． （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，， 因为，所以， 且，又， 所以，则． 因为，所以，则， 因为平面， 所以直线平面， 又直线平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面垂直判定定理证明平面即可； （2）方法一：过点作的垂线，垂足为，取的中点，利用线面垂直可得到直线与平面所成的角为，解三角形得到的值，进而根据线线垂直可得为二面角的平面角，利用余弦定理即可求解；方法二：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用二面角的向量计算公式即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为. 由于，且，所以平面， 又平面，， 又由且， 所以直线平面， 则与平面所成的角为． 方法一：几何法：由于，故为等边三角形，则． 取的中点． 由于，故． 故为二面角的平面角． 由于，故． 故， 也即二面角的余弦值为． 方法二：建系法：如图，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 则． 设平面的法向量为，平面的法向量为． 由于． 故，取，则； ，取，则． 则． 设二面角大小为，由图可知， 也即二面角的余弦值为． 19. 已知有限实数集，定义集合. （1）若集合，求集合； （2）是否存在有限实数集，使得，说明理由； （3）若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 【答案】（1） （2） 不存在； 假设存在，设， 由题意，中的元素均为正数，故若，则， 因为集合中的最大数为，而集合中的最大数为，矛盾. （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）利用反证法讨论即可； （3）通过分析集合元素的排列情况，找到中元素个数的最大值的规律即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 一方面，集合中元素是由集合中个元素两两作差得到的， 故； 另一方面，构造集合； 任取两组不全相同的自然数数对与； 若，不妨设，则. 因为， 又， 所以； 若，则，则； 故无论如何，集合中的元素，两两作差均不相同， 故中的元素个数为； 综上，集合中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年尉氏三中校内检测 高三年级数学学科试题卷 （考试时长：120分钟 满分：150分） 一、单选题（每题5分，共40分.） 1. 已知复数（为虚数单位），则z的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 记向量，设甲：向量与向量的夹角为锐角；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长．设事件“选中的同学精通乐器”，“选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 7. 长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分.） 9. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为20 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， 则以下说法正确的有（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 11. 已知以为左右焦点的椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一个动点，且点到的最大距离是点到的最小距离的3倍，连接，并延长与椭圆相交于点，其中说法正确的是（ ） A. 椭圆的方程为 B. 三角形的面积的最大值为 C. 三角形的周长为8 D. 三、填空题（每题5分，共15分.） 12. 记为等差数列的前n项和，若，，则________. 13. 命题P：，使得成立，若P是假命题，则k的取值范围是______． 14. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.） 15. 已知数列的前n项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 16. 某学校学生会积极组织学生学习《中共中央关于党的百年奋斗重大成就和历史经验的决议》，组织线上考试后，随机抽取了若干人线上考试的成绩（满分60分），得到如图的频率分布直方图： 已知，成绩最高的一组的人数为10． （1）求样本容量n； （2）样本估计总体的思想，估计该校学生的平均分数（每一组取组中点值近似代替本组考试成绩）； （3）按照分层抽样从成绩在两个组内共抽取8人组成交流互助小组，在这个小组中任选2人发言，求至少有1人的成绩在内的概率． 17. 已知函数，． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 18. 如图，在三棱锥中，，底面是等腰直角三角形，且． （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 19. 已知有限实数集，定义集合. （1）若集合，求集合； （2）是否存在有限实数集，使得，说明理由； （3）若集合中有个元素，求集合中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $